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Terraformation de Mars

Figure 1 Vue d'artiste des phases hypothétiques de la
terraformation de Mars. D'après Wikipédia, auteur : Daein Ballard.

Parue entre 1994 et 2000, la Trilogie de Mars de l'américain Kim Stanley 
Robinson relate la colonisation et la
terraformation de la planète Mars.

La terraformation consiste à modifier la géologie et le climat d'une planète 
pour la rendre habitable par les
humains ou toute forme de vie terrestre. Les modifications profondes à apporter 
à la planète sont complexes
et demandent énormément de ressources. Sur Mars, les faibles température et 
pression empêchent la vie à la
surface. Avant de développer un écosystème, il faut d'abord apporter une 
atmosphère à même de réchauffer la
planète et de supporter la vie. Bien que considérée comme un vieux rêve de 
science fiction, la faisabilité de la
terraformation soulève de nombreuses questions de physique, ce problème en 
abordant quelques-unes.

Le problème comporte deux parties indépendantes. Des données et un formulaire 
sont regroupés en fin d'énoncé.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

I L'atmosphère de Mars et son échappement

Il y à quatre milliards d'années, Mars avait un environnement identique à celui 
de la Terre : une atmosphère
dense était présente et permettait de conserver chaleur et humidité, ce qui 
participait à rendre cette planète
habitable.

Aujourd'hui, Mars n'a quasiment plus d'atmosphère. Elle est devenue une planète 
froide et désertique. Son
atmosphère actuelle est principalement composée (en pourcentages massiques) de 
dioxyde de carbone (96 %),
d'argon (environ 2 %) et de diazote (2 %). Elle comporte également des traces 
de dioxygène, d'eau et de méthane.
La pression moyenne ambiante est environ 170 fois moins importante que sur 
Terre. À une altitude de référence,
au niveau du sol martien, la pression moyenne et la température moyenne sont 
respectivement de 600 Pa et
210 K. La masse totale de l'atmosphère martienne est estimée à 25 teratonnes 
(25 000 milliards de tonnes), soit
environ 200 fois moins que l'atmosphère terrestre.

Un point M de l'atmosphère de Mars est repéré par ses coordonnées sphériques 
(r, 0,4%) de centre O, le centre
de la planète, celle-ci étant modélisée par une boule de répartition de masse à 
symétrie sphérique. On note donc
quer>kR,,, Rh étant le rayon moyen de Mars.

IA ---  Préliminaire : le champ de pesanteur martien

On s'intéresse dans un premier temps à l'évolution du champ de pesanteur 
martien avec l'altitude. Pour cela,

on l'assimile au champ gravitationnel et on raisonne par analogie avec 
l'interaction électrostatique. Le champ
. ,--> .

de pesanteur martien est noté g (M) au point M.

Q 1. Expliquer en quoi l'assimilation du champ de pesanteur au champ 
gravitationnel constitue une ap-
proximation.

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Q 2. Soit deux particules supposées ponctuelles positionnées aux points M, et 
M,, portant respectivement
les charges q, et g. On note d, la distance entre M, et M,. Rappeler 
l'expression de la force d'interaction
électrostatique créée par q, et agissant sur q. Proposer un schéma associé.

Q 3. Par une analogie formelle soignée entre les champs électrostatique et 
gravitationnel, construire et
énoncer le théorème de Gauss gravitationnel (analogue en gravitation du 
théorème de Gauss de l'électrostatique).

Q 4. En déduire, dans l'espace autour de Mars, une expression de l'accélération 
de la pesanteur g (M ) de
cette planète.

Q 5. Obtenir une expression de ÿ (M ) en fonction de À,,,r et %, accélération 
de la pesanteur au niveau

du sol. Déterminer et calculer l'intensité g, de cette dernière.

I.B --  L''atmosphère martienne, hors tempêtes de poussières

L.B.1) Le modèle de l'atmosphère isotherme

On néglige tout mouvement au sein de l'atmosphère martienne. On l'assimile à un 
gaz parfait de particules de
masse molaire M,. On note respectivement P(M) et u(M\) la pression et la masse 
volumique au point M. La
température de l'atmosphère, supposée uniforme, est notée 7,. La pression au 
sol est notée F,.

On suppose l'accélération de la pesanteur g (M ) radiale et d'intensité 
uniforme : l'y (M )1| = 4o-

Q 6. Rappeler l'expression de l'équivalent volumique des forces de pression 
dans un fluide, puis établir
l'équation locale de la statique des fluides.

Q 7. Montrer que la loi de variation de la pression se met sous la forme P(r) = 
C,exp(--) dans l'atmo-
sphère martienne (r > R,,). Exprimer le facteur C, et la hauteur d'échelle H en 
fonction de P,, M,, 9, R
et L5.

Q 8. Déterminer une valeur numérique pour M, compte tenu de la composition de 
l'atmosphère martienne
fournie dans l'introduction de cette partie. Puis calculer H.

I.B.2) Déduction de la masse de l'atmosphère martienne

Q 9. Expliciter grâce au modèle précédent u(r) en fonction de r, R,,, H et 9 = 
u(R,,). On précisera
l'expression de w, en fonction de F,, M, kR et 1.

Q 10. Montrer que l'expression de la masse totale de l'atmosphère martienne -- 
d'extension infinie dans le
modèle étudié -- se met sous la forme suivante : m,:,, = Te 2H? +2HR,, + R° |. 
En déduire une expression
approchée, puis effectuer l'application numérique.

LB.3) Une estimation de l'épaisseur de l'atmosphère

La couche la plus externe de l'atmosphère d'un corps céleste est appelée 
exosphère. L'altitude minimale de
l'exosphère, appelée exobase, peut être choisie comme définition de l'épaisseur 
de l'atmosphère : on la note e.

L'exosphère se définit comme la région de l'atmosphère où la densité de 
particules est assez faible pour que
l'effet des collisions entre particules soit négligeable en comparaison de 
l'effet de leur cinétique. En particulier, le
libre parcours moyen des particules de l'atmosphère y est supérieur à la 
longueur caractéristique de décroissance

de la densité de l'atmosphère.

L'expression du libre parcours moyen d'une particule de l'atmosphère est donnée 
par {(M) = -- + W: où «a

est la taille typique des molécules formant le gaz et N, la constante 
d'Avogadro.

Q 11. Donner l'interprétation physique du libre parcours moyen. En proposer une 
estimation au niveau du
sol martien, que l'on notera £,. Commenter.

Q 12.  Exprimer e en fonction de {, et À en utilisant le modèle de l'atmosphère 
isotherme précédent. En
déduire une estimation de l'épaisseur de l'atmosphère martienne. Confronter le 
résultat à la valeur fournie dans
les données en fin d'énoncé.

IC --- L''échappement de l'atmosphère martienne vers l'espace

En 2013, la NASA a envoyé la sonde MAVEN qui est toujours en activité autour de 
Mars. Sa principale
mission est de mesurer quantitativement le taux de perte des composés 
atmosphériques qui s'échappent dans
le milieu interplanétaire afin de pouvoir extrapoler les taux d'échappement 
tout au long de l'histoire de la
planète. En novembre 2015, l'équipe scientifique de MAVEN a rendu publics des 
résultats montrant que les gaz
atmosphériques s'évaporaient dans l'espace au rythme de 100 g:s ! environ.

Les mécanismes ayant conduit l'atmosphère martienne à être ce qu'elle est 
aujourd'hui ne sont pas bien connus.
L'une des hypothèses avancées est que la faible gravité a entraîné la 
dispersion progressive des gaz légers de la
haute atmosphère vers l'espace.

Plusieurs hypothèses ont été proposées pour expliquer la perte de la majeure 
partie de l'atmosphère, il y a
environ 4 milliards d'années. En particulier, Mars aurait perdu son bouclier 
magnétique permettant alors au
vent solaire de balayer une grande partie de son atmosphère. De plus, 
d'importantes éruptions volcaniques ou
des impacts de météorites auraient éjecté les gaz atmosphériques vers l'espace.

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Aujourd'hui encore, d'autres processus continuent de faire évoluer la 
composition de l'atmosphère martienne.
Le phénomène d'échappement atmosphérique décrit la perte des gaz constituant 
l'atmosphère vers l'espace.
Plusieurs mécanismes peuvent contribuer à cet échappement, le principal 
paramètre d'influence étant la masse
de la planète Mars.

I.C.1) Processus d'échappement de Jeans

L'un des mécanismes d'échappement est celui dit de Jeans. Certaines molécules 
en provenance des couches
atmosphériques inférieures de Mars peuvent subir des réactions chimiques les 
transformant en atomes neutres
(N, H, O, etc). Lorsque ces réactions se produisent près de l'exobase, certains 
des atomes sont expulsés vers
l'exosphère. En effet, dans cette région, la densité est suffisante pour que 
des collisions se produisent, mais
elle est suffisamment faible pour que l'énergie acquise par les particules ne 
soit pas dissipée dans de nouvelles
collisions (thermalisation). Ainsi, ces atomes ont acquis suffisamment 
d'énergie pour s'échapper dans l'espace
interplanétaire : ils ont alors une vitesse supérieure à la vitesse de 
libération de l'atmosphère.

Ce phénomène peut s'observer également dans une moindre mesure pour les 
molécules.

Q 13. À l'aide des graphes fournis figure 2 et de données numériques dûment 
justifiées, indiquer quel est
le principal élément chimique qui subit l'échappement de Jeans. Conclure. De la 
même manière, justifier la
composition de l'atmosphère martienne actuelle.

0,003 £ -
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O LL Y S &
. Lo 's 5 à à
0 / \ ft. SLT È 10-75 1, 4 \
0 1000 2000 3000 4000 5000

Û 2000 4000 6000 8000 10000

v (m-s |) vu (m:s 1)

Figure 2 Gauche: distribution maxwellienne des vitesses, pour la
température 7, = 210 K. Droite : proportion des entités microscopiques de
masse molaire M, exprimée en g - mol }, ayant une vitesse supérieure à w.

IL.C.2) Modèle hydrodynamique de l'échappement
Cet échappement est un cas limite de l'échappement de Jeans. Les particules les 
plus légères entraînent les plus
lourdes dans l'espace interplanétaire. Il a joué un rôle important au tout 
début de l'histoire de la planète Mars.
L'équation de Navier-Stokes dans le contexte d'un fluide autour de la planète 
Mars est de la forme

OÙ HN --?,

-------- _
Li gr + (V:ærad)v = -- grad P + mA v--

Gum,, --
u
T2 .

en tenant compte de la gravitation, explicitée en coordonnées sphériques, où 
est encore la masse volumique
de l'atmosphère, G la constante de gravitation universelle et m,, la masse de 
la planète Mars.

Pour la suite, on modélise l'atmosphère martienne, là où elle est suffisamment 
dense, par un gaz parfait en
écoulement parfait et stationnaire. On suppose la température uniforme au sein 
du fluide : elle est égale à la
température moyenne 7, au niveau du sol martien. L'écoulement est considéré 
unidimensionnel : le champ des
vitesses est de la forme v (M) = v(r) u en coordonnées sphériques avec v(r) > 
0. La pression P au sein du
fluide ne dépend que de la coordonnée radiale r, ainsi que sa masse volumique y.

On note d(r) la distance moyenne entre deux particules de l'atmosphère 
martienne et n*(r) la densité volumique
de particules.

Q 14. Indiquer le lien, en ordre de grandeur, entre n*'(r) et d(r). En déduire 
une relation entre u(r), d(r),
N,et M.

Q 15. En comparant la distance caractéristique d(r) entre particules et la 
taille caractéristique de l'écou-
lement e, indiquer dans quelle zone de l'atmosphère martienne ce modèle continu 
est de nature à donner des
résultats pertinents. Dans cette question, on pourra se contenter d'utiliser le 
modèle de l'atmosphère isotherme
en équilibre.

Q 16. Déterminer l'équation différentielle reliant les champs vw(r), P(r) et 
y(r).

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Q 17. En déduire, en éliminant le champ de pression P(r), une nouvelle équation 
différentielle ne faisant
apparaître plus que les champs des vitesses de l'écoulement v(r) et de masse 
volumique u(r) de l'atmosphère.

Q 18. Montrer que le produit u(r)v(r)r est une constante de l'écoulement 
modélisé. On ne se préoccupera
pas de la valeur de cette constante.

Q 19. En déduire que l'équation différentielle vérifiée par v(r) se met sous la 
forme :

1 du f v° 10 1  r* (1)
v dr \ c? _ Tr Tr? |
pour laquelle on exprimera les grandeurs EUR et r*.

Q 20. Vérifier la cohérence des expressions des grandeurs c et r* obtenues à la 
question précédente en termes
de dimensions. Déterminer leurs valeurs numériques.

La distance r* correspond à une distance critique dans ce modèle. On adopte 
pour la suite une approche simplifiée

1 dv

en se concentrant uniquement sur les solutions du problème pour lesquelles ++ 
ne s'annule pas pour r = 7".

On ne se préoccupera pas des autres solutions mathématiques possibles.
Q 21. Déterminer u(r*).

Le débit massique d'échappement atmosphérique de Mars, de 100 g:s ! environ, a 
été mesuré par la sonde
MAVEN à une altitude de 150 km environ. Elle a également mesuré une masse 
volumique de 2 x 107{° kg-m *
à cette altitude.

Q 22. Évaluer la contribution hydrodynamique au débit massique d'échappement 
atmosphérique de Mars
donnée par le modèle qui précède. Conclure.

II Constitution d'une atmosphère martienne

IT. À --- Conditions de température et de pression attendues sur Mars

Terraformer, c'est aussi changer la température sur la planète à coloniser. 
Avec une température moyenne de
210 K, l'eau liquide n'est quasiment pas présente à la surface de la planète 
Mars. On va étudier dans quelle
mesure l'atmosphère peut permettre, par effet de serre, une augmentation de la 
température.

On rappelle la loi de Stefan-Boltzmann qui donne la puissance émise par unité 
de surface d'un corps noir à la
température T': p, = oT* où o& = 5,67 x 10 * W:m ?°.K'#.

De même, on rappelle la loi du déplacement de Wien qui permet de prédire la 
longueur d'onde pour laquelle

5

la densité spectrale de puissance du rayonnement thermique émis par ce corps 
est maximale : À = 7%, avec

8 = 2,90 x 10 * m-K. Dans la suite, on pourra considérer que ce rayonnement est 
monochromatique.

Les puissances surfaciques sont indiquées par des p minuscules, les puissances 
totales, par des P majuscules
caligraphiés. On repère par un premier indice, s ou m, les grandeurs relatives 
respectivement au Soleil ou à
la planète Mars : un second indice, i, e ou à, indique respectivement si la 
puissance est incidente, émise ou
absorbée.

IL.A.1) Détermination de la température d'équilibre en l'absence d'atmosphère

En l'absence d'atmosphère, la principale source d'énergie permettant au sol 
martien d'atteindre sa température
d'équilibre, notée 7}, est le rayonnement solaire. On suppose que 7,,, est 
uniforme en tout point de la surface
de Mars.

Dans ce modèle, on considère que le sol de Mars n'absorbe pas la totalité de la 
puissance du rayonnement solaire
incident, notée ?,, ;. Il en réfléchit une partie, notée P selon la loi ?,,, = 
a ?,,; où la constante à, appelée
albédo de Bond de la surface de Mars, vaut 0,25.

Q 23.  Exprimer la puissance totale émise par la surface du Soleil, notée P...

m1?

Q 24.  Exprimer la puissance moyenne surfacique reçue par le sol martien, p,,;, 
au niveau de l'orbite de
Mars.

Q 25.  Exprimer la puissance totale absorbée par la planète, notée P,,, ..

Q 26.  Exprimer la puissance émise par la planète, notée P,,..

Q 27. Justifier que la puissance absorbée doit être égale à la puissance émise, 
puis en déduire l'expression et
la valeur de la température d'équilibre 7, pour la surface de Mars en l'absence 
d'atmosphère. Commenter.
II.A.2) Utilisation du modèle de l'effet de serre

On considère que le sol martien absorbe toujours une fraction du rayonnement 
solaire incident selon la loi
indiquée dans la sous-partie précédente. Par contre, on admet qu'il absorbe 
totalement le rayonnement atmo-
sphérique. On note 7°, la nouvelle température d'équilibre de la surface du sol 
martien, supposée uniforme.

Quant à l'atmosphère, elle peut être modélisée par une fine couche de gaz 
(épaisseur e & R,,) totalement
transparente aux rayonnements électromagnétiques, sauf aux infrarouges pour 
lesquels elle absorbe une fraction EUR
des rayonnements. On suppose que l'atmosphère, homogène, possède une 
température uniforme notée 77.

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On néglige tout phénomène de réflexion du rayonnement par l'atmosphère.

Q 28. Indiquer à quel domaine du rayonnement électromagnétique correspond le 
rayonnement émis par le
Soleil. Préciser également à quel domaine du rayonnement électromagnétique doit 
correspondre le rayonnement
émis par le sol martien.

Q 29. En respectant les conventions de notations adoptées, réaliser un schéma 
faisant apparaître les puis-
sances surfaciques incidentes, absorbées et émises par la surface du sol 
martien et par son atmosphère.

Q 30. À partir de deux bilans de puissances, déterminer la température 
d'équilibre du sol martien. 17, en

présence d'une atmosphère en fonction de P,,, @, EUR et r,,, puis en fonction 
uniquement de 7, et EUR.

Q 31. Calculer la valeur du coefficient d'absorption EUR qu'il faudrait pour 
obtenir une température moyenne
au sol de 298 K sur Mars. Commenter le résultat.

Q 32. Déterminer la température d'équilibre du sol martien maximale 
envisageable en supposant que l'on
soit capable d'optimiser les coefficients à et EUR. Conclure.

II.B --- Transfert de masse depuis la ceinture d'Astéroides

Pour constituer une atmosphère martienne suffisante, on imagine récupérer la 
masse nécessaire depuis la ceinture
d'astéroïdes. Il s'agit d'une région du Système solaire, distante (en moyenne) 
de r,.. du Soleil, située entre les
orbites de Mars et de Jupiter. Elle contient des astéroïdes dont la taille 
varie du grain de poussière au planétoïde
de quelques centaines de kilomètres de diamètre. Sa masse totale est estimée à 
3 x 1021 kg.

La composition typique d'un astéroïde (en fractions massiques) est la suivante :

-- silicates (dioxyde de silicium, SiO2 et autres oxydes métalliques) : 85 % :
-- eau: 11 %:

-- carbone : 2 %:

-- métaux divers : 2 %.

II.B.1) Détermination de la masse d'astéroïdes nécessaire à la constitution 
d'une atmosphère
suffisante

Pour des questions d'habitabilité de la planète, on souhaite se limiter à une 
pression maximale de 1 bar.

Q 33.  Ense plaçant dans le cadre du modèle de l'atmosphère isotherme à 
l'équilibre, calculer la masse totale

de l'atmosphère m',, correspondant à cette valeur limite de pression.

Q 34.  Estimer la masse d'astéroïdes, notée m
former une atmosphère de masse m°

At à déplacer depuis la ceinture d'astéroïdes dans le but de

im Composée majoritairement de dioxyde de carbone.

II.B.2) À propos du transfert d'un astéroïde

On envisage d'amener un astéroïde de la ceinture depuis son orbite circulaire 
de rayon r,. jusqu'à l'orbite
martienne, ces deux orbites étant coplanaires. On considère pour la suite 
l'astéroïde Patientia, de masse m,, --
1 x 101° kg, que l'on assimilera à un point matériel M. On imagine le faire 
passer par une demi-ellipse de
transfert, dite de Hohmann, dont le périhélie P (point au plus près du Soleil) 
se trouve sur l'orbite martienne
et l'aphélie À (point le plus éloigné) sur la ceinture d'astéroïdes.

Q 35. Réaliser un schéma légendé précisant les orbites et la demi-ellipse de 
transfert en jeu. Les points À
et P seront indiqués, ainsi que le centre S du Soleil.

Q 36.  Rappeler et justifier les deux lois de conservation usuelles dans le 
cadre de l'étude mécanique d'un
point matériel en mouvement dans un champ de force centrale conservatif.

Q 37. Déterminer une expression de l'énergie mécanique ÆE,,, que possède 
l'astéroïde Patientia, relativement
au référentiel héliocentrique d'étude galiléen, lorsqu'il est en orbite 
circulaire au niveau de la ceinture.

On s'intéresse à présent à la trajectoire de Hohmann. Il s'agit ici de trouver 
une expression de l'énergie mé-
canique Æ,, de l'astéroïde Patientia en mouvement sur la demi-ellipse 
correspondante. Le point M sur cette
trajectoire est repéré par ses coordonnées polaires d'origine au centre $ du 
Soleil.

--
Q 38.  Expliciter le vecteur vitesse Y du point M et son vecteur moment 
cinétique L par rapport au centre S

en coordonnées polaires. Exprimer ensuite le moment cinétique en fonction de la 
constante des aires notée C!.

1

Q 39. Mettre E,, sous la forme E,, = 3m, + E,y(r) et donner l'expression de 
E,yg(r).

Q 40. En utilisant le résultat de la question précédente, obtenir la relation 
donnant l'énergie mécanique E,,
de l'astéroïde Patientia sur la trajectoire de Hohmann en fonction de son 
demi-grand axe à, ainsi que de G, m,
et m..

Le passage de l'astéroïde de l'orbite de la ceinture à la trajectoire de 
Hohmann s'effectue en lui appliquant une
brusque variation Av de la valeur de sa vitesse.

Q 41. Indiquer, avec justification, si ce passage correspond à une diminution 
ou à une augmentation de
l'énergie mécanique de l'astéroïde.

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Q 42.  Exprimer Av en fonction des différentes données de l'énoncé. En faire 
une application numérique.
On imagine disposer d'un engin à réaction que l'on arrimerait à l'astéroïde 
Patientia pour réaliser l'opération
précédente de brusque variation Av de la valeur de sa vitesse. Cet engin 
disposerait d'un propulseur performant
capable d'éjecter de la matière à une vitesse v, = 1 x 10%m:s ! par rapport à 
lui. On néglige la rotation propre
de l'astéroïde.

Q 43. Montrer, par une approche quantitative, qu'une telle démarche pour 
effectuer l'opération de transfert
de l'astéroïde Patientia sur la trajectoire de Hohmann souhaitée n'est pas 
vraiment envisageable.

La faisabilité de la terraformation de Mars continue de faire l'objet de débats 
et de recherches scientifiques,
même si la réussite d'une telle entreprise nécessiterait certainement des 
efforts considérables.

Données et formulaire

Caractéristiques de la planète Mars :

Rayon moyen de l'orbite martienne autour du Soleil Ton 2,28 x 10° km
Rayon moyen de la planète Mars kR 3,39 x 10° km
Masse de la planète Mars Mn 6,42 x 10% kg
Température à la surface de Mars To 210 K
Pression à la surface de Mars F 600 Pa
Altitude moyenne de l'exobase (hors tempêtes de poussière) e 2,20 x 10° km
Caractéristiques du Soleil :
Rayon moyen du Soleil R, 6,96 x 10° km
Masse du Soleil ms 1,99 x 10*° kg
Température de surface du Soleil T', 0118 K
Ceinture d'astéroïdes :
Rayon moyen de la ceinture d'astéroides last 4,6 x 10$ km

Autres données utiles :
Constante de gravitation universelle G 6,67 x 10 1 m°-kg ls *À

Constante des gaz parfaits R 8,314 J-K !-mol |
Constante d'Avogadro N, 6,02 x 10*% mol !
Masse molaire du carbone M 12 g-mol !
Masse molaire de l'oxygène Ms 16 g-mol !
Masse molaire de l'argon M,, 40 g-mol !
Masse molaire de l'azote M\ 14 g-mol !

Des opérateurs vectoriels en coordonnées sphériques :

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Li) & gd] (s0 &) = 9 0 à

Quelques intégrales : | u exp(--u) du = 2 et | uexp(--u) du = 1.
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