e3a Physique PC 2006

e :3 a
CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PC
durée 4 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale 
sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il 
est

amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Remarques préliminaires importantes. Il est rappelé aux candidat(e)s que :

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre que
les développements analytiques et les applications numériques.

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions.

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par les candidat(e)s.

Un défi métrologique : la détection des ondes gravitationnelles

Le théorie d'Einstein de la relativité générale prévoit l'existence de 
phénomènes
ondulatoires associés aux champ de gravitation : les ondes gravitationnelles 
Depuis leur
prédiction, en 1916 par EINSTEIN, aucune expérience n'a permis de détecter 
directement ces
ondes. Les effets attendus sont en effet extrêmement faibles : en pratique, il 
faut déceler une
variation de longueur avec une précision de l'ordre de 10"! Une telle 
précision, autrefois
inimaginable, semble aujourd'hui accessible à l'aide d'intefiéromètres de 
MICHELSON de très
grandes dimensions (bras de plusieurs kilomètres). Les difficultés restent 
considérables, mais
plusieurs installations sont en voie d'achèvement, tels les projets LIGO aux 
Etats-Unis et VIRGO
en Europe ; elles devraient bientôt fournir leurs premières observations.

2

La première partie de ce probléme aborde le principe physique de la méthode de
détection envisagée ainsi qu'un des moyens permettant de s'affranchir des 
fluctuations de
puissance du LASER utilisé. La deuxième partie s'intéresse à l'aspect mécanique 
d'un des
systèmes, physiques, source d'ondes gravitationnel/es susceptibles d'être 
détectées. Les deux
parties sont totalement indépendantes entre elles.

Aucune connaissance de la théorie de la relativité d'Einstein n'est nécessaire 
à la
résolution du problème.

Données physiques :
- constante dela gravitation : G : 6,67.10"11 (SI)
-- vitesse dela lumière dans le vide : C = 3.108 m.s'1

Conventions générales :

Le nombre complexe de module 1 et d'argument +---Ë-- sera noté j.

Les grandeurs sinusoïda/es seront représentées en notation complexe. Par 
convention, la
grandeur complexe associée à une grandeur réelle de la forme g(t) : go cos(oet 
+ up) sera

désignée par une lettre soulignée notée _g_ : go exp[ j(wt + «p)].
Conventions relatives au signal lumineux :

Une onde lumineuse monochromatique de pulsation an est caractérisée par un 
signal
lumineux 8, dont la représentation complexe en un point M donné est de la forme

_s_(M,t) : a exp[j(oet --kp(M))] où a est l'amplitude (constante) de l'onde et 
kp(M) sa
phase au point considéré.
L'éclairement ! associé est relié au signal s_ par l = |s_|2.

... PREMIÈRE PARTIE

DISPOSITIF INTERFERENTIEL ET METHODE DE DETECTION

A --- lnterfér0mètre de Michelson

1. lnterférences entre deux ondes monochromatiques cohérentes

Etudions la superposition de deux ondes lumineuses monochromatiques, de même
pulsation U), de même amplitude a. Au point M considéré, l'onde 1 posséde une 
phase

&p1 (M) et l'onde 2, une phase kp2 (M ).

A1*a. Exprimer le signal lumineux complexe s(M,t) résultant de la superposition 
de ces deux

ondes au point M , en fonction de a, au, t, &p1(M) et &p2 (M).

A1*b. Montrer que I'éclairement observé en M peut s'écrire sous la forme
[(M) = 2/0 [1+cos@æ(M)--«...(M))], et exprimer IO en fonction de a. Quel est

le sens concret de IO ?

3

A1*c. Posons ô£p(M) : Lp2(M) -- kp1(M). Quelle condition doit vérifier ÔLp(M) 
pour que
soit observé en M un maximum d'éclairement ? A quelle condition sur ôtp(M)
l'éclairement est-il minimal en M ?

2. Source monochromatique

La figure 1 représente le dispositif intefiérentie/ utilisant un lnterféromètre 
de MICHELSON :

La séparatrice, S, inclinée de 45° par rapport M2 ,,
aux miroirs M1 et M2 est idéalisée : il est C

admis qu'elle n'introduit aucun déphasage
supplémentaire. L'interféromètre est supposé S \
réglé en «lame d'air», ce qui signifie que les LASER

deux miroirs sont parfaitement perpendiculaires. A

Les « bras » de l'interféromètre ont pour
longueurs d1= AB et d2 : AC. Notons M1

60 =2(d2 "'d1).
Le bras 2 a une lon ue r f' ée, noté d = L.

_ _ g ,. U IX , e 2 . Détecteur
Le mrrorr M1 peut etre translate (lors d'un

« char rotage »)- Figure 1 : lnterféromètre de MICHELSON

Le LASER utilisé comme source émet
un faisceau très fin, parfaitement perpendiculaire à M1, de sorte que les deux 
faisceaux qui

émergent de I'interférome'tre sont exactement superposés sur le détecteur.

Le LASER est tout d'abord supposé parfaitement monochromatique, de longueur 
d'onde
dans le vide >\ = 1, 06 pm.

L'éclairement reçu parle détecteur lorsque l'un des miroirs est occulté, est 
noté IO.

A2*a. A quelle condition sur 60 dit-on que l'interféromètre de MICHELSON est au 
contact optique

? Décrire brièvement comment procéder, avec les interféromètres utilisés en 
Travaux
Pratiques, pour déterminer précisément le contact optique.

A2*b. Exprimer l'éclairement I(ôo) reçu parle détecteur, en fonction de lo, >\ 
et 60.

La théorie d'EINSTE/N de la relativité générale prévoit qu'une onde 
gravitationnelle
provoque une variation de la longueur relative des bras, ce qui se traduit par 
un changement de
différence de marche entre les deux signaux optiques qui intefièrent.

En présence d'un onde gravitationnelle, la différence de marche entre les deux 
ondes
optiques au niveau du détecteur devient : 6 = 60 + Le, où a est appelée 
amplitude de l'onde
gravitationnel/e. C'est une quantité extrêmement petite, dont l'ordre de 
grandeur attendu est

e=10"21.

A2*c. En effectuant un développement limité au premier ordre en &, déterminer 
la variation
d'éclairement (Al )09 = I (6) ---- I (60) induite par l'onde gravitationnelle 
en fonction de lo,

60, L, >\ et EUR.

Tournez la page S.V.P.

A2*d. L'éclairement IO étant donné, comment faut-il choisir 60 pour que la 
variation
d'éclairement (Al )09 soit aussi grande que possible en valeur absolue ?

A2*e. Pour améliorer la sensibilité de détection, il est intéressant de choisir 
une longueur L très
grande. (pour les applications numériques, prendre L = 100 km) '

(Al)og
lo

maximale attendue pour

Déterminer numériquement la variation relative
e=1O"21.

3. Influence de la largeur spectrale du LASER

Dans cette question, le LASER n'est plus une source parfaitement 
monochromatique,
mais possède une largeur spectrale non nulle. Le LASER est considéré comme la 
superposition
de sources quasi monochromatiques de pulsations w, et l'éclairement spectral en 
pulsation sera

désigné par IOw .
Plus précisément, si l'un des miroirs de l'intefiérométre est occulté (donc si 
une seule
onde lumineuse parvient au détecteur}, les composantes de pulsation comprise 
dans l'intervalle

[w, w + du] donnent sur le détecteur un éclairement : dlo : IO... du).

Considérons un LASER possédant un profil spectral rectangulaire en pulsation, 
de largeur
Aw, centré sur la pulsation wo, dela forme :

Io... : K(00nstante), si 0) & [wo ---ê-2æ,w0 +---A--2--LÏ} et lo... : 0, si w & 
[ooo ----%£,wo +Ê-2--UÏ].

A3*a. Pourquoi est-il légitime de sommer les éclairements associés à des 
signaux de pulsations
différentes ? Exprimer l'éclairement total IO reçu par le détecteur, si l'un 
des miroirs est

occulté, en fonction de K et Aou.

A3*b. Supposons que la différence de marche entre les deux ondes est 6 . Si 
aucun des miroirs
n'est occulté, exprimer l'éclairement dl associé aux composantes de pulsation 
situées

dans l'intervalle [po, ou + dw], en fonction de mo, 6, IO, Aw et dw.

A3*c. En déduire que l'éclairement l(ô) au niveau du détecteur est de la forme :

[(b) = 2Iä1+V(ô)cos(%--ôfl, et exprimer V(ô)en fonction de Au), 6 etc.

Que vaut V(ô) si Aoe == 0 ? Commenter ce résultat.

A3*d. Quelle est la signification concrète du paramètre |V(ô)| ?

Pour une valeur donnée de la largeur Aw, représenter |V(ô)| en fonction de 6, en
faisant apparaître les points remarquables.

A3*e. Justifier que le phénomène d'interiéoences n'est plus décelable si la 
différence de marche
6 est nettement plus grande, en valeur absolue, que la longueur caractéristique

27rC
EUR : ------------- .
C Aw

' En réalité, les miroirs et la séparatrice sont distants de « seulement » 
quelques kilomètres (trois
kilomètres pour le projet européen VIRGO), mais la longueur effective des bras 
est allongée à
l'aide d'un dispositif optique (interféromètre de Fabry--Pérot) qui ne sera pas 
étudié ici.

5

Dans I'interféromètre réel, il est difficile de garantir que les longueurs2 des 
deux bras sont
identiques à mieux que quelques mètres près. La différence de marche exacte de

I'interférome'tre, 60 n'est donc pas connue précisément ; en tout état de 
cause, elle est inférieure

A3*f. Déterminer en fonction de ôO,max un ordre de grandeur de la largeur Awmax 
maximale
permettant d'observer des interférences pour 6 : ôO,max- Estimer numériquement

AWmax
wo

Admettons désormais que la largeur spectrale du LASER vérifie Aoe << Awmax, ce qui autorise à le considérer comme parfaitement monochromatique ; les résultats dela sous--partie 2. peuvent donc être appliqués. B - Prise en compte des fluctuations de puissance du LASER 1. Influence des fluctuations de puissance La puissance du LASER n'est en fait pas rigoureusement constante au cours du temps, mais a tendance a fluctuer de façon aléatoire, ce qui fait varier la quantité IO. B1*a. Sous l'effet d'une fluctuation de puissance, l'éclairement IO devient IO+AIO. En supposant que a = O, déterminer la variation correspondante d'éclairement détecté, (Al)fluC en fonction de AIO, 60 et >\.

B1*b. Comment doit--on choisir 60 pour que le signal détecté soit aussi 
insensible que possible

aux fluctuations de puissance du LASER ? Comparer ce choix à la condition de 
détection
optimale des ondes gravitationnelles établie au A2*d. et commenter.

2. Dispositif de Poum: DREVER HALL

Le montage est modifié en intercalant sur chacun des bras une lame de verre, 
comme
indiqué sur la figure 2:

M2 ' '
9 $ -- "2
d2

S "1 *=

LASER .
. È

d, é_)
e M

' Détecteur

Figure 2 : Méthode de Pound Drever Hall

2 Il s'agit, rappelons-le, de longueurs effectives (voir note 1).

Tournez la page S.V.P.

Les indices de chaque lame, respectivement n1 et n2 sont a priori différents. 
Chaque

lame posséde exactement la même épaisseur e. Le dispositif fonctionne en 
présence d'une
onde gravitationnelle d'amplitude & .

BZ*a. Exprimer la nouvelle différence de marche 6 au niveau du détecteur en 
fonction de
n1, "2, 60, L, EUR et e.

Les lames de verre sont en fait constituées d'un matériau dont l'indice de 
réfraction peut
varier de façon contrôlée. Imposons ainsi a n1 et n2 une variation sinusoïdale 
au cours du

temps, àla pulsation Q, selon: n1(t) : n -- a0 cos(Qt) et n2(t) : n + ao 
cos(Qt), où ao
est une constante.

BZ*b. Montrer que l'éclairement peut s'écrire : I = 2/0 [1 + cos( CDD + oæ: + 
2m cos( Qt))] ,

et exprimer les constantes (DO, 0t et m en fonction de paramètres choisis parmi
>\, L, ao, e et 60.

3. Filtrage du signal détecté -- choix du filtre

En « chariotant » le miroir M1, l'interférométre est placé en position de « 
frange sombre »,

ce qui correspond à (D0 = 'lT+ 2kn, où k est un entier. Il est alors possible 
de montrer (calcul
non demandé) que, si m << 1, l'éclairement dépend du temps selon la loi : l(t) ; IO [m2 + 2moeoeos(Qt) + m2 cos(2£2t)]. La chaîne de détection utilisée transforme ensuite l'éclairement reçu par le détecteur en une tension Vd(t) proportionnelle à I (t) : Vd (t) = N I (t). B3*a. Expliquer le type de filtrage qu'il convient de faire subir à Vd(t), pour en extraire la composante proportionnelle à EUR . Le filtre utilisé est modélisé parle circuit représenté sur la C figure 3, dans lequel l'amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire. k est une constante positive. B3*b. Déterminer sans calcul la nature de ce filtre. ve î B3*c. En se plaçant en régime sinusoïdal établi de pulsation B, montrer que la fonction de transfert Figure 3 : Filtre V du montage L--I_ = --\7î peut se mettre sous la forme ___e_ H_ : --------------H--Q--------1----, où x : --â----- et H0, QD et Q sont des constantes à exprimer en 1 + jQ( x ---- ;) ° fonction de R, C et k. B3*d. Définir le gain en décibel associé, noté Gua- Représenter le diagramme de BODE en amplitude : GdB en fonction de log( x ). Pour le tracé, supposer Q = 10, et préciser : - les asymptotes du diagramme (pente et ordonnée à l'origine), - la valeur du gain GdB en x = 1. 7 B3*e. Définir et déterminer la largeur de la bande passante du filtre à -3 dB en fonction de Q et QQ. La tension d'entrée du filtre est en fait la tension délivrée par la chaîne de détection : Ve(t) =Vd(t)° B3*f. A quelle condition entre 0.0 et Q le filtre étudié est--il le mieux adapté pour extraire la composante « gravitationnelle » du signal Vd (t) '? 4. Résultat du filtrage B4*a. La condition du 83*f est supposée remplie. Montrer que le signal de sortie Vs(t) est en fait la somme de deux composantes sinusoïdales de pulsations Q et 2Q, dont les amplitudes, notées respectivement AQ et A20, seront précisées en fonction de 'ï, Io, ..., OL, EUR, Q et H0. La tension de sortie VS ( t) est elle-même filtrée pour obtenir une tension finale constante, dépendant de ID et &, qui s'exprime sous la forme : V(I0,E) : bA2Q + Ag. B4*b. Exprimer la variation (AV )fluC : V(IO + AIO,O) ---- V(IO,O) associée à une fluctuation AIO de l'éclairement du LASER, en fonction de AIO, m, b, «{, Q et H 0- Déterminer la variation (AV)Og = V(Io,e) --V(IO,O) associée à une onde gravitationnelle d'amplitude EUR en fonction de «(, IO, &, m et OL et HD. B4*c. Pour un LASER et un interféromètre donnés, proposer un choix des paramètres de la (AV )Og chaîne de détection et de filtrage pour améliorer le rapport ... . (Av)fluc Est--il vraiment intéressant de prendre une valeur de m très petite ? . . , . (Av)og . _ Application numerique : Calculer ------------------------ avec les valeurs survantes . (Av)fluc %--®--=10"5 , m=0,1 , b=10"2 , d=5,9.1011 , Q=1O , e=10"21, 0 Peut-on détecter les ondes gravitationnelles malgré les fluctuations de puissance du LASER ? Tournez la page S.V.P. 8 Plutôt que d'utiliser le circuit de la figure 3, il est courant d'employer un filtre modifié, dont le diagramme de Bode est représenté sur la figure 4, ci--dessous : GdB "' GdBmax log ( --â----) log(2) ° j,..À'1 iii-AIM "ZE---- Fi ure 4 : Ré anse ex érimentale du filtre réel ro'et LIGO En pratique QQ : 1,6 >< 108 rad.s" ; GdB (2Q0 ) : GdB,max ---- 43 dB GdB,max est le gain maximum du filtre B4*d. Pourquoi le montage réel est--il mieux adapté au filtrage désiré que le filtre étudié auparavant ? En supposant que le reste de la chaîne de détection et de filtrage n'est pas (AV) . - : , , - O - r - modifie, evaluer numenquement le rapport "(_--ÂÎ/Î--g-- obtenu avec le filtre reel, pws fluo conclure. DEUXIÈME PARTIE RAYONNEMENT GRAVITATIONNEL PAR UN SYSTEME DE DEUX ETOILES A NEUTRON Parmi les sources d'ondes gravitationnel/es, l'effondrement d'un système binaire d'étoiles à neutrons est l'un des phénomènes que l'on pense détecter à l'aide de l'interféromètre décrit en première partie. Nous étudierons les aspects mécaniques de ce phénomène, dans le cadre simplifié dela dynamique Newtonienne. Le référentiel d'étude ( R ), est supposé gali/éen. 1. Point matériel en rotation autour d'un astre Considérons dans cette question un astre A de masse M , supposé immobile dans (R), autour duquel gravite un petit objet S de masse m << M. Désignons par G la constante de gravitation universelle et notons r : AS et e: : --'--Aî--rê. 9 Rappeler l'expression de la force de gravitation subie par S de la part de A. Montrer que cette force dérive d'une énergie potentielle Ep(r) qui sera exprimée en prenant l'origine de l'énergie potentielle à l'infini. Montrer que le moment cinétique de S relativement au point A dans (R), noté ZA/(R), est un vecteur constant. En déduire que la trajectoire de S est située dans un plan passant par A. Admettons pour simplifier que le point 8 ait une trajectoire circulaire de rayon R, avec une vitesse angulaire de rotation w. Exprimer ou en fonction de G, M et R. Rappeler l'énoncé de la 3eme loi de KEPLER relative à la période de rotation des satellites autour d'une étoile. Démontrez explicitement cette loi dans le cas d'une trajectoire circulaire. _GMm Montrer que l'énergie mécanique du système s'écrit : Em : ÎR_' Commenter le signe de cette énergie. 2. Système binaire : Point matériel fictif Considérons désormais l'ensemble formé par deux étoiles A1 et A2, de masses identiques M , en interaction gravitationnelle. Cet ensemble est supposé mécaniquement isolé. 2*a. 2*b. 2*d. 2*f. Justifier que le barycentre B des deux étoiles est animé dans (R) d'un mouvement rectiligne uniforme (la norme de sa vitesse dans (R) sera notée VB ). Définir le référentiel barycentrique du système des deux étoiles. Ce référentiel est-il galiléen ? Montrer que, dans le référentiel barycentrique, le mouvement du point F défini par BF : A1A2 est celui d'un point matériel fictif, qui est soumis a la même force que celle qui agit sur A2 et dont on exprimera la masse u en fonction de M . Dans le référentiel barycentrique, le point F est animé d'un mouvement circulaire de rayon R de centre 8. Déterminer la vitesse angulaire tu de ce mouvement en fonction de G, M et R. Soit un système de deux étoiles à neutron de masses M : 2,8."l030 kg. Peu de temps avant l'effondrement, elles ont une période de rotation très faible T = 0,1 8. Déterminer numériquement la distance qui sépare ces deux étoiles. Déterminer la norme de la vitesse VA des étoiles dans le référentiel barycentrique. Décrire les trajectoires des deux points A1 et A2 dans le référentiel barycentrique. lllustrer à l'aide d'une représentation graphique. Tournez la page S.V.P. 10 3. Energie mécanique du système 3*a. Exprimer l'énergie cinétique dans (R) du système des deux étoiles en fonction de M , v3 et de l'énergie cinétique EC * du système dans son référentiel barycentrique. 3*b. Dans le cas où le mouvement de F est circulaire dans le référentiel barycentrique, exprimer l'énergie cinétique EC * du système des deux étoiles en fonction de w, M et R . 3*c. Exprimer l'énergie mécanique E... du système des deux étoiles dans le référentiel (R), en fonction de M, G, R et VB. 4. Effondrement du système binaire Le système binaire des deux étoiles A1, A2 est la source d'ondes gravitationnel/es, qui transportent une certaine énergie. Un calcul de relativité générale montre que la puissance ainsi « rayonnée » s'écrit, dans le référentiel (R) : POg : K M2R4oe6, où K est une constante s'exprimant en fonction de G et c 86 (vitesse dela lumière dans le vide) sous la forme : K = g------5--. c L'émission de ces ondes n'affecte pas la vitesse VB du barycentre. Du point de vue mécanique, l'émission des ondes gravitationnel/es peut être modélisée par une force non conservative agissant sur le système des deux étoiles, avec une puissance -------Pog . 4*a. Qu'est ce qu'une force non conservative ? dEm ""a--{"' et Pog ? Quelle est la conséquence de cette perte d'énergie sur la distance R entre les deux étoiles ? Quelle relation existe--HI entre Le rayon R de la trajectoire est désormais considéré comme une fonction R(t)du temps et il est admis que l'expression Em de l'énergie mécanique déterminée au 3*c. reste valable. dR_ oc ÜÎ _ "Ré--' et exprimer d en fonction de K, G et 4*b. Montrer que R varie selon une loi : M . 4*c. Au temps t = 0, la distance entre les étoiles est R(t : O) = R0. Déterminer R(t)en fonction de R0, t et OL. Représenter graphiquement l'allure de la trajectoire de l'une des deux étoiles dans le référentiel barycentrique. 4*d. 5*b. 11 Les deux étoiles à neutron sont assimilées à des sphères de diamètre (très faible) a = 20 km. Déterminer, en fonction de R0, a et OL le temps tC au bout duquel les deux étoiles entrent en contact. Exprimer en fonction de G, M et a, la vitesse angulaire de rotation wc atteinte par le système à l'instant tc. Application numérique: Calculer tC et wc sachant que RO =4,6.105m et M =2,8.1030kg. dR dt << Rw est Justifier que le modèle précédent n'est valable que si la condition réalisée. Cette condition est-elle vérifiée jusqu'à l'instant de contact '? 5. Aspect énergétique Déterminer la puissance gravitationnelle rayonnée, Pog(t), en fonction de t, cx, RO, K, M et G. Représenter graphiquement P0g(t). Une fois le contact réalisé, l'émission de l'onde gravitationnelle cesse. Exprimer la puissance maximale, notée POQ,max rayonnée par le système sous forme d'onde gravitationnelle, en fonction de K, G, M et a. Comparer à la puissance électromagnétique totale émise par notre Soleil PSD, : 4,5.1026W. Déterminer l'énergie totale EOQ rayonnée sous forme gravitationnelle entre les instants t = 0 et tc, en fonction de G, M, R0 et a. FIN DE L'EPREUVE Tournez la page S.V.P.