Mines Physique 1 PC 2002

J. 2072

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2002
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC
fl)urée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

Physique I ---- Filière PC
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, 
même lorsque
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des

qualités de rédaction de la copie.
. Les vecteurs sont notés en gras.

SÉPARATION ISOTOPIQUE

Les problèmes A et B de cette épreuve peuvent se traiter indépendamment l'un de 
l'autre.

A. Séparation par résonance cyclotron ionique

Partie I : Mouvement d'un ion dans un champ magnétique uniforme

Les vitesses des diverses particules considérées ici seront très inférieures à 
celle de la lumière.
Les données suivantes (notations standard) serviront dans plusieurs questions 
(u.m.a = unité de masse
atomique).

_ électron : 9,11><10"31 kg 1 eV : 1,60 >< 10"19 J 1u.m.a. = 1,66 >< 10"27 kg "7235 U+ : 235 u.m.a. "7238.U+ : 238 u.m.a. #0 : "%7%3 X10_7 H.m-l 172 Page 1/7 Tournez la page S.V.P. Physique 1 -- Filière PC - 2002 On étudie le mouvement d'une particule chargée de masse m, de charge q et de vitesse v dans un champ magnétique uniforme et stationnaire BO : BO uz (Bo > 0) orienté 
selon l'axe

Oz d'un référentiel galiléen muni d'une base orthonormée (ux,uy,uz). Les 
composantes de

la vitesse dans ce référentiel sont notées % vy et VI.

Cl 1 -- Écrire l'équation fondamentale de la dynamique dans ce référentiel. On 
obtient un
système différentiel couplé, reliant % v y, v: et leurs dérivées premières.

Cl 2 -- En déduire l'équation différentielle du deuxième ordre portant sur vx. 
On introduira la

. "1 |Bo q
pulsation cyclotron a),, = et 8 = .
(" El

Cl 3 -- Donner la solution du système de la question ], sachant que les 
composantes de la
vitesse à l'instant t= 0 sont vx (O) : vl > 0, vy(0)= 0 et v,(0) : v,, > 0.

Cl 4 -- Donner alors les équations du mouvement en prenant l'origine des 
coordonnées
comme position initiale et en introduisant le rayon de Larmor pL : vl /oec .

EI 5 --' Nommer la trajectoire, indiquer son allure sur un schéma et le sens de 
parcours d'un
ion positif sur cette dernière.

E] 6 -- Application numérique : Bo = 2,5 T et 2 mv_2L = 10 eV . Calculer les 
valeurs pLe et a)",

de pL et de wc pour un électron, le et wc1 pour un ion
238

235 + .
U et pL2et wc2 pour un ion

U+. A quel domaine des ondes électromagnétiques appartiennent les fréquences 
cyclotron
ioniques des ions d'uranium ?

Partie II : La résonance cyclotron ionique

Au champ magnétique uniforme et stationnaire précédent En se superpose mainte--
nant un champ électrique uniforme Eo(t) = --Eoux sin(oet) -- Eouvcos (ou t). On 
se place

dans l'approximation des régimes quasi stationnaires et l'on s'intéresse 
uniquement à un ion

positif (EUR = + 1). On introduira la vitesse transverse complexe Lv : vx + jvy 
( j 2 = --l) .

Cl 7 -- On considère d'abord le cas non résonant (w # wc). À l'instant initial, 
vx (O) : vl ,

vy(0) : 0 et v: (0) = v,, ; établir alors l'expression suivante de la vitesse à 
l'instant t :

qu

w= vl exp(--jwfl + m(oec --w

) [exp(--joej) -- exp (--jwt)].

Cl 8 -- Établir l'expression du vecteur position de la particule en fonction du 
temps, l'origine
O des coordonnées étant la position initiale. On pourra introduire rl = x + jy.

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Physique 1 -- Filière PC - 2002

Cl 9-- Établir, dans le cas résonant (a): ou) et avec les mêmes conditions 
initiales,

l'expression de la vitesse transverse complexe, sous la forme 14_f(t) = F (t) 
exp(-- jam). Que

dire de la projection de la trajectoire dans le plan Oxy '?

Cl 10 -- Commenter l'allure des courbes données ci--dessous. On a utilisé les 
unités réduites

x 2
X = --, Y = À, Z = --- et u = ÛJJ- Pour la lisibilité des figures, les échelles 
des axes

pi & pi
pour les trajectoires dans l'espace et leurs projections dans le plan XY ne 
sont pas les mêmes.
Les calculs ont été effectués avec les valeurs numériques suivantes :

E, =50 V.m" vl =2,84><103 m.s_l B, =2,5 T £=1,05 v,,=2,00><103 m.s"' OSwg.<.507r 60 C Cas non résonant (C:) # CD,.) lllllllllillllllll...HH --: " " ° " " ï ummuu nu......» 4, , Trajectoire dans le plan XY Trajectoire dans l'espace Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique 1 -- Filière PC - 2002 Cas résonant (w = wc.) ;g.,l,lîg,i,«,l,ll,l,«,r,l,l,ll g lllllllllllll 100 75 Trajectoire dans le plan XY Trajectoire dans l'espace Cl 11 -- Justifier le terme de résonance cyclotron ionique. Pourquoi faut-il que dans les dispo- sitifs réels le champ magnétostatique BO soit homogène à mieux que 0,5 % près ? El 12 -- Justifier la structure (direction, sens à chaque instant) du champ électrique nécessaire pour observer la résonance cyclotron ionique. Cl 13 -- Application numérique : calculer le rayon de giration (courbure maximale de la pro-- jection horizontale de la trajectoire) atteint par un ion résonant 235U+ de vitesse v,, = 2 >< 103 m.s_l, excité par un champ d'amplitude EO : 50 V.m", dans le champ Bo pré- cédent de 2,5 T, qui s'étend sur une longueur de 2 m comptée sur l'axe Oz. Page 4/7 Physique l -- Filière PC - 2002 Partie III : Principe de la séparation isotopique par résonance La méthode de séparation isotopique par résonance cyclotron ionique repose sur des résultats des parties 1 et II. On veut créer un champ Bo dans un cylindre circulaire (rayon 25 cm, longueur 2 m) à l'aide d'un enroulement de type solénoïdal parcouru par un courant I() constant. Le bobinage est constitué de 23 km de fil en alliage supraconducteur Niobium-Titane, de diamètre (iso- lant compris) égal à 2 mm. En dessous d'une certaine température, la résistivité d'un maté-- riau supraconducteur est rigoureusement nulle. L'enroulement est porté à une température suffisamment basse pour qu'il en soit ainsi. Le champ produit doit être aussi uniforme que possible, et d'intensité B = 2, 5 T. [:| 14 -- Quelle est l'intensité du courant 10 qui doit parcourir le fil ? On explicitera les diver-- ses approximations faites. Cl 15 -- Quelle serait la puissance Joule dégagée par le même conducteur en cuivre (conduc- tivité du cuivre 0'= 5,7><107 Q_l.m_') '? Pourquoi choisir un alliage supraconducteur ? Quelle conclusion en tirer sur le domaine de température probable de fonctionnement de ce bobinage ? Citez un des buts des recherches menées actuellement sur les supraconducteurs. D 16 ---- Le champ électrique E(t) est produit par R L deux condensateurs plans ; après avoir rappelé _ '" . ' '" les propriétés du champ créé par un condensateur _ plan soumis à une tension U(t), illustrer sur un R schéma la manière de situer les condensateurs l'un par rapport à l'autre et par rapport à la direc- J!, a) y tion 02 du champ Bo. On souhaite alimenter ces ° x deux condensateurs à partir d'une unique source idéale de tension. Ces deux condensateurs ont la même capacité C et sont sans influence l'un sur l'autre. Le montage ci--contre peut-il convenir '? Étayez votre réponse en déterminant la valeur de l'inductance L et de la résistance R en fonction 'Wf5 de la capacité C et de la pulsation a) et en vous appuyant sur des ordres de grandeur acceptables. EI17 -- L'ensemble des ions résonants crée un champ électrique antagoniste au champ E(t) ; quelle caractéristique du mouvement des ions en est-elle la cause ? Cela conduit à une dimi-- nution du champ électrique introduit et l'on doit mettre en oeuvre une antenne de couplage accordable dans la gamme des fréquences cyclotron ionique (notablement différente des deux condensateurs envisagés précédemment) pour créer le champ E dans le volume désiré. El 18 -- Connaissez--vous un autre exemple de milieu matériel dans lequel il est difficile de faire pénétrer un champ électrique variable ? A quoi cela est-il dû '? D'un côté de la région où règnent les champs E(t) et B() se trouve une source de plasma capable de volatiliser puis d'ioniser un métal (par exemple de l'uranium naturel, mélange des deux isotopes 235 et 238). Un champ électrostatique d'amplitude modeste donne à ces ions (supposés tous ionisés une seule fois) une vitesse v,, > 0 au 
moment où ils

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Physique 1 -- Filière PC - 2002

entrent dans le domaine où règnent E(t) et B0. La collecte des ions se situe 
dans l'autre

partie du dispositif schématisé ci-dessous.

SOURC E EXCITATION COLLECTE
Bobine supraconductrice
Antenne à la frequence Antenne a la frequence Plaques ]

cyclotron électronique cyclotron ionique

Plaque 2

_ ' ' Vré ulsif
V --- Bo uniforme -> p

Bobine supraconductrice

Légende : a : atome produit par pulvérisation

e : électron du plasma 11 = ion non résonant r : ion résonant

19 -- On règle la fréquence d'alimentation de l'antenne de couplage sur la 
valeur 0): wc],

telle ue définie à la uestion 6. Schématiser ar un dessin les tra'ectoires des 
ions 235 U+ et
q q P J

238 U+ issus de la source. Que récolte-t--on sur l'ensemble des plaques 
disposées parallèle--
ment (plaques @) '? et sur la plaque @ ?

Cl 20 -- Où retire--t--on l' << Uranium enrichi » ? A quoi sert l'Uranium enrichi ? Pourquoi faut-- il l'enrichir '? Connaissez--vous d'autres procédés d'enrichissement de l'Uranium '? Fin du problème A B. Méthode spectrographique Une source S d'ions positifs émet un pinceau étroit de particules de masse m] et de charge q. Ces ions, dont la vitesse initiale peut être supposée nulle, sont accélérés par une différence de potentiel U. Le faisceau traverse une fente fine centrée sur le point P et arrive en A dans la région grisée, où règne un champ magnétostatique B constant, perpendiculaire au plan de la figure. Page 6/7 Physique 1 -- Filière PC -- 2002 Cl 21 ---- La vitesse v des ions à l'entrée dans la zone de champ B est supposée être dans le plan de la figure, et perpendiculaire à Oy. Déterminer la nature de la trajectoire dans cette zone, exprimer son rayon de courbure R en fonction de ml, q, U et B : "B". E] 22 ---- Applications numériques : q =1,60><10--l9 C, m' =3,90><10--25 kg et U = 50 kV. Déterminer la vitesse des ions à l'entrée dans la zone de champ B. Déterminer le champ nécessaire pour que R = 50 cm. Cl 23 -- Les ions ne sont soumis au champ B que dans une région limitée par deux plans perpendiculaires dont les traces sont Ox et Oy et dont la bissectrice extérieure est OF. On centre en F], symétrique de F par rapport à 0, une fente perpendiculaire au faisceau. Montrer que les ions traversant la première fente avec une vitesse v de même module qu'à la question 21 (pinceau homocinétique) et de direction faisant un angle 8 petit avec FA dans le plan de la figure viennent converger, après traversée de la région grisée, en un point (131 que l'on pré-- cisera. Un argument simple de symétrie suffira. Cl 24---- Que se passe-t-il pour un pinceau homocinétique issu de F, dont le vecteur vitesse fait un petit angle 8', cette fois-ci avec le plan de la figure '? Quelle longueur 6, per- pendiculairement au plan de la figure, doit-on donner à la fente centrée en F. pour récolter tous les ions émis de part et d'autre du plan de la figure '? Application numérique: eg... =10" rad. Cl 25 -- Le faisceau émis par la source est maintenant un mélange d'isotopes de masses respectives ml et m2 : m1 + Am, avec 0 < Am << ml. On ne change pas les réglages du spectrographe et les ions de masse mz convergent au point (Dz. Déterminer la distance (p : (I),sz entre les pinceaux d'ions de masses ml et m2 lorsqu'ils traversent le plan de la fente centrée en F1. Le résultat sera finalement exprimé en fonction de R, Am et m]. Cl 26 -- Quelle largeur maximale 3 (3 << R) peut-on donner à la fente centrée en F pour obtenir une séparation effective des deux isotopes au niveau de la fente, de largeur (p, . . . Am 3 centrée en F1 ? Appl1catron numérique : calculer s pour R = 50 cm et -- = ---- ml 235. CI 27 -- L'intensité du faisceau est [ = 5 mA. La source est alimentée en Uranium 235 238 . , ,. naturel contenant 0,7 % de U+et 99,3 % U'. Quelle quantite de l isotope 235 U+ pour- rait-on isoler ici en une année de fonctionnement continu '? Quels avantages et quels incon-- vénients voyez-vous à ce dispositif de séparation des isotopes de l'uranium ? El28 -- Dans la question 25. de quels réglages s'agit-il '? Fin de la partie B FIN DE L'ÉPREUVE Page 7/7