Mines Physique 1 PC 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUÈ ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-ElVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 -- Filière PC
L 'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

011 ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction dela copie.

La surface de la Lune

On se propose d'étudier quelques caractéristiques de la surface lunaire : la 
température de
surface, la diffusion de la lumière par le sol lunaire, le sol lunaire 
proprement dit et l'absence
d'atmosphère gazeuse. Les diverses parties sont indépendantes entre elles.

0 Important : on trouvera en page 6 un ensemble de donnée relatives à ce 
problème ;
ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles qui sont données 
dans l'énoncé.
Quelques-unes de ces données pourront servir plusieurs fois ; d'autres n'ont de 
valeur
qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats 
de repé-
rer et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines questions.

0 Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple E] 1*) sont de type
essentiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout.

1 Détermination expérimentale de la température lunaire
Mesures

On effectue cette détermination à l'aide d'un télescope à miroir
sphérique de rayon R, de diamètre d'ouverture a, situé dans un
site astronomique privilégié ou en orbite, terrestre ou lunaire
(Fig. 1). Ce télescope concentre l'image d'une partie de la
surface lunaire sur un détecteur, supposé ponctuel, qui produit
une tension proportionnelle à la puissance lumineuse à laquelle
il est exposé.

Deux mesures sont effectuées, la première avec un filtre qui
absorbe l'infra--rouge, et la Seconde sans filtre. La différence

entre les deux mesures permet d'estimer la température superficielle de la 
région lunaire étu-
diée.

E] 1* ---- Expliquer en quoi le .site astronomique où est installé le télescope 
doit être
« privilégié », ou pourquoi ce dernier est placé dans un satellite.

II
.E-
."
IIS-..-

---==--
!...--g

100 150 200
F ig. 2 : Maximum d 'émission

Cl 2* ---- Où doit--on placer le détecteur '?

Cl 3*--- Admettons ceci : la puissance lumineuse
émise à la température T par un objet en équili--
bre thermodynamique est maximale pour la lon--
gueur d'onde Â... (T), qui dépend de la

température comme représenté en Fig. 2. Justifier
la nécessité de refroidir les télescopes terrestres
(par exemple à la température de l'azote liquide ,
soit environ 77 K) ?

50

40

30

20

10

Cl 4* ---- Le diamètre d'ouverture, a, des télescopes
observant la surface lunaire est de l'ordre du
mètre. Estimer la résolution de la mesure effectuée depuis un télescope 
terrestre ou en orbite
terrestre. La résolution angulaire d'un télescope correspond au rayon angulaire 
de la tâche

).
d'Airy, soit 1,22-- .
a

Interprétation des résultats

Les températures maximales du sol lunaire sont d'environ 120°C et les 
températures

minimales, lors de la nuit lunaire, d'environ -- ZOO°C. On attribue cette 
grande variation à la
durée de la nuit lunaire et à l'absence d'atmosphère lunaire.

D 5 * ---- Déterminer la durée d'une nuit lunaire.

Cl 6---- Décrivez sur un schéma les zones de pénombre et d'ombre relativement 
au Soleil et à la
Terre, lorsque la Terre éclipse le Soleil. Évaluer les durées respectives de 
pénombre et

d' ombre.

Température ' D 7 * -- L'allure de résultats de mesures
effectuées lors d'une éclipse totale est
représentée dans la fig. 3. On en rend
compte par un modèle à deux couches
pour la croûte lunaire : une couche
supérieure, pulvérulente, très fine
(épaisseur de l'ordre du millimètre), de
densité faible et de conductivité thermique
très faible, et une couche inférieure plus
compacte de propriétés physiques proches

Fig-- 3 : CyCÏe de température lunaire de celles de la roche ordinaire 
(silicates).
Justifier l'accord qualitatif entre la courbe et le modèle.

50°C
0°C
--50°C
--lOO°C

Pénombre

Il Polarisation de la lumière diffusée par la Lune

A Les premières études indirectes du sol

y lunaire ont été effectuées en analysant

Lumière diffusée }: la polarisation de la lumière solaire
_ _ _ 'OEËÊ®Æ% _ _ _ _ O' _ _ _ _____ D' _ _ x_) dlffusee par le sol luna1re 
(fig. 4). La

lumière recueillie traverse un polari-
par le sol lunaire @

Fig. 4 : analyse de la lumière solaire diffusée par la Lune

272
seur linéaire qui tourne à la vrtesse angulaire a) = ---- .

T

Le récepteur permet de suivre l'évolution, s(t), de l'éclairement lors de la 
rotation du
polariseur (fig. 5).

Cl 8 -- Interpréter la forme et la période
du signal s(t). Déduire de la forme du

signal temporel de la fig. 5 l'état de
polarisation de la lumière solaire
diffusée par le sol lunaire. Que
représente la valeur moyenne ?

3.5

3

2.5

2

1.5

D 9 ---- Dans un dispositif plus complet
(fig. 6), après sélection d'une longueur
d'onde « unique » 2. par un filtre, la
lumière traverse une lame demi-onde
(iL/2) qui tourne à la vitesse angulaire
Fig. 5 : Évolution de ! 'éclairement (:). La lumière traverse ensuite un
biprisme biréfringent. L'indice du
premier prisme a la valeur nl si la direction de polarisation est suivant l'axe 
y et la valeur n2 si
la direction de polarisation est suivant l'axe 2. Le second prisme, accolé au 
premier, possède
un indice n; quelle que soit la direction de polarisation. Les récepteurs 
permettent de suivre
l'évolution, s1(t) et s2(t), des éclairements, lors de la rotation de la lame 
demi--onde (figure 7).

1

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Lumière diffusée
par le sol lunaire
(onde plane)

Récepteur 1
polarisation z

:. ,...Ç...WM
.:1',».4_ ...-- E,...
-".-----Ë;är--Eäæe

Récepteur 2D x

polarisation y

Filtre Lame demi-onde

Fig. 6 : un dispositif plus élaboré de la mesure de lumière solaire dfiusée par 
la Lune

On nomme taux de polarisation le rapport
b ---- a
b + a
polarisation pour une lumière polarisée
rectilignement et pour une lumière
naturelle non polarisée ? Quelle serait la
T2 =T/4 forme du signal obtenu pour chacun de ces

deux cas ? Les résultats de la Fig. 7 sont--
ils en accord avec les données de la Fig.

T = . Quelle est la valeur du taux de

Fig. 7 : signaux reçus par les récepteurs ] et 2
5 ?

D 10* --- L'étude de la polarisation de la lumière diffusée par la Lune a 
permis, avant les
missions Apollo, de conclure sur la nature poussièreuse de la surface lunaire. 
Expliquer
pourquoi cette nature poussièreuse de la surface justifie que la Lune ne 
réfléchisse qu'une
faible partie du rayonnement solaire incident (cette fraction est nommée 
albéd0).

- III Le sol lunaire
Modélisati0ns

Le sol lunaire est bombardé et
réduit en poussière par les météo--
rites et le vent solaire, constitué
essentiellement de protons et
d'électrons. La composition du sol
lunaire est proche de celle des
silicates, dont quelques caractéris-
tiques physiques sont indiquées
page 6. La couche supérieure, très

Fig. 8 : Le plan inférieur de l'empüement compact est

constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une fine, est representee 
par un
couche identique de sphères lui est superposée, dont les empflement compact de 
sphères de

centres sont à l'à--pic des points de type B. Les centres des silicates, de 
rayon RS,--1 et de tem-
sphères de la troisième couche sont en sites A, et ainsi de

suite (empilement hexagonal compact de type ABAB .). perature umforme (Fig. 8)' 
Le

contact entre les sphères est
supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux sphères 
en positions

semblables : c =2J; RS,--, z1,633 RS". Dans une telle structure compacte, le 
volume occupé

par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement.

Cl 11* -- Justifier qu'avec un tel modèle les échanges thermiques entre les 
sphères doivent se
faire par un autre processus que la conduction ou la convexion.

Cl 12* -- L'empilement précédent est maintenant modélisé par un ensemble de 
plans parallèles
opaques, placés dans le vide, séparés par la distance c/2. Que pensez--vous de 
ce modèle ?

Cl 13 -- On peut caractériser un tel milieu par un coefficient de conductivité 
thermique
dépendant de la température de la forme À(T)= orT3 , avec a = 1,55 x10'6 SI. 
Comparer

l'ordre de grandeur de Â(T) obtenu avec ce modèle avec la valeur expérimentale 
de la

conductivité des silicates à la température ambiante : K S,--, z1,11 W.K'l .m'1 
_

Cl 14 ---- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la 
couche supérieure
avec ds,-1 et cSil .

E] 15* -- 11 est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes 
qui ont les
caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci--dessus. 
Pourquoi ?

Influence de l'impact des météorites

On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition 
que le sol
lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel 
héliocentrique, est lié au
centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles 
réputées fixes. Le
référentiel de Copernic est supposé galiléen.

CI 16 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface 
lunaire et de
vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 x 104 
m.s-1 .

E] 17 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse ml peut dégager une 
énergie suf--

fisante pour porter à l'état liquide une masse m; de la surface de la Lune. 
Déterminer puis
calculer le rapport m;/m;.

Cl 18* -- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la 
nature des
transferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la 
conductivité

thermique calculée précédemment ?

Stabilité du sol lunaire

On fait ici l'hypothèse d'une Lune homogène et de caractéristiques physiques 
identiques à
celles des silicates. La température de tout point de la Lune est indépendante 
du temps. La
température de surface est T ,, L =290 K . La puissance volumique moyenne 
libérée par les

. r I \ "'8 --3
roches luna1res est evaluee a pL z 10 W.m .

E] 19 ---- Effectuer un bilan thermique pour une boule sphérique de rayon r < RL centrée au centre de la Lune (ou pour un élément de volume d'épaisseur d r à la distance r du centre de la Lune). En déduire que la température T (r) à la distance r du centre de la Lune est : T(r)= T,,L + (RL2 -- r2)g%-- . sa Cl 20 -- Calculer la température au centre de la Lune. Que peut--on prévoir pour l'état de la roche dans cette région ? Cl 21 --- À la pression atmosphérique terrestre, la température de fusion des silicates est proche de 1500 K. Compte tenu de cette donnée, évaluer l'épaisseur du manteau solide de la Lune. Cette épaisseur, ainsi calculée, est inférieure à l'épaisseur véritable. Quelle est la principale faiblesse de ce modèle rudimentaire ? D 22 -- La radioactivité de la Lune est essentiellement liée au potassium 40 de période radioactive proche de 1,5 milliards d'années. La période radioactive est le temps au bout duquel la puissance radioactive a diminué de moitié. Donner un ordre de grandeur de l'épaisseur du manteau solide lors de la formation de la Lune, il y a 4,5 milliards d'années. D 23* -- Il est généralement convenu que le champ magnétique des astres est dû à la rotation d'un noyau liquide conducteur; indiquer dans ces conditions la nature de l'évolution du champ magnétique de cet « astre mort ». IV Atmosphère lunaire. Un gaz parfait, possédant par unité de volume 72 molécules de masse m, exerce sur une surface une pression P. Les molécules de ce gaz sont homocinétiques, c'est--à--dire de vecteur vitesse v de norme :) constante, mais d'orientation aléatoire. Les molécules de gaz subissent des chocs . . . 1 élastrques sur la surface. Il s'en déduit l'expressmn P = -3-- nmv2 . D 24 -- L'atmosphère lunaire est majoritairement composée d'atomes d'argon, libéré lors des réactions nucléaires au sein des roches lunaires. Sachant que la masse molaire M de ce gaz vaut 40 g, et en utilisant l'équation des gaz parfaits, calculer :) pOur T = 300 K . Cl 25 ---- On note 01 la vitesse de libération lunaire; c'est la vitesse minimale d'un objet pouvant échapper à l'attraction gravitationnelle lunaire. Exprimer puis calculer la vitesse de libération lunaire En déduire qu'une atmosphère lunaire ne saurait subsister. Fin du problème Données numériques Soleil . RayonRs z 7 x105 km 0 Température de surface T 3 z 5800 K . Rayon terrestre RT z 6, 38 x 103 km . Distance Terre--Soleil DST % 1,5 X...8 km 0 Masse terrestre MT z 6 >< 1024 kg 0 Période du mouvement circulaire autour du Soleil PST % 365,25 jours . Rayon lunaire RL = 1740 km 0 Masse lunaire ML = 7,4 x 1022 kg . Distance Terre--Lune DLT % 3,84 x105 km 0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL % 27,25 jours (en restant dans le plan de l'orbite terrestre) . Période de rotation propre de la Lune PL = Pn % 27,25 jours . La Lune présente ainsi toujours la même face à la Terre. Silicates . Densité ds,--, % 2,51 . Conductivité thermique KS" z1,11 W.K"l .m--1 o Chaleur spécifique CS,-, z 860 J.kg"lK_l . Ordre de grandeur du rayon RS,-, % 100 pm 0 Température de fusion du silicate T f x 1500 K . Chaleur latente de fiJsion L f % 130 kJ.kg*l Constantes physiques . Célérité de la lumière dans le vide 0 z 3 ...)8 m.s" . Constante de la gravitation G z 6,67 x10"Il m3 .kg'l.s'2 h . Constante de Planck h z 6,63 ><10"34 ] .s (h= ? 'z10'34 J .s) 7r . Constante de Boltzmann kB z 1,38 x 10"23 J.K"' . Nombre d'Avogadro N A z 6,02 x1023 . Permittivité du vide 80 % 8,85 x10'12 F .m"1 . Constante des gaz parfaits R = N AkB % 8,31 J .mol "' .K'1 Formules mathématiques div [grad (f)]: [V 1 d En symétrie sphérique et pour un champ radial div(V)= 7? r 2V,). r r