Mines Physique 1 PC 2005

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE--BNP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 1 --PC

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 5 pages.

0 Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le 
signale sur sa copie

et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.
0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
Vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

. Notations : vecteur --> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

CHAUFFAGE PAR MICRO-ON DES

Ce problème s'intéresse aux transferts énergétiques entre un très grand nombre, 
noté N, de
molécules d'eau et le champ électrique d'une onde centimètrique.

Formulaire
------- Énergie potentielle W,, du dipôle électrique p dans le champ extérieur 
E : Wp : --p.E.
-- Moment M du champ extérieur E(t) sur le dipôle p : M : pA E.

_ T
-- Valeur moyenne temporelle de la grandeur G : on convient que G : Tlim 
-%_--IÛ G(t)d t.
N

---- Valeur moyenne d'ensemble (spatiale) (sommation sur les N molécules) : (G) 
: 7V1--2 Gi .

i=l

---- Soit X un vecteur attaché à un solide en mouvement et Q le vecteur 
rotation instantanée

de ce solide: 513: QA X.

d t
----- Produit mixte: (a,b,c) : (a A b). c : (bA c).a : (CA a).b.
Grandeurs fondamentales

Céléritê de la lumière c, : 3x108 m.s'1
Nombre d'Avogadro N A = 6,02 x1023 mol"1

Perméabilité magnétique du vide ,u0 : 472 x 10°7 H .m"1
Masses molaires MO2 : 32 g.mol"', M Hz : 2 g.mol'l

I. Relaxation diélectrique

Dipôle induit
D 1 ---- À partir de vos connaissances des ordres de grandeur à l'échelle 
moléculaire, détermi-
ner l'ordre de grandeur (puissance de dix et unité) du moment dipolaire # de la 
molécule

d'eau. Donner la définition du moment d'inertie .] de la molécule par rapport à 
un axe pas-
sant par son barycentre. Évaluer de la même manière (puissance de dix et unité) 
son ordre de
grandeur. Les molécules d'eau sont désormais modélisées comme des dipôles 
rigides de
moment d'inertie .] ; il n'y aura donc pas lieu de tenir compte des transitions 
électroniques

intramoléculaires.

Cl 2 --- Lorsqu'un très grand nombre de telles molécules est soumis à un champ 
électrique
uniforme et constant E = E 2, on constate que, à l'équilibre thermodynamique à 
la tempéra-

ture T, tout se passe comme si chaque molécule adoptait le même moment 
dipolaire électri-
que, nommé moment dipolaire moyen et noté (p)éq_ .Ce moment dipolaire moyen 
dépend de

la température T. La température T détermine aussi les fluctuations de moment 
autour de sa
valeur moyenne. Lorsque le champ est suffisamment faible, on pose (p)éq_ : 
--eoa E, ce qui

définit la polarisabilité a. Quelle est la dimension de la polarisabilité ?

D 3 -- Le modèle de Debye indique que, en régime transitoire, (p) est une 
fonction du temps

vérifiant l'équation différentielle

d


r--ä-}--+(p)= eOaE,

où t' est un temps caractéristique de la molécule dans son environnement.

On impose la forme du champ, E : Em cos(oe t) i, et celle de la solution en 
régime forcé,

(p) = [ p'cos(oe t) + p" sin(wt)] â

Exprimer p' et p" en fonction de 80,a,wt et Em. Pour faciliter le commentaire, 
la fig. 1
représente l'allure de la solution, avec conventionnellement ( p') =1 (car est 
en abs-

max

cisse). Justifier en particulier que l'on nomme T « temps de relaxation ».

_ .. ===.
_ .n....
_ ......

......

0 1 2 3 4 5 6

Fig.] :p' =Re (p) et p"= Im (p) Fig. 2 : Moyenne temporelle de II,--(t)

Échanges énergétiques

Cl 4---- Soit Q,(t) le vecteur rotation instantanée de la molécule n°i et p,(t) 
son moment

. d .
dipolaire instantané. En admettant l'égalité <%) : Σ'> , exprimer 7r,(t), 
puissance cédée

par le champ à cette molécule, d'abord en fonction de p,(t), E( t) et Q,(t), 
puis en fonction

de %È-'-- et de E(t). En déduire l'expression de la valeur instantanée de la 
puissance fournie

par le champ électrique à un échantillon comportant un nombre élevé, N , de 
molécules :
n dp-
mst.( ) < dt >

D 5 ---- Exprimer ÎÏ , moyenne temporelle de H..., en fonction de E..., EUR... 
a, N et an.

H(wr)
ñmx .

Commenter la Fig. 2, qui donne la valeur normalisée de E(cor) :

D 6 ---- La pulsation du champ électrique est a) =1010 s"'. Ce champ est 
appliqué à un échan--
. tillon d'eau liquide, dont le temps de relaxation est T,iq_ =10"11 s et à un 
échantillon de glace

, de même masse, mais dont le temps de relaxation est {gla_ : IO"4 ' s . On 
suppose que les pola-

risabilités «a » de l'eau liquide et de la vapeur d'eau sont du même ordre.de 
grandeur.
Comment expliquer, pour le même matériau, l'inégalité Tsalide >> Tüquide ? 
Calculer le rapport

des puissances fournies ÎÏ . L'eau liquide étudiée est contenue dans un 
récipient de
. < - gla. - - = ' verre ; ce dernier reste froid. Un récipient en faïenceressort brûlant... Que peut-on en déduire ? Il Interaction d'un milieu aqueux avec une onde cenfimétrique Un matériau gorgé d'eau liquide est soumis à un champ électrique sinusoïdal de fréquence f (f= -"-'- z 2,5 om) de la forme 27: E(x,y,z ;t)= E(x ;:)= Em(x)cos[w(t-- E)) %, co où n est l'indice du milieu (supposé transparent) pour la fréquence f. L'amplitude de l'onde à son entrée dans le matériau, en x = O, est notée E() : Em (0). Dans un tel milieu, la n 2l--'oco de l'étude précédente que la puissance volumique moyenne foum_ie au matériau par le champ électromagnétique est de la fonne II vol : DE 3, 1 A On adoptera les valeurs numériques, n = 8 et D =l W.V"°flm' . dx S V D 7 --Effectuer un bilan énergétique pour un élément î î d'échantillon d'aire S et d'épaisseur élémentaire dx et en déduire la fonction E... (x). Le résultat fait apparaître une lon- R(x) _ R(x + dx) gueur caractéristique, L, dont on vérifiera qu'elle est de l'ordre E2 (x) i. Il résulte m moyenne temporelle du vecteur de Poynting R s'exprime par ÎÏ : de 2 cm. D 8 -- Quel est l'avantage, dans un four à micro-ondes, d'avoir des parois réfléchissantes '? Pourquoi le plateau est-il tournant ? D 9 -- Une préparation de masse m est cuite dans un four classique en un temps ®(C'Ï) et en un temps 9533 dans un four à micro--ondes. On convient que la cuisson est atteinte lorsqu'un point central de l'aliment atteint une température convenue. Estimer, par des arguments dimensionnels, les tem s de cuisson (9%...) et ®(2m) our une ré aration semblable à la P P P P première, mais de masse 2m (quitte à critiquer cette hypothèse, on pourra supposer que la dimension caractéristique de la préparation est petite devant la dimension caractéristique L de la question précédente). III. Transferts thermiques Profils de température Un échantillon de matériau aqueux est placé dans un four à micro-ondes. La conductivité thermique K , la capacité thermique massique c et la masse volumique p de l'échantillon sont supposées être indépendantes de la température. Cet échantillon e'st parallélépipédique, d'aire S et d'épaisseur 2e, suffisamnient faible pour que l'0n puisse admettre que le pro- _ blème reste unidimensionnel (selon x) et que la valeur maximale" du champ électrique, Em,' soit la même en tout point. Il s'agit dedéterminer le profil de température T(x,t). Cl 10 -- Ces hypothèses vous semblent--elles toutes être réalistes ? . La températuredu milieu extérieur, T0 , est supposée constante. La» température d'interface est notée E(t) : T(--e,t)= T(e,t). Les échanges themiques au niveau des interfaces sont modélisés par la loi (1) - gS[T (t )-- TO]: jThS, qui exprime la puissance sortant du matériau en faisant intervenir le flux thermique, de grandeur jTh , et le coefficient d'échange thermique g. Mii. On note P la âx puissance moyenne fournie au matériau par le champ ; on suppose cette quantité constante. Le matériau obéit à la loi de Fourier : jTh(x,t) : --Kgrad(T) : --K C] 11 -- Établir l'équation aux dérivées partielles (EDP) relative au profil de température T(x,t). Donner l'expression des flux thermiques aux limites, jTh (--e,t) et jTh (e,t), en fonc- tion de g et de Ts(t)-- To. Cl 12 ---- Déterminer l'expression et tracer l'allure du graphe de T,,(x), profil de température dans l'échantillon en régime permanent, en fonction de Tp(e), x et des paramètres pertinents du système. Établir les relations _È_ ge Pe T,,(o)-- T+ZSg(l+-2----K)-- T (e)+ .... D 13 -- La température initiale étant, en tout point, To, on cherche les conditions sous lesquelles l'équation aux dérivées partielles établie à la question 11 admet une solution de la forme : T(x,t)= T0 +[Tp(x)-- T0]x [l--f(t)]. Une telle forme sera dite "séparable" ; en réalité, c'est T(Jt,t)--T0 qui est séparable. Déterminer a priori f(O) et lim f (t) t--->°°

Cl 14 --- Montrer qu'une solution séparable est possible et acceptable si ge << 2K . Quelle est la constante de temps, notée ts , de la fonction f ainsi trouvée '? Suggestion : la forme donnée dans la question 13, insérée dans l'EDP de la question Il conduit pour f à l'équation différentielle f'(t)+ç0(x) f (t)=0, qui n'a de sens que si l'on peut considérer (p(x) comme constant. CI 15 -- Calculer ts et T,. (O) pour pc: 4><106 ].m 'Î.K"', e=5><..."3 m, 5'=10"2 m2, g=lO W.K"'.m"î K=O,5W.K .m , P=SOOW et T0=293K. Séchage Un four à micro- ondes est utilisé pour le séchage d'un corps poreux dont tous les pores sont remplis d' eau. Le volume de ces pores est égal à la moitié du volume total, VT =2.S'e_=10'4 m'. Tant que l'eau reste liquide, le profil de température garde la forme établie ci-- dessus, les valeurs numériques des constantes étant inchangées. La chronologie des phénomènes analysés maintenant est la suivante : " o ' ' montée en température, ' ." . "début d'apparition des bulles de Vapeur, . . expulsion d'eau liquide hors de VT. au fur et à mesure que la vapeur d'eau se forme, 0 " "et fin de la vaporisation. Û16 ----Calculer la valeur tE de l'instant d'apparition des premières bulles de vapeur. Calculer la température de surface à cet instant. Cl 17 --Cette vapeur est un gaz parfait, dont la pression de vapeur saturante reste égale à la pression atmosphérique (=z105 Pa). La constante des gaz parfaits est R= 8,31 J .mol'1 .K"l. Calculer la masse d'eau vaporisée pendant l'expulsion. D 18 -- À l'issue de cette phase, l'eau liquide et la vapeur sont à la même température, de 100°C. Calculer, avec cette hypothèse, la durée tx de la brusque expulsion d'eau liquide qui intervient au début de la vaporisation. L'enthalpie massique de vaporisation de l'eau à 100°C est L\, : 2,2XlO°I.kg°'. La durée calculée est, sans doute, largement inférieure à celle que l'on aurait pu attendre. Quelles sont les hypothèses les plus suspectes de ce modèle ? FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE