Mines Physique 1 PC 2008

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve : 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom 
SudParis (ex INT),
TPE­EIVP, Cycle international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 4 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

QUELQUES OSCILLATIONS
Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau ab s'ils sont 
unitaires, d'une fleche

-
a dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulignes : z  C.
Lorsqu'une bille spherique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en 
un point, le couplage
entre la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce 
probleme.
Une sphere homogene, de centre C, de rayon r et de masse m, est mobile dans un 
plan vertical en
restant en contact avec un rail PP , de masse M, que l'on modelise par une 
portion de cercle de centre
O et de rayon R, dont l'axe de symetrie est vertical.
Le moment d'inertie de la sphere par rapport a un axe passant par C est J = 
2mr2 /5.
Le
fixe orthonorme direct Rg =
 referentiel

O, bi, b
j, b
k ou bi est vertical dirige vers le

Figure 1 : Sphere mobile sur un rail fixe

bas est suppose galileen (voir Figure 1). On
pourra egalement utiliser les vecteurs mob representes sur
biles polaires unitaires b
r et 
la Figure 1. Le mouvement de la sphere est
repere par deux parametres : l'angle  que
-
fait OC avec bi et l'angle de rotation  autour
de l'axe horizontal qui porte b
k. A chaque instant t, on appelle I le point de contact de la
sphere avec le rail. On note A le point du rail
situe sur son axe de symetrie. L'acceleration
-
de la pesanteur est 
g = gbi.

QUELQUES OSCILLATIONS

I. -- Rail fixe
-
La sphere roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos 
et OC fait un angle o avec
bi. Le systeme comprend deux degres de liberte cinematiques,  et  .
1 -- Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphere sur le rail 
sous la forme d'une
relation lineaire liant r, R,  = d  /dt et  = d  /dt. Controler la pertinence 
de la relation obtenue,
d'une part en comparant les signes respectifs de  et de  , et d'autre part en 
analysant la situation
lorsque r = R.
2 -- Determiner l'expression de l'energie mecanique totale Et du systeme. En 
deduire l'equation
differentielle verifiee par la fonction  (t).
3 -- Determiner la periode Tpo des petites oscillations.
On considere deux rails circulaires de meme rayon R. Sur chaque rail, on place 
a l'instant initial une
sphere de rayon r, de masse m en des points reperes par le meme angle o 
(situation deja representee
sur la Figure 1). Les spheres sont lachees au meme instant, avec une vitesse 
initiale nulle. Les deux
rails sont de nature differente, de sorte que la premiere sphere roule sans 
glisser et que la seconde
glisse sans rouler.
4 -- En utilisant des arguments energetiques qualitatifs, determiner quelle est 
la sphere qui arrive
la premiere au point le plus bas A. Le resultat est-il modifie si les masses 
des spheres sont differentes ?
5 -- Etablir une expression integrale du temps  mis par la sphere la plus 
rapide pour atteindre le
point A. Comment peut-on, sans calcul supplementaire, obtenir le temps   mis 
par la sphere la plus
lente pour atteindre ce point ? Determiner le rapport   / .
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Rail suspendu
Les points P et P sont attaches en O par
des fils inextensibles de masse negligeable,
ce qui permet au rail d'osciller autour de
l'axe horizontal passant par O. La position
du milieu A du rail est reperee par l'angle
 represente sur la Figure 2. Le centre de
masse G du rail se trouve a chaque instant
sur la droite OA a une distance  de O. On
note J  = MR2 le moment d'inertie du rail
par rapport a son axe de rotation. On appelle
respectivement N et T les composantes de
la force de reaction du rail sur la sphere au
b . La sphere roule sans glispoint I selon b
r et 
Figure 2 : Sphere mobile sur un rail suspendu
ser sur le rail, qui est maintenant en forme de
Les angles  et  sont mesures par rapport a la verticale
quart
de cercle, les grandeurs  et  sont les
-
et l'on note OG = 
memes que celles utilisees dans la partie I.

II.A. -- Description du mouvement
6 -- Ecrire la condition de roulement sans glissement reliant  ,  et  = d  /dt.
- de la sphere en C et en deduire l'expression du
7 -- Exprimer dans Rg le moment cinetique 
1C
-- de la sphere en O.
moment cinetique 
1O
-- du rail en O.
8 -- Exprimer dans Rg le moment cinetique 
2O
9 -- Exprimer dans Rg , l'energie cinetique ECS de la sphere, l'energie 
cinetique ECR du rail et enfin
l'energie cinetique ECT de l'ensemble rail-sphere.
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Physique I, annee 2008 -- filiere MP

10 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en O a l'ensemble rail-sphere 
et en deduire une
equation differentielle liant les fonctions  (t) et  (t).
11 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en C a la sphere seule et en 
deduire l'expression
de T en fonction de  = d 2  /dt 2 , puis, en utilisant le resultat de la 
question 6, en fonction de  =
d 2  /dt 2 et  = d 2  /dt 2 .
12 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en O au rail seul et en deduire 
la relation
differentielle
A

d2
d2
-
B
= -Mg sin 
dt 2
dt 2

(1)

On exprimera la constante A en fonction de M, m et R et la constante B en 
fonction de m, r et R
13 -- Deduire des resultats precedents la relation
A

d2
d2
-
B
= -mg (R - r) sin 
dt 2
dt 2

(2)

On exprimera la constante A en fonction de m, r et R. Verifier que l'equation 
(2) est en accord avec
le resultat de la question 2.
14 -- Retrouvez les equations (1) et (2) a partir de considerations 
energetiques. Demontrer que
AA > B2 .
15 -- Que traduit l'absence de termes en  et  dans les equations (1) et (2) ?

II.B. -- Modes d'oscillation
On considere dans cette sous-partie que les angles  et  sont l'un et l'autre 
voisins de zero, ce qui
permet de lineariser les equations (1) et (2). On pose D = Mg et D = mg (R - 
r). On cherche les
solutions du systeme linearise sous la forme

 (t) = Re o e

i t

i t
et  (t) = Re o e

(3)

ou o et o sont deux nombres complexes, i2 = -1.
On appelle pulsation propre du systeme tout reel positif  qui permet d'obtenir 
des solutions non
nulles du systeme linearise sous la forme (3).
16 -- Determiner les pulsations propres 1 et 2 du systeme (1 > 2 ) en fonction 
de A, A , B, D
et D .
On considere dorenavant que les conditions initiales du systeme sont

 (t = 0) = o et  (t = 0) =  (t = 0) =  (t = 0) = 0

(4)

17 -- Montrer que si o 6= 0, la solution  du systeme linearise est une fonction 
de la forme
 (t) =  [cos (1t) - cos (2t)]. On ne cherchera pas forcement a determiner la 
constante  en fonction des parametres du systeme.

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Tournez la page S.V.P.

QUELQUES OSCILLATIONS

On realise le montage experimental de la
Figure 2 avec les parametres physiques
suivants
r = 1, 27 × 10-2 m, R = 19 × 10-2 m
M = 90 × 10-3 kg, m = 67 × 10-3 kg
 = 17, 7 × 10-2 m, g = 9, 81 m.s-2
On dispose d'un systeme de mesure qui
permet d'enregistrer la valeur de l'angle
 en fonction du temps. Pour des conditions initiales du type (4), avec o 
suffisamment faible, on obtient l'enregistrement represente sur la Figure 3.

Figure 3 : Enregistrement de  en radians
en fonction de t en secondes
18 -- Determiner a partir de la Figure 3, une valeur approximative des 
pulsations propres du
systeme experimental. Cette estimation est-elle compatible avec les valeurs 
theoriques ?
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Oscillations electriques

Figure 4 : Oscillateur electrique

19 -- On considere le montage electrique de
la Figure 4. Trouver les equations differentielles
verifiees par les charges q1 (t) et q2 (t) des deux
condensateurs.
20 -- Quel est le lien entre ce montage et
l'oscillateur mecanique de la partie II. Relier les
constantes A, A , B, D et D de la partie II aux caracteristiques des composants 
du montage de la Figure 4.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'EPREUVE

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