Mines Physique 1 PC 2014

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2014
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ] -- PO.

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il aura été amené à prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

INTERACTIONS MICROSCOPIQUES

Ce problème se propose de modéliser à l'échelle microscopique les interactions 
intermoléculaires
dans un fluide, puis d'en examiner quelques conséquences à l'échelle 
macroscopique, concer--
nant en particulier les surfaces de contact entre deux fluides non miscibles. 
Les vecteurs sont
surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (fig) ou d'une flèche dans le cas 
général (5). Les
constantes utiles pour les applications numériques sont regroupées a la fin du 
sujet. Les appli--
cations numériques seront proposées avec 3 chiffres significatifs.

I. -- Étude microscopique

I.A. -- La vapeur d'eau

L'eau pure, maintenue à une température T1 : 373 K et sous une pression P1 = 
1,0 bar, est à
l'équilibre liquide--vapeur : dans ces conditions, l'eau peut exister sous 
forme de liquide ou sous
forme de vapeur.

Ü 1 -- Sous les conditions (T 1,P1), on peut en première approximation 
assimiler la vapeur
d'eau a un gaz parfait. Déterminer, dans cette vapeur et sous ces conditions, 
la densité parti--
culaire nv. En déduire dans ces mêmes conditions, une estimation de la distance 
moyenne dv
entre deux molécules d'eau voisines.

Ü 2 -- Quelles sont les hypothèses considérées, a propos des interactions 
intermoléculaires,
pour établir l'équation d'état du gaz parfait moléculaire? Comment varie le 
volume d'un gaz
parfait moléculaire lorsqu'on le refroidit à pression constante ?

Interactions microscopiques

I.B. -- Un modèle atomique simple (Thomson, 1904)

Ce modèle est postérieur a la découverte de l'électron, en 1897 par Thom--
son, mais antérieur a la découverte du noyau par Rutherford en 1911. Il
postule qu'un atome d'hydrogène est constitué d'un électron ponctuel noté
N, de masse m et de charge (... = --e évoluant dans nuage sphérique, de
centre P, de rayon & = 5,00 - 10_11 m, et dont la charge totale qP : +e
est répartie dans cette sphère avec une densité volumique de charge p
uniforme. On suppose que l'électron peut se mouvoir sans frottement a
FIGURE 1 -- l'intérieur du nuage. La masse M de ce nuage étant très supérieure a
MOdèlEUR de Thom-- celle de l'électron, on pourra supposer P fixe dans le 
référentiel galiléen

SOÏ1 de l'atome d'observation; N est mobile et repéré par son vecteur position 
77 : PN.
Ü 3 -- Déterminer le champ électrostatique Ê+(N ) créé par le nuage positif au 
niveau de
l'électron, en fonction de e, a, 50 (permittivité du vide) et 77 : PN. On 
suppose que l'électron
reste a l'intérieur du nuage.

Ü 4 -- Montrer que le mouvement de l'électron dans ce champ est associé a une 
fréquence fo
que l'on exprimera en fonction de m, e, a et 50. Déterminer la valeur numérique 
de la longueur

d'onde )... de la radiation électromagnétique ayant cette fréquence f0 . Dans 
quel domaine ce
rayonnement est--il prévu par le modèle ?

I.C. -- Notion de polarisabilité

On applique un champ extérieur uniforme Ê0 au système de la section 1.13 
constitué par le
nuage et l'électron.

Ü 5 -- Déterminer la position d'équilibre f'eq : PîVeq de l'électron sous les 
effets des champs
Ê0 et Ê+(N ), en déduire le moment dipolaire électrique ;? de l'atome qu'induit 
l'application de
Ê0. De manière générale, la polarisabilité oz d'un atome est définie par la 
relation }? : ozeoÊo.
Relier oz au volume V du nuage.

Le coefficient numérique trouvé dans la relation entre oz et V de la question 5 
(imposé par le
modèle de Thomson) n'est pas exactement conforme a la réalité. Cependant, a ce 
coefficient
numérique près, la relation se vérifie pour les atomes polyélectroniques et les 
molécules.

Ü 6 -- Comparer la polarisabilité du lithium (Z = 3) et celle du néon (Z = 10). 
Le fluor et
l'iode sont deux halogènes situés sur la même colonne de la table périodique, 
sur la seconde
ligne pour le fluor et la cinquième pour l'iode. Comparer la polarisabilité 
d'une molécule de
difluor et celle d'une molécule de diiode.

FIN DE LA PARTIE I

?:
up 11. -- Interactions intermoléculaires

M ûgO Dans le cadre de l'approximation dipolaire, on rappelle qu'un

% dipôle électrostatique }? : pÜZ placé en O crée, en un point
A % A . , .

"9 M tel que OM : ru, (vo1r figure 2), le champ electrostat1que

y Ê : E,Îi, + E9'Û9 avec

2
E,= ]? cos9 et Eg= sin9

47T807°3 47T807°3

FIGURE 2 -- Dipôle On rappelle également que l'énergie potentielle EUR,, d' un 
dipôle
rigide p placé dans un champ Ê est telle que e,,= --}Î - E .

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Physique [, année 2014 -- filière PC

II.A. -- Interaction entre deux molécules polaires

Deux molécules fixes M1 et M2 de moments dipolaires respectifs @ et 132 sont 
respectivement

placées aux points 01 et 02. tels que 0102 : dû (voir figure 3). Lorsque deux 
molécules sont
en interaction, la situation étant symétrique, on appellera énergie potentielle 
d'interaction du
couple l'énergie potentielle d'une molécule dans le champ électrique de l'autre.

A priori, ]ÎÎ et 175 peuvent tourner dans tous les
sens a cause de l'agitation thermique, l'énergie po--
tentielle d'interaction e...- du couple n'est donc pas
constante. Les modules respectifs de fil et 172 sont
supposées constantes.

Ü 7 -- Comment doit être orienté E' pour que . .
le module du champ électrique Ê1702 créé par la FIGURE 3 _ Deux dipoles en 
interaction
molécule M1 en 02 soit maximal? En déduire la

valeur minimale emin et maximale en... de e...- et l'écart Ac : emaX -- cm.... 
Représenter sur un
schéma les positions relatives des deux dipôles dans ces deux états extrêmes.

Ü 8 -- Pour deux molécules d'eau p : H]ÎÏH : H}ÎËH : 6,2 - 10--30C -m et d = 
3,7 - 10_9 m.
Déterminer les valeurs numériques de cm..., emaX et A6 ; Comparer les valeurs 
de A6 et EUR... : kT
pour la température T1 : 373 K. On rappelle que 6... est une évaluation de 
l'énergie cinétique
moyenne d'agitation thermique. Les deux configurations d'énergie potentielle 
extrêmes de ce
système sont--elles accessibles ?

Pour évaluer la valeur moyenne de l'énergie potentielle d'interaction, on 
suppose que les seules
valeurs de 91 et 92 possibles sont celles correspondant a l'un ou l'autre des 
deux états d'énergie
potentielle extrêmes emin et emaX. Dans la statistique de Boltzmann, chacun de 
ces états est
associé a une probabilité P (e,-) = A exp(--,Ï--%) où A est une constante de 
normalisation, choisie
pour que la somme des probabilités soit égale a l.

Ü 9 -- Déterminer la valeur de la constante A en fonction de emaX, k et T. En 
déduire l'énergie
potentielle d'interaction moyenne entre ces molécules polaires, que l'on notera 
el. On pourra
simplifier l'expression obtenue en utilisant la relation d'ordre trouvée a la 
question 8 entre A6
et e.... Effectuer alors l'application numérique pour el, avec les valeurs 
précédentes, en prenant
T = 373 K.

II.B. -- Interaction entre une molécule polaire et une molécule pola-
risable

On étudie maintenant la situation dans laquelle la molécule M1 est la même que 
celle étudiée
dans la partie précédente, toujours située en 01, par contre la molécule M2 
située en 02 est a
présent non polaire, mais polarisable avec une polarisabilité 04. On pose 
toujours 0102 = d @ et
on suppose que 171 est dirigé selon @.

Conformément aux résultats de la partie l.C, la molécule M2 acquiert un moment 
dipolaire
induit @ : ozeoÊ1702. L'énergie potentielle d'interaction moyenne du couple est 
alors dans ce

1 --» "'
cas 62 = _5 p2-E1702.

Ü 10 -- Déterminer l'expression de 62 en fonction de 04, 50, d et 191 : H}ÎÏH. 
Calculer sa valeur

numérique avec toujours pl : 6,2 - 10--30 Cm, d = 3,7 - 10_9 m et oz : 
1,6.10_29 m3.

Page 3 / 7 Tournez la page S.V.P.

Interactions microscopiques

ILO. -- Interactions entre molécules non polaires

Si une molécule est non polaire, son moment dipolaire est nul en moyenne, mais 
pas en va--
leur instantanée. Une interaction entre deux molécules non polaires est donc 
possible par le
mécanisme décrit dans la partie HB. Un calcul un peu élaboré conduit a une 
énergie poten--
tielle moyenne d'interaction e3 entre deux molécules semblables, qui a pour 
expression

_ 1 6?th
2 d6

63:

Ici, h est la constante de Planck, oz la polarisabilité des molécules, d la 
distance qui les sépare et
fo la fréquence de résonance électronique de la molécule dont on a pu se faire 
une représentation
a la question 4.

Ü 11 -- Quelle théorie de la physique permet--elle d'obtenir l'expression de 63 
? En conservant
les valeurs précédentes pour d et oz puis en prenant fo : 8,81014 Hz, calculer 
la valeur numérique
de e3.

II.D. -- Synthèse

En réalité, les trois effets évoqués dans les parties précédentes s'ajoutent : 
une molécule déjà
polaire est aussi polarisable... Les valeurs numériques utilisées se rapportent 
a la vapeur d'eau
a T = 373 K.

Ü 12 -- Comparer les valeurs de el, e2 et e3. Justifier que, lorsqu'elles ne 
sont pas en contact,
la force d'interaction entre deux molécules peut s'écrire

D6A

_,__ 2 __
F- (Cd+T)d7u

où C et D sont des constantes que l'on explicitera en fonction des données du 
problème et "Ü un
vecteur unitaire que l'on précisera. Quelle est la valeur de D pour des 
molécules non polaires ?
Quel nom donne--t--on généralement a cette force ?

ILE. -- Conséquences pour un gaz réel

On considère un gaz réel formé de N molécules supposées ici non polaires, a la 
température T
et réparties uniformément dans un volume V.

Ü 13 -- On considère une molécule M de ce gaz supposée sphérique et de rayon &. 
Quel est le
nombre dN de molécules dont la distance a M est comprise entre r et r + dr ? En 
considérant
que r peut varier de 2e a l'infini et en reprenant les résultats de la question 
12, déterminer
l'énergie potentielle d'interaction totale moyenne E...- entre la molécule M et 
toutes les autres.

Ü 14 -- En déduire que, selon ce modèle, l'énergie interne du gaz peut s'écrire
7TNCOd2
U TV : N C T -- _
< , > læ< > M,}

où eC(T ) représente l'énergie cinétique moyenne d'une molécule. En déduire que 
dans ce modèle,
2

ii
l'énergie interne de ri moles d'un gaz réel monoatomique s'écrit U (T ,V) : nxT 
-- ?. On

précisera les expressions de EUR et x, proposer un nom pour la grandeur x. 
Cette relation reste--
t--elle valable pour un gaz réel polyatomique ?

FIN DE LA PARTIE II

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rn. -- Étude des liquides
III.A. -- Le liquide pur

On a rassemblé ci--dessous les hypothèses permettant de modéliser simplement un 
liquide $A
formé de molécules de type A. Dans toute cette partie on se place a une 
température nettement
inférieure à la température critique de $A.

-- L'énergie cinétique moyenne des molécules d'un liquide, notée ec est 
comparable à celle
des molécules d'un gaz de même température.

-- Les molécules sont supposées sphériques, de rayon a.

-- Il existe une interaction entre les molécules du liquide, que l'on suppose 
limitée aux
molécules en contact. On note --eAA l'énergie potentielle d'interaction pour un 
couple de
molécules en contact, avec eAA > 0. On suppose que cette grandeur est 
indépendante de la
température, de la pression.

-- On suppose qu'au sein du liquide, une molécule est toujours en contact avec 
ses 6
molécules voisines.

-- Bien que le liquide soit désordonné, on pourra raisonner comme si les 
molécules étaient
(en moyenne) rangées dans un réseau cubique simple d'arête 2a. Les mailles 
peuvent néanmoins
glisser les unes sur les autres, pour assurer la fluidité du liquide.

-- Le liquide est supposé incompressible et indilatable.

FIGURE 4 -- Modèle du liquide pur

Ü 15 La compacité observée pour des liquides usuels est de l'ordre de 0,6. 
Quelle est la
compacité du liquide dans le modèle proposé? Ce modèle est-il pertinent? On 
considère un
volume V de ce liquide, formé de N molécules. Quelle est la relation entre N, V 
et a? En
déduire la valeur de a pour l'eau liquide dans ce modèle.

Ü 16 -- L'énergie interne du liquide peut toujours s'écrire sous la forme U (N 
,T) = N eC--l--U ,,-,
la quantité U... désignant l'énergie potentielle d'interaction totale au sein 
du liquide. Combien
existe--t-il de couples de molécules en contact dans ce liquide si l'on néglige 
les effets de bord ?
En déduire, dans le modèle proposé, l'expression de U ),-- en fonction de N et 
eAA.

Interactions microscopiques

Ü 17 -- À la température T1 : 373 K, et a la pression P1 = 1,00 bar , on donne 
la chaleur
latente molaire (ou enthalpie molaire) de vaporisation de l'eau L.,)... : 
41,0kJ - mol--1. On
assimile la vapeur d'eau a un gaz parfait, déterminer la variation d'énergie 
interne AU"...
associée a la vaporisation d'une mole d'eau a cette température, on fera 
l'application numérique.
On rappelle que sous les hypothèses du modèle, la valeur de eC est la même dans 
l'eau liquide et
dans l'eau vapeur; en déduire une estimation de eAA et comparer sa valeur a 
celle de eth : kT ,
qui est une estimation de ec. Commenter le résultat.

III.B. -- Liquides miscibles, non miscibles

On observe que certains liquides sont miscibles en toutes proportions (eau / 
éthanol), d'autres

partiellement miscibles (eau / propanone), d'autres totalement non miscibles 
(eau / benzène).

Nous allons tenter dans cette partie de déterminer un critère de miscibilité.

On envisage ici la mise en solution de N B molécules d'un liquide 33 formé de 
molécules B,

dans N A molécules d'un liquide $A formé de molécules A. On se place sous les 
hypothèses

idéalisées suivantes :

-- dans le mélange, l'espèce A est majoritaire, c'est--à--dire N B << N A; -- le mélange est réalisé de façon isotherme et isobare, et on suppose les volumes additifs : le volume de la solution obtenue est égal a la somme des volumes initiaux de 3,4 et de JB ; -- le mélange ne change pas l'énergie cinétique moyenne des molécules, toujours égale a eC pour les molécules A ou B ; -- les molécules A et B possèdent une taille caractéristique comparable notée &; -- dans le mélange, les molécules B sont tellement minoritaires qu'elles sont toujours entourées de 6 molécules de type A. Les énergies potentielles d'interaction entre couples de molécules sont notées --eAA pour (A,/l), --eBB pour (B,B) et --eAB pour les couples (A,B). Toutes ces énergies sont négatives. Ü 18 -- Dans la cadre du modèle proposé, déterminer la variation d'énergie interne AUmel due au mélange de 3,4 et 33 en fonction de NB, eAA, 61313 et eAB. Justifier le fait que, dans le modèle proposé, la variation d'énergie interne AU,... corresponde a la variation d'enthalpie AHmel. On montre que si la solution de 33 dans 3,4 est diluée, la variation d'entropie accompagnant le mélange est donnée par la relation ASmel : --NBk ln(a:B), où 9133 représente la fraction molaire de B dans le mélange et k la constante de Boltzmann. Ü 19 -- Que peut--on dire de la variation d'enthalpie libre AG d'un système qui évolue spon-- tanément de façon isotherme et isobare? Déterminer la variation d'enthalpie libre AG,... au cours du mélange. Deux liquides sont dit miscibles s'ils se mélangent spontanément. En déduire une condition de miscibilité de 33 dans 3,4 reliant les paramètres 333, k, T, eAA, 61313 et eAB. III.C. -- Énergie de surface On se place désormais dans le cas où les deux fluides sont non miscibles. On étudie le cas dans lequel la surface de contact entre ces deux liquides est plane. Dans le cadre du modèle considéré, si une molécule A(resp. B) se trouve dans l'interface, elle est en contact avec une molécule B (resp. A) et 5 molécules A(resp. B) ; l'interface fAB est donc la couche d'épaisseur bimoléculaire formée par les couples (A,B ) en contact. Ü 20 -- Combien de couples de molécules (A,B) forment l'interface d'aire E ? Page 6/7 Physique [, année 2014 -- filière PC On envisage une transformation du système formé par l'ensemble (EA + 33 + JAB) a T et V maintenus constants au cours de laquelle l'aire de la surface de contact varie de dE. Ü 21 -- En supposant que l'énergie cinétique moyenne d'une molécule ne dépend pas du fait qu'elle se trouve ou non dans l'interface, déterminer la variation d'énergie interne de ce système lors de cette transformation. On l'écrira sous la forme dU : FABdE , où l'on exprimera l'énergie surfacique I'AB de l'interface fAB en fonction de eAA, eBB, eAB et &. III.D. -- Tension superficielle Considérons le système fermé &" formé des molécules de l'interface JAB et des molécules de 3,4 et de 33 qui sont susceptibles de passer dans l'interface si la surface varie de E a E + dE. Les paramètres d'état de .5" sont 2 et T. On rappelle que le volume de .5" ne varie pas, et que la pression n'influe pas. On note U,- l'énergie interne de .5" , S,- son entropie et E- = U,- -- T S,- son énergie libre. On suppose que cette transformation est réversible, et que, pour opérer cette transformation, il faut fournir a .5" un travail 5W : AABdE. La grandeur AAB est appelée tension superficielle de l'interface JAB. On constate expérimentalement que cette grandeur est toujours positive et qu'elle ne dépend que de T et pas de E. 3F: Ü 22 -- Montrer que AAB = -- . 82 T Ü 23 -- On considère une goutte de 313, de volume supposé invariable VB, en suspension dans le fluide 3,4. La température T est fixée. Montrer que la forme de la goutte, initialement quelconque, va évoluer vers une forme d'équilibre sphérique. FIN DE LA PARTIE III Oonstantes fondamentales utiles -- Nombre d'Avogadro : ./l@ = 6,02 - 1023 mole--'L -- Masse molaire de l'eau : MH20 : 18,0 - 10_3 kg - mole--1 -- Masse volumique de l'eau liquide : ,uH20 : 103 kg - m--3 -- Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J - K_1 - mole--1 -- Masse de l'électron : m = 9,11 - 10_31 kg Charge de l'électron : e = 1,60 - 104L9 C Constante de Boltzmann : k = 1,38 - 10_23 J - K_1 Constante de Planck : h = 6,62 - 10--34J - s -- Permittivité électrique du vide : 50 : È - 10_9 81 77 -- Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 - 108 m - s_'L FIN DE L'ÉPREUVE Page 7/7