Mines Physique 1 PC 2021

A2021 - PHYSIQUE I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2021 -- filière PC

JEAN PERRIN et l'hypothèse atomique

Les études théoriques sur le mouvement brownien, proposées par ALBERT EINSTEIN 
en 1905 et
complétées par celles de PAUL LANGEVIN en 1908, ont été spectaculairement 
confirmées par une
série d'une dizaine d'expériences réalisées entre 1907 et 1909 par JEAN PERRIN 
dont nous fêtons le
150° anniversaire de naissance. Ces études sont les piliers de l'acceptation de 
l'existence des atomes
par la communauté scientifique. Elles ont clos la « controverse atomiste > 
ouverte par les Grecs 6
siècles avant notre ère!

Après avoir pris connaissance des résultats de PERRIN, en 1908, l'un des 
derniers farouches anti-
atomistes, WILHELM OSTWALD, déclare « Je suis désormais convaincu que nous 
sommes entrés en
possession de preuves expérimentales du caractère discret ou granulaire de la 
nature, que l'hypothèse
atomique avait cherchées en vain depuis des millénaires >.

Les expériences de PERRIN et le modèle de LANGEVIN reposent entièrement sur les 
modèles micro-
scopiques de LUDWIG BOLTZMANN, fondateur dans la seconde moitié du xIx' siècle 
de la physique
statistique. Les travaux expérimentaux de PERRIN lui permirent notamment de 
mesurer la constante
de BOLTZMANN kB. En 1906, donc peu de temps avant la publication de ces 
travaux, BOLTZMANN se
suicida, las des critiques et des attaques des disciples d'OSTWALD...

En 1926, PERRIN obtint le prix NOBEL pour ses expériences !

ALBERT EINSTEIN

ee
de |:
dc hs "+ EU

PAUL, Dans ce sujet, nous proposons de revenir sur
Lancevin Quelques points de ce moment fameux de l'his-
toire de la physique en étudiant quelques as-

pects de la théorie de LANGEVIN et de cer-

taines des expériences réalisées par PERRIN.

Sur la photo ci-contre, prise lors du Congrès

SOLVAY de 1911, on retrouve les trois acteurs

de cette histoire, entourés de prestigieux collè-

gues. Pour réaliser ses expériences, JEAN PER-

RIN utilise des grains de gomme-gutte. Ecou-

tons le décrire son procédé d'obtention de ses grains : « La gomme-gutte, qu'on 
utilise pour l'aquarelle,
provient de la dessiccation du latex. Un morceau de cette substance, frotté 
avec la main sous un mince
filet d'eau distillée se dissout peu à peu en donnant une belle émulsion opaque 
d'un jaune vif, où le mi-
croscope révèle un fourmillement de grains jaunes de diverses tailles 
parfaitement sphériques. On peut
calibrer ces grains jaunes et les séparer du liquide où ils baignent par une 
centrifugation énergique. >

Dans tout ce problème, ces grains seront donc supposés identiques, de forme 
sphérique, de rayon
Ry = 0,2 nm, de volume VW, -- 3,4 x 107*° m° et de masse volumique up = 1,2 X 
10° kg -m *. On note
my = 4,1 x 107 kg la masse d'un grain. Dans ses expériences, JEAN PERRIN 
fabrique une émulsion
en introduisant ces grains dans de l'eau légèrement sucrée. Ce liquide possède 
une masse volumique
assimilable à celle de l'eau pure ue = 1,0 x 10° kg :m *. Le peu de sucre 
dissous dans l'eau lui confère
tout de même un caractère visqueux. De ce fait, l'eau exerce sur les grains en 
mouvement lent deux
forces :

-- la résultante des forces de pression, peu modifiée par rapport à une 
situation d'équilibre, est

donnée par la loi d'ARCHIMÈDE : cette force Il -- -- LV, g est exactement 
opposée au poids du
liquide déplacé par chaque grain ;
-- ]a résultante des forces de frottement visqueux se traduit par une force f 
-- --av où a > Det

v désigne la vitesse des grains. La formule de STOKES précise que, pour un 
grain sphérique,

a = 67nRy dans laquelle 7 = 1,2x107* Pa : s représente le coefficient de 
viscosité dynamique

de l'eau légèrement sucrée. Avec ces valeurs numériques, on trouve ici a = 
45x10 °kg sf.
En dehors de ces données, aucune connaissance relative à la viscosité n'est 
nécessaire à cette étude.
Ce problème est décomposé en 4 parties relativement indépendantes : la partie I 
est consacrée au
modèle du gaz parfait ; la partie IT est dédiée aux expériences de 
sédimentation pratiquées sur les
émulsions ; la partie IIT présente le modèle théorique du mouvement brownien de 
LANGEVIN complété
par les expériences de diffusion de PERRIN; la partie IV étudie les moyens 
optiques mis en oeuvre par

JEAN PERRIN pour réaliser ses mesures.

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Physique I, année 2021 -- filière PC

Dans ce qui suit on utilisera la fonction A(z) = exp (--2/H). Les vecteurs sont 
surmontés d'une flèche f.
sauf s'ils sont unitaires et sont alors repérés par un chapeau (|le,|| = 1). 
Les applications numériques
seront données avec un chiffre significatif. La valeur moyenne temporelle d'une 
fonction w(t) sera notée
(w). Toute réponse, même qualitative, se doit d'être justifiée. Les 
affirmations, même justes, mais
non justifiées ne seront pas prises en compte.

I Équilibre vertical d'un gaz à la température ambiante

On considère un gaz parfait constitué de molécules identiques, de masse molaire 
M = 30 g + mol !!
en équilibre thermique à la température ambiante T6. Le gaz, soumis à la 
pesanteur, est au repos
dans un récipient de volume V, de hauteur À de l'ordre de quelques mètres, et 
de section $ = 1 m°.
L'encombrement caractéristique d'une molécule constituant ce gaz est une sphère 
de rayon R,, de
l'ordre de la centaine de picomètres.

On rappelle les valeurs de l'accélération de la pesanteur g = 9,8m:s *, de la 
constante de BOLTZMANN.
kp = 14x10 * J-K!, de la constante d'AVOGADRO, N1 = 6,0 x 10° mol ! et 
éventuellement de
leur produit R = kgN1 = 8,39. K-!:mol !.

1 -- 1. En précisant les valeurs choisies de température T5 et de pression 
(supposée provisoirement
uniforme) Po, estimer le volume molaire du gaz. En déduire une estimation du 
rapport entre le
volume occupé par l'ensemble des sphères associé aux molécules et le volume du 
récipient.

D -- 2. Rappeler la définition d'un gaz parfait. Les ordres de grandeur établis 
à la question précédente
justifient-ils d'adopter ce modèle dans la suite ?

I -- 3. Donner l'expression de l'énergie cinétique ZA, et de l'énergie 
potentielle £,,, d'une particule
de masse m,, de ce gaz. Pourquoi observe-t-on qu'à température ambiante ces 
molécules ne se
regroupent pas au fond du récipient ?

La loi de la statique des fluides montre que, sous l'action de la pesanteur, la 
pression P(z) n'est pas
uniforme verticalement et dépend de l'altitude 2.

 -- 4. En déduire que la masse volumique 9 du gaz dépend aussi de z et 
l'exprimer en fonction de
P(2). Ecrire la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz 
comprise entre les
altitudes z et z + dz pour laquelle on supposera l'équilibre thermodynamique 
local réalisé. En
déduire une équation différentielle vérifiée par P(2).

P(2
Q -- 5. En notant Pj = P(z = 0), montrer que s'exprime simplement grâce à la 
fonction A(z).

Exprimer la distance caractéristique H en fonction de kB, q, To et Mm. Calculer 
la valeur
numérique de A. La variation de pression est-elle détectable, avec un manomètre 
usuel, dans
le récipient considéré ? En serait-il de même si le récipient était rempli 
d'eau liquide ?

E(2)
kBTo
Interpréter physiquement cette expression dont la généralisation est due à 
BOLTZMANN.

1 -- 6. Préciser la fonction E(z2) telle que A(z) = exp - | Que représente la 
fonction E(z) ?

D -- 7. Montrer que la concentration c, (z) du gaz, rapport du nombre de moles 
sur le volume, suit
une loi du même type, et qu'on peut écrire c;(z) = cm A(z), où cCy représente 
la concentration
au niveau du sol (2 = 0) dont on précisera l'expression.

II Étude d'un équilibre de sédimentation

Dans une première expérience, JEAN PERRIN lâche, sans vitesse initiale, à la 
surface d'un récipient,
un grand nombre (N = 13 000) de grains dans de l'eau légèrement sucrée. Le 
récipient a une section
S et une hauteur h; suffisante pour être considérée comme infinie.

D -- 8. Faire le bilan des forces exercées sur un des grains lors de sa chute 
dans l'eau sucrée.

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Physique I, année 2021 -- filière PC

D -- 9.

On note ü(t) = --u(t)e, la vitesse de chute du grain, ê, étant l'axe vertical 
ascendant, et
v(t) > 0. Établir l'équation différentielle vérifiée par v(t) puis donner sa 
solution.

Montrer qu'une fois le régime permanent établi, les grains possèdent une 
vitesse limite vy --
m"g/a.

Exprimer le paramètre m" en fonction de V, et des masses volumiques 4 et ue. 
Justifier qu'on
nomme cette quantité « masse apparente >.

Exprimer la durée caractéristique 7 du régime transitoire en fonction de my et 
a. Evaluer un
ordre de grandeur de w et de r.

Même au bout d'une longue durée, les grains ne se tassent pas au fond du 
récipient. On observe un
phénomène de sédimentation : les grains se répartissent sur l'ensemble de la 
hauteur et la densité de

grains, notée c(z) et exprimée en m_

3 n'est pas uniforme.

Afin d'interpréter ce phénomène, on introduit deux vecteurs, appelés « densité 
de flux de particules >
et qui s'expriment dans les mêmes unités mais par des lois distinctes :

e Un premier vecteur densité de flux, 7, est associé au mouvement de chute des 
grains. Il est à

l'origine d'un phénomène de convection et défini par la relation 7,(2) = --c(z) 
vyé, :

e Un deuxième vecteur densité de flux est associé au gradient de densité, ici 
sur l'axe z. L'inho-

Li -- 10.

D -- 11.

D -- 12.

mogénéité crée un courant de particules dont l'expression est donnée par la loi 
de FICK qui

> C = ?
s'écrit ici ]n(2) = ------De,. Le coefficient D se nomme coefficient de 
diffusion. Il dépend de la

nature du milieu et des particules étudiées. Aucune connaissance relative à la 
loi de FICK n'est
nécessaire à l'étude du problème.

Donner les unités (ou dimensions) communes aux vecteurs Je et fn, ainsi que 
l'unité de D. À
l'état d'équilibre macroscopique, caractérisé par une température uniforme T{ 
et une répartition
de concentration c(z) indépendante du temps, quelle est la relation entre je et 
71n ? En déduire
une équation différentielle du premier ordre vérifiée par c(2).

En posant c(z2 = 0) = co, exprimer c(z2) en fonction de Az), on déterminera la 
distance
caractéristique Hy, apparaissant dans A(z) en fonction de R4, D, n, m", et g.

Compte tenu des forces conservatives s'exerçant sur un grain, quelle est 
l'expression de l'énergie
potentielle E (2) correspondant au poids de la masse apparente m" du grain à 
l'altitude z ?
En déduire l'expression de D en fonction de kg, To, n et R, permettant d'écrire 
A(z) --

Bo]

kBTo

Sachant que le nombre N de grains est conservé sur la hauteur h; du récipient, 
suffisamment
grande pour être supposée infinie, exprimer la concentration co en fonction de 
N, de la section #,
et de la distance caractéristique AH}.

exp |-

Une fois la température de l'émulsion stabilisée à une valeur

uniforme 75 -- 20°C, JEAN PERRIN a compté le nombre & Points de mesure
moyen n(z) de grains dans des petites tranches régulièrement 7: Infn(z)] LT 
Ajustement linéaire
réparties en hauteur et d'épaisseur e constante. Il publie les 25 TR
' ' ° BR NA _-- 24
résultats que nous avons synthétisés sur la figure 1 (Annales 4091 sy) 100 À + 
4,7
de Chimie et de Physique, Mouvement brownien et réalité 351".
moléculaire, 8° série, sept. 1909). 201 TR
Q --- 13. En exprimant c(2) en fonction de n(2), déduire de ces 254 &,
données une estimation de la hauteur caractéristique ( ( R | > 2Z [um

Li -- 14.

H, associée ici au phénomène. La hauteur du récipient
utilisé par JEAN PERRIN, 1 = 100 pm, était-elle suf- FIGURE 1 - Sédimentation 
de grains
fisante au regard des hypothèses faites ici ?

Estimer la valeur de kg qu'a pu déduire JEAN PERRIN de cette expérience. 
Identifier des causes
d'erreurs expérimentales.

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IIT Le modèle de LANGEVIN

En 1828, le botaniste ROBERT BROWN publie un article dans lequel il décrit le 
mouvement erratique
de grains de pollen dans l'eau observés au microscope. Ce type de mouvement 
était apparemment
connu depuis l'invention du microscope (fin XVI -- début XvII' siècle). Le 
mérite de BROWN est d'en
faire une étude systématique avec des grains de pollen, de suie, de poussière, 
de roches pulvérisées
et même d'un fragment du SPHINX. Ce dernier cas était destiné à éliminer 
l'hypothèse vitaliste qui
prévalait et attribuait ce mouvement à des propriétés organiques propres aux 
particules. En 1888, le
physicien français LOUIS-GEORGES GOUY résume les observations sur ce mouvement, 
appelé depuis
brownien :

e le mouvement est extrêmement irrégulier et ne semble pas avoir de tangente ;
e deux particules browniennes, même proches, ont des mouvements indépendants ;

e le mouvement est d'autant plus actif que la particule est petite, que le 
fluide est moins visqueux
ou la température est élevée ;

la nature et la densité des particules n'ont pas d'influence sur le mouvement 
qui de plus ne
s'arrête jamais !

Pour interpréter les expériences de BROWN, on étudie le mouvement 
unidimensionnel -- le long d'un
axe (O,EUR,) -- des mêmes grains sphériques que ceux étudiés dans la partie IT 
(masse my, rayon Ry).
Ces grains sont plongés dans le même liquide sucré que celui utilisé dans 
l'expérience de JEAN PERRIN,
en équilibre thermique à la température To, mobiles sous l'effet de l'agitation 
thermique. Ce modèle
unidimensionnel peut éventuellement se généraliser à trois dimensions.

On note x = x(t)e; la position et ü = v(t)e, la vitesse d'un grain. À & -- 0, 
le grain étudié est en ©.
Le mouvement ne s'arrêtant jamais, en 1908, PAUL LANGEVIN propose l'idée qu'il 
existe des chocs
à l'échelle microscopique qui entretiennent cette agitation. Il introduit une 
force qui synthétise la
résultante des chocs aléatoires des molécules de fluide sur les grains. Cette 
force < indifféremment positive ou négative, dont le but est de maintenir l'agitation microscopique > 
est notée F.. -- Fex. En
des termes moins prosaïques, cela revient à faire l'hypothèse que la moyenne 
temporelle du produit
d.F, est nulle, soit (xÆ.) = 0. Dans son modèle, LANGEVIN néglige tous les 
effets de la pesanteur
mais tient compte de la résultante des forces de frottement visqueux.

Q -- 15. Ecrire l'équation, notée (Æ7), vérifiée par U en tenant compte de la 
force F.. Montrer qu'en
l'absence de la force F., le mouvement s'atténue très vite.

d d
D -- 16. Ecrire le produit te en fonction de co

D -- 17. Donner la définition de la vitesse quadratique moyenne, notée u. Dans 
le cas particulier de

et v?.

notre étude on montre que myu? = kpTo. commenter ce résultat.

Le point délicat de la théorie de Langevin revient à considérer que la fonction 
& = {xv), qu'il calcule
comme une moyenne temporelle, peut néanmoins être considérée comme une fonction 
du temps & --

d(xv d
t), nous ferons cette hypothèse, dite ergodique, qui permet d'écrire ici (æv) = 
© ou même
7 dt dt
d(x), _ d{æ*) ., | | | or:
----©°) = ------. L'étude de pothèse ergodique alimente depuis de nombreux 
travaux riqu
( di ) di L'étude de l'hypoth d l te d d breux travaux théoriques

tant physiques que mathématiques.

Qi -- 18. En partant de l'équation (Æ7), obtenir une équation différentielle du 
premier ordre linéaire
à coefficients constants vérifiée par la fonction w(t). En supposant que &(0) = 
0, en déduire
l'expression de w(t) en fonction de t, kg, To, my et a.

Q -- 19. En utilisant l'hypothèse ergodique, déterminer la relation entre g(t) 
et #(t) -- (x*). Après
avoir obtenu l'expression générale de #(t), montrer que les ordres de grandeur 
de ce problème
permettent d'écrire #(t) = D;t où l'on précisera l'expression de la constante 
D, en fonction de
To, kB et à.

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La constante D. est appelée coefficient de diffusion d'un grain & Points de 
mesure

selon (Ox) dans le milieu. En prenant en compte le modèle de |---- Ajustement 
linéaire
LANGEVIN, JEAN PERRIN réalise toute une série d'expériences 200 ) ) Le
de diffusion de grains au cours du temps. Avec une extrême 150] (x ) I m° --

minutie, il repère la position de l'un d'entre eux toutes les |
30 secondes pendant deux minutes, puis recommence avec un  :{p1
autre grain. En itérant cette procédure un grand nombre de
fois, il se place sans le savoir sous l'hypothèse ergodique et 50 + &
obtient les résultats expérimentaux donnant (x*) en fonction to et Lt
du temps que l'on a synthétisés sur la figure 2 ci-contre (source 0 1% |

identique à celle des données de la figure 1). . Fo Due ! 100 120
IGURE 2 -- Diffusion de grains

-- 20. En déduire la valeur de kg qu'a obtenue JEAN PERRIN avec ses expériences 
de diffusion toujours
effectuées à 75 -- 20°C. Comparer cette valeur avec celle obtenue grâce aux 
résultats des
expériences de sédimentation de la partie IT. Commenter.

°
+
+
°
°
le
#
°
°
+
°
°
+
°
°
°
°
e
°
po
e

e
°
°
°°
°
e
e
6
+
°
+
+
°
+
+
+
°
Do
e

IV Observations optiques

Lors de ses expériences JEAN PERRIN doit compter ou suivre le mouvement de très 
petits grains : il
doit donc utiliser un microscope.

Un microscope est constitué de deux lentilles minces convergentes utilisées 
dans les conditions de
GAUSS : un objectif, L1, de focale f; et un oculaire, L2, de focale f;. La 
distance F{ F2, entre le foyer
image de l'objectif et le foyer objet de l'oculaire, est l'intervalle optique 
A. Les ordres de grandeur
usuels sont tels que : f{ = 1mm, f, -- 2cm et À -- 15cm par exemple. L'oculaire 
Lo fournit une

image à l'infini. On observe un objet AB situé à proximité de F3 et 
perpendiculaire à l'axe optique.

objectif Li
--?

L'image intermédiaire AB; est telle que AB A;1B;. L'image finale A2B: est telle 
que

A1B: ocuraire La, AB. L'ensemble est représenté sur la figure 3.

JEAN PERRIN

: 4.

À L À Lo à
B = Oculaire
î o sl F lo | o
AFF OO, O; F,
Objectif 1
\ o ' |
Objectif US

FIGURE 3 -- Schéma d'un microscope (à gauche) -- JEAN PERRIN observant les 
grains (à droite)

D -- 21. Rappeler ce que sont les conditions de GAUSS et les deux propriétés 
qu'elles impliquent pour

une lentille mince.

U -- 22. Sur un schéma clair, sans forcément respecter d'échelle, tracer les 
rayons issus d'un objet AB

tel que |AO:| > f; et ressortant de L2 afin de former une image à l'infini. On 
pourra reproduire
et compléter le schéma de la partie gauche de la figure 3.

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Physique I, année 2021 -- filière PC

UM -- 23. Justifier, grâce à une évaluation d'ordres de grandeur, que l'objet 
AB se trouve quasiment
sur le foyer F1 de l'objectif, tout en restant en amont (AF; > 0). Quel est 
l'intérêt pour un
observateur dont la vision n'a pas de défaut, d'observer une image à l'infini ? 
Où se forme alors
l'image intermédiaire A1 B1 ? Où se formerait-elle si AF, < 0? a! AB à 1m !. L'angle a est l'angle sous lequel l'objet AB est vu en sortie de l'instrument, comme indiqué sur la figure 4. On définit la puissance intrinsèque d'un microscope par : P; = . Son unité est la dioptrie 0, égale L -- 24. Compte tenu des données numériques précédentes, exprimer P; en fonction de À, f; et f2. Evaluer la puissance d'un microscope permettant d'observer les grains de gomme-gutte étudiés par JEAN PERRIN. Un microscope usuel peut-il permettre d'observer les grains avec un oeil supposé emmétrope ? Y FIGURE 4 - Angle a' Formulaire d'optique géométrique pour une lentille mince Dans les conditions de GAUSS, si À est un point objet sur l'axe optique et 4' le point image conjugué par une lentille mince située en ©, dont le foyer objet est en F et le foyer image en F", on a : Formules d'optique géométrique de NEWTON (origines aux foyers) Formule de conjugaison : FA x F'A' = FO x FO Formule du grandissement : A'B' FO  F'4 AB FA  F'O où A'B' est l'image de l'objet AB perpendiculaire à l'axe optique. Y -- Formules d'optique géométrique de DESCARTES (origines au centre optique) Formule de conjugaison : 1 1 1 -- + OA OA OF Formule du grandissement : A'B' A! AB OA TV -- FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6