Mines Physique 1 PC 2022

A2022 --- PHYSIQUE I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2022 -- filière PC

Mesures optiques de propriétés mécaniques

Ce sujet comporte deux parties indépendantes présentant des méthodes de mesures 
fines utili-
sant divers dispositifs optiques. La partie I décrit une structure courante de 
l'univers, les étoiles
binaires, avant de présenter une méthode interférométrique pour mesurer leur 
écart angulaire.
La partie IT s'intéresse à la structure fine des raies d'émission de l'atome 
d'hydrogène et à
leur mesure interférométrique. Les deux méthodes optiques présentées ici ont en 
commun leur
premier auteur, le physicien américain ALBERT MICHELSON.

Pour toutes les applications numériques, on se contentera de deux chiffres 
significatifs. Les
données nécessaires, accompagnées d'un formulaire utile à la simplification des 
relations trigo-
nométriques, sont regroupées en fin d'énoncé.

I Les étoiles binaires et leur mesure

Cette partie comporte deux problèmes I.A et I.B, qui sont totalement 
indépendants.

En astronomie, on parle d'étoile double pour une paire d'étoiles qui 
apparaissent comme proches
l'une de l'autre dans le ciel lorsqu'on les observe depuis la Terre. Dans 
certains cas il s'agit d'un
système binaire d'étoiles en orbite mutuelle : elles tournent toutes les deux 
autour de leur
barycentre commun sous la seule action des forces gravitationnelles. Dans 
d'autres cas, leur
alignement est simplement fortuit et ce cas ne nous concerne pas dans ce qui 
suit.

LA Structure gravitationnelle d'une étoile binaire
I.A.1 Un premier modèle très simple

On étudie le système formé de deux étoiles assimilées à deux points matériels À 
et B, de même
masse M, toutes les deux en orbite circulaire de rayon r autour de leur 
barycentre commun ©,
lui-même immobile dans le référentiel galiléen d'étude (Oxy2) (figure 1). On 
note G la constante
de la gravitation universelle.

à U Cp
Le . ' \ &.
Es | NA
: Ve
D #0 7
10
AC

FIGURE 1 -- Étoile binaire symétrique en mouvement circulaire

D -- 1. Exprimer les forces F et FA exercées au sein du système en fonction 
notamment de M
et 7.

Donner l'expression de l'énergie potentielle E,(r) associée à ces forces.

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Physique I, année 2022 -- filière PC

LD -- 2. Exprimer la période T; du mouvement des deux composantes de l'étoile 
binaire en fonction
de r, M et G.
Application Numérique : Le système est formé de deux étoiles de même masse que 
le
Soleil, distantes l'une de l'autre de la même distance que la distance moyenne 
Terre-
Soleil (dite unité astronomique UA). Calculer la valeur de la période T} 
associée que l'on
exprimera en années terrestres.

LD -- 3. Exprimer, en fonction de G, M et r, l'énergie mécanique totale du 
système.

Commenter brièvement le signe de l'expression obtenue.

I.A.2 Généralisation partielle du modèle

On étudie maintenant, relativement au référentiel galiléen (Qxyz), le mouvement 
du système

binaire formé de deux étoiles ponctuelles À et B de masses m1 > mg. On notera R 
-- A leur
position relative et R = |[R]|. Le vecteur À est a priori variable (figure 2) ; 
le barycentre des
deux étoiles, noté Gr, est donc aussi mobile.

FIGURE 2 - Étoile binaire quelconque en mouvement arbitraire.

J -- 4. Exprimer en fonction de m1, mg, G et À les forces F B et F 1 exercées 
sur les deux étoiles.
Ces forces dépendent-elles du référentiel d'étude ?

D -- 5. Montrer que le référentiel (Gxyz) est également galiléen. Toute la 
suite de l'étude sera
menée relativement à ce nouveau référentiel.

> NT -- -- NT --
U -- 6. Établir les relations GÉ A RH GA = TE
MA + MB MA +MmB
2 R
En déduire la relation ae À = --K En et expliciter les constantes À et n.

L -- 7. Si l'étoile binaire forme un système lié, justifier que son mouvement 
est périodique et
déterminer l'expression de la période 7; du mouvement en fonction notament des 
deux
masses et d'une longueur que l'on précisera.

I.B Mesure de l'écartement angulaire des étoiles doubles

Lorsque les deux étoiles sont très proches, elles peuvent être difficiles à 
distinguer. L'étude menée
ici sera faite dans le domaine visible et on prendra pour longueur d'onde A9 = 
550 nm d'un
éclairage supposé ici monochromatique, avec un télescope constitué d'un miroir 
parabolique
(dont on admettra qu'il est équivalent à une lentille mince, unique et 
convergente) de distance
focale f" -- 33m et de diamètre d'ouverture d -- 5m. On rappelle l'expression 
sin0 = À5/d
reliant l'échelle angulaire du phénomène de diffraction et la taille 
caractéristique de l'ouverture
diffractante.

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Physique I, année 2022 -- filière PC

D -- 8. En déduire la valeur du pouvoir séparateur (ou résolution angulaire) du 
télescope utilisé.
Montrer qu'un système binaire formé de deux étoiles distantes d'une unité 
astronomique
ne peut pas être séparé s'il est, par rapport à l'observateur, distant de L > 
Lx.

Déterminer la valeur de LL en années-lumière.

Lorsque la distance à laquelle se trouve le système double est trop élevée pour 
pouvoir en offrir
une image bien séparée, on peut utiliser un dispositif interférométrique comme 
celui installé en
1920 par MICHELSON et PEASE devant le télescope américain Hooker (figure 3).

à NUE és

4 |

>

nn. (10% se Er o ee RL. LA

1 à
"NES me

a

FIGURE 3 -- Le dispositif interférométrique réel.

Le schéma décrivant le dispositif est proposé figure 4. On y remarquera que 
l'axe du télescope y
est représenté horizontal pour plus de lisibilité et que ce dernier à été 
remplacé par une lentille
équivalente.

BP = ail
A NM Î
D» RTL mm à
NS A
11 --- LA |
se :
M Re
s I

= b a CeP
Te e |

a nn 2228 --- = ze ---- ____£

ue F
Dinant)
Lun
Dhs
.
I I
TT | lle éaui |
A > À LE Lentille équivalente f' }
M, au télescopeÿ

FIGURE 4 -- Le schéma équivalent au dispositif interférentiel.

Le faisceau parallèle issu de l'étoile À parvient dans la direction de l'axe 
optique sur le système,
avant d'être réfléchi et diffracté par les miroirs M, et M. Les miroirs 
auxiliaires M et M,
renvoient ces faisceaux vers le télescope avant de converger dans son plan 
focal image, au point
F" pour le faisceau non diffracté et en d'autres points P pour le faisceau 
diffracté.

1 -- 9. Rappeler l'énoncé du théorème de MALUS (ou de MALUS et DUPIN).

En déduire l'expression de la différence de marche 04 = (AMP) -- (AMP) en 
fonction
de la géométrie du dispositif et d'une coordonnée cartésienne de P.

Application Numérique : On donne a = 2,50 m. Calculer et commenter 
l'interfrange 1.

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Physique I, année 2022 -- filière PC

Qi -- 10. Exprimer l'intensité lumineuse (ou éclairement) /4(P) observée au 
point P en fonction
de bo, a, f', x et de Jo4 qui désigne l' intensité totale issue de À et 
parvenant sur l'un des
miroirs M. ou M.

On prend en compte maintenant la lumière provenant de l'étoile B, à la même 
longueur d'onde
)o mais décalée d'un angle ÿ. On note 1,8 l'intensité totale issue de B. Sur la 
figure 4 ci-dessus
on supposera 0 > (0.

LU -- 11. Les sources À et B sont-elles cohérentes entre elles ?
Calculer 08 = (BMP) -- (BM,P) en fonction de 01, 0 et b.

D -- 12. Exprimer l'intensité lumineuse totale 7(P) en utilisant la formule 
géométrique affirmée
en annexe pour l'exprimer sous la forme :

I(P)=K : + cos (ar =) v(0)

L

dans laquelle on explicitera uniquement les constantes À et Ax ainsi que la 
fonction V (4)
en fonction des données du problème.

D -- 13. Quelles sont les significations physiques de x0 et Ax? Expliquez 
comment l'étude des
franges permet de mesurer l'écartement angulaire des deux composantes d'une 
étoile
double à l'instant de l'observation. Comment, à votre avis, peut-on ainsi 
distinguer un
vrai système binaire d'une étoile double par alignement fortuit ?

D -- 14. Quelle valeur faut-il donner à la largeur commune { des miroirs 
auxiliaires M et M;
pour pouvoir observer en tout au moins une dizaine de franges de part et 
d'autre de la
frange centrale ?

IT La raie rouge de l'hydrogène

Cette partie comporte deux problèmes IT.A et IL.B qui sont très largement 
indépendants.

II.A Les raies d'émission de l'atome d'hydrogène

II.A.1 Le modèle de Bohr et les raies de Balmer

En 1913, le physicien danois NIELS BOHR propose un modèle semi-classique 
permettant d'esti-
mer l'énergie de l'électron (masse m., charge --e) au sein de l'atome formé 
d'un proton (charge
+e fixe à l'origine © des coordonnées). Dans un modèle classique et non 
relativiste, la seule
force prise en compte est la force d'attraction électrique entre les deux 
charges. On notera EUR
la permittivité diélectrique du vide.

D -- 15. Montrer que dans ce modèle le mouvement de l'électron est plan. On 
notera r la distance

dr
de l'électron à O, -- = 7 et © l'amplitude du moment cinétique de l'électron.

dt
- 1
1 -- 16. Etablir l'équation de conservation Mer + Usg(r) = cte et exprimer 
l'énergie potentielle
effective Uy(r) en fonction de e, £o, me et ©.

J -- 17. Quelle est la signification physique d'un minimum de l'énergie 
potentielle effective ? En
déduire le rayon r et l'énergie E d'une trajectoire circulaire en fonction de 
&, m., &pete.

La raie rouge de l'hydrogène correspond à un rayonnement visible (A9 -- 656 nm) 
émis lors de
la désexcitation de l'électron depuis la trajectoire circulaire de niveau o = 
3h vers le niveau
o = 2h où h = h/27, h étant la constante de Planck.

QU -- 18. Expliciter l'écart AE d'énergie entre ces deux niveaux puis À en 
fonction de h, c (célérité
de la lumière dans le vide), e, m. et EUR.

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Physique I, année 2022 -- filière PC

II.A.2 Une correction relativiste

L'expression établie ci-dessus constitue une première approximation qui doit 
être corrigée si on
veut rendre compte des valeurs exactes des longueurs d'onde d'émission par une 
lampe à vapeur
d'hydrogène atomique. Une de ces corrections est de nature relativiste. Nous 
allons seulement
en chercher un ordre de grandeur.

e? e?

D -- 19. On appelle constante de structure fine la grandeur a -- -- . Préciser 
sa
ArEohc 2Eohc

dimension puis estimer son ordre de grandeur.

Dans le cadre relativiste, l'énergie mécanique totale d'une particule de masse 
m et de vitesse v
a pour expression :

Qi -- 20. Exprimer le développement limité de E à l'ordre 4 en v/c sous la 
forme E = E5 + Kv° +
uv* + o(v*/c*) en précisant les expressions de # et 1.
Proposer une interprétation simple des deux premiers termes Æ et Kv*.

M -- 21. La correction relativiste à l'énergie AE d'une transition entre 
niveaux d'énergie s'écrit
À Exelat -- ÀE

AE

r a. Déduire de ce qui précède l'entier p puis conclure,

sous la forme

numériquement.

IIB Spectrométrie interférentielle
II.B.1 La méthode de Michelson

L'appareil utilisé est constitué (voir la figure 5) d'une lame séparatrice S' 
semi-réfléchissante
et d'une lame dite compensatrice C', parallèle à la précédente, de même 
épaisseur et de même
indice optique. Ces deux lames sont toutes deux parallèles au plan (Ouz) où 
l'axe (Ou) est la
première bissectrice des axes (Oy) et (Ox) qui sont orthogonaux aux miroirs 
plans M}, (fixe)
et M (mobile le long de (Ox) à la vitesse Ü = ve,).

| SS &
CJ
Î
&
OURS

FIGURE 5 -- L'interféromètre de Michelson

QU -- 22. Expliquez, au moyen d'un schéma, le rôle de la lame (C'). Précisez en 
particulier, dans le
cas de la figure 5, si la face réfléchissante de la lame (S) est la face 
supérieure (1) ou la
face inférieure (2).

LD -- 23. L'appareil est éclairé par une source de lumière étendue. Quelle est 
la nature des franges ?
Où peut-on les observer ?

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Physique I, année 2022 -- filière PC

D -- 24. On utilise une source monochromatique de longueur d'onde À5. On 
choisit l'instant { = 0
au moment du contact optique et on note 1, l'intensité lumineuse totale en 
sortie de
l'appareil sur l'axe (Oy) lorsqu'un des deux miroirs est obstrué. Exprimer, en 
fonction de
T5, Ào, v et t, l'intensité 7(t) observée sur cet axe lorsque les deux miroirs 
sont éclairés.

En 1892, MICHELSON installe, au bureau international des poids et mesures 
(BIPM) de Sèvres,
un interféromètre identique à celui décrit ci-dessus pour rechercher parmi les 
lampes spectrales
connues (hydrogène, cadmium, etc.), celle qui présenterait la meilleure 
monochromaticité et
établir ainsi un étalon de longueur optique.

II.B.2 La mesure de la structure fine de la raie rouge

On éclaire maintenant l'appareil décrit ci-dessus au moyen d'une source 
bichromatique émettant
deux raies de longueurs d'onde voisines, de longueurs d'onde À = Ào et À -- À0 
+ AA et
d'intensités 1, et L < Ï:. Qi -- 25. En admettant que [AA] & À, montrer que l'expression du contraste des franges s'écrit de la manière suivante : Al A) = 1-2 rut 2 C(t) | + sin TU =) puis calculer les contrastes maximal et minimal en fonction de L et J:. DJ -- 26. Réalisant la mesure du spectre de cette raie, MICHELSON a observé, en déplaçant le miroir mobile d'une longueur Ax = 8,5 mm depuis le contact optique, une diminution progressive du contraste qui atteint alors sa valeur minimale Ch © 15%. En déduire L/1; puis la valeur de AA/X, puis commenter l'ordre de grandeur obtenu au regard des développements mécaniques qui précèdent. La structure fine ainsi observée n'a pu être expliquée qu'avec le développement ultérieur de la mécanique quantique pour le calcul du spectre détaillé des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène. Données numériques Année-lumière 1 AL -- 9,46.10© m Célérité de la lumière dans le vide c = 3,00-10° ms! Charge élémentaire e -- 1,60-107C Constante de Planck h = 6,63-107% J-Hz ! Constante de la gravitation universelle G -- 6.,67-10 1 m°-kg ls? Distance Terre-Soleil (unité astronomique) d = 1 UA = 1,49-10!!m Masse de l'électron me = 9,11-10 71 kg Masse du Soleil M = 1,99-10* kg Période du mouvement de la Terre (année) 75 = 365,25 j = 3,16-10°$ Permittivité diélectrique du vide Eo = 8.85-107 Fm ! 1 V2 = 1,41, -- 0,71 V2 Page 6/7 Physique I, année 2022 -- filière PC Formulaire Pour tous a > 0,a2 >0, 4 ERet@ ER, on peut écrire :

Ü +0
1 +6) |

&1 COS Ü1 + G2 COS D -- a COS |
avec respectivement :
0, -- 0 2,/a1a
a = (a + an) 1 -- mé sin 8 et m-- -- ,

tandis que © EUR KR est donné par :

di -- Q2 O1 -- 0
tan

tan © --
P da + & 2

FIN DE L'ÉPREUVE

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