Mines Physique 1 PC 2023

A2023 --- PHYSIQUE I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2023 -- filière PC

Les sylphes

Un formulaire et des données numériques sont fournis à la fin du sujet.
Toutes les applications numériques seront effectuées avec 1 chiffre 
significatif.

Les sylphes sont des émissions lumineuses rouges, très intenses et relativement 
brèves (de
l'ordre de quelques centaines de millisecondes) qui se produisent entre le 
sommet des nuages
et l'ionosphère. La majorité d'entre-elles se situe entre 40 et 80 km 
d'altitude. Elles ne sont
observées et étudiées que depuis 1990 environ. Certaines de leurs 
manifestations avaient déjà été
rapportées bien avant mais leur observation depuis la Terre est difficile. Les 
sylphes font partie
d'un groupe d'émissions lumineuses qui se produisent au moment des orages et 
qui compte
aussi les jets bleus et les elfes, voir la figure 1. Ces émissions sont la 
conséquence de courants
électriques importants qui se produisent lors d'une avalanche de créations 
d'ions et d'électrons.
L'initiateur de l'avalanche peut être une particule du rayonnement cosmique. 
Lors de chocs
avec les molécules, les électrons des courants électriques apportent de 
l'énergie à celles-ci qui la
perdent ensuite en émettant de la lumière visible.

:Thermosphère

Ionosphère

Mesosphère

Altitude [km]

Filaments ee

SEAT ot
ss)
D d OR
: Pr: d LE
| Troposphère ist } + Eclairs
| J
Distance [km] 100 200 300

FIGURE 1 --- Différentes formes de phénomènes lumineux éphémères atmosphériques

Ce sujet comporte 3 parties largement indépendantes. La première concerne 
l'observation
des sylphes. La seconde étudie des propriétés électriques de l'atmosphère. La 
dernière partie
présente le modèle de la formation avalancheuse du courant à l'origine des 
sylphes.

I Observation des sylphes

Qi -- 1. À l'aide des courbes de la figure 2. justifier la couleur 
caractéristiques des sylphes.
Justifier également leur observation difficile depuis la surface de la Terre.

Malgré cette difficulté, des images de sylphes ont été obtenues comme celles de 
la figure 3
qui ont été observées depuis l'Observatoire du Pic du Midi de Bigorre. Des 
sylphes y ont été
vues au-dessus des Alpes. Le Pic du Midi de Bigorre se situe au milieu de la 
chaîne des Pyrénées
qui s'étend de Perpignan à l'Est jusqu'à Biarritz à l'Ouest, séparant la France 
de l'Espagne.

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Physique I, année 2023 -- filière PC

+

7

UOISSIUISUBI I,

Intensité relative

| Hi |

" |, |
PE 4808 0, COOPER A 1.4.4-4-2 Li ii iii. ii À tnt) 0,0

300 500 700 | 500 1000

Longueur d'onde [nm] Longueur d'onde [nm]

FIGURE 2 -- À gauche : spectre d'émission d'un sylphe. À droite : coefficient 
de transmission
de l'atmosphère avec deux taux d'humidité 20% et 80% . Ces mesures ont été 
réalisées par un
détecteur au sol placé sous une source située à 80 km d'altitude -- Figures 
tirées de l'article
Spectrum of Red sprites, G. Milikh, J. À. Valdiviab & K. Papadopoulos, Journal 
of Atmospheric
and Solar-Terrestrial Physics, Vol. 60, p. 907-915, 1998

Du fait de la rotondité de la Terre de rayon Àr, on s'interroge sur la 
possibilité de vision de
sylphes au-dessus des Alpes.

FIGURE 3 -- Photos tirées de l'article Sylphes rouges, Jets Bleus et elfes, E. 
Blanc, R. Roche,
T. Farges & F. Simonet publié dans la revue CHOCS, Revue scientifique et 
technique de la
Direction des applications militaires du CEA, numéro 26, décembre 2002

D -- 2. La distance d qui sépare à vol d'oiseau le Pic du Midi de Bigorre de la 
chaîne des Alpes
françaises est-elle de l'ordre de 500, 1000 ou 1500 km ?

Sans prendre en compte l'altitude du Pic du Midi de Bigorre, tracer sur un 
schéma
approprié la ligne d'horizon qui en part et qui passe au dessus des Alpes à une 
altitude }.

En faisant les hypothèses qui s'imposent exprimer h en fonction de Rr et d et 
calculer sa
valeur numérique.

Est-il possible de voir des sylphes alpins sans effet de réfraction 
atmosphérique depuis le
Pic du Midi de Bigorre ? Peut-on voir le Mont-Blanc par beau temps ?

Afin de pouvoir observer régulièrement des sylphes et de développer des 
recherches visant
à mieux comprendre leur origine, on utilise depuis 2001 sur la station spatiale 
internationale
(ISS), deux microcaméras fixées sur un hublot. Les deux caméras observent selon 
la verticale.
L'une de ces deux caméras opère dans le visible tandis que l'autre est équipée 
d'un filtre de
très faible bande passante centré à 761 nm. Sur la figure 4, on peut observer 
les deux images
obtenues lors d'un enregistrement. Cet enregistrement a été réalisé lors d'un 
orage important.

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Physique I, année 2023 -- filière PC

Sur ces images, l'intensité lumineuse obtenue est exprimée en LSB (Lower 
Significative Bit :
unité de mesure spécifique de la caméra). On indique qu'un éclair traditionnel 
provoque un
niveau de 836 LSB sur la caméra opérant dans le visible et donne 30 LSB sur la 
caméra filtrée.

510 Ê
500 À

490

Pixels

480

470

Distance [km] Distance [km]
5 10 15 20 LSB 0 5 10 15 20 LSB

-- 836
-- 137
-- 639
-- 941
442
- 344
- 245
- 147
- 49

Distance [km]

470 À

40 90 10 20

20 40 90

30. 30.
Pixels Pixels

FIGURE 4 -- Enregistrements effectués depuis l'ISS par la microcaméra filtrée à 
gauche et par
la microcaméra dans le visible à droite. Un trait noir isole la détection d'un 
sylphe sur l'image
de droite - Figures toujours tirées de l'article référencé sur la figure 3.

LU -- 3.
Li -- 4.

Montrer que l'analyse des deux images de la figure 4 prouve bien la détection 
d'un sylphe.

L'ISS se situe à une altitude A4 d'environ 400 km. Montrer en utilisant le 
théorème de
GAUSS, et moyennant certaines hypothèses que l'on précisera, que le champ 
gravitationnel

qu'elle subit est de la forme :
hp \ 2
Gs --_ 1 ISS
90 + Ge)

où go -- 9.8 m-:s * est le champ de pesanteur à la surface de la Terre.

. Après avoir montré qu'elle est constante, déterminer l'expression v,, de la 
norme de la

vitesse de l'ISS sur son orbite circulaire. Calculer sa valeur numérique en 
kms".

. Déterminer l'expression de la période de révolution 7,4 de l'ISS autour de la 
Terre et faire

le lien avec la troisième loi de KÉPLER.

. Les deux microcaméras de l'ISS ont pour objectif d'enregistrer, lors d'un 
passage au-dessus

d'un orage, la totalité de l'évolution d'un sylphe. Commenter la possibilité et 
la précision
de ces enregistrements. On justifiera les réponses de façon numérique.

Il est difficile d'observer des sylphes depuis la Terre dans le visible car le 
dioxygène O,

présent dans l'atmosphère absorbe fortement à 762 nm. Toutefois, le dioxygène 
se raréfie for-
tement avec l'altitude, ce qui permet des observations au-delà de 40 km 
d'altitude comme cela
est le cas avec l'ISS. Nous allons étudier l'évolution de la pression partielle 
P6,(2) de dioxygène
en fonction de l'altitude z. Le modèle que nous utilisons est le suivant :

---- L'atmosphère est assimilée à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g : 
mol *.

-- La fraction molaire de dioxygène O; est supposée la même à toute altitude z 
et égale à

celle à la surface de la Terre à savoir xo, = 20%.

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Physique I, année 2023 -- filière PC

-- L'atmosphère est supposée en équilibre de telle sorte que la loi de la 
statique des fluides
s'y applique et on ne prendra en compte que le poids assimilé à la force 
gravitationnelle.

-- La pression à la surface de la Terre est F4 = 1 bar en 2 = 0, la température 
74 = 290 K.

-- La température évolue selon la loi T'(2) = T,(1 -- z/L) avec { -- 50 km, ce 
qui limite le
modèle nécessairement à des altitudes inférieures à 4.

j -- 8. Rappeler, sans démonstration, l'expression vectorielle de la loi de la 
statique d'un fluide
de masse volumique y.

Montrer que la pression atmosphérique P(z) obéit à l'équation différentielle 
suivante :
dP P 1
-- = --F(z)-- avec F(z) -- 5
dz H (1-- 2/0 (1+2/Rr)

où H est une distance caractéristique que l'on exprimera en fonction de À, T5, 
M et Go.
Evaluer numériquement HA en kilomètres avec un seul chiffre significatif.

. a + 72
En décomposant la fonction F', on peut écrire F(z) -- +7

-- ; en introduisant
1--2/{  (1+2/Rr)
les constantes a = [1+e(2+e)]7}, 8 = ae(2 +e) et 7 = ae/Rr à condition de poser 
EUR = £{/Rr

D -- 9. Montrer que dans les conditions du problème on peut prendre a = 1,8 
=2eet y ©e/Rr
Montrer que la pression P(z) dans l'atmosphère est alors donnée par

12/0 \° z
P(2) = Pl ------------ | exp | -- 1
RER) |
dans laquelle on précisera l'expression des quantités EUR et y en fonction de 
{, H et Rr.
1 -- 10. Quelle expression simplifiée de P(z) proposeriez-vous à la lumière de 
l'expression précé-
dente et des valeurs des grandeurs engagées dans celle-ci ? À quoi cela 
revient-il à faire ?

Sur la figure 5 ci-dessous, on a représenté sur le même schéma d'une part le 
modèle de pression

de l'équation (1) pour les valeurs adaptées des paramètres et d'autre part la 
valeur de la pression
mesurées par des sondes atmosphériques et spatiales.

10 a
100 Ë Valeur
| mesurée
10° | à
P [kPa] | :
101! 1
-__ Modèle de :
105. l'équation (1)
10 SE

10 2 km 100

FIGURE 5 -- Pression de l'air atmosphérique

DJ -- 11. Pour quelle raison principale, le modèle étudié cesse-t-il d'être 
correct à partir d'une

altitude de l'ordre de z = 20 km alors qu'il est censé fonctionner 
potentiellement jusqu'à
50 km ?

D -- 12. Discuter la possibilité d'observation des sylphes en lien avec la 
pression partielle en di-
oxygène depuis la Terre et depuis l'Iss.

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Physique I, année 2023 -- filière PC

IT

Une atmosphère électrique

L'atmosphère est assimilée à un plasma dans lequel le courant électrique est 
essentiellement

dû à des déplacements d'électrons non relativistes. La densité d'électrons 
mobiles par unité de
volume est notée n, la masse d'un électron m., sa charge e.

On étudie, dans un premier temps, la propagation d'une onde électromagnétique 
plane progres-
sive monochromatique de pulsation w, de vecteur d' onde k = ke,, polarisée 
rectilignement et
décrite par son vecteur champ électrique à l'instant t, Ë = Épexp i(wt -- kz) 
avec En Le. et
1e || = = 1.

L'atmosphère est caractérisée par la permittivité diélectrique du vide EUR) et 
par la splitéa-

bilité magnétique du vide 4. Dans cette étude, on néglige les chocs que 
subissent les électrons
et leur poids. La seule force agissant sur les électrons est la force de 
LORENTZ.

LU -- 13.
LU -- 14.
D -- 15.
LU -- 16.
LU -- 17.

Distance entre le sol
et la zone de réflection [km]

Montrer que la contribution magnétique de la force de LORENTZ sur l'électron 
est négli-
geable devant la contribution électrique de cette même force.

Justifier le fait que la contribution des ions au courant électrique est 
négligeable devant
celle des électrons. Déterminer la relation qui existe entre la représentation 
complexe du
champ électrique Ë de l'onde électromagnétique et celle de la densité volumique 
de courant
j qui résulte de l'interaction entre l'électron et £. Donner l'expression de la 
conductivité
complexe du plasma 7, et commenter cette expression en terme de puissance 
transférée.

Établir l'équation de propagation du champ électrique Ê. En déduire la relation 
de dis-
persion vérifiée par le vecteur d'onde kK.

Pour quelle fréquence limite f,, une onde envoyée depuis la surface de la Terre 
ne peut
plus se propager lorsqu'elle rencontre un milieu où la densité volumique 
d'électrons est n ?
On détaillera le raisonnement permettant d'obtenir cette limite. Effectuer 
l'application
numérique pour une densité n -- 1011 m* caractéristique des sylphes.

L'image de la figure 6 montre la localisation et le nombre d'échos radar qui 
reviennent au
niveau de l'émetteur. Analyser et commenter cette carte.

110

Li
©
©

Code de couleur
------ pour l'amplitude de l'écho --
en unités arbitraires

90

80

supérieur à 800
compris entre 518 à 800

70 | compris entre 318 et 518

compris entre 118 et 318

inférieur à 118

60 +

50 JW

60 70 80 90 100 110
Temps entre l'impulsion radar et son écho {s]

FIGURE 6 -- Carte d'échos radar à 2,2 MHz depuis le sol pour l'évènement 
enregistré à 13h39
le 15 octobre 1994 dans la station de Khorogo (Côte d'Ivoire) -- figure tirée 
de l'article HF
echoes from ionization potentially produced by high-altitude discharges, R.A. 
Roussel-Dupré &
E. Blanc, Journal of geophysical research, Vol. 102, n°A3, p. 4613-4622, 1997

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Physique I, année 2023 -- filière PC

III Formation avalancheuse de courant

L'origine des sylphes est toujours discutée à l'heure actuelle.

Un modèle repose sur la formation d'un courant lié à des ionisations en cascade 
provoquées
par un électron primaire capable d'ioniser par chocs successifs des molécules 
de l'atmosphère,
principalement du diazote N:.

Les électrons fils créés par l'électron primaire peuvent à leur tour provoquer 
de nouvelles ioni-
sations d'où l'effet d'avalanche. Cet électron primaire peut provenir du 
rayonnement cosmique
qui éclaire en permanence la terre. Nous allons tout d'abord étudier la 
possibilité pour un tel
électron de provoquer l'ionisation d'une molécule de diazote.

On considère un modèle unidimensionnel d'axe Ox où N, électrons se déplacent de 
facon
homogène dans le sens x croissant. Ces électrons sont répartis aléatoirement 
dans une section
donnée ». Leur déplacement s'effectue dans un milieu peu dense où la densité 
volumique de
molécules est nm. On s'intéresse à la distance moyenne (x) qu'ils vont 
parcourir avant de subir
un choc avec une molécule. Cette distance porte le nom de libre parcours moyen 
: {5m = (x).
On appelle N(x) < NM, le nombre d'électrons qui ont atteint l'abscisse x sans subir de choc depuis x = 0. La probabilité qu'un électron subisse un choc entre les abscisses x et x + dx est le rapport de la section efficace totale associée à l'ensemble des molécules présentes entre x et x + dx et de la section Y. À chaque molécule est associée une section efficace Sex qui traduit le fait que si l'électron arrive sur cette surface, le choc se produit et s'il passe à côté, 1l n'y a pas de choc. 1 -- 18. En raisonnant entre x et x + dx, établir l'équation différentielle d'évolution de N(x). Résoudre cette équation et exprimer N(x) en fonction de No, Nino, Se et x. 1 Tmo Set D -- 19. Montrer que le libre parcours moyen s'écrit Lym = (x) -- Q -- 20. Pour la molécule de diazote, on à Se © 107% m°. Justifier cet ordre de grandeur pour la section efficace. Déterminer la valeur numérique du libre parcours moyen {,n pour un électron à l'altitude 23 -- 60 km d'altitude où la pression est P; -- 20 Pa et la température T3 = 260 K. Au niveau des sylphes, il existe un champ électrique qui à pour principale origine les charges présentes à la surface des nuages d'une part et celles présentes à la limite entre la mésosphère et l'ionosphère vers 100 km d'altitude. Son intensité est E = 100 V :m !. j -- 21. Sachant que l'énergie d'ionisation de la molécule de diazote est EUR; © 16 eV, un électron initialement au repos et accéléré par le champ électrique local d'intensité Æ£ peut-il ioniser cette molécule ? On apportera des arguments numériques. On soupconne fortement des électrons cosmiques relativistes possédant une énergie cinétique de 1 MeV d'être à l'origine de la cascade avalancheuse. LD -- 22. Justifer le fait que ces électrons cosmiques sont nécessairement relativistes. LH -- 23. Expliquer le phénomène de cascade avalancheuse. Page 6/8 Physique I, année 2023 -- filière PC On cherche à déterminer à partir de quel moment on atteint une densité moyenne n -- 10 m d'électrons caractéristique des sylphes. On note .W le nombre d'étapes produisant des électrons lors des chocs. Pour simplifier, on considère que tous les électrons produits jusqu'à l'étape . sont contenus dans un volume dont la taille caractéristique est .W{,n. D -- 24. Déterminer la valeur numérique de .W. Pour cette question, on prendra un libre parcours moyen {pm de l'ordre du centimètre. On pourra utiliser les courbes de la figure 7 en expliquant de façon détaillée la démarche suivie. 2 1 (#)=10 À X4YS 05 8 16 24 39 N FIGURE 7 -- Représentation graphique des fonctions W + 1074 x Wet "Me 10° x 27 Page 7/8 Physique I, année 2023 -- filière PC Formulaire On rappelle la relation d'analyse vectorielle du double rotationnel agissant sur un champ vec- toriel À : rot(rotA) = grad(div À) -- AA Données numériques Constante molaire des gaz parfaits : R = 8,3 J-K-!.mol Constante de BOLTZMANN : kp = 14 x 10 * J-K-! Constante d'AVOGADRO : WA = 6.0 x 10 mol ! Constante de NEWTON de gravitation : G = 6,7 x 10-!!m°.ke ls? Champ de pesanteur à la surface de la Terre : 99 9.8m:s ° Rayon de la Terre : Rr = 6.4 x 10° km Permittivité diélectrique du vide : EURo = 8,9 x 107 © F:m ! Célérité de la lumière dans le vide : c = 3.0 x 10°m:s71 Masse du proton et masse du neutron : m, = Mn = 1,7 X 107*7kg Masse de l'électron : me. = 9,1 x 10°! kg Charge de l'électron : e = 1,6 x 107 C Constante de PLANCK : h = 6,6 x 107 *J.s Page 8/8