Mines Physique 1 PC 2024

A2024 --- PHYSIQUE I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE 1- PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2024 -- filière PC

Analyse physique d'un spa
La pandémie de COVID-19 à profondément changé la consommation de loisirs des 
français.
N''étant pas sûrs de pouvoir voyager ou que les campings et plages soient 
accessibles, nombreux
sont ceux qui ont cherché à se procurer du bien-être dans leur propre 
habitation en achetant
une piscine ou un spa gonflable. Dans ce problème plusieurs aspects de 
l'utilisation du spa sont
abordés, de la première installation au stockage hivernal.

FIGURE 1 - Photographie du spa étudié

Les applications numériques comporteront deux chiffres significatifs. Les 
données nécessaires à
ces applications numériques et certaines définitions habituelles sont 
rassemblées en fin d'énoncé.
Elles sont complétées par un formulaire. Les vecteurs sont généralement notés 
avec des
flèches (v de norme vw) et sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires 
(&,).

I Installation du spa

LA Gonflage

Le manuel d'utilisation fournit quelques données numériques :

Hauteur du spa gonflé sans couverture H = 10m

Hauteur d'eau he = 3/4m = 75cm
Diamètre intérieur dx = V2m= 14m
Diamètre extérieur dext = 2,0 m

Temps de gonflage te = 10min

Seuil d'ouverture de la valve de surpression | Ôp = 0,1 bar

L'enveloppe du spa se gonfle d'air, considéré comme un gaz parfait, grâce à une 
pompe contenue
dans l'unité de contrôle. On considère que l'enveloppe prend sa forme 
définitive sans pli dès
que la pression intérieure à l'enveloppe atteint la pression de l'air extérieur 
supposée égale à 1
bar. On ne prendra pas en compte l'épaisseur du tapis de fond en plastique du 
spa.

L] -- 1. Quel est le débit volumique moyen D, de la pompe en litres par seconde 
?

D -- 2. Une fois gonflé en un temps {,, le volume du spa reste constant. Si 
l'utilisateur oublie
d'arrêter la pompe, au bout de combien de temps la valve de surpression 
s'ouvre-t-elle ?
On supposera ici que la température de l'air dans l'enveloppe reste constante.

 -- 3. Le spa est gonflé en {, un matin à 15°C. En supposant que la pression 
extérieure et
que le volume de l'enveloppe du spa restent constants au cours de la journée 
mais que
la température extérieure peut augmenter, à partir de quelle température la 
valve de
surpression s'ouvre-t-elle ?

Page 1/6
Physique I, année 2024 -- filière PC

[LB Chauffage de l'eau

Le spa est équipé d'une unité de contrôle composée notamment d'une pompe de 
chauffage
permettant de faire circuler l'eau à travers une source chaude. La vitesse de 
ce système de

chauffage indiquée sur le manuel du spa est de à -- 2° C-h7! jusqu'à une 
température maximale
de 40° C.

LJ -- 4. Estimer la durée nécessaire pour atteindre la température maximale de 
40° EUR depuis une
température initiale de 20° C.

La puissance de chauffage de l'unité de contrôle indiquée sur le manuel est Z, 
= 2,5 kW :
est-ce cohérent avec le résultat précédent ?

Il est également possible de laisser naturellement chauffer l'eau du spa en 
plein soleil, sans
utiliser la pompe de chauffage. Mais cela dépend de la météo, de l'heure 
d'exposition, et même
a priori de l'altitude.

Qi -- 5. À quel moment de la journée le chauffage par le Soleil est-il le plus 
efficace ? Justifier la
réponse.

On cherche à savoir si l'eau chauffe plus vite en plein soleil si le spa est 
installé à haute

altitude sans considérer une éventuelle baisse de la température due à cette 
élévation. Lorsqu'elle

est éclairée par une onde électromagnétique £ = Ey cos [w (t -- x/c)] EUR, 
issue du rayonnement

solaire, une molécule d'air (essentiellement N> ou 02) se polarise selon le 
moment dipolaire
2

p = po(w) cos(wt)e,, avec po(w) -- PR

respectivement la charge et la masse de l'électron.

où wp = 2.3 x 10! rad - sl, e et m étant

D -- 6. Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde 
électromagnétique issue du
rayonnement solaire sous cette forme.
Justifier qualitativement l'apparition de cette polarisation.

Que représente wo ?

2, 4
Pow

127EUR0c° |

On admet que chaque molécule d'air rayonne la puissance moyenne % --

1 -- 7. Montrer que, pour une pulsation donnée, l'éclairement (ici assimilé à 
la puissance surfa-
cique moyenne) décroit selon l'axe de propagation du rayon solaire selon une 
loi du type
Es (x) = E, (0)exp(---x/H,,). On introduira n, le nombre de molécules d'air par 
unité de
volume. Après avoir exprimé À, en fonction de n, e, Lo, m et & -- wo/w on 
vérifiera la
cohérence dimensionnelle de son expression.

D -- 8. Le Soleil est un corps noir (voir formulaire) dont la température de 
surface est Ts --
5800 K. Estimer la valeur de À...
Sachant que l'épaisseur caractéristique de l'atmosphère est de l'ordre de 100 
km, que
peut-on dire de l'effet d'une augmentation d'altitude sur le chauffage de l'eau 
du spa ?

IT Utilisation du spa

ITA Pertes calorifiques

L'eau du spa est chauflée à T:,, -- 38°C et le système de chauffage est arrêté. 
Le spa est installé
sur la pelouse du jardin, que l'on assimile à une épaisseur e, = 5 mm d'herbe 
tassée sous l'effet
du poids. On suppose le sol et l'air extérieur à 7,44 -- 25°C. La température 
de l'eau variant
très lentement, on se place en régime quasi stationnaire. Toutes les parties en 
contact avec l'air
sont sièges d'échange conducto-convectif de coefficient h,. On rappelle que la 
puissance s'écrit

Page 2/6
Physique I, année 2024 -- filière PC

dans ce cas Y -- h, SAT, où $ est la surface d'échange et AT l'écart de 
température sur cette
surface. On néglige l'épaisseur de l'enveloppe en plastique du spa.

Lj -- 9. Définir la notion de résistance thermique.

Exprimer, en fonction des variables du problème, la résistance thermique de 
conduction
des parois verticales du spa notée R, (on se placera en symétrie cylindrique), 
ainsi que
celle, notée À, du « tapis » d'herbe sous l'installation.

Les valeurs numériques avec un seul chiffre significatif de ces deux quantités 
sont respectivement
R,=3K-W-tet R=5 x 10 °K:W-f. On donne aussi celle de la résistance thermique due
aux échanges convectifs entre l'eau et la paroi verticale du spa Re = 2 x 10° K 
+ WT ainsi
que celle due aux échanges convectifs entre la surface de l'eau et l'air À; = 6 
x 107? KW.

t

D -- 10. Montrer que l'écart de température est de la forme Tin (EUR) -- Tux = 
(Tnt (0) -- Tixt) er
et calculer le temps caractéristique 7 dont on commentera la valeur.

Pour minimiser les pertes calorifiques et donc la consommation d'énergie, le 
manuel préconise
de couvrir le spa à l'aide de sa couverture lorsque personne ne l'utilise, 
ainsi que de l'installer
sur une toile de sol constituée d'un tapis de bulles d'air d'épaisseur EUR; = 5 
mm. Pour simplifier,
on considère que la couverture du spa est gonflée d'air et qu'elle vient 
combler exactement
l'espace entre la surface de l'eau et le haut du spa. Elle est donc d'une 
épaisseur constante
es = 25cm et elle recouvre l'intégralité du spa.

D -- 11. Estimer le gain obtenu sur le temps caractéristique en installant la 
toile de sol et la
couverture.

Lj -- 12. La toile de sol et la couverture étant installées, quelle puissance 
faudrait-il fournir pour
maintenir constante la température de l'eau du spa ?

IIB Module de commande : maintien en température

L'unité de contrôle a besoin de mesurer la température pour assurer certaines 
fonctions comme
son maintien automatique à une certaine valeur. Le principe est d'allumer et 
d'éteindre le
module de chauffage avec des interrupteurs commandés.

La température de l'eau est mesurée à l'aide d'une thermistance. On peut 
modéliser ce com-
posant par un cylindre métallique de section $, de longueur L, de conductivité 
électrique a et
dont la résistance électrique À: dépend de sa température.

LD -- 13. Sans prendre en compte les effets de la température, en négligeant 
les effets de bords et
en régime permanent, montrer que la résistance de ce cylindre serait Ra = 
L/(oS).

Afin d'interpréter la dépendance de la résistance avec la température, on 
adopte le modèle de
Drude qui consiste à appliquer la théorie cinétique des gaz aux électrons 
libres dans le métal.
Ces derniers subissent des collisions aléatoires avec les ions beaucoup plus 
lourds et considérés
immobiles.

Dans le modèle de Drude, chaque électron de vitesse v est soumis d'une part à 
la force due au
champ électrique Ë supposé constant qui apparaît en appliquant une différence 
de potentiel aux
extrémités du métal, et d'autre part, à une force de type frottement fluide F, 
-- --mÜ/Ta. Cette
dernière permet de modéliser macroscopiquement l'effet d'un très grand nombre 
de collisions
microscopiques aléatoires de moyenne nulle.

LD -- 14. Montrer que la vitesse d'un électron est constante au bout d'un temps 
grand devant 7.
En déduire une expression de la conductivité électrique en fonction de m, e, Ta 
et de la
densité volumique n. d'électron dans le métal.

Page 3/6
Physique I, année 2024 -- filière PC

D -- 15. En notant w la vitesse d'un électron juste après une collision à 
l'instant to, comment
s'exprime sa vitesse U juste avant la collision suivante Ôôt plus tard ?

En moyennant le résultat sur un très grand nombre de collisions, proposer une 
interpré-
tation physique pour 74.

En déduire que la résistance du métal augmente lorsque sa température augmente.

Dans la suite, on notera in = Ro [1 + a(T -- Ter)] la résistance de la 
thermistance en cuivre à
la température T', avec a = 4 x 10 *K=Let Ter = 20°C.

On s'intéresse au mode « maintien de température » de l'unité de contrôle, 
utilisé lorsque l'eau
du spa a déjà été chauffée à la température souhaitée T,,,,. Ce mode maintient 
la température
dans l'intervalle [Tiin, Tinaxl, OÙ min -- max -- 2°C. On à donc besoin de deux 
interrupteurs
commandés en température. Un montage possible pour un interrupteur est donné 
sur la figure
2, où les deux générateurs de tension constante V5 sont identiques. 
L'Amplificateur Linéaire
Intégré (ALT) idéal fonctionne ici en saturation, il n'a alors que deux 
tensions de sorties possibles
V., = EV.,+, cette caractéristique permet de commander un dispositif, non 
étudié ici, créant une
fonction ON/OFF pour le chauffage.

Les règles du fonctionnement à saturation sont précisées sur la droite de la 
figure 2.

+ [>
___e

Vi = +V.,+ tant que VF > V=

V et

V, = --V.4 tant que VF < V-- O © © © TT © FIGURE 2 --- Montage à amplificateur linéaire Ci -- 16. À partir du montage de la figure 2. exprimer les tensions V+ et V- en fonction de VW. R1, Ro et Run. En déduire à quelle condition sur la température Ton reste à saturation haute à VW = +4. Pour quelle température, la sortie de l'ALI change-t-elle d'état ? Comment ce réglage est-il fait sur le spa ? Quelle précision relative sur la valeur de R, est-elle nécessaire pour régler la température a un degré près ? Un module de commande plus complet mais non étudié ici permet de maintenir la température dans l'intervalle souhaité. IIT Vidange du spa Pour remplacer régulièrement l'eau du spa ou pour le stockage hivernal, une ouverture est prévue dans le fond du spa avec un raccord pour un tuyau d'arrosage, ce qui permet d'évacuer le contenu du spa vers le réseau des eaux usées. On note £ la longueur du tuyau d'arrosage parfaitement horizontal et rectiligne (on suppose qu'il n'y a aucune pente dans la pelouse) et d; son diamètre intérieur constant très petit devant le diamètre intérieur d;,: du spa. On note he(t) la hauteur d'eau contenue dans le spa à l'instant {. Pendant la vidange, on suppose l'écoulement incompressible et on ne prend pas en compte la dissipation visqueuse dans l'écoulement. Page 4/6 Physique I, année 2024 -- filière PC On note v, (A,t) la vitesse de l'eau en un point À dans le spa, et ÿ (B;t) celle de l'eau en un point B dans le tuyau. D -- 17. Pourquoi peut-on considérer ü, (A,t) et w (B;t) uniformes sur toute la section de leur canalisation ? Quelle est la relation entre v, et uv, ? D -- 18. Onse place en régime permanent, donc avec h.(t) = he0 = constante , exprimer la vitesse v. de l'eau dans le tuyau en fonction de g et de he. Pour connaître la durée de vidange du spa, on se place en régime quasi-permanent, ainsi he varie au cours du temps mais lentement. 1 -- 19. Quelle équation différentielle est vérifiée par h.(t) ? En déduire la durée t, de la vidange du spa en fonction de d, dix, g et h(0). Afin de valider l'hypothèse de régime quasi-permanent, on cherche la durée du régime transitoire pendant laquelle la vitesse de l'eau dans le tuyau passe de 0 à la vitesse v: déterminée à la question 18. On suppose cette durée suffisamment courte pour considérer que la hauteur d'eau reste égale à h.(0) pendant le régime transitoire. D -- 20. En intégrant l'équation d'Euler le long d'une ligne de courant, établir l'équation différen- tielle vérifiée par la vitesse v.(t) de l'eau dans le tuyau. Cette équation ne dépend que des seuls paramètres £, g et he(0). 1 -- 21. Résoudre l'équation précédente sous la forme w(t) -- vif(t/7) où f est une fonction trigonométrique hyperbolique et dans laquelle on exprimera d'une part v, en fonction de g et he(0) et d'autre part 7, en fonction de £ et u1. Déterminer la durée caractéristique du régime transitoire. Conclure sur l'approximation de régime quasi-permanent : comment faut-il choisir la longueur du tuyau ? Lj -- 22. Dans tout ce qui précède, le spa est vidé sans sa couverture. En supposant celle-ci parfai- tement étanche, est-il possible de vider le spa avec la couverture ? Conclure. À toutes fins utiles... Données physiques -- Masse de l'électron : m  -- 9,1 x 10 kg -- Charge de l'électron : e -- 1,6 x 107C -- Accélération de la pesanteur : g = 9.8 m:s ° -- Permittivité diélectrique du vide : EURo = 8,9 x 107 F:m°! -- Perméabilité magnétique du vide : do = 47 X 107" kg :m:A 2.872 _--_ Constante d'Avogadro : N1 = 6,0 x 10% mol ! ---- Constante molaire des gaz parfaits : R = 8,3J:mol !.K-! Pour l'eau considérée dans le sujet on prendra -- Masse volumique : pe -- 10° kg : m°* ---- Capacité thermique massique : c = 4,2 x 10J-K-!.ke7! -- Viscosité dynamique (supposée indépendante de la température) : 7% = 10° Pa:s Page 5/6 Physique I, année 2024 -- filière PC Pour l'air considéré dans le sujet on prendra -- Conductivité thermique : À, = 2.5 x 107? W-m !-K-! -- Coefficient d'échange conducto-convectif : h, = 10 W-m *-K-! -- Masse volumique : p, = 1.2kg - m * -- Coefficient adiabatique : 7, = 1,4 --_ Capacité thermique massique : EUR, = 710 J-K-!-ke7! Pour l'herbe considéré dans le sujet on prendra : -- Conductivité thermique : An = 3,5 x 107?2W -m !-K-! Formulaire -- Pour les fractions de cercles on prendra . -- 1.0; , -- 0,8 et = = (0,6. -- On rappelle la loi du déplacement de Wien selon laquelle la longueur d'onde À, à laquelle un corps noir émet le plus de flux lumineux énergétique est inversement proportionnelle à la température Ts de sa surface. C'est-à-dire ÀAnax X Ts = 2 900 um.K. -- On donne l'équation d'Euler pour un fluide dans le champ de pesanteur g dont le champ de vitesse est u(r;t), la masse volumique p(r't) et le champ de pression P(r,t) : p + (sv) _ h + Y o _ GA (Enë) = pj - YP -- On rappelle que d | ] : ; = argtanh (x) + cste -- x FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6