Mines Physique 2 PC 2002

J. 2076

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :'
Physique Il -- Filière PC

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de lafilière PC, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même S'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, 
même lorsque
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des

qualités de rédaction de la copie.

. Les vecteurs sont notés en gras.

LE RESSAUT HYDRAULIQUE

Le ressaut hydraulique est un phéno--
mène que la plupart d'entre nous a observé
dans un évier de cuisine: l'eau du jet qui
frappe verticalement l'évier s'étale d'abord
radialement en une mince nappe circulaire,
de vitesse élevée. Pour une certaine valeur
R de la distance au jet, l'épaisseur de la
nappe augmente brutalement et sa vitesse
_ _ diminue. La zone de discontinuité est ce
... .. __ _ '_ qu'on appelle le ressaut hydraulique. Ce
problème de mécanique des fluides avec des conditions aux limites libres inclut 
plusieurs
aspects : le profil du flot dans la région laminaire et dans la région 
turbulente, le méca-
nisme du ressaut, la dissipation d'énergie dans son voisinage et la dépendance 
de R avec,
par exemple, la vitesse d'impact et le débit volumique du jet, la densité et la 
viscosité du
fluide. On considère dans ce problème quelques aspects simplifiés de cette 
dernière ques--
tion : la position R du ressaut.

Page 1/6 Tournez la page S.V.P.

Physique Il ---- Filière PC - 2002

1 x On modélise le système comme indiqué sur la

fig. 1. Un point du fluide est repéré en coor-
données cylindriques d'axe vertical Ox. On
note h(r) la hauteur de la nappe fluide et g
l'accélération de la pesanteur. Le phéno-
mène, de symétrie cylindrique, est caractérisé
par une discontinuité de la hauteur du fluide
en r= R, position du ressaut. Pour 8> 0, on

note h,= h(R --8) et 112 = h(R+£) les hau-

_ ,_ _ teurs immédiatement avant et immédiate--
Flg- 1:M0delzsaüon ment après la discontinuité. L'ensemble est
dans l'air, à la pression atmosphérique.

Première modélisation : écoulement parfait

Dans un premier temps, le ressaut est étudié sous l'hypothèse de l'écoulement 
par-
fait d'un liquide incompressible de masse volumique p. Le jet, vertical, est 
caractérisé par

sa vitesse uniforme u0 et son rayon et au voisinage de la nappe horizontale, 
avant qu'il ne
soit perturbé par cette nappe.

En l'absence de forces de viscosité, le champ de vitesses sera considéré comme 
radial

et indépendant de la hauteur x: u= u(r)e où er est le vecteur unitaire associé 
à la

,»9
coordonnée radiale. On note u1 : u(R-- EUR) et u2 = u(R + EUR) les vitesses 
immédiatement

avant et après la discontinuité.

Cl 1 ---- Montrer qu'une analyse dimensionnelle permet d'affirmer que le rayon 
R de res--
z

\

u
r - r ' 0 ' ' \
saut s'ecr1t sous la forme generale R= af ---- ou fest une fonction, inconnue a 
ce
ag

2
. . , U
stade, de la grandeur non dmensronnee F = --Q- , avec % = "no".
ag

Cl 2 ---- Soit q le débit volumique ; en appliquant le théorème de Bernoulli << a la surface » (donc sur une ligne de courant), montrer que la hauteur h(r) du fluide avant le ressaut et à une distance r suffisante du centre du jet vérifie 2 q __ oe__ 8n2r2h2(r)+gh(r)--C ""K-- El 3 -- Considérer les valeurs numériques typiques suivantes : le débit est de deux litres par minute, l'épaisseur de la couche liquidejuste avant le ressaut est de 0,5 mm, a = 2 mm et R = 3 cm pourjustifier que l'un des termes de la relation donnée à la question 2 est petit devant l'autre, et que l'on peut donc le négliger (on prendra g= lg"= 9,81m.s_2). Cette approximation reste-t-elle valable plus près du centre du jet '? Cl 4 --Déduire de cette remarque l'expression de la constante K de la question 2 et la manière dont la vitesse varie avec r. Montrer, en revenant sur le théorème de Bernoulli, Page 2/6 Physique Il --- Filière PC -- 2002 8h . . que l'inégalité -8-- << 1 est équivalente à l'inégalité entre termes établie à la question 3. r Démontrer enfin la relation 2 a C] h r = -- = . 1 ( ) 2r 27m... [ ] E] 5 -- On effectue maintenant un bilan de quantité de mouvement sur l'élément de fluide compris à un instant t dans le volume limité par les surfaces élé- mentaires de largeur angulaire dB et de hauteurhl immédiatement avant et h2 immédiatement après le ressaut (fig. 2). Déterminer la variation de la quantité de mouvement de cet élément de fluide entre les instants t et t+dt. La hauteur 112 étant nettement supérieure à h], la conservation du débit massique élémentaire dDm = pRhluld9 implique que la vitesse "2-- est nettement inférieure à "1- 0 , 5\ _ Simplifier dans ces conditions l'expression obtenue. Fi2-- 2 -' Un élément defluide Cl 6 -- Considérant le même élément de fluide, mon-- trer que la variation de la pression P(x) suivant x est la même qu'en statique. Calculer la résultante des forces de pression sur cet élément et, appliquant le théorème d'Euler, en déduire la relation 2 h1 uÎ == ghË. Cl 7 -- Déterminer l'expression du rayon R en fonction de a, u... g et h2. d2EC dtd6 temps et d'angle, en fonction des vitesses et du débit massique élémentaire. Cl 8 -- Exprimer , variation de l'énergie cinétique de cet élément par unité de E] 9 -- Déterminer la puissance des forces de pression s'exerçant sur le ressaut. Comparer C cette puissance à la puissance ---- déduite de la question 8. Simplifier le résultat obtenu dt lorsque u2 << "1- El 10 -- Qu'est devenue l'énergie cinétique manquante '? Avec quelle hypothèse ce résultat est--il incompatible '? Il faut donc raffiner ce premier modèle. Seconde modélisation : écoulement d'un fluide visqueux Jusqu'ici, nous ne sommes pas parvenus à déterminer la position du ressaut en fonc- tion des données, la hauteur h2 subsistant dans le résultat. Considérons que la viscosité joue un rôle essentiel dans la position du ressaut. On note 17 la viscosité dynamique du fluide et v : .Û. sa viscosité cinématique. p Page 3/6 _ Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière PC - 2002 Considérations qualitatives approchées Cl 11 -- Expliquer en quelques mots la signification et l'intérêt de la notion de couche limite. Cl 12 -- On admet que, lorsque le fluide est emporté vers la périphérie, l'épaisseur 5 de la I' couche limite le long de la plaque augmente selon la loi 5= k'il'cv, où tc=-- est le "0 temps typique de convection du fluide jusqu'à la distance r. La valeur précise de la cons- tante k dépend de la structure de la couche limite. En tout état de cause, k est de l'ordre de l'unité. Déterminer sa dimension. Cl 13 --Connaissez--vous d'autres phénomènes pour lesquels on observe une relation du type précédent(ô °C J?) entre distance 5 et temps t '? Comment les nomme-t-on '? [:| 14 -- On suppose que la gravité ne joue pas de rôle dans la position du ressaut. Montrer qu'une analyse dimensionnelle permet d'écrire R = aw(Re), où l// est une fonction incon-- _ , u et nue de la quantite Re = --î--;-- . Un traitement élémentaire L'étude détaillée de l'écoulement est difficile. Nous utiliserons donc quelques idées physi- ques pour en appréhender les aspects essentiels. Nous conviendrons (modèle de GODWIN) que le ressaut hydraulique apparaît pour une épaisseur de la couche limite égale à l'épais- '] 27ïu0R seur prévue par le modèle du fluide parfait, soit hl= . La viscosité envahissant alors tout l'écoulement, elle n'est plus négligeable. Cl 15 -- Déterminer le rayon R du ressaut en utilisant la relation donnée à la question 4 pour un fluide parfait. Le résultat suggère la loi d'échelle R3 oc q2 uO--lv_1 Remarque : Les données expérimentales de BRECHET et NÉDA de l'INPG (1998) suggèrent que, pour un liquide, un robinet et une hauteur de chute donnés, les paramètres les plus importants sont le , . . . . , . , . 0,703 --0,295 debut volumique q et la vnsc051te cmematuque v: R °C q V . E] 16 -- Comment s'exprime la fonction W(Re) de la question 14 ? . . , , . --1 Cl 17 -- Vorc1 quelques resultats exper1mentaux obtenus avec a=0,5 cm, % = 80 cm.s et trois liquides de viscosités cinématiques variées. Liquide Huile Glycérine Viscosité cin. (cm2/s) ] 10 5 Rayon mesuré (cm) _ 1 0,5 Montrer que ces résultats sont compatibles avec la relation précédente. Déterminer l'or- dre de grandeur de la constante k. Page 4/6 Physique Il -- Filière PC - 2002 Un traitement moins élémentaire On souhaite approcher le problème de manière un peu plus précise, en déterminant le champ de vitesses et la hauteur quand la viscosité a envahi l'ensemble de l'écoulement. On modélise le champ de vitesses pratiquement horizontal avant le ressaut par u = u(x,r) er. On note us(r) la vitesse à la surface du fluide. Des considérations, hors de propos ici, conduisent à donner à la fonction u(x,r) la forme u(x,r) = us(r)(p h--)(C--) , du où donc (p(1) =]. Les conditions aux limites sont u(O,r) :O et ('à--] :O ; cette x x=h(r) dernière condition signifie que la force de frottement sur l'air à la surface libre est nulle. On adopte pour ça la fonction le plus simple compatible avec ces conditions aux limites : un polynôme du second degré. D 18-- Exprimer u(x,r) en fonction de us(r), x et h(r) ; exprimer alors us(r) en fonction de q, r, et h(r) . Expliciter enfin u(x,r) en fonction de x, r, h(r) , a et u0. Cl 19 -- Montrer (Fig. 3) que, entre les instants [ et t+dt, la variation de quantité de mouvement P de la tranche de fluide contenue à l'instant t dans le volume de largeur angulaire d9, de hauteur h(r) et de largeur dr est ' d 1 d3P : ÇP(ÙZ"°)ZÊ rh(r) où C1 est une constante numérique que l'on déterminera, sachant que d9drdlev r+dr F ig. 3 : Pour un autre bilan élémentaire J:(4h2x2 -- 4hx3 + x4 )dx =Î8g h5 . Cl 20 -- On néglige les forces de pesanteur. La seule force agissant sur la tranche est la force de viscosité, agissant sur la base, et qui s'écrit d2Fr = --nr d 9dr (%LOe,. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par h(r) est où C2 est une constante que l'on déterminera. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière PC - 2002 , . . , . , , 1 C . Cl 21 -- Etablir que la solution de l'equatnon precedente est h(r) :? br2 +--3-- ou C3 est une r V constante non connue et b= C2 2 a % Cl 22 -- La distance r est supposée être assez grande pour que, dans la solution précédente, ! ° , C3 ' A ! ' r ' ° le terme non determine en -- puisse etre negl1ge devant le terme en r2. Ecr1re alors r qu'en r=R, position du ressaut, la hauteur h(R) calculée pour le fluide avec viscosité coïncide avec la hauteur h(R) calculée avec le R de la question 7. En déduire l'expression de R. Comparer au résultat de la question 15. Une approche énergétique La dissipation d'énergie dans une tranche d'épaisseur dx du volume élémentaire considéré Fig. 3 peut s'exprimer comme une dissipation d'énergie due à la viscosité ou comme la divergence du vecteur flux d'énergie cinétique. Soit encore une fois 7]: pv le coefficient de viscosité dynamique ; la puissance élémentaire dissipée, H, vérifie dH 8 du x,r d(3)=(2fl1")773; u(x,r)---%ÿ-Ç--2 dx. Le flux d'énergie cinétique Jtraversant la tranche d'épaisseur dx par unité de temps est dJ(X,F) _ 1 2 de _{2nprîu (X,Ï)dX}u(xvr)' El 23 -- Donner les idées générales permettant d'arriver aux expressions fournies ci--des-- sus pour la dissipation par viscosité et pour le flux énergétique. dJ dfl El 24 -- Exprimer la relation différentielle entre -- et ---- qui traduit le bilan énergéti-- dr dr que. Pourquoi le modèle de Godwin donne-t-il de si bons résultats ? Un inconvénient des approches précédentes est qu'elles utilisent toutes une conjec-- ture non prouvée sur les conditions d'apparition du ressaut. Les principes de base de l'hydrodynamique permettent cependant d'établir des lois d'échelle sur R sans faire appel à cette conjecture. Admettons seulement que le ressaut se produit lorsque la couche limite . . . . 1 2 (:3 . atteint la surface libre et que le profil de vrtesse h(r) = - br +-- sont acceptable. Impo- 3 r sons alors à la couche limite en R une évolution douce : les fonctions h(r) et 5(r) (ques- tion l2, où l'on prendra k = l) et leurs dérivées se raccordent en r = R. Cl 25 -- Trouver la dépendance de R en fonction de V, a et 240. Comparer au résultat de la question 14. Fin du problème Page 6/6