Mines Physique 2 PC 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique Il -- Filière PC

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors-
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.
. Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A, sa 
norme en italique

(A = " A ") ; le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté ua.

PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES

L'addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d'interférence, 
dont
l'enregistrement est nommé hologramme. L'holographie consiste en l'étude de la 
production
et de l'utilisation d'hologrammeS ; elle diffère de l'étude classique 
d'interférences par la
complexité des ondes qui interférent et celle du dispositif expérimental. 
Convenablement
éclairé, un hologramme peut produire l'image tridimensionnelle d'un objet. 
L'utilisation
d'hologrammes est largement répandue à des fins publicitaires, éducatives, 
techniques ou

artistiques.

Les deux parties de ce problème sont largement indépendantes ; la partie I, 
proche du cours
dans son ensemble, concerne la production et la restitution d'un certain type 
d'hologrammes,
dits minces ; la partie Il s'intéresse à une méthode thermo--optique 
d'enregistrement

d'hologrammes.

Toutes les longueurs d'onde dont il sera question sont les longueurs d'onde 
dans le vide.

Partie I : Holagrammes minces

Pour former l'hologramme d'un objet, on utilise (Fig. 1) une onde lumineuse 
plane
monochromatique, de pulsation ca, de longueur d'onde À,éf, que l'on sépare en 
deux fais-

ceaux. L'un des faisceaux sert d'onde de référence ; l'autre faisceau éclaire 
un objet, et subit
simultanément réflexion, réfraction et diffusion. L'hologramme est produit en 
faisant interfé-

rer sur une plaque photosensible l'onde de référence avec l'onde ayant éclairé 
l'objet.

L'utilisation ultérieure d'un faisceau de lecture (Fig. 2) permettra d'obtenir, 
en transmission
dans ce problème, une onde non plane, de pulsation a), caractéristique de 
l'objet.

On note Q(M,t)=A0bj(M)exp[i(a}t--w(M)H l'amplitude complexe, au point M et à

l'instant t, de l'onde issue de l'objet. Dans le trièdre orthonormé Oxyz, 
l'onde de référence
d'amplitude Aréf, de phase nulle au point 0 et à l'instant !: 0 est 
caractérisée par son vec-

teur d'onde k , : Æréf(u_r sin(p+uzcosça). On la note Aréf exp[i(æt--k,éf.0M)] 
et l'on

r««"f

suppose, dans tout le problème, l'amplitude A,éf de l'onde de référence très 
supérieure à
- - A0bj

celle de l'onde 1ssue de l'objet :8 = A , le | << 1. ' réf L'intensité [(M) au point M d'une onde d'amplitude complexe s_(M, 1) sera conventionnel- lement définie par [(M) : g(M,t) >< £ *(M,t) : | s(M,t) F. x Faisceau issu de l'objet >: ,.

/Ü\

?

. Plaque Plaque photosensible,
' (p > photosensible après enregistrement
Fig. ] Enregistrement d 'un hologramme mince Fig. 2 Lecture en transmission d 
'un hologramme mince

Cl 1 ---- Établir l'expression suivante de l'intensité lumineuse [(M) au point 
M de la plaque
photosensible :

[(M) : 1,,,(M)+ 1,,, + 2A,,,(M)A,,. cos[w(M)-- k,,f .0M] .

E] 2 -- La plaque photosensible est une plaque photographique rectangulaire, 
d'épaisseur
négligeable, placée dans le plan Oxy. Après développement, le coefficient de 
transmis-
sion en amplitude (ou transparence) t(x,y,0) de cette plaque en un point M de 
coordon-

nées (x, y, 0) ne dépend que du temps de pose et de l'intensité lumineuse ] en 
M au

. . . 1 M "2' '
moment de l'exp051tmn, selon la 101 t(x,y,0)= t0( (1 >) , ou y et to sont des 
coeffi-
O .
cients positifs et 10 : [réf : Aîéf. Montrer que, en se limitant aux termes du 
premier ordre
A .
en 8 : ab] ,
A

réf
Aobj (M)

A cos[tfl(x,y,0)-- kréfxsin((p)] }.

t(x,y,O) = t0{ 1 ---- }!
ref

E] 3 -- Après développement, la plaque est replacée dans la position qu'elle 
avait lors de
l'impression puis éclairée par une onde de lecture, que l'on suppose dans cette 
question
identique à l'onde de référence (Fig. 2). Montrer que l'amplitude de l'onde 
transmise par

la plaque holographique se compose de trois termes dont l'un est, à un 
coefficient multi-
plicatif près, identique à l'onde issue de l'objet. On présentera chacun de ces 
termes sous

la forme A,, exp[i(cut-- (p,, )], en explicitant An et (p,, , avec n EUR 
{1,2,3}.

D' 4-- L'onde obtenue après traversée de l'hologramme résulte de la diffraction 
de
l'onde de lecture par ce dernier. Il est possible ainsi de reconstituer l'onde 
1ssue d' un

objet éclairé par une lumière cohérente.
On suppose dans toute la suite du problème que l'objet dont on forme 
l'hologramme est

ponctuel et situé à l'infini sur l'axe Oz ; il produit alors une onde plane de 
vecteur
d'onde kabj-- . ="Æräu 2, en phase avec l'onde de référence au point O. La 
phase de cette

onde plane est maintenant explicite : l//(x,y,z) : kobj.OM. Établir dans ces 
conditions

l'expression approchée suivante de l'intensité au point M :
1(M) = 10[1+ mcos(OM.Ak)}, [1]

A0bj ' ' -
A . Caracter1ser les figues

réf
d'intensité maximale et exprimer la distance entre deux de ces lignes 
successives en
fonction de la longueur d'onde La et de (p.

où Ak=kOÔj--krä. Exprimer m en fonction de E=

Cl 5-- La plaque photographique permet d' enregistrer au plus N traits par 
unité de lon-
gueur. À quelle condition sur N, Àréf et ça la photographie sera-t-elle une 
reproduction

acceptable de la figure d'interférence '? Pour N= 500 mm"1 et ÂTéf= 500 nm, 
quelle est la
valeur maximale de (p ?

Cl 6 -- Exprimer t(x,y,0), coefficient de transmission de la plaque après 
déve10ppement,
en se limitant au terme du premier ordre en 8.

Cl 7 -- La plaque, de dimensions (centimétriques) a selon Ox et h selon Oy, est 
éclairée

par une onde de lecture, dans le domaine du visible, d'amplitude A..., de 
longueur
d'onde La et de vecteur d'onde (sin6 "" + cos9 u,) k,.éf, quelconque dans le 
plan Oxz. En

utilisant le principe de Huygens--Fresnel, calculer l'amplitude complexe de 
l'onde dif-
fractée par la plaque photographique dans la direction définie par le vecteur 
unitaire

ud = Ola,u_r + Edu}, + yduz. On constatera que cette amplitude est la somme de 
trois ter-

?
mes, que l on notera g d1 , gd2 et gd3.

On rappelle la relation: Jâ âexp( 2i7z-- --)d x= u sinc( ï").

E] 8 -- On étudie séparément les intensités II, 12 et 13 associées 
respectivement aux

amplitudes a , a et a . Montrer que les directions des maxima principaux
_d, -d _d,

2

d'intensité sont situées dans le plan (zx) et expliciter Bd pour de tels maxima 
; posant
ud : ux sin(9d)+ u2 cos(9d ), donner les relations vérifiées par sin(9d) pour 
les direc-

tions d'intensité maximale ; par analogie avec un réseau de fentes fines, 
donner les
ordres auxquels correspondent ces maxima d'intensité.

D 9 -- Déterminer, dans l'approximation des petits angles, les demi--largeurs 
angulaires

des pics principaux de diffraction par rapport aux axes x et y. Calculer, en 
fonction de m
et y, les valeurs relatives des maxima principaux d'intensité diffractée pour 
les compo--

santes dépendant de m par rapport au maximum de l'intensité diffractée par la 
compo-

sante qui n'en dépend pas.

Cl 10 -- À quelle condition sur (p, Àréf et a la distance angulaire entre les 
pics principaux

de diffraction est--elle grande devant leurs largeurs angulaires '? Déterminer 
dans ce cas
l'expression approchée de l'intensité diffractée. Représenter, pour & = 0, son 
allure en

fonction de %.

D 11 -- Déterminer, pour 9 = (0, la composante de l'amplitude diffractée qui 
permet de
reconstituer l'image de l'objet. Quelle est l'influence d'une variation de 6 
sur la direc--
tion de reconstitution de cette image ?

Cl 12 -- Pour que la reconstitution avec 9 = (0 soit acceptable, l'intensité 
associée à la
composante indépendante de m dans la direction de reconstitution de l'image 
doit être
inférieure à une certaine fraction ]" de l'intensité maximale associée à 
l'image. En
déduire l'ordre de grandeur de la valeur minimale à donner à l'angle (p (on 
majorera

|sinc(x)l par l/lx| ).
Application numérique : ym = 10--3, f = 10", a =l cm et Àréf= 500 nm.

D 13 -- La plaque photographique est remplacée à partir de maintenant et dans 
toutes les
questions qui suivent par une couche transparente de mêmes dimensions, orientée 
de
manière identique et d'épaisseur e suffisamment faible pour qu'elle puisse être 
considé-
rée comme une surface diffractante coïncidant avec le plan Oxy. Cette plaque 
est photo-
sensible : la valeur en tout point M de son indice de réfraction n(M) reproduit 
celle de

l'intensité incidente [(M) selon la loi n(M)=no+al(M). L'hologramme est ainsi

obtenu sous la forme d'un réseau d'indice. Les angles des divers faisceaux avec 
l'axe Oz
restent quasiment nuls. En phase de lecture, exprimer, pour tout point M, la 
différence
de chemin optique 5 (M) entre un rayon traversant la couche photosensible sous 
inci-

dence quasi-normale et un rayon se propageant dans le vide.

2715 M
D 14 -- On note ;(M)=ex{--%--â la transparence de l'hologramme associée à
ref/'
al M
5(M). Montrer que si le terme --_À(--_)--e_ est suffisamment petit, la 
transparence de
réf

l'hologramme peut s'écrire sous la forme g(M)=ng+_ÇI(M)], où 10 et Q sont des

constantes complexes, dont on donnera les expressions. En déduire que les 
caractéristi-
ques géométriques de la figure de diffraction lors de la lecture sont 
identiques à celles

obtenues avec une plaque photographique.

D 15 -- On enregistre successivement deux hologrammes. Les ondes de référence 
sont de
même intensité et de même longueur d'onde Àréf, leurs directions respectives 
sont carac-

térisées par les angles ça} et gaz. Les objets restent ponctuels et situés sur 
l'axe Oz, les

amplitudes des ondes objet sont A] et A2 (|All, |A2| << |Aréfl). Avec des notations analo-- gues à celles de la relation [1], les intensités lors des enregistrements sont : 11(M)= 10[1+ m1 cos(0M.Ak,)] et 1,(M)= 10[1+m,cos(0M.Ak,)]. La transparence après l'enregistrement est alors t(M) : Èg{ 1 + _Ç_'[ll(M)+ 12(M)] } . L'hologramme étant éclairé par l'onde de lecture sous l'angle d' incidence 9, caractéri- ser les positions, les tailles angulaires et les intensités relatives des pics principaux de diffraction. En déduire que l'on reconstitue simultanément les images des deux objets. CI 16 -- Les images des deux objets sont dites séparées si les taches principales de dif-- fraction qui leur sont associées ne se recouvrent pas (les limites des taches principales de diffraction sont ici les premières directions où l'intensité s'annule, de part et d'autre du maximum principal). En déduire l'expression et la valeur de l'écart minimal (AQ)... entre les directions des faisceaux de référence lors de l'enregistrement des hologrammes successifs. Quels facteurs peuvent contribuer à augmenter (Aç0)min? Partie II : Stockage d 'halogrammes Cette partie étudie une méthode thermo-optique d'enregistrement d'hologrammes. On se limite à des phénomènes unidimensionnels selon l'axe Ox. L'intensité lumineuse éclai- rant le support lors de l'enregistrement s'exprime par 1 (x) = 10[1 + mcos(kx)] , le terme de modulation [Om cos(kx) contenant l'information sur l'objet holographié. L'indice n _d_n dT l'établissement au cours du temps d'un champ de température T(x,t) dans un milieu du support dépend de la température : n(T)= no +( ) (T-- TO). On s'intéresse à T=T0 transparent soumis à l'intensité lumineuse I(x). Ce milieu est caractérisé par sa masse volumique p, sa capacité thermique massique c, sa conductivité thermique À... toutes grandeurs indépendantes de la température. Le volume dt entourant le point M d'abscisse x soumis à l'intensité lumineuse [(M) absorbe la puissance thermique dp... = Bl(M)dr. On néglige les effets de bord, ce qui permet de raisonner comme si le milieu était infini. Cl 17 -- Établir, en effectuant le bilan thermique d'une tranche d'épaisseur dx du milieu, l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de température T (x, t) : ar 82T -- = À ----+ 1 x . luc âî C ax2 B ( ) Cl 18 -- La température initiale est homogène, égale à T 0 ; l'intensité lumineuse [(x) est présente dans le milieu entre les instants 0 et Al. Sachant que T(x,t) est de la forme T(x,t) = Tm (t)+ AT(t)cos(kx), déterminer Tm (t) et AT(I) pour 0 < t < At. La solution obtenue n'est pas satisfaisante. Quels aspects du modèle vous semblent les plus critiquables ? Cl 19 -- Exprimer l'indice du milieu n (x,t) sous la forme n (x,t) = n (t)+ An(t)cos(kx). Quel est le temps caractéristique TO d'évolution de An(t) ? Cl 20 --- Exprimer le champ de température T (x, t) et l'amplitude de la modulation spa- tiale d'indice An(t) pour t > At.

D 21 ---- Applications numériques : L'intensité lumineuse est confinée dans un 
cylindre

d'axe Ox de section 0,8 mm2 et de longueur 3 m. L'énergie absorbée durant
l'illumination est EO = 5,7)<10"5 J. m = l, gig--= 3 mn , At= 10 ns, A, = 0,17 W.m".K", (%) : --3,6><10'4 K", Mc : 1,9 >< 103 kJ.m"'.K'l . Déterminer le temps caractéristique 1:0 et la puissance moyenne absorbée par unité de volume, [310. Simplifier l'expression de An(At) et calculer sa valeur numérique. D 22 -- L'utilisation de l'effet thermo-optique pour la réalisation de mémoires hologra-- phiques durables est-elle commode '? FIN DE L'ÉPREUVE