Mines Physique 2 PC 2005

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN ST IM, INT, 
TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 11 -PC

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'én0ncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

A

- Notations : vecteur --> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

ÉCOULEMENT DE FLUIDE DANS UNE ROCHE

L'objet de ce problème est de dégager des paramètres importants en 
pétrophysique. Un
gisement est constitué d'un ou de plusieurs réservoirs superposés, ou proches 
latéralement ;
le réservoir est une formation rocheuse du sous-sol, poreuse et splitéable, 
renfermant une
accumulation naturelle d'hydrocarbure et limitée par une barrière de roche 
imperméable. La
caractéristique essentielle de ces réservoirs est que ce sont des milieux 
poreux : les fluides
sont stockés et se déplacent dans des pores de dimensions de l'ordre du um, ce 
qui met en
jeu de forces de viscosités et de capillarité. La pétrophysique est l'étude des 
caractéristiques
physiques des roches. Pour qu'une roche puisse constituer un réservoir, il faut 
:

. qu'elle ait une certaine capacité de stockage, propriété caractérisée par la 
porosité,

. que les fluides puissent y circuler, propriété caractérisée par la 
splitéabilité et

- qu'elle contienne une quantité suffisante d'hydrocarbure, avec une 
concentration suffi-
sante, propriétés caractérisées par le volume imprégné ainsi que la saturation 
des porcs.

I ---- Étude d'un écoulement

La pesanteur est négligée dans cette partie. On s'intéresse à l'écoulement 
incompressible
d'un fluide de viscosité dynamique 17 et de masse volumique p dans un tuyau 
cylindrique

d'axe Oz et de rayon a. Cet écoulement, considéré comme unidirecti0nnel, est 
caractérisé,
dans un repère de coordonnées cylindriques (r,6,z) d'axe Oz, par un champ de 
vitesse

v : v(r,z,t) â satisfaisant l'équation de Navier-Stokes,

ô'V

pÔ--Ï--+p(v.vgrad) =--gradP+nAv. [l].
Dp . Dp ôp
L' 10 "'blt' t d t :O, ----=---- (1
ii ompress1 11ese ra ur par------ Dr ou Dr Bt +.(vgra )p.

On trouvera en fin d'énoncé un formulaire relatif aux coordonnées cylindriques 
et une for--
mule d'analyse vectorielle qui pourra se révéler utile.

D 1 -- Rappeler la signification de chacun des quatre termes de l'équation [1]. 
Écrire
l'équation (qui sera notée [2]) traduisant, dans le cas général, la 
conservation de la matière et
simplifier cette équation pour tenir compte de l'incompressibilité de 
l'écoulement.

Cl 2 -- Montrer qu'en régime stationnaire le champ des vitesses ne dépend que 
de r et que sa
dérivée convective est nulle. On se placera désormais en régime stationnaire.

D 3 -- Montrer alors que la pression ne dépend que de la variable 2 , puis 
établir l'équation

. , . . dP dP
différentielle hant v(r) à r et ---- .En déduire que ---- est nécessairement 
constant.

dz dz ,

D 4 -- Considérant que 1) Z(O) a une valeur finie, déduire de ce qui précède la 
loi de Poi-

1 dP ' dP
'] _ _ ' __ O.
seuzl e, vz(r)= 47? -----(d----Z-- )(r2 a 2) Tracerl allure du graphe de v (r ) 
pour dz < . . . dP D 5 -- Exprimer le déblt volum1que total de la condu1te sous la forme QF =--K (fl--) en z exprimant K en fonction dea et de 1]. Quel est le signe du gradient de pression responsable d'un écoulement dans le sens positif de l'axe Oz '? D 6 -- Comment varie qualitativement le champ des pressions dans une conduite horizontale de section constante et de débit constant Q,. ? Quelle est, sous cet aspect, la différence entre cet écoulement (dit écoulement de Poiseuille) et un écoulement de fluide parfait (écoulement de Bernoulli) '? La Fig. 1 représente une conduite cylindrique horizontale parcourue par un liquide, avec un débit Q,, et surmontée en divers endroits de tubes de prise de pression verticaux ouverts à l'air libre et suffisamment fins pour ne pas perturber l'écoulement. Représenter l'allure des hauteurs de liquide dans les tubes verticaux, d'une part dans le cas de l'écoulement de fluide parfait, d'autre part dans le cas de l'écoulement visqueux de Poiseuille. Fig. 1 : conduite et prises de pression Cl 7 - On constate que l'écoulement de Poiseuille est observé dans les tubes de petit diamè- tre ; à quel paramètre de l'écoulement faut--il comparer le diamètre de la canalisation '? II -- Porosité d'une roche--réservoir Un échantillon de roche, de volume total VT, est constitué d'un volume solide V5 et d'un V volume de pores VP. On appelle porosité, et l'on note gb, le rapport çb : ---VL. Un échantillon T est saturé en hydrocarbure si tous ses pores sont remplis de liquide. On distingue la porosité utile (pu, qui permet la circulation des fluides, de la porosité totale, % ; cela est dû à l'obstruction de certains pores, qui ne permet pas l'écoulement des fluides. On oubliera cette distinction dans la suite du problème, sauf dans la question 10. Cl 8 ---- De façon générale, la porosité est une fonction décroissante de la profondeur. Com-- ment justifler ce fait expérimental ? Mesure de la porosité Pour mesurer la porosité d'un échantillon, on peut procéder par mesures de poussées d'Archimède sur des corps immergés dans divers liquides. Mesure du volume total VT L'appareil représenté ci--contre mesure la poussée d'Archimède exercée par le mercure, de " " masse volumique qu , sur l'échantillon immergé. Les deux bras de la balance ont la même longueur. Cet échantillon est disposé sur une nacelle, qui subit elle-même la poussée d'Archimède. La mesure procède en deux temps. Dans un premier temps, on équilibre la balance avec la nacelle seule ; dans un second temps, on équilibre la balance avec la nacelle chargée par l'échantillon. On suppose que le mercure ne pénètre pas dans les pores et l'on ne tient pas compte de la variation du niveau du mercure entre les deux manipulations. Æ D 9 -- Expliciter la notion de poussée d'Archimède. Exprimer VT en fonction de m, , m2, de la masse de l'échantillon, m et de ,qu (relation 9A). Dans une autre série d'expériences, l'échantillon est, dans les deux temps, suspendu à un fil, ce dernier ne perturbant la mesure en aucune manière ; expliquer alors pourquoi, dans ce cas, V ne s'ex rime lus u'en fonction de m1, 1712 et de , relation 9B . T H, E] 10 -- Mesure de V5 : VT -- VP La balance est équilibrée, d'abord avec l'échantillon sus- pendu dans l'air, ensuite avec l'échantillon immergé dans un liquide solvant de masse volu-- mique ,uSolv , qui envahit tous / ses pores. Exprimer V5 en fonc- Æ tion de m m et de 3, 4 "Sow (relation 10). À partir de ces quatre mesures, déduire la porosité de l'échantillon en consi- dérant d'une part le couple de relations (9A et 10), d'autre part le couple (9B et 10). S'agit-il ici de çbu ou de % ? [11 Essai de puits Loi de Darcy, premières modélisations La splitéabilité intrinsèque d'une roche est l'aptitude de cette roche à laisser circuler à tra-- vers ses pores un fluide dont elle est saturée. Cette grandeur peut être chiffrée grâce à la loi expérimentale de Darcy : soit un élément cylindrique d'échantillon de longueur dz et de sec-- ËfÆfW/ä "A tion d'aire A, saturé d'un fluide de viscosité ' l . . d nami ue , ui le traverse horizontalement : Q, ,) r:ä> ' Y A Y Cl 77 q

:,ÜÆ f,» f, ,. ;,fi ' ' " avec un débit volumique Q ; en régime perma--

nent, la pression amont est P, la pression aval

« "dz--_): P -- dP (dP>O). Les parois latérales sont
P P"dP étanches et il n'y a pas de réaction du fluide
Fig. 2 _- Notations pour la loi de Darcy sur la roche (cas général); dans ces 
condi--
. k dP , .
trous, Q= A--fi--d----, ou k, coeffic1ent de per--
z

méabilité est, en première approximation, indépendant du fluide considéré (loi 
de Darcy).

D 11 -- Quelle est la dimension de k ?

On considère la circulation d'un fluide unique dans la couche rocheuse poreuse 
(hydrocar--
bure seul, sans eau et sans gaz dissous). Le gisement est homogène et isotrope, 
de splitéabi--
lité k et de porosité 0. La température du gisement est uniforme, la roche est 
incompressible

et l'hydrocarbure possède un coefficient de compressibilité isotherme XT 
constant. La vitesse
de filtration, Vfil, est le rapport du débit Q traversant une section à l'aire 
A de cette section.

D 12 ---- Montrer que la loi de Darcy est compatible, pour un écoulement 
stationnaire hori-

zontal, avec la relation Vfl, : --£grad P. Quelle différence y a--t--il entre 
la vitesse de filtra--

n
tion Vfi, et la vitesse v d'un point du fluide, telle qu'elle est introduite 
dans les premières

questions ?

D 13 -- Exprimant le bilan de matière dans une portion de cylindre de section A 
et de lon--
gueur dz , écrire la loi de conservation de la masse du fluide sous la forme

E] 14 -- Justifier qu'en première approximation l'on puisse accepter pour 
équation d'état du
fluide la relation p= p0[1+ ZT(P--Po )]; ôP étant la variation typique de 
pression envisa--

gée dans la suite, quelle inégalité relative au produit XT5P cela 
implique-t--il ?

CI 15 -- Au prix de quelle inégalité supplémentaire l'équation aux dérivées 
partielles

AP : ----êË se dédu1t-elle de ce qu1 précède ? 11 n'est pas demandé de 
Justlfier cette mega-

K &
lité ; exprimer K en fonction de k, (1), 17 et XT- Comment peut--on, par 
analogie, nommer K ?

D 16 -- Calculer K pour k : 400><10-15 m2, 0 = 0,20 ;, = 2,0><10"9 Pa"' et n = 0,1 Pas . Écoulement radial D 17 ---- On considère le régime permanent d'écoulement dans la por- tion d'échantillon de symétrie cylindrique représentée ci--contre. La hauteur de l'élément est 11, la pression en un point du cylindre inté- rieur est P(R,)= P, la pression à l'extérieur est P(Re)= Pe, avec Pe > Pl.. Montrer que la vitesse d'écoulement en un point à la dis-
tance r de l'axe est proportionnelle à l/r ; que peut--on en déduire sur

Écoulement radial

de de'

le débit Q(r) ? Appliquer la loi de Darcy, sous la forme Q= A------= 
27rrh--------, entre
71 dr 77 dr

deux cylindres de rayons respectifs r et r+d r et par intégration calculer
P ----E en fonction de h, k, 71, R,, Re et Q.

EUR

Application : la pression dans un puits de forage cylindrique de rayon a

creusé dans la roche poreuse et implanté loin des limites de la couche géo-
logique est notée P1 ; on constate qu'à partir d'un rayon R, dit rayon de

Puits de forage drainage, la pression ne varie plus et vaut PG (pression de 
gisement');
exprimer le débit du puits en fonction de PG, P1 , R, a, h et k.

Cl 18 -- Un puits cylindrique de rayon a (a = 20 cm) a été creusé verticalement 
à travers une
couche rocheuse horizontale d'épaisseur h (h =1 à 100 m) de rayon suffisamment 
grand

pour que l'on puisse négliger tout effet de bord. On suppose l'écoulement 
radial horizontal
avec un rayon de drainage (cf. question 17) R (R=100 à 1000 m), auquel on 
affecte la

<< pression de gisement » constante PG (PG == 260 bars, soit 2,6X107 Pa pour une profondeur de 2600 rn). Utilisant à nouveau la relation % : ÈË, résoudre l'équation de diffusion . 27rrh ?] dr . de la pression pour un débit stationnaire QO recueilli dans le puits. Notant PF : P(a) la pres-- sion dans le puit, calculer la différence PG -- PF en fonction de Q... 1], k, h, R et a. Cl 19 --Lorsque le débit Q0 est maintenu constant par une vanne calibrée dès l'instant initial, 2 la solution de l'équation de diffusion est P(r,t)= PG + nQ° Ei -- .Î , où r0(t)= 2«/ Kt. 47rhk r0"(t) du x La fonction << Exponentielle intégrale », Ei(x) : --J exp(u)--, est représentée pour x < 0 --oo u Fig. 3 : à gauche avec une approximation pour | xl << petit » et à droite pour | xl << grand ». Fig. 3 : À gauche en trait plein, Ei(x) ; une approximation de Ei(x) pour --0,25 $ x $ 0,01 est Ei(x) : ln(--4x)--- 0,81 z ln(--l,78x) ; elle est représentée en pointillés. À droite, Ei(x) pour --4 S JC $ --0,25. Lorsque |xl.>. 4, |Ei(x)lS 10"".

Calculer la vitesse Vfil(r,t)* et le débit Q(r,t) ; à quel moment 
retrouve-t--on pratiquement le

régime permanent de la question 18 à une distance r ? Justifier que la solution 
présentée

1 Cette << saturation >> exprime la limite de validité de la loi donnant P,-- R 
en fonction des rayons.

garantit bien un débit constant dans le puits de rayon a (a z 20 cm), très 
rapidement "après
7

r - ...? _
l'ouverture de la vanne ; on adoptera la valeur numenque K : 10 ' m.s .

Cl 20 -- Exprimer alors la fonction P(a,t)= PF(t) en fonction de ln(t) ; on 
utilisera la for--

77Q0
47rhk

graphique expérimentale pour mesurer le produit hk du puits.

. En déduire une méthode

mule d'approximation donnée Fig. 3 et l'on posera m =

D 21 ---- On revient au cas général. En s'appuyant sur l'un des graphes de la 
Fig. 3, montrer
que si, à partir d'un instant [R, le graphe de P,,(t) (pratiquement, celui de 
PF[ln(t)]) présente

un tronçon rectiligne sensiblement parallèle à l'axe des abscisses, alors on 
peut en déduire le
rayon de drainage R du puits.

Application numérique : avec les valeurs déjà utilisées on mesure tR : 3 jours 
; donner une
estimation de R.

E] 22-- Il peut arriver que le gisement ne
Faille soit pas limité par son rayon de drainage
mais qu'une faille limite la roche-réser--
voir ; on modélise la faille comme un plan
vertical à la distance d (a << d < R) du Puits reel MPuzt's virtuel puits. On introduit de ce fait la condition supplémentaire suivante dans la résolution . de l'équation de diffusion : aucun débit de pétrole ne traverse le plan faille. Montrer que cette condition peut être représentée analytiquement par un puits << virtuel >> symétrique
du premier par rapport au plan faille (donc de même rayon a et de même débit 
QQ). Donner
alors la solution générale P(r,9,t) compte tenu de la propriété de linéarité de 
l'équation de

diffusion.

. . 4 2 2 , .
Cl 23 --- On s'intéresse désormais à PF(t) : P(a,t) et l'on pose ti : --Ë-- et 
t,. : ÎIÏ° Etudier

les deux cas tP << t << fi d'une part, t >> ti d'autre part et donner dans 
chaque cas la forme
approchée de PF( t). Quelle donnée déduit--on de l'intersection des deux 
droites dans le dia--

gramme PF[In(t)] ?

D 24 ---- Conclusion : montrer que grâce à un essai de puits et avec les 
mesures de porosité de
la roche et du coefficient k, on peut estimer le volume maximum d'hydrocarbure 
qu'on peut

retirer de ce puits, valeur mesurée en surface à la pression atmosphérique (et 
non pas à la
pression de gisement PG ). Estimer ce volume à l'aide des données numériques 
fournies dans

l'énoncé. A quoi sert, dans un champ pétrolier, la connaissance du rayon de 
drainage d'un
puits pour le positionnement des divers puits qui couvrent ce champ ?

FIN DU PROBLÈME

Formulaire page suivante.

Coordonnées cylindriques d'axe Oz

- _la(... 18_Ae_ _a_A_z_
dw(A)- r 8r +r 80 + az
1 Cl (1
A[f(fl]=;"d--r fg{')
grad{f(r,9,z)]--ê{-ûr+--Ïjâjëûe+%ûz

Une formule utile : f étant une fonction et A un vecteur,

div(fA) : fdiv(A)+ Agrad( f).

FIN DE L'ÉPREUVE

.........................

Un relevé de P(a,t) : P,:[ln( t)]. Au voisinage de t = 10 h, on voit apparaître 
le régime linéaire et

donc la possibilité de mesurer une pente. Dans la pratique, cependant, on ne 
trouve pas d'écoulement
mon0phasique et l'interprétation des relevés est compliquée.

1905-2005 Relation d'Einstein pour un mouvement lent

La viscosité 17 d'une solution peut intuitivement être représentée par un 
développement

en série de la concentration c du soluté : n(e)= 770 (H klc+k2c2+...), ce qui 
entraîne

ns=--q-----l= klc+k2c2+.... Einstein a établi pour des particules sphériques la 
relation

770
m= 2,5q) , où d) est la fraction volumique du soluté dans la solution.

Si Vh est le volume hydraté d'une particule de masse molaire M et NA le nombre

N
d'Avogadro, alors (p = V,, ÎÎ-c .