Mines Physique 2 PC 2008

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES
Ce probleme, dont les differentes parties sont largement independantes, aborde 
quelques dispositifs
utilises dans l'etude de certaines proprietes de particules fondamentales. Dans 
de tres nombreux cas
les particules, chargees, sont en mouvement dans un champ magnetique permanent.
Donnees :
Constantes electromagnetiques du vide : µo = 4 × 10-7 H.m-1 , o = 1/(36 ) × 
10-9 F.m-1 , masse
de l'electron : m = 9, 11 × 10-31 kg, charge elementaire : e = 1, 60 × 10-19 C, 
Constante de B OLTZ MANN k = 1, 38 × 10-23 J.K-1 , Constante d'AVOGADRO N = 6, 
02 × 1023 mol-1 .
-
-
-
er , 
e , 
ez ), pour tout champ scalaire
Dans le systeme de coordonnees cylindriques (r,  , z) de base (

-

-

-

-
V (r,  , z) et pour tout champ de vecteur F = Fr er + F e + Fz ez , on donne :
-----  V 
V 
1 V 
1  (rFr ) 1  F  Fz

-
-
-
-
er +
ez
div( F ) =
+
e +
grad(V ) =
+
r
r 
z
r r
r 
z

-
----
 Fr  Fz 
 (rF )  Fz 
1  Fz  F 
ez

-
-
-
rot( F ) =
er +
e +
-
-
-
r 
z
z
r
z

r

I. -- Creation de champs magnetiques ayant des proprietes particulieres
Deux structures de champs seront abordees : Le champ uniforme et le champ a 
variation lineaire. La
region de l'espace dans laquelle regnent ces champs possede les memes 
proprietes electromagnetiques
que le vide.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES

I.A. -- Champ uniforme : solenoides et bobines de H ELMHOLTZ

On considere un solenoide cylindrique de longueur  comportant N spires 
jointives identiques, circulaires de rayon R. Ce solenoide est parcouru par un 
courant d'intensite I = cste.

1 -- On se place dans le cadre de l'approximation du solenoide infini. Etablir 
l'expression du
--
champ magnetique Bsol cree par le solenoide a l'interieur de celui-ci.

Une autre methode classique de production d'un champ magnetique uniforme est 
l'utilisation des
bobines de H ELMHOLTZ. Les questions suivantes vont permettre d'expliciter 
leurs caracteristiques.
On considere une spire circulaire C, de centre O, de rayon R, parcourue par un 
courant d'intensite
--
I = cste. L'axe Oz est perpendiculaire au plan de la spire. On appelle Bcoz (z) 
le champ magnetique
cree par la spire en un point situe sur Oz a la cote z.
--
--
--
2 -- Exprimer Bcoz (0) en fonction de µo , R et I puis Bcoz en fonction de Bcoz 
(0) et de la variable
sans dimension u = z/R.

Figure 1 : Bobines de H ELMHOLTZ

On considere le montage de la Figure 1 constitute de
deux bobines plates d'epaisseur negligeable, composees
chacune de N spires circulaires de rayon R, de meme
axe de symetrie Oz. Ces deux bobines ont pour centres
de symetrie respectifs O1 et O2 , elles sont parcourues
par des courants identiques d'intensite I = cste. Les
extremites de ces bobines sont separees d'une distance
D = 2d. La configuration d'H ELMHOLTZ est obtenue
-

lorsque d = R/2 . On note Bh le champ cree par la
configuration d'H ELMHOLTZ et (Bhr , Bh , Bhz ) les com-

-
-
-
posantes de Bh dans la base (
er , 
e , 
ez ) des coordonnees
cylindriques (voir Figure 2).
3 -- On pose toujours u = z/R, determiner le champ
--
magnetique Bhoz (u) cree par la configuration de la Figure 1 en un point situe 
sur l'axe Oz a la cote z.
Representer sur un meme graphique les fonctions u -
7 
----
--
--
--
7  Bhoz (u) / Bhoz (0) . Que
Bcoz (u) / Bcoz (0) et u -
constatez-vous lorsque u  0 ?

--
4 -- On note g(u) = Bhoz (u) . Justifiez physiquement le fait que la fonction g 
(u) est paire. Ecrire,

en fonction de u et de la constante  = 8N µo I/(5 5R), le developpement limite 
g(u) de g (u) a
l'ordre 4 au voisinage de 0. On donne
"

 #-3/2

32 3 144 4
6
8
1 2
4
1+ x±
x +o x
=  1 x± x -
2
5
25
125
5 5
Page 2/7

avec n  1, lim xn o (xn ) = 0
x0

Physique II, annee 2008 -- filiere PSI

5 -- Determiner l'amplitude de l'intervalle centre sur
l'origine sur lequel la fonction g (u) ne varie pas de plus de
2% en erreur relative.
6 -- En considerant les symetries de la configuration
montrer que Bhr = Bhr (r, z), Bhz = Bhz (r, z) et Bh = 0.
-

7 -- On cherche une expression de Bh au voisinage de
l'axe Oz. Un developpement limite permet dans ce voisinage, d'obtenir
Bhz (r, z) = g (z) +  r2

d 2 g
+  (r)
dz2

ou  est une constante et  une fonction paire de la variable
r. En utilisant les equations de M AXWELL determiner la
valeur de  et l'expression de  (r) en fonction de  , R et
r. En deduire les expressions de Bhz et Bhr en fonction de
 , R, z et r.

Figure 2 : Coordonnees cylindriques

Un detecteur de particules chargees necessite la production d'un champ 
magnetique uniforme et permanent de norme B = 0, 5T dans un volume cylindrique 
de hauteur H = 4m et de diametre D = 4m.
On veut comparer les deux sources decrites precedemment. Les spires sont 
realisees avec un materiau
conducteur de section carree de 2mm de cote et l'intensite du courant I est 
limitee a 100A.
8 -- Dans le cas d'un solenoide de longueur  = 8m, determiner le nombre de 
spires que l'on
doit utiliser, eventuellement sur plusieurs couches, pour delivrer sur Oz un 
champ susceptible d'etre
utilise pour detecter des particules chargees. En deduire la longueur totale de 
fil conducteur que l'on
doit utiliser.
9 -- Pour l'utilisation des bobines de H ELMHOLTZ, on souhaite que le champ 
magnetique ne
varie pas de plus de 2% le long de l'axe Oz sur toute la hauteur H. Determiner 
le rayon des spires a
utiliser puis calculer le nombre N de spires pour chaque bobine. En deduire la 
longueur totale de fil
conducteur que l'on doit utiliser.
10 -- Le fil conducteur utilise est du cuivre de conductivite  = 6.107 S.m-1 . 
Apres avoir choisi la
source de champ la plus economique en fil, calculer la puissance perdue par 
effet J OULE dans celle-ci.
Commenter ce resultat. Dans la pratique quelle solution technologique doit-on 
utiliser pour r ealiser
cette source ?

I.B. -- Champ lineaire : bobines de
M HOLTZHEL
On reprend la configuration de H ELMHOLTZ mais avec
deux courants de meme intensite circulant en sens
contraire
 conformement a la Figure 3 avec maintenant
d = 3R/2. Cette configuration inversee est appelee «
bobines de M HOLTZHEL ». On s'interesse au champ
--
magnetique Bmoz cree par ces bobines sur l'axe Oz au
voisinage de O.
11 -- En utilisant toujours la variable reduite u =
--
z/R, etablir l'expression du champ Bmoz (u) cree sur l'axe
Oz en un point de cote z.
Page 3/7

Figure 3 : Bobines de M HOLTZHEL

Tournez la page S.V.P.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES

12 -- On donne maintenant la relation

!

 !2 -3/2

3
7
3
3
8
6
48
240
1056
1 + x ±

=
1
x + x2 -
x4 ±
x5 + o x5
2
49
7
49
343
2401

Montrer que le champ magnetique cree par une bobine de M HOLTZHEL au voisinage 
de l'origine
--
-
est tres proche d'un champ lineaire de la forme Bmoz (z) = az 
e z . On exprimera la constante a en
fonction de N, µo , I et R.
--
13 -- Determiner l'amplitude de l'intervalle contenu dans Oz et centre sur O 
sur lequel Bmoz (z)
est approximable a moins de 2% d'erreur relative par un champ lineaire de pente 
a.
14 -- On souhaite realiser un champ lineaire de pente a = 10 T.m-1 en utilisant 
un courant
permanent d'intensite I = 10 A et des bobines de M HOLTZHEL de 10 cm de rayon. 
Calculer le nombre
de spires N a utiliser.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- L'experience de Stern et Gerlach
Dans une enceinte, ou regne une faible pression,
est place un four contenant du lithium porte a la
temperature T . Le lithium se vaporise et le gaz
d'atomes obtenu se comporte comme un gaz parfait monoatomique a la temperature 
T . Un ensemble d'ouvertures pratiquees dans le four permet d'obtenir un jet 
d'atomes de lithium. On suppose que ce jet est monocinetique et donc que les
atomes ont tous la meme energie cinetique Eco =
2
-
m k
vo k /2 ou m est la masse d'un atome de li-
thium et 
vo la vitesse moyenne des atomes dans le
-
-
Figure 4
four. On supposera qu'en sortie du four 
vo = v o 
ex .
Le poids des atomes de lithium est negligeable
dans toute cette experience.
15 -- On regle la temperature T de facon a obtenir Eco = 1, 6.10-20 J. Calculer 
la valeur numerique
de T .
En sortie du four, le jet d'atomes de lithium passe dans une region ou regne un 
champ magnetique

-
-
B = B (z) 
ez tel que B (z) = az (voir Figure 4). On admet que cette region est de largeur 
 et qu'en
dehors de celle-ci le champ magnetique est negligeable. On constate que le jet 
est devie et que son
impact sur un ecran situe a l'abcisse d =  + D se situe a une cote zo non 
nulle. Cette deviation est
-

explicable par le fait que les atomes de lithium sont porteurs de moments 
dipolaires magn etiques M
constants et que dans la zone ou regne le champ magnetique ils sont soumis a 
une force magnetique
-

-
derivant de l'energie potentielle E p = -M . B
-
-
16 -- Apres avoir exprime cette force, etablir, en fonction de a, M = M .
e , et E , la relation
z

z

co

entre z et x decrivant la trajectoire d'un atome dans la region ou regne le 
champ magnetique lineaire.
17 -- Exprimer la cote zo en fonction de D,  , Eco , a et Mz .

18 -- On observe en fait sur l'ecran deux taches symetriques par rapport a Ox. 
Que peut-on en
deduire ?
19 -- On choisit Eco = 1, 6.10-20 J, a = 10 T.m-1 ,  = 10 cm et D = 10 m et on 
observe z =
±3 mm. Calculer la composante Mz du moment magnetique des atomes de lithium.
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Physique II, annee 2008 -- filiere PSI

Cette experience realisee par les physiciens OTTO S TERN et WALTHER G ERLACH en 
1921 a permis
de mettre en evidence la quantification du moment cinetique de spin des atomes 
etudies (et a valu le
prix Nobel de physique a OTTO S TERN en 1943).
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Identification de particules dans une chambre a projection
temporelle
Dans l'experience D ELPHI du C ERN on realise des collisions a grande vitesse 
entre des electrons et
des positrons (anti-electrons). Ces dernieres produisent des particules 
chargees, appelees particules
filles, que l'on cherche a identifier. On tente pour cela de reconstituer leurs 
trajectoires dans une
chambre dite a projection temporelle.
Cette chambre comporte trois parties :
la chambre de derive, la chambre proportionnelle et la chambre a fils. 
L'ensemble du detecteur comporte un axe
z de symetrie de revolution. La trajectoire analysee est decrite dans le
systeme de coordonnees cylindriques
(r,  , z) utilise dans la partie I et
illustre par la Figure 2. A l'interieur
de la chambre de derive, les collisions
electrons-positrons ont lieu a proximite de l'axe z. Cette chambre est
remplie d'argon sous faible pression.
Le mouvement des particules filles
Figure 5 : Chambre a projection temporelle
dans l'enceinte gazeuse produit des
electrons d'ionisation.
Le mouvement d'un electron d'ionisation dans la chambre de derive et les 
signaux electriques qu'il
produit dans la chambre a fils permettent de determiner les coordonnees du 
point ou l'ionisation a eu
lieu. On peut ainsi obtenir toutes les informations cinematiques sur les 
particules filles et determiner
leurs natures. Dans toute cette etude on utilisera la mecanique classique non 
relativiste et le poids des
particules sera neglige.

III.A. -- Mouvement d'un electron d'ionisation dans la chambre de derive
On s'interesse au mouvement d'un electron d'ionisation, note ei , de masse me 
et de charge -e, a
l'interieur de la chambre de derive. Dans cette enceinte, cylindrique de 
longueur L = 2, 1 m, regne

-

-
-
-
un champ magnetique B = B
ez et un champ electrique E = -E 
ez permanents et uniformes (voir
Figure 5). Le champ electrique est obtenu en imposant une difference de 
potentiel U = 63 kV entre les
deux extremites de la chambre. En plus de la force electromagnetique, le gaz 
contenu dans la chambre

-
-
-
de derive impose a l'electron une force de frottement fluide F = -µ 
v ou 
v represente sa vitesse

-
-20
-1
kg.s . On appelle ve la vitesse de ei au moment de son emission par ionisation
et µ = 9, 6 × 10
-
-
-
d'un atome du gaz. On se place en coordonnees cartesiennes (x, y, z) dans la 
base (
ex , 
ey , 
ez ) de telle
-
-
maniere que 
ve .
ey = 0. L'origine O du referentiel est le point d'emission de ei a l'instant t 
= 0.
20 -- En prenant comme parametres e, B, µ , U et L, etablir les trois equations 
differentielles
-
-
-
-
-
-
regissant l'evolution des composantes vx = 
v .
ex , v y = 
v .
ey et vz = 
v .
ez de la vitesse de ei dans
la chambre de derive. Exprimer vz en fonction du temps t et determiner vlim = 
lim vz (t). On posera
t

 = me / µ
Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES

-
-
21 -- Calculer la valeur numerique de vlim . En negligeant 
ve .
ez devant vlim , calculer le temps T
qu'il faut attendre pour que
t > T,

|vz (t) - vlim |
< 1% |vlim | 22 -- Ecrire l'equation differentielle verifiee par la fonction complexe u(t) = vx (t) + i vy (t). Deduire de la resolution de cette equation les expressions de vx (t) et de vy (t). On posera e = eB/me . 23 -- Apres une phase transitoire tres breve, quel type de mouvement adopte ei ? Montrer alors que la duree de ce mouvement permet d'obtenir la coordonnee z du point de la trajectoire de la particule fille ou s'est produite l'ionisation a l'origine de ei . III.B. -- Etude des chambres proportionnelle et a fils A la sortie de la chambre de derive, ei doit produire un signal sur un detecteur qui permet d'obtenir les deux autres coordonnees pour la reconstruction de la trajectoire de la particule fille. La charge d'un electron etant trop faible pour obtenir un signal detectable, on utilise une chambre dite proportionnelle pour produire un phenomene d'avalanche. Cette chambre est constituee de deux grilles perpendiculaires a l'axe z distantes de L = 1cm et entre lesquelles on applique une difference de potentiel U  = 1500V. La chambre proportionelle est remplie du meme gaz que celui contenu dans la chambre de derive. 24 -- Sachant que l'energie molaire de premiere ionisation de l'argon vaut Ei = 1520 kJ.mol-1 , et en admettant que seulement 50% de l'energie fournie par la difference de potentiel U  ne permette d'ioniser les atomes d'argon, quel est le nombre d'ionisations produites par un electron de derive ? Les electrons «produits» par ces ionisations, appeles electrons secondaires, provoquent eux aussi de nouvelles ionisations : il se produit une avalanche qui permet d'obtenir environ 10 5 electrons pour un electron de derive. La detection du signal est effectuee dans la chambre a fils. L'avalanche d'electrons arrive sur un fil metallique qui va influencer un autre fil metallique parallele au precedent. Cette charge permet de generer un signal electrique. On considere que chaque fil est un cylindre conducteur de rayon a et de longueur h  a. - 25 -- Etablir l'expression du champ electrique E f cree a l'exterieur d'un fil metallique cylindrique infiniment long, portant une charge lineique uniforme  = q/h. En deduire le potentiel electrique associe a ce champ. Figure 6 26 -- On considere a present deux fils identiques au precedent, d'axes paralleles et separes d'une distance d, mais portant des charges lineiques opposees + = +q/h et - = -q/h. Etablir l'expression du potentiel electrique en un point M exterieur aux fils en fonction des distances r1 et r2 entre ce point et chaque axe (voir Figure 6), et des quantites q, h et o . On prendra le potentiel nul lorsque r1 = r2 . Montrer que la capacite formee par une longueur h de ces deux fils est donnee par la relation o h C= ln d-a a Calculer la valeur de cette capacite pour h = 1, 0 × 10-3 m, d = 3, 0 × 10-6 m et a = 1, 0 × 10-6 m. Page 6/7 Physique II, annee 2008 -- filiere PSI On place les deux fils de la question 26 en influence dans le circuit de la Figure 7 comprenant une resistance R et un generateur de force electromotrice constante W = 1, 0 V. En l'absence d'avalanche, en regime permanent, on appelle qo la charge totale prise par l'armature positive. Lorsqu'une avalanche se produit, cette charge devient q1 et, par influence, l'autre armature acquiert, apres un temps caracteristique   = 1, 0 × 10-12 s, une charge opposee. 27 -- Calculer les valeurs numeriques de qo et q1 puis etablir l'equation differentielle verifiee par la tension UR . Figure 7 Resoudre cette equation en choisissant t = 0 pour l'arrivee de l'avalanche sur l'armature positive. 28 -- Comment doit-on choisir R pour que le temps   soit negligeable devant les temps caracteristiques des phenomenes etudies ? Expliquer la necessite de provoquer une avalanche a partir d'un electron de derive. Comment un tel dispositif permet-il d'identifer les coordonnees x et y de la particule fille au moment de l'ionisation de l'argon dans la chambre de derive ? Les chambres proportionnelles a fils ont ete inventees et mises au point a la fin des annees 1960 par le physicien francais G EORGES C HARPAK et lui valurent le prix N OBEL en 1992. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 7/7