Mines Physique 2 PC 2011

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

FIBRE OPTIQUE A SAUT D'INDICE
L'epreuve est constituee de trois parties independantes. La premiere partie 
concerne l'etude de la
propagation de la lumiere dans une fibre optique dans le cadre de l'optique 
geometrique. La deuxieme
partie complete la premiere en etudiant la structure transverse d'une onde 
electromagnetique dans la
fibre, et les conditions d'obtention d'une fibre monomode. Enfin, la derniere 
partie traite des effets
non lineaires dans la fibre, notamment de l'effet Kerr optique. Apres une 
modelisation microscopique
de ce dernier, on s'interesse au phenomene d'auto-modulation de phase et a 
l'existence possible de
solitons optiques. Les applications numeriques seront donnees avec 3 chiffres 
significatifs.
Une fibre optique a saut d'indice, representee sur la figure 1 est formee d'un 
coeur cylindrique en
verre d'axe (Ox), de diametre 2a et d'indice n entoure d'une gaine optique 
d'indice n1 legerement
inferieur a n. Les deux milieux sont supposes homogenes, isotropes, 
transparents et non charges. Un
rayon situe dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle 
d'incidence  . Afin de ne
pas confondre l'angle i d'incidence sur la gaine avec le nombre complexe 
imaginaire pur de module
1, on notera ce dernier j tel que j2 = -1. Quelques constantes sont donnees en 
fin d'epreuve. Les
vecteurs sont surmontes d'un chapeau, ubx , s'ils sont unitaires ou d'une 
fleche, ~E, dans le cas general.

I. -- Approche geometrique de la propagation
Dans cette partie, les rayons lumineux sont supposes issus d'une radiation 
monochromatique de
frequence f , de pulsation  et de longueur d'onde  dans le milieu constituant 
le coeur.
1 -- Les differents angles utiles sont representes sur la figure 1. A quelle 
condition sur i, angle
d'incidence a l'interface coeur/gaine, le rayon reste-t-il confine a 
l'interieur du coeur ? On note i
l'angle d'incidence limite.

Fibre optique a saut d'indice

y
gaine d'indice n1 (milieu 3)

+a

i
air
O
indice 1,000 µ

x

r
Coeur d'indice n (milieu 2)

-a

gaine d'indice n1 (milieu 1)

F IG . 1 ­ Fibre optique en coupe
2 -- Montrer que la condition precedente est verifiee si l'angle d'incidence  
est inferieur a un
angle limite  dont on exprimera le sinus en fonction de n et i . En deduire 
l'expression de l'ouverture
numerique ON = sin  de la fibre en fonction de n et n1 uniquement.
3 -- Donner la valeur numerique de ON pour n = 1, 50 et n1 = 1, 47.
On considere une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec 
un angle d'incidence
 variable compris entre 0 et  . On note c la vitesse de la lumiere dans le vide.
4 -- Pour quelle valeur de l'angle  , le temps de parcours de la lumiere dans 
la fibre est-il minimal ?
maximal ? Exprimer alors l'intervalle de temps  t entre le temps de parcours 
minimal et maximal en
fonction de L, c, n et n1 .
5 -- On pose 2 = 1 - (n1 /n)2 . On admet que pour les fibres optiques   1. 
Donner dans ce cas
l'expression approchee de  t en fonction de L, c, n et . On conservera cette 
expression de  t pour la
suite du probleme.
On injecte a l'entree de la fibre une impulsion lumineuse
d'une duree caracteristique t0 = t2 - t1 formee par un faisceau de rayons ayant 
un angle d'incidence compris entre 0
et  . La figure 2 ci-contre represente l'allure de l'amplitude
A du signal lumineux en fonction du temps t.
6 -- Reproduire la figure 2 en ajoutant a la suite l'allure du signal lumineux 
a la sortie de la fibre. Quelle est la
duree caracteristique t0 de l'impulsion lumineuse en sortie
de fibre ?
Le codage binaire de l'information consiste a envoyer des
impulsions lumineuses (appelees « bits ») periodiquement
avec une frequence d'emission F.

A

t0
t
t1

t2

F IG . 2 ­ Impulsion lumineuse

7 -- En supposant t0 negligeable devant  t, quelle condition portant sur la 
frequence d'emission
F exprime le non-recouvrement des impulsions a la sortie de la fibre optique ?
Pour une frequence F donnee, on definit la longueur maximale Lmax de la fibre 
optique permettant
d'eviter le phenomene de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante 
de la fibre le
produit B = Lmax · F.
8 -- Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et .
9 -- Calculer la valeur numerique de  et de la bande passante B (exprimee en 
MHz·km) avec les
valeurs de n et n1 donnees dans la question 3. Pour un debit d'information de F 
= 100 Mbits.s-1 =
100 MHz, quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour 
transmettre le signal ?
Commenter la valeur de Lmax obtenue.
FIN DE LA PARTIE I
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Physique II, annee 2011 -- filiere PC

II. -- Approche ondulatoire de la propagation
10 -- A quelle condition sur  et a l'etude geometrique de la fibre menee dans 
la partie precedente
cesse-t-elle d'etre valable ? Dans ce cas, une approche ondulatoire de la 
propagation est necessaire.

II.A. -- Etude de la structure transverse de l'onde
En lumiere monochromatique, seules certaines formes d'ondes, appelees « modes 
», peuvent se propager dans la fibre. Chaque mode se propage a une vitesse 
differente, ce qui engendre l'etalement des
impulsions lumineuses et donc reduit la bande passante. Pour ameliorer les 
performances, les fabricants de fibres optiques ont ete amenes a elaborer des 
fibres a saut d'indice dites « monomodes » : un
seul mode peut s'y propager, ce qui a pour effet de diminuer considerablement 
l'etalement des impulsions. La bande passante des fibres monomodes est ainsi 
beaucoup plus elevee que celle calculee
a la question 9. Cette partie se propose d'etudier les conditions d'obtention 
d'une fibre optique a saut
d'indice monomode.
On etudie donc la propagation d'un champ electromagnetique de pulsation  dans 
la direction des
x positifs. Pour simplifier, on se limite aux solutions pour lesquelles ~E est 
polarise suivant ubz , avec
(b
ux , uby , ubz ) triedre direct. On note

y < -a d'indice n1 ~E1 le champ electrique dans le milieu 1 ~E2 le champ electrique dans le milieu 2 - a < y < a d'indice n ~ E3 le champ electrique dans le milieu 3 y>a
d'indice n1

En notation complexe, et en simplifiant la geometrie du systeme, les champs 
sont recherches sous la
forme :
~E s = es (y)e j( t-kx,s x) ubz
avec kx,s reel et s = 1, 2 ou 3

11 -- En utilisant les relations de passage a la traversee d'un dioptre entre 
deux milieux dielectriques
non charges, montrer que kx,1 = kx,2 = kx,3 = kx .
12 -- En utilisant l'equation de propagation du champ ~E dans un milieu 
dielectrique d'indice n,
montrer que les fonctions es (y) sont solutions de l'equation differentielle
d 2 es
- µs es = 0 pour s = 1, 2 et 3
dy2
On donnera l'expression de µs pour chacune des trois regions en fonction de kx 
,  , c et n ou n1 .

Afin que la fibre optique soit effectivement un guide d'onde, on doit fixer les 
parametres µs de cette
equation de telle maniere que ses solutions soient des ondes stationnaires 
suivant (Oy) dans le coeur,
et evanescentes suivant (Oy) dans la gaine. Dans les trois regions considerees, 
les fonctions es (y)
s'ecriront donc sous la forme

y

e1 (y) = Ae

e2 (y) = B e j y +  e- j y

e (y) =  Ae- y
3

ou  et  sont deux reels positifs. Les coefficients A et B sont fixes grace aux 
conditions aux limites du
probleme et le parametre  = ±1 permet d'obtenir les deux familles de solutions. 
On posera k = n /c
et kx = k cos r ou l'angle r  [0,  /2] correspond a l'angle de reflexion 
represente sur la figure 1.
13 -- Exprimer  en fonction de k et r, puis  en fonction de k, r, n et n1 .

14 -- Pour n et n1 donnes, quelle est la valeur maximale r de r ? En deduire la 
valeur minimale i
de i et commenter le resultat obtenu.
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Tournez la page S.V.P.

Fibre optique a saut d'indice

15 -- A partir des equations de Maxwell, determiner l'expression de la 
representation complexe
du champ magnetique dans chacun des trois milieux.
16 -- On pose  = e a et  = e j a . En utilisant les relations de continuite des 
champs en y = a,
obtenir deux equations liant A, B,  ,  ,  ,  et  .
17 -- En deduire, dans chacun des cas  = +1 ou  = -1, la relation que doivent 
verifier  , 
et a. Montrer que la reunion des deux cas se resume en la condition  a + 
arctan( / ) = p /2 avec
p  Z. On rappelle que si  > 0, alors arctan( ) =  /2 - arctan( -1 ).
Comme  et  sont des fonctions de r, on pose  a+arctan( / ) = f (r). Pour a 
donne, on admet que
la fonction r 7- f (r) est strictement croissante sur [0, r ]. Quand elle 
existe, la solution de l'equation
f (r) = p /2 est donc unique.
On souhaite realiser une fibre monomode, c'est-a-dire une fibre dans laquelle 
l'angle r ne puisse
prendre qu'une seule valeur pour la radiation de longueur d'onde  = 2 /k 
utilisee. Pour les applications numeriques, on prendra  = 709 nm.
18 -- Determiner la valeur maximale fmax de f (r) sur l'intervalle [0, r ]. 
Montrer que si p = 1,
la fibre est monomode quelles que soient les valeurs de a et  . Montrer que si 
p  2, l'equation
f (r) = p /2 n'a de solution que si a > a ou a est un rayon minimal que l'on 
exprimera en fonction
de p,  , n et n1 .
19 -- Dans la pratique, afin de realiser une fibre monomode, on prendra un 
rayon a < a et seul le mode associe a p = 1 se propagera dans la fibre. Calculer la valeur de a pour p = 2 et commenter le resultat obtenu. II.B. -- Dispersion intramodale Meme dans une fibre monomode, un autre phenomene provoque l'etalement des impulsions lumineuses. En effet, le coeur de silice est un milieu dispersif, c'est-a-dire que son indice optique depend de la frequence du rayonnement. Aux frequences optiques, les fibres optiques sont generalement le siege d'une dispersion dite « anomale », pour laquelle les composantes haute frequence se propagent plus vite que les composantes basse frequence. Or, la duree finie des paquets d'onde emis par les sources implique que l'onde qui se propage dans la fibre n'est E(0,t) jamais strictement monochromatique. Toutes les composantes frequentielles du paquet d'onde ne se propageant pas a la meme vitesse dans la fibre, un elargissement temporel de l'impulsion apparait au cours de la propagation. Ce phenomene est appele « dispersion intramodale » ou « dist persion chromatique ». 20 -- La figure 3 represente le profil temporel du champ electrique scalaire E(0,t) d'un paquet d'onde « gaussien » injecte a l'entree x = 0 de la fibre. L'origine des temps est choisie telle que le centre du paquet d'onde passe en x = 0 a t = 0. Representer l'allure du profil temporel du champ electrique scalaire E(xfixe ,t) du paquet d'onde apres propagation dans F IG . 3 ­ Paquet gaussien la fibre. FIN DE LA PARTIE II Page 4/6 Physique II, annee 2011 -- filiere PC III. -- Phenomene optique non lineaire : effet Kerr Quand l'amplitude du champ electrique de l'onde se propageant dans le coeur de la fibre n'est plus negligeable (i. e.  1%) devant le champ electrique intra-atomique assurant la cohesion de l'atome, des phenomenes optiques non lineaires peuvent apparaitre. 21 -- On rappelle que la puissance par unite de surface transportee dans un milieu d'indice n par une onde plane progressive d'amplitude E0 , aussi appelee intensite lumineuse, s'ecrit I = n0 cE02 /2. Determiner l'ordre de grandeur de l'intensite lumineuse au dela de laquelle la propagation peut donner lieu a des phenomenes optiques non lineaires ? Quelle invention du XXe siecle a-t-elle permis d'atteindre de telles puissances surfaciques ? III.A. -- Modelisation microscopique Dans cette partie, on propose une modelisation microscopique des interactions lumiere/matiere permettant d'expliquer l'effet Kerr optique, c'est-a-dire l'apparition d'une variation d'indice dans le milieu proportionnelle a l'intensite du faisceau lumineux qui s'y propage. Le modele microscopique de l'electron lie suffit ici a rendre compte des proprietes essentielles que l'on cherche a mettre en evidence. On note z(t) l'ecart a la position d'equilibre d'un electron de masse m et de charge -e. Sous l'action de la force exercee par un champ electrique ~E = E0 cos( t - kx)b uz de forte puissance polarise suivant Oz, on suppose que l'electron est, par reaction, soumis a une force de rappel comportant un terme harmonique et un terme de correction anharmonique : m2 03 3 ~F = -m02 z + z ubz h h ou 0 est la pulsation de resonance de l'atome et h = la constante de Planck reduite. Dans toute 2 cette partie, on suppose que la pulsation de l'onde incidente est differente de la pulsation de resonance du systeme mais suffisament proche de celle-ci soit  6= 0 mais   0 . On note egalement : · N le nombre d'atomes par unite de volume 2 2 2 = Ne la susceptibilite lineaire, avec 0 m 02 -  2 · nL = 1 + L l'indice du milieu « lineaire » · L = 03 (eE0 )2 ·  = 2 (0 -  2 )3 mh 22 -- Quelle est la dimension du coefficient  traduisant l'importance du phenomene non lineaire ? 23 -- Etablir l'equation verifiee par la fonction z(t). Pour resoudre cette equation, on utilise un developpement perturbatif aux differentes puissances de . On pose alors z(t) = z0 (t) +  z1 (t) avec z0 (t) solution de l'equation differentielle lineaire obtenue pour  = 0, et z1 (t) perturbation obtenue en ne conservant dans l'equation differentielle que les termes du premier ordre en  . 24 -- Determiner l'expression de z0 (t). 25 -- Determiner l'equation differentielle verifiee par z1 (t). On admettra que si  est suffisament proche de 0 la solution de cette equation s'ecrit 3 eE0 1 z1 (t)  - cos( t - kx) + 2 cos [3( t - kx)] 4 m 02 -  2 0 - 9 2 Quelle est l'origine mathematique du terme en cos(3( t - kx)) contenu dans cette solution ? Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Fibre optique a saut d'indice 26 -- On note  la susceptibilite electrique du milieu et Pz la composante selon l'axe Oz du vecteur polarisation ~P. Determiner les expressions de Pz en fonction de N, e, z0 ,  et z1 d'une part, et 0 ,  et E0 cos( t - kx) d'autre part. On supposera le milieu isotrope et lineaire, cette approximation n'est pas en desaccord avec le developpement perturbatif etudie ici. 27 -- En ne conservant que le terme de pulsation  dans z0 (t) et z1 (t), deduire de la question precedente l'expression de l'indice n du milieu en fonction de nL , L et  . III.B. -- Auto-modulation de phase par effet Kerr Dans le visible (  0 ), on peut supposer que les differents indices ne varient pas avec la frequence. Cette hypotheses revient a supposer que le milieu est non dispersif. La structure transverse de l'onde se propageant dans la fibre a ete etudiee dans la partie II. Dans cette partie on se propose d'etudier l'influence des non linearites optiques sur la structure longitudinale de l'onde. On suppose qu'en uz avec notation complexe le champ electrique dans la fibre peut se mettre sous la forme ~E = E(x,t)b E(x,t) = A(x,t - k0 x)e j(0t-k0 x) avec k0 = dk (0 ) d On admet que dans les conditions du probleme, l'enveloppe A(x,t) de l'impulsion est solution de l'equation A (x,t) = j|A(x,t)|2 A(x,t) x ou  depend de l'indice du milieu de propagation mais pas du temps t. 28 -- Montrer que le module de A(x,t) ne depend pas de x. 29 -- On pose A(0,t) = a(t). On admettra que a(t) est reel. Donner les expressions de l'enveloppe A(x,t) puis du champ E(x,t). 30 -- On note E(x,t) = |E(x,t)|e j (x,t) . Pour un paquet d'onde gaussien centre sur t = 0 de profil 2 2 temporel a(t) = a0 e-t /20 , determiner l'expression de la pulsation instantanee  (x,t) = (x,t) puis t tracer son allure en fonction du temps pour une valeur fixee non nulle de x. 31 -- La courbe tracee a la question precedente donne la distribution spectrale autour de la pulsation centrale 0 du paquet d'onde gaussien pour le front montant (t < 0) et descendant (t > 0) de
ce paquet. En deduire comment est deforme un paquet d'onde gaussien (represente 
sur la figure 3) au
cours de sa propagation dans un milieu presentant un effet Kerr optique. Ce 
phenomene est appele
automodulation.

III.C. -- Principe de propagation de solitons optiques
32 -- On considere que la fibre optique etudiee est a la fois le siege d'un 
phenomene de dispersion
intramodale (cf. partie II.B) et d'un phenomene d'automodulation (cf. partie 
III.B). Montrer qualitativement qu'on peut envisager la propagation d'un paquet 
d'onde sans deformation. Un tel mode de
propagation est appele soliton optique.
FIN DE LA PARTIE III
Donnees numeriques :
­ vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3, 00 · 108 m·s-1
­ charge elementaire : e = 1, 60 · 10-19 C
­ permittivite du vide : 0 = 8, 85 · 10-12 F·m-1
FIN DE L'EPREUVE

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