Mines Physique 2 PC 2014

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTEOH,
TELECOM PARISTEOH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANOY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2014
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ]] -- PO.

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il
aura été amené à prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

AUTOUR DU MAGNETISME

Les phénomènes magnétiques sont connus depuis l'antiquité, Thalès de Millet 
(VIEUR siècle avant
JC.) avait remarqué que certaines pierres, dites aimants naturels, sont 
capables d'exercer des
actions sur certains objets métalliques ou entre--elles. Mais c'est au début du 
XVIIEUR siècle qu'un
médecin anglais, Gilbert, s'est livré à une étude détaillée des aimants. Fin 
1820, Orsted fait un
cours à l'Université de Copenhague portant sur le dégagement de chaleur dans un 
fil joignant
les deux bornes d'une pile de Volta. Un de ses élèves lui fait remarquer qu'une 
aiguille aimantée,
placée par hasard sous le fil, pivote lorsque le courant circule. L'aiguille 
dévie et cesse d'indiquer
le nord ! La liaison entre l'électricité et le magnétisme est établie. Ensuite, 
des physiciens comme
Arago, Ampère, Biot et Savart vont formaliser les phénomènes magnétiques 
provoqués par des
courants.

On rappelle les valeurs de la permittivité électrique du vide eo : % 81, de la 
permittivité
magnétique du vide ...) = 47? - 10_7 81, de la charge élémentaire e : l, 6 - 
10--19 SI, de la constante
universelle de gravitation G : 6, 7 - 104L1 SI, et de la célérité de la lumière 
dans le vide c :
3,0 - 108 81. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires 
(Q,) ou d'une flèche

(17) dans le cas général. Le point désigne la dérivée temporelle (@ : Ê--Î).

I. -- Généralités

Ü 1 -- Donner l'expression vectorielle de la force électrostatique 
d'interaction entre deux
charges immobiles q et (] distantes de r, dans un référentiel galiléen. À qui 
attribue--t--on cette
loi, en quelle année (à 10 ans près) ? Préciser les unités des différentes 
grandeurs dans le système
international (81).

Autour du magnétisme

Ü 2 -- Soient deux charges élémentaires q = q' = e distantes de 7° : 1,0 - 
10--10 m. Évaluer
la norme de la force électrostatique qu'exerce la particule q sur la particule 
q'. Comparer cette
valeur a celle de la force gravitationnelle qui s'exerce entre deux particules 
de masse m =
m' = 10--30 kg situées a la même distance 7° l'une de l'autre. Comparer la 
norme de la force
électrostatique au poids d'une particule de masse m = 1,0 - 10--30 kg en 
prenant g = 10 m - s_2.

Que peut--on en conclure ?

Ü 3 -- À partir de l'expression de la force décrite a la question 1, définir le 
champ électro--
statique créé par une charge immobile q a la distance 7° de celle--ci. Quelle 
est l'unité du champ
électrostatique? Quelles sont ses propriétés de symétrie? Sur quel principe 
s'appuie l'énoncé
de ces propriétés ?

point M, par une portion élémentaire orientée dÏ (P) d'un circuit filiforme

Ü 4 -- Rappeler l'expression du champ magnétostatique dË (M) créé au ï ldÏ
(centré en P) parcouru par un courant stationnaire d'intensité ] représenté =

sur la figure 1. On pourra noter EURpM le vecteur unitaire orienté de P vers M 
7" M
et 7° : HPMH. Quelles sont les umtes 81 des termes qui 1nterv1ennent dans l\
== EURPM

cette expression? Quelles sont les propriétés de symétrie vérifiées par le

champ magnétostatique? FIGURE 1 -- Por--

tion de circuit fili--

Ü 5 -- Rappeler l'expression de la force dÏ subie par une portion élé-- forme 
infini

mentaire orientée d£ d'un circuit filiforme (centré en P) parcouru par un
courant stationnaire d'intensité ] située dans une zone où règne un champ
magnétostatique B.

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Expérience d'@rsted

Toute cette partie sera traitée dans le cadre de la magnétostatique.

Ü 6 -- Enoncer le théorème d'Ampère en définissant chacune des grandeurs qui 
interviennent
dans son énoncé.

Ü 7 -- On considère un fil rectiligne infini dirigé selon un axe Oz parcouru 
par un courant
d'intensité ] positif dans le sens des ?: croissants et un point M dont la 
distance minimale au
fil est notée p. Déterminer soigneusement l'expression du champ magnétostatique 
Ëoe (M) créé
par le fil en M.

Ü 8 -- On considère a présent un segment de fil rectiligne de longueur
L dirigé selon un axe Oz parcouru par un courant ] positif dans le sens _
des ?: croissants et un point M de son plan médiateur % . Peut--on utiliser [d£ 
%

le théorème d'Ampère dans cette situation ? En se plaçant en coordonnées Pguç _ 
L
cylindriques, puis en utilisant l'angle oz tel que tana : z/p (voir figure ' _
2), établir l'expression du champ É (M) en fonction de Ëoe (M) et d'une p \ M
fonction f de la variable EUR : L/p. Quelle est la valeur prise par cette '
fonction pour EUR = 1 puis EUR = 20. Dans la suite du problème on supposera _
être dans le cas EUR >> 20, que peut--on en conclure ? i

?
l

Ü 9 -- Soit une boucle plane %, de surface S, parcourue par un courant -

d'intensité ] . Quelle est l'expression du moment magnétique fic associé a 
FIGURE 2 _ CiÏCUÏt
cette boucle ? Quelle est l'unité de ce moment ? Quelle est la résultante Ë 
filiforme de 1011--
des forces subies par cette boucle lorsqu'elle est plongée dans un champ gueur L
magnétique uniforme? Quelle est l'expression du moment résultant des

forces subies par cette boucle ?

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Physique U, année 2014 -- filière PC

Considérons un fil << infini >> parcouru par

un courant d'intensité ] placé (suivant

Oz) dans un plan horizontal 3302". À une

distance y de ce fil, on place le point

de pivot d'une boussole de longueur A. 93

Cette dernière est astreinte a des mou-- . ,"oe

vements de rotation, caractérisés par l'an-- ' '

gle gp dans le plan 93 parallèle a 3:02".

Le moment magnétique de l'aiguille est

noté [[ = ,u sing0EURoe + ,u cosmEURZ où la

constante ,u est positive. L'aimantation

,LLÛ, qui représente le moment magnétique volumique de la boussole sera 
supposée uniforme :
d--" -- " -- --cte. L' angle gp représente la direction de l'aiguille de la 
boussole. Le tout

'u19_ d7' _ volume
est représente sur la figure 3.

V'\«

FIGURE 3 -- Fil et boussole

Ü 10 -- Déterminer les composantes cartésiennes du champ magnétique É (P) en un 
point P
de l'aiguille de la boussole de coordonnées a:, y, ?:

Ü 11 -- Établir l'expression dI'y(P) de la composante selon Oy du couple 
élémentaire dÏ(P)
subi par une portion de l'aiguille située autour du point P et dont le moment 
magnétique
élémentaire est dû. En déduire l'expression Ty de la composante selon Oy du 
couple total f
s'exercant sur l'aiguille de la boussole en fonction de ,u, Ëoe (y), cosg0 et 
d'une intégrale v
dépendant de la géométrie de l'aiguille.

On considère dorénavant que l'aiguille de la boussole est un cylindre aimanté 
de diamètre faible
devant sa longueur A.

7- , _ r t n5
Ü 12 -- Montrer que dans ce cas le calcul de l1ntegrale donne v : v(5) -- % avec
A .
5 = -- sm @.
%
Ü 13 -- L'aiguille aimantée est placée dans le champ magnétique terrestre 
(supposé uniforme)

Bt: Bt eZ avec Bt > 0 et dans celui créé par le fil infini étudié ci-- dessus. 
Le moment d' inertie
de l'aiguille par rapport a l'axe Oy est noté Jy. Établir l'équation 
différentielle qui régit le
mouvement de l'aiguille. On néglige l'effet des frottements et on rappelle que 
la liaison impose
toujours a l'aiguille de rester dans le plan 9".

Ü 14 -- Lorsque ] # O, montrer que la position d'équilibre de l'aiguille 
correspond a un angle

tan 6 . ,
'0 = ---- où l' on exprimera It en fonction de ,uO , y et B,. Que represente It 
? On

W 5 It

considère que(léi composante horizontale du champ magnétique terrestre vaut Bt 
: 2, O- 10_5 T.
Le fil est aligné sur l'axe nord-sud terrestre ainsi Ët : BÊÊZ; la longueur de 
l'aiguille est
A = 5, Ocm et elle est située a y = l, 2cm du fil. Quelle est l'ordre de 
grandeur de l'intensité
qui doit circuler dans le fil, si on souhaite que la déviation de l'aiguille 
atteigne au moins 80° ?
Que pensez vous de cette valeur ?

% tel que

FIN DE LA PARTIE II

Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

Autour du magnétisme

III. -- Étude d'un dispositif de lévitation magnétique

Globe

On s'intéresse dans cette partie a un dispositif un
peu particulier, constitué d'un système producteur
d'un champ magnétique ËC, en l'occurrence une
couronne torique a section rectangulaire aimantée
incluse dans une base en plastique, et d'un pe--
tit globe terrestre en lévitation au--dessus de cette
base. Oe globe est en fait une sphère en plas--
tique creuse contentant un élément aimanté ayant _ ,
la forme d'un disque parallèle au plan équatorial et aimanté / a1manoee
situé a une distance d sous ce dernier. Un dispositif

électro--magnétique de positionnement et de stabi--

O Ô ©
lisation est aussi inclus dans la base. L'ensemble VDispositif

du système est représenté sur la figure 4. ë1EUR9t1f0nique
de p081tlonnement

...
.
.
.

Disque Couronne

FIGURE 4 -- Vue du dispositif

III.A. -- Étude mécanique du globe

Afin de simplifier l'étude mécanique, on assimile l'ensemble du globe avec son 
dispositif interne
a une sphère creuse de rayon R de centre G, de masse m, lestée par une masse 
ponctuelle ma
située en A. L'ensemble {sphère + masse ponctuelle} constitue le système 
d'étude, posé sur une
table plane et horizontale (voir figure 5). Le référentiel d'étude est celui du 
laboratoire supposé
galiléen. Le contact 0 entre le système et la table est ponctuel. La position 
d'équilibre est
repérée par 9 = 0. La masse totale du globe mt est supposée telle que mt : m + 
ma.

Ü 15 -- Déterminer la position du centre de gravité G du système a 6z
l'équilibre. On notera (È : --h @, et l'on exprimera h > 0 en fonction 2

de m, ma et d.

On écarte le système de sa position d'équilibre et on admet qu'il roule
alors sans glisser sur la table et que le mouvement de G et G se fait
dans le plan yOz. On note JAG le moment d'inertie du système par
rapport a un axe A passant par G et perpendiculaire au plan yOz.
Ü 16 -- Quelles sont les forces subies par le système? Le système

_' ' '?
est 1l conservat1f . FIGURE 5 _ Système

Ü 17 -- Exprimer la vitesse 77}; du centre d'inertie G dans le référentiel 
d'étude
du laboratoire en fonction de R, h, 9 et EUR. En déduire l'énergie cinétique
EC du système.

Ü 18 -- Déterminer l'expression de l'énergie potentielle Ep du système.

Ü 19 -- En déduire l'équation différentielle vérifiée par 9(t) décrivant le 
mouvement de la
sphère.

Ü 20 -- Linéariser cette équation en considérant que 9,9,Ë sont des infiniments 
petits du

même ordre et en ne conservant que les termes linéaires vis--à--vis de ces 
quantités. Déterminer
dans ces conditions la période des petites oscillations.

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Physique U, année 2014 -- filière PC

III.B. -- Champ magnétique créé par la couronne circulaire

On se propose de modéliser le champ magnétique ËC créé par une cou--
ronne aimantée circulaire de rayon pc.

On admet qu'un dipôle magnétique situé en P, de moment magnétique
[[ : ,uêz, crée en un point M, tel que 7° : HIYÆH, un champ magnétique

* No 3Ü'77H a
B O. L'intensité 
Bcz(z) de la
composante selon 02 du champ magnétique crée par la couronne au niveau de la 
cote ?: sur cet
axe a été calculée dans la partie lll.B.

Ü 25 -- Déterminer l'expression de l'énergie potentielle magnétique Ep)... du 
petit disque dans
le champ créé par la couronne. On note mt la masse totale du globe et g 
l'accélération de la
pesanteur, déterminer l'expression de l'énergie potentielle totale du globe Ep 
en fonction de
z, BCZ (z), ,ug, mt et g. Représenter sur un schéma l'allure de Ep en fonction 
de la cote 71, en
déduire qu'il existe une cote Ze correspondant a un équilibre stable pour le 
globe.

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Autour du magnétisme

Ü 26 -- Le globe étant en équilibre stable sur l'axe Oz, l'effet des 
frottements étant négligé, on
l'écarte légèrement de cette position. Montrer que le globe entre dans un 
régime de mouvement
périodique dont on précisera l'expression de la période en fonction de ,ug, mt 
et de la quantité

_ 32 Bcz

"' = 322

z=Ze

III.D. -- Étude de la stabilité radiale du globe

On se place en coordonnées cylindriques (p, go, 71) et on rappelle que

A > 13 aËC-3 132ËC-3 a2ËC-3
EUR,.ABC=__ pg +_M+M
p Ôp Ôp p2 @@ Ôz2
Ü 27 -- Après avoir simplifié son expression, justifier que le fait que @ - AËC 
: 0 sur l'axe
OZ .
Ü 28 -- Dans les questions précédentes on a vu que la composante axiale du 
champ magné--

tique BCZ (z) créé par la couronne présente un maximum pour une cote ?: : Ze. A 
cette cote,
mais au voisinage de l'axe, la composante BCZ (p, go, 71) peut--elle présenter 
un maximum selon
? La osition d'é uilibre axiale ?: constitue--t--elle aussi une osition d'é 
uilibre radiale?
EUR

III.E. -- Dispositif de positionnement et de stabilisation
aimants de Dans le détail, le disque aimanté contenu
positionnement

_ dans le globe peut être représenté par une
a1mant de . , , , .
stabilisation masse ma constituée d un mater1au non
3 magnétique solidaire de deux aimants de
sondes de Hallñ Â f_/SOHdGS de Hall positionnement et d'un aimant de stabili--
- sation représentés sur la figure 8. On consi--
dère pour notre étude que cet ensemble est
astreint a se déplacer sans frottements sur
un axe horizontal a la cote ?: : ze : cste.
/_j Sous cet axe, noté dans cette partie OJD",
sont placées deux sondes de Hall H1 et
H2 . Dans la zone considérée, ces sondes
délivrent une tension proportionnelle au
champ magnétique qui les traverse. Ces deux sondes sont connectées a un circuit 
électronique
qui alimente deux bobines créant ainsi un léger champ magnétique. Oe dernier 
exerce finale--
ment sur les aimants de positionnement, une force portée par 0913. L'ensemble 
du dispositif est
lui aussi représenté sur la figure 8.
Dans la configuration proposée, on suppose que les sondes de Hall ne sont 
sensibles qu'au
champ créé par l'aimant de stabilisation fixé sous la masse ma. La sonde H1 
(resp. Hg) délivre
une tension uH1 (a:) > 0 (resp. uH2 (a:) > 0) qui dépend linéairement (facteur 
k > 0 identique
pour les deux sondes) de la distance entre le centre de l'aimant de 
stabilisation (repéré par a:) et
le centre de la sonde H1 repéré par 33H, (resp. 33H2). La géométrie est telle 
que a:... : --a:H2 : 330
et l'on reste dans une zone telle que la:l S 330. On note UH1,... et UH2,... 
les tensions maximales
(positives) délivrées par les sondes H1 (resp. H2) dans le cas où a: : 33H, 
(resp. 33H2). Les sondes
sont fixes et on admet que UH1,... : UH2,... : uH

dispositif
électronique

Couronne aimantée en coupe

FIGURE 8 -- Dispositif de positionnement magné--
tique

m '

Ü 29 -- Exprimer les tensions u... et uH2 en fonction de uHm, 330, a: et k.

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Physique Il, année 2014 -- filière PC

La chaîne de traitement du signal issu des sondes de Hall est représentée sur 
la figure 9. Elle
se décompose en 3 étages. Les amplificateurs opérationnels (AO) utilisés dans 
ce montage sont
tous identiques et supposés idéaux. La tension de saturation en sortie de ces 
AO ne sera jamais
atteinte et ils fonctionnent tous en régime linéaire. Dans tous les montages 
proposés, la satu--
ration en courant n'est jamais atteinte. Conventionnellement l'alimentation des 
AO n'est pas
représentée sur les montages.

..........................................................

FIGURE 9 -- Traitement du signal magnétique

Ü 30 -- Dans les étages 1.1 et 1.2 chaque sonde est reliée a un dispositif a 
amplificateur
opérationnel. Quelle est la relation entre les tensions U;" 2 et les tensions 
uH1'2. Quel est le nom
et l'intérêt de ce dispositif ?

Ü 31 -- Exprimer la tension ?) en fonction des tensions u'H1 et u'HZ, puis en 
fonction de la
position 33 de l'aimant et du paramètre k. Quelle est la fonction du montage de 
l'étage 2 ?

Ü 32 -- Déterminer l'équation différentielle qui relie les tensions v' et @, 
puis celle qui relie v'
a a:.
Un dernier étage, non détaillé ici, permet de faire circuler un courant 2' : 
k'v' avec k' > 0

dans les bobines. Par l'intermédiaire de ces deux bobines, cette intensité 
produit un champ
magnétique produisant lui--même une force Foe dirigée selon 033 et telle que 
Foe : k" 2' avec

k" > O.

Ü 33 -- Établir l'équation différentielle satisfaite par l'abscisse a: de 
l'aimant. On mettra
cette équation sous une forme canonique en faisant apparaître un facteur de 
qualité Q et une
pulsation wo. Que peut--on en conclure ? On pourra indiquer une relation entre 
R, C', k, k', k"
et mt permettant d'obtenir le meilleur résultat possible.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

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