Mines Physique 2 PC 2015

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
-- Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est
invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant 
les raisons des
initiatives qu'il aura ete amene a prendre.
-- Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques)
qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas 
explicitement. Le
bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de 
la copie.

ONDES INTERNES EN VALLEE ENCAISSEE
Ce probleme comporte trois parties largement independantes. La premiere partie 
fait etablir
l'expression de la pulsation de Brunt-Vaisala caracterisant la troposphere 
lorsqu'elle est stablement stratifiee. Les ondes internes sont des ondes de 
gravite (comme les vagues) mais se
propageant a l'interieur d'un milieu continument stratifie (comme les oceans ou 
l'atmosphere).
La deuxieme partie a pour but d'obtenir la relation de dispersion de ces ondes. 
La troisieme
et derniere partie est une etude numerique de la propagation de celles-ci au 
sein d'une vallee
encaissee idealisee. Dans tout le probleme, l'acceleration de la pesanteur 
vaudra g = 9, 8 m · s-2
et la constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J · mol-1 · K-1 . Les vecteurs 
sont surmontes d'un
chapeau lorsqu'ils sont unitaires (kb
ux k = 1) ou d'une fleche dans le cas general.

I. -- Atmosphere stablement stratifiee
La troposphere est la couche de l'atmosphere situee entre 0 et 12 km au-dessus 
du sol. Il s'agit
d'une couche de gaz stratifie verticalement, de l'air, que l'on modelisera par 
un gaz parfait
diatomique. Cela signifie que sa masse volumique varie avec l'altitude suivant 
la verticale. Mais
la troposphere est compressible et rarement isotherme parce que la chaleur qui 
provient du
sol chauffe par le soleil est transmise aux couches atmospheriques voisines du 
sol, et peu aux
couches superieures. On suppose que les grandeurs physiques qui decrivent la 
troposphere ne
dependent que de l'altitude z du lieu considere.
En journee, la temperature decroit quand l'altitude augmente. On supposera le 
gradient de
dT
= -C avec une constante C = 6, 00 · 10-3 K · m-1 .
temperature uniforme (dans l'air sec) :
dz

Ondes internes en vallée encaissée

Ü 1 -- En supposant qu'au niveau de la mer, la température soit &; = 15°C 
calculer la
température a Chamonix (1050 m) puis au sommet du Mont--Blanc (4810m).

Ü 2 -- En écrivant l'équilibre hydrostatique de chaque couche de la 
troposphère, déterminer
l'expression de la pression en fonction de l'altitude 21. On fera apparaitre la 
constante x = %
où M = 29, 0g - mol_1 est la masse molaire de l'air. On relève une pression 
atmosphérique
po : 1013 hPa au niveau de la mer, calculer la valeur de la pression 
atmosphérique qui règne a

Chamonix et au sommet du Mont--Blanc.

Ü 3 -- On note p(z) la densité volumique de masse de la troposphère. Montrer 
que son
équation d'état est polytropique : pp_0' : cste. On précisera la valeur 
numérique de la constante
oz et l'on vérifiera que 1 { oz { y où y est l'indice adiabatique de la 
troposphère.

Ü 4 -- On suppose que l'épaisseur de la troposphère est constante, Ztr : 12 km 
et que la terre
est une boule de rayon R,: = 6400 km. Écrire l'expression de la masse mtr de la 
troposphère
comme l'intégrale d'une fonction de 21. En simplifiant l'expression de la 
fonction a intégrer en
considérant les valeurs numériques impliquées, donner une estimation numérique 
de la masse
de la troposphère.

La stratification verticale de la troposphère est responsable du principal 
mécanisme des mou--
vements verticaux qui s'y développent. Il repose sur le fait qu'une bulle d'air 
dont la densité
est différente de celle de l'atmosphère ambiante se meut verticalement avec des 
accélérations
différentes selon son altitude. Au cours de son ascension ou bien de sa 
descente, la bulle d'air
change d'état thermodynamique (température, masse volumique). Considérons une 
bulle d'air
notée 95' et vérifiant par hypothèse les conditions suivantes :

-- L'ensemble 95' est homogène, constitué de particules d'air pour lequel on 
peut définir
une masse volumique uniforme p93 et une température uniforme T.

-- L'ensemble 95' se déplace suivant la verticale 07: de manière adiabatique, 
autrement
dit on suppose qu'elle se déplace suffisamment vite pour ne pas recevoir de 
tranfert
thermique de la part des volumes voisins de la troposphère.

-- La ou les transformations subies par 95' ne sont a priori pas isothermes.

-- On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une 
fine enveloppe
de type << bulle de savon >> dont l'effet est négligé;

-- En revanche a chaque instant il y a égalité des pressions a l'interface 
entre la bulle d'air
et la troposphère ambiante;

-- La troposphère ambiante est au repos : il y a donc équilibre hydrostatique;

-- On négligera la viscosité de l'air, et on le supposera totalement sec 
(absence d'humidité).

Avant d'être déplacée, la bulle d'air de volume V0 de masse volumique Z " 
(VO+5V, p0+5 p)
pÿ, : po est en équilibre hydrostatique a l'altitude zo. Sa température et """

sa pression SOHË égales à celles de l'air environnant, soit T( 710) et p(Zo)- 
Zo+EUR" ___________ :: " p(20+5)
Elle est ensuite déplacée a la hauteur zo +EUR (voir Fig. 1). ' T(%+Ê)

Ü 5 -- En supposant son évolution adiabatique et réversible, et les A --1
variations assez petites pour être traitées linéairement, déterminer la g
variation (W de volume en fonction de EUR , VO, po, g et du coefficient de 20 " 
___________ P(Zo)
compressibilité XS : --% (%)S de la bulle. AA Tu q_
. '7'- ii

PHOTO 1 -- Mer de nuages dans la vallée de l'Arve -- Haute--Savoie

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Ondes internes en vallée encaissée

Une onde orographique est une forme d'onde de gravité atmosphérique qui se 
produit lorsqu'une
masse d'air est forcée en altitude par son déplacement au--dessus d'un relief 
montagneux. Si
l'environnement est stable, la masse d'air redescendra du côté aval de 
l'obstacle et entrera en
oscillation autour d'une hauteur égale ou inférieure au sommet de celui--ci.

Ü 25 -- Dans cette question, on ne supposera plus l'air totalement sec. 
Expliquer qualitati--
vement la formation de nuages lenticulaires dans les Alpes, observables sur la 
photo 2.

PHOTO 2 -- Nuages lenticulaires sur le Mont--Blanc -- Haute--Savoie

FIN DE LA PARTIE III

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FIGURE 4 -- Diagrammes de Hôvmoller au voisinage du point C' de la vallée 
idéalisée EUR
relevé de vz(t) toujours au point C' pendant plus d'un jour à partir du même 
instant initî