Mines Physique 2 PC 2018

A2018 ­ PHYSIQUE II PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2018
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Electrons et atomes par l'experience

Electrons et atomes par l'experience
Ce probleme presente un certain nombre de modeles et d'experiences mettant en 
jeu des
electrons et des atomes. Les vecteurs sont reperes par le fait qu'ils sont 
surmontes d'une fleche
dans le cas general (!r) ou d'un chapeau lorsqu'ils sont unitaires (!
er ). Un point sur une fonction
dr
. Les applications numeriques seront des
du temps t designe sa derivee temporelle : r =
dt
ordres de grandeurs avec au plus deux chiffres significatifs, les donnees 
necessaires a celles-ci
sont rassemblees a la fin du sujet.

I. -- Modele classique de Thomson de l'atome
On modelise le mouvement de l'electron (masse m, charge -e) d'un atome 
d'hydrogene par celui
d'un oscillateur harmonique effectuant de petites oscillations autour d'une 
position d'equilibre
stable. Le centre du noyau etant fixe en O, l'electron oscille selon un axe (O, 
e!r ), il est repere
par le vecteur !r = r!
er ou r designe sa distance a l'origine O. Il subit une force de rappel de la
!
part du noyau : Fn = -m 0 2 r e!r avec 0 = 3,9 × 1015 rad·s-1 .
On montre que toute charge acceleree rayonne un champ electromagnetique. 
L'electron oscillant,
il emet donc un rayonnement dont la puissance moyenne (sur une periode 
d'oscillation de
l'electron) est donnee par la formule de Larmor
e 2 # r 2 $
6  0 c 3
Afin de justifier le caractere harmonique de la force de rappel subie par 
l'electron de la part du
noyau, on adopte le modele de Thomson. On modelise le noyau d'un atome 
d'hydrogene par
une boule de centre O et de rayon a au sein de laquelle evolue l'electron, ce 
dernier restant a
l'interieur du noyau. La charge totale du noyau est uniformement repartie dans 
son volume.
1 -- En utilisant le theoreme de Gauss en coordonnees spheriques, determiner le 
champ
! n du au noyau au sein de celui-ci (i.e. pour r < a). En deduire la force F!n qu'exerce electrique E le noyau sur l'electron lorsque celui-ci se deplace uniquement suivant (O,! er ). Faire le lien avec la force de rappel donnee precedemment en identifiant 0 en fonction de e, m, a et 0 . 2 -- Determiner, dans le cas d'oscillations libres, r(t) en fonction des caracteristiques du systeme (on choisira comme conditions initiales r(0) = r0 et r(0) = 0) et en deduire l'expression de l'energie mecanique E de l'electron en fonction de m, 0 et r0 . 3 -- On considere dans la suite que cette energie mecanique, malgre sa diminution due au rayonnement, differe peu sur une periode de celle que l'on vient d'etablir en negligeant les pertes d'energie. En tenant compte de la puissance moyenne # P $ perdue par rayonnement donner l'equation differentielle verifiee par E et montrer que E depend en fait du temps et se met sous la forme E(t) = E0 exp (- t). Calculer la valeur de 1/ dans le cas de la raie bleue du spectre de l'atome d'hydrogene pour laquelle  = 486,1 nm. Justifier a posteriori le calcul effectue. #P $ = FIN DE LA PARTIE I II. -- Emission et absorption de rayonnement On reste dans le cadre du modele de l'electron elastiquement lie au noyau de l'atome et l'on se place comme dans la premiere partie dans le cas particulier ou l'electron repere par le vecteur !r = r! er est en mouvement unidirectionnel suivant un axe (O,! er ). Outre la force de rappel F!n = -m 0 2 r e!r qu'il subit de la part du noyau, on modelise l'influence des pertes d'energie mecanique de l'electron par une force de frottement fluide F!r = -m 02  r e!r pour laquelle on prendra  = 6,2 × 10-24 s. On considere toujours les memes conditions initiales suivantes r(0) = r0 et r(0) = 0. Page 1/6 Physique II, annee 2018 -- filiere PC 4 -- Apres avoir ecrit le principe fondamental de la dynamique applique a l'electron, determiner l'expression de r(t). Simplifier cette expression (DL a l'ordre 1) compte tenu de la valeur tres petite de 0 devant 1. 5 -- Donner, en fonction de 0 et de , le temps caracteristique 2/ de decroissance des oscillations de r(t) et la pulsation  des pseudo-oscillations que l'on mettra sous la forme : = 0 - . 6 -- L'attenuation par rayonnement provoque une decroissance de l'energie de l'oscillateur, comme cela a ete vu a la question 3. Le rayonnement emis se presente comme un train d'ondes de longueur caracteristique Lnat . Donner Lnat en fonction de la vitesse c de la lumiere dans le vide et de . La lumiere emise par l'electron freine est-elle monochromatique ? 7 -- Si la seule source d'elargissement de la raie spectrale etait celle invoquee precedemment, quel commentaire pourrait-on faire sur la coherence temporelle de cette source et sur la faisabilite d'une experience d'interference par exemple avec un interferometre de Michelson ? 8 -- On peut montrer, grace a l'analyse de Fourier, que l'energie rayonnee par l'electron par unite de frequence est : dI 1 = I0 d 4  ( - 0 + )2 + (/2)2 Representer qualitativement la distribution spectrale de cette raie et determiner sa largeur a mi-hauteur . En deduire la largeur de la raie en longueur d'onde  et effectuer l'application numerique avec les valeurs de 0 et  donnees precedement. Exprimer / en fonction de 0 et . Dans ce modele classique, quel commentaire peut-on effectuer sur le decalage en frequence par rapport a la largeur naturelle de la raie  ? 9 -- L'elargissement d'une raie spectrale du a l'effet Doppler est ()D  20 u/c ou u est la vitesse moyenne d'agitation thermique des atomes qui emettent. Expliquer en quelques lignes, sans aucun calcul, en quoi consiste l'effet Doppler. On considere un gaz de masse molaire M = 23 g.mol-1 prealablement excite emettant de la lumiere. Determiner l'ordre de grandeur de u pour un tel gaz se trouvant a la temperature T = 300 K. Calculer numeriquement / ()D pour ce gaz ainsi que la longueur du train d'onde LD associee. Commenter ce resultat. A quelle temperature T0 faudrait-il le refroidir pour pouvoir esperer mesurer la largeur naturelle  de sa raie d'emission ? Commenter ce resultat. FIN DE LA PARTIE II III. -- Experience de Faget et Fert " L'experience realisee a Toulouse en 1956 & par Jean Faget et Charles Fert consiste a $2 interposer un fil d'araignee metallise F (de % rayon r0  1 µm) charge positivement sur ! le trajet d'un faisceau d'electrons issus du S ( # meme point S, sortie d'un canon a electrons. Un electron est recu en un point M de l'ecran. Lors de sa traversee de la cavite, attire par $1 le fil, l'electron a pu passer soit a droite, soit ' a gauche de ce dernier (voir figure 1). Figure 1 ­ Experience de Faget et Fert Si les electrons passent a une faible distance du fil, on montre que l'angle  de deviation des electrons est faible et pratiquement le meme pour tous. Page 2/6 Tournez la page S.V.P. Electrons et atomes par l'experience Dans ces conditions, tout se passe comme si les electrons, collectes sur l'ecran apres deviation, etaient emis suivant des trajectoires rectilignes en provenance des sources fictives S1 et S2 , telles que S1 S2 = s = 2 f , avec f = 1 cm et = e E 0 r0 m v2 Dans cette relation E0 represente l'intensite du champ electrique a la surface du fil, v la vitesse d'un electron et e la charge elementaire. 10 -- Decrire qualitativement ce qu'on observe sur l'ecran. ! cree 11 -- Exprimer, en fonction de E0 , r0 et de la distance r au fil, le champ electrique E ! par le fil charge. En deduire le potentiel V (r) duquel derive E. 12 -- Sachant que l'on a m v 2  10 5 eV et E0  10 6 V.m-1 , calculer la difference de potentiel U = V (r0 ) - V (f ) a imposer entre la sortie du canon et le fil pour avoir   10-4 radian. 13 -- Dans les experiences d'optique electronique les electrons arrivent un par un ; decrire comment se forme la figure sur l'ecran. 14 -- Comment interpreter l'onde associee aux electrons ? Calculer l'interfrange x de l'experience dans le cas ou Z = 10 f . Comment varie-t-elle quand on augmente U ? 15 -- Que peut-on dire de la zone occupee par les franges (champ d'interferences) lorsqu'on augmente le potentiel U . 16 -- Que pensez-vous de l'approche classique, au sens non-relativiste, effectuee ici ? FIN DE LA PARTIE III IV. -- Deviation du cesium par un faisceau lumineux Afin de verifier certains resultats de la theorie cinetique des gaz, on chauffe des atomes de cesium places dans un four perce d'un petit orifice. Ils en sortent avec une vitesse caracteristique v = 3,0×102 m·s-1 . Deux fentes F1 et F2 paralleles a (Oy), de largeur  = 10 µm et distantes de , permettent d'obtenir des trajectoires quasi paralleles a (Oz) jusqu'au detecteur d'atomes : un fil chaud de 10 µm de diametre au sein duquel un courant d'ionisation est cree par le bombardement atomique. Ce courant est ensuite mesure par un electrometre qui permet donc de deduire le nombre d'atomes recus en fonction de la position x du fil chaud. Lumière -[pA] 6 Four Chambre de détection + # 4 Jet irradié ¢"1 * (2 Détecteur (1 Jet non irradié , " 2 ¢"2 "[)m] 0 100 200 Figure 2 ­ L'experience de Picque et Vialle (a gauche) et les resultats experimentaux (a droite) Page 3/6 Physique II, annee 2018 -- filiere PC A travers un hublot, on irradie, sur une longueur a  20 cm, le jet atomique avec une lampe spectrale classique dont la longueur d'onde   0,9 µm correspond a une raie d'absorption du cesium. On considerera que l'irradiation a lieu a une distance d = 72 cm du detecteur. L'experience a ete realisee par Jean-Louis Picque et Jean-Louis Vialle au laboratoire Aime Cotton de l'Univerite d'Orsay en 1972. Le dispositif est represente sur la partie gauche de la figure 2 17 -- Rappeler l'expression de la quantite de mouvement d'un photon du faisceau irradiant. 18 -- On suppose que la quantite de mouvement totale se conserve lors de l'absorption d'un photon par un atome de cesium, et l'on note  l'angle que fait par rapport a (Oz) la vitesse d'un atome de cesium apres cette absorption. Exprimer  en fonction de h, m,  et v. En deduire la deviation x d'un atome, au niveau du detecteur, associee a l'absorption d'un seul photon. 19 -- En analysant les resultats experimentaux, estimer le nombre moyen N de photons absorbes par les atomes lors de leur irradiation. 20 -- Proposer une explication quantitative pour la largeur x1 du pic non irradie. Proposer des explications qualitatives precises pour la largeur x2 du pic irradie. FIN DE LA PARTIE IV V. -- Mesures experimentales de la duree de vie de certains etats excites de l'helium Pinceau d'électrons On modifie l'experience precedente, le but etant cette fois non pas de devier le faisHaute Basse énergie énergie ceau atomique mais d'exciter les atomes du jet afin de mesurer la duree de vie de l'etat excite obtenu. Pour cela on travaille cette Vapeur Jet atomique # fois avec une vapeur d'helium chauffee dans . un four perce d'un petit orifice permettant aux atomes de s'echapper. Le jet atomique ainsi obtenu est bombarde Lentille 0 / par un faisceau d'electrons energetiques afin d'ioniser les atomes du faisceau. Les ions Récepteur positifs ainsi formes sont ensuite acceleres photoélectrique entre les deux plaques percees d'un condensateur plan maintenu sous une difference de potentiel U = 56 × 103 V. Les cations sont ensuite a nouveau irradies par un faisceau -(#) -0 d'electrons, de faible energie cette fois, qui les neutralise en les laissant dans un etat ex# cite E2 = 2,7 eV (E1 = 0 eV correspond a l'etat fondamental), juste avant leur sortie 0 + du condensateur. Figure 3 ­ Dispositif experimental Un atome excite a t = 0, a la probabilite P(t) = e-t/ d'etre encore excite a l'instant t. Pour mesurer la duree de vie de cet etat excite, on dispose le long du jet atomique, une lentille et un recepteur photoelectrique qui peuvent se deplacer parallelement a l'axe (Oz) du jet. Il est ainsi possible d'isoler la lumiere emise par une petite fraction du jet atomique situe a la distance z de la zone irradiee (entre z et z + dz) et dI(z) de tracer la courbe de variation de l'intensite differentielle i(z) = recue par le detecteur. dz Page 4/6 Tournez la page S.V.P. Electrons et atomes par l'experience 21 -- Dans ces experiences utilisant des jets atomiques, il est necessaire de realiser un vide pousse dans l'enceinte traversee par le jet atomique. Expliquer pourquoi. 22 -- Pourquoi est-il necessaire d'ioniser au prealable les atomes d'helium ? 23 -- Quelle est la longueur d'onde  de la lumiere emise par le jet ? 24 -- En negligeant la vitesse des atomes a la sortie du four devant celle-ci, calculer la vitesse v des cations He+ a la sortie du condensateur. 25 -- Determiner la probabilite qu'un atome du jet se desexcite entre les instants t et t+dt. En deduire la probabilite qu'un atome du jet se desexcite entre les cotes z et z + dz. 26 -- On note K la proportion du rayonnement emis dans la direction du detecteur et collecte par la lentille, n la densite volumique d'atomes dans le jet et S la section du jet. Determiner l'expression de l'intensite lumineuse dI(z) recue par le detecteur. 27 -- La tangente a i(z) a l'origine, coupe l'axe des abscisses en  = 4,2 cm. Calculer la duree de vie  de l'etat excite de l'atome d'helium. FIN DE LA PARTIE V VI. -- Irradiation d'une vapeur d'hydrogene atomique Lorsque l'on porte de l'hydrogene a de tres hautes temperatures, superieures au millier de kelvins, on peut considerer que seuls les deux premiers niveaux d'energie accessibles aux electrons, E1 et E2 , sont peuples. On rappelle que la population N (En ) du niveau d'energie En est donnee - En par la relation de Boltzmann N (En ) = C e kB T ou C est une constante et kB la constante de Boltzmann. On expose ce gaz a un rayonnement electromagnetique dont la frequence  est telle que les photons qui le constitue possedent une energie tres superieure a l'energie d'ionisation de l'hydrogene Ei = - E1 = 13,6 eV. On peut donc faire l'hypothese que cette irradiation ionise les atomes d'hydrogene (de masse M ). On analyse la distribution en vitesse des electrons (de masse m) ainsi emis. On observe que la distribution experimentale de ces vitesses presente deux pics a des vitesses v1 et v2 dont les largeurs sont d'autant plus importantes que la temperature du gaz est elevee. 28 -- Proposer une explication physique pour ce constat experimental. 29 -- Rappeler l'expression En en fonction de Ei et d'un entier n. Determiner l'expression de v1 et v2 en fonction de m, , h et Ei . 30 -- Les conditions de cette experience peuvent etre comparees a celle de la surface de N (E2 ) = 10-5 pour une etoile. certaines etoiles. Une analyse spectroscopique permet de mesurer N (E1 ) Determiner la temperature de sa surface en utilisant ce modele. Cela vous semble-t-il realiste ? On etaiera sa reponse par des arguments quantitatifs. 31 -- Determiner l'expression de la constante C en fonction notamment du nombre total N d'atomes contenus dans l'echantillon etudie. 32 -- On considere maintenant tous les niveaux d'energie potentiellement excites de l'atome d'hydrogene. Quel est le nombre maximal gn d'electrons pouvant occuper le niveau d'energie En . Ce nombre est appele degenerescence de l'etat En . En deduire une expression de la constante C sous la forme d'une serie infinie. Que constatez-vous ? Page 5/6 Physique II, annee 2018 -- filiere PC 33 -- On rappelle que le n-ieme rayon moyen de l'orbite de Bohr d'un electron de l'atome d'hydrogene est donne par la relation rn = n2 h2 4 2 m e2 Proposer une explication permettant de resoudre le probleme rencontre a la question precedente. FIN DE LA PARTIE VI Donnees numeriques Nombre d'Avogadro : NA = 6,0 × 1023 mol-1 Constante de Planck : h = 6,6 × 10-34 J·s Constante de Boltzmann : kB = 1,4 × 10-23 J·K-1 Charge elementaire : e = 1,6 × 10-19 C Masse molaire de l'hydrogene : 1,0 × 10-3 kg·mol-1 Masse molaire de l'helium : 4,0 × 10-3 kg·mol-1 Masse molaire du cesium : 133 × 10-3 kg·mol-1 Masse de l'electron : m = 9,1 × 10-31 kg Masse d'un proton : M  1,8 × 10-27 kg Vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3,0 × 10 8 m·s-1 Electron-volt : 1 eV=1,6 × 10-19 J Permitivite dielectrique du vide : 0 = 8,9 × 10-12 F · m-1 ln(10)  2,3 FIN DE L'EPREUVE Page 6/6