Mines Physique 2 PC 2021

A2021 --- PHYSIQUE II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2021 -- filière PC

Enquête autour de la source GRS 1915+105

La source de lumière astronomique GRS 1915+105 a été découverte en 1992 par le 
satellite
franco-russe GRANAT. Elle est située dans notre galaxie. Dans le système de 
coordonnées
équatoriales célestes, son ascension droite est de 19h 15min 11.6s et sa 
déclinaison est de +10°
56' 44". Ses coordonnées astronomiques sont à l'origine de son nom. Sa distance 
à la Terre a
été évaluée à environ 12 kpc.

GRS 1915+105 fut ensuite observée en 1994 avec le radio-télescope Very Large 
Array pendant
une durée de quelques semaines qui permit d'établir avec certitude que GRS 
1915+105 était le
premier objet galactique exhibant le phénomène de jets dits « superluminiques ».

Ces différentes observations ont permis de déterminer la nature et les 
caractéristiques de cet
objet qui est devenu le représentant emblématique de la famille des 
micro-quasars. Ce sujet re-
prend le fil de cette enquête autour de GRS 1915+105 et propose une explication 
du phénomène
de jet superluminique.

Pour les applications numériques on prendra :

e Masse du Soleil : M, © 2,0 x 10*° kg e Rayon du Soleil : Re © 7,0 x 10° km

e Luminosité du Soleil : L, © 4,0 x 10°W «+ Constante de la gravitation : G + 
7,0 x 107]

1 11
e Vitesse de la lumière c © 3,0 X 10°km:s1 e -- 0,70 1.4 = 4 37 © 10

V2

L'unité astronomique (ua) est la distance moyenne entre la Terre et le Soleil : 
1 ua + 2,0 x10!!m.
Le parsec (pc) est la distance à laquelle il faut se mettre du couple 
Terre-Soleil pour les voir
séparés d'une seconde d'are (1") : 1pe = 3,0 x 10!6m

yl |,  arctanx [|

80
T6
72

cos(y

0,4 0,3 0,2
L'objectif de cette enquête est de déterminer les caractéristiques physiques de 
l'objet GRS
1915+105. Une attention particulière sera donc portée aux résultats numériques 
qui seront,
sauf indication particulière, donnés avec deux chiffres significatifs. Les 
vecteurs seront repérés
par une flèche (v) sauf dans le cas unitaire où ils seront surmontés d'un 
chapeau (|[e,|] = 1).
Cinq documents complémentaires sont fournis à la fin du sujet et seront 
discutés au fil des
questions. L'indice © fait référence au Soleil.

I La nature de GRS 1915+105

LH -- 1. À l'aide du document 1, indiquer dans quelle constellation se trouve 
GRS 1915+105.
Avec un seul chiffre significatif, quelle est sa distance à la Terre en 
années-lumière ?

IA Une étoile normale ?

Hypothèse 1
La source GRS 1915+105 est une étoile « ordinaire », c'est-à-dire une étoile 
comme le
Soleil, qui puise son énergie dans la fusion nucléaire.

Page 1/8 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2021 -- filière PC

On considère une onde plane monochromatique, de fréquence , se propageant dans 
le vide
selon &,. Son champ électrique est noté Ë = E9 cos(wt -- kx)e,. On appelle 
éclairement EUR la
puissance moyenne transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à 
sa direction
de propagation.

D -- 2.

Exprimer EUR en fonction de EUR, EUR et Eo.

On considère à présent cette onde comme un faisceau de photons se propageant 
selon EUR,. Ce
faisceau de photons arrive perpendiculairement sur une paroi plane d'aire $.

LI -- 3.

Rappeler l'expression de l'énergie transportée par un photon puis exprimer le 
nombre
de photons qui arrivent sur la paroi entre { et t + dt, en fonction de EUR, , 
$, dt et de la
constante de Planck A.

On suppose que la paroi absorbe totalement le rayonnement. Quelle est 
l'expression de
la quantité de mouvement d'un photon d'après la relation de de Broglie ?

Exprimer la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d'un choc 
photon-paroi
puis en déduire la force subie par la paroi de la part de l'ensemble des 
photons incidents.

On modélise une étoile par une sphère de rayon À, dont le

noyau de masse M, supposé ponctuel, émet des photons qui
se propagent vers la surface. On note Z la luminosité ou puis-
sance totale rayonnée par l'étoile.

On considère un élément de matière de masse m << M, situé à la surface de l'étoile, d'épaisseur négligeable et présentant une surface S perpendiculaire à la direction radiale (cf. figure 1). Li -- 4. La limite d'Eddington, notée Lyraa, est une valeur de lumino- sité qu'une étoile ne peut pas dépasser. Au delà, la force de Exprimer la force de radiation exercée par les photons sur l'élément de matière en fonction de $, L, Ret c. radiation prend le pas sur celle de gravitation et des consti- tuants de l'étoile peuvent être éjectés. FIGURE 1 - Modélisation D -- 5. Exprimer, notamment en fonction du rapport m/S$, la luminosité maximale Lyqa per- LU -- 6. mettant un équilibre entre force radiative et force gravitationnelle. Le rapport m/S est une constante indépendante des paramètres de l'étoile. En prenant m/S = 25kg : m *, exprimer la limite d'Eddington sous la forme Lraa = Xi 11. Le où K, est un facteur que l'on déterminera et dont on précisera la valeur numérique. La luminosité de GRS 1915+105 étant L -- 2 x 10 Z,,, en déduire la valeur de la masse minimale de GRS 1915+105, exprimée en masses solaires. Des étoiles avec de telles masses existent, ce sont des géantes bleues. Elles sont en moyenne 15 fois plus grosses que le Soleil. D -- 7. En utilisant le document 2, déterminer la plus petite échelle de variabilité temporelle de LB GRS 1915+105. En déduire le rayon maximum de cet objet, en supposant qu'il respecte la limite de causalité. Comparer avec le rayon moyen d'une géante bleue et conclure. Un objet compact ? Hypothèse 2 La source GRS 1915+105 est un objet très compact (trou noir ou étoile à neutrons) en orbite avec une étoile ordinaire dont il arrache de la masse par accrétion. Page 2/8 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2021 -- filière PC Li -- 8. _ _ Exprimer la variation d'énergie potentielle cau- D De sée par l'accrétion d'un élément de masse m, 07 D initialement situé à très grande distance de l'ob- " D jet compact, vers la surface de cet objet com- " \ pact de rayon À. Donner AE, sous la forme L Objet compact x AE, -- K mc, K2 étant une constante à dé- de masse M et \ terminer en fonction notamment des caracté- : de 'e ri ristiques de l'objet compact. Déterminer la valeur numérique de cette cons- \ Fa d'un : tante dans le cas du Soleil et dans celui d'un élément de masse / objet compact de masse 2W/; et de rayon 20 \ NX | km. Commenter, sachant que le processus de Ne Réservoir de masse _@ fusion nucléaire, responsable de la production CS _ de TA Pet ? d'énergie dans les étoiles « normales », repré- ei 2 sente environ 0,07mc° (voir document 3). FIGURE 2 -- Accrétion de masse Pour un trou noir, le rayon de Schwarzschild, noté À,, correspond à la distance en deçà de laquelle aucun objet (y compris un photon) ne peut échapper à l'attraction gravitationnelle de l'astre. LU -- 9. LU -- 10. Exprimer l'énergie mécanique d'un objet ponctuel de masse m, de vitesse v, subissant une force d'attraction gravitationnelle de la part d'un astre de masse M supposé ponctuel et situé à la distance r. À quelle condition cet objet est-il dans un état de diffusion ? En déduire l'expression de la vitesse de libération de l'objet en fonction de sa distance à l'astre attracteur. En considérant que l'on peut généraliser ce calcul classique aux photons, exprimer le rayon de Schwarzschild de l'astre attracteur en fonction de M, G et c. Un calcul relativiste rigoureux conduit à estimer le rayon de la dernière orbite stable d'une particule gravitant autour du trou noir à À, -- 3R.. Quelle est alors la plus petite échelle de temps de variabilité attendue pour un trou noir de 100 masses solaires ? Conclure. II La nature de l'astre central On admet dans cette partie que le système GRS 1915+105 est constitué d'un objet compact. noté 5, de masse 17, autour duquel gravite une étoile ordinaire que nous appellerons « compa- gnon » et qui sera notée $5, de masse m. Ces deux objets seront supposés ponctuels. On cherche ici à estimer la masse de l'objet compact, ce qui permettra de trancher sur sa nature : trou noir ou étoile à neutrons. Le référentiel d'étude Z centré sur un point © est galiléen. On suppose que les seules interactions entre l'objet compact et son compagnon sont gravitationnelles. D -- 11. nd Ecrire les équations différentielles vérifiées par les vecteurs OS et OS. En déduire que le référentiel ZX centré sur le point K tel que (M +m)OK = MOS,+m OS est galiléen. Sous quelle hypothèse le référentiel Z, centré sur So, peut-il être supposé galiléen ? On fera cette hypothèse. Montrer alors que le mouvement de S; dans Z s'effectue dans un plan Z. Page 3/8 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2021 -- filière PC On considère une source ponctuelle S se déplaçant à la vitesse Ü -- ve, le long d'un axe A = (A,e,). Un détecteur D supposé immobile est placé hors de l'axe 4. La source $ émet des ondes de période T se propageant à la vitesse c. On note d; la distance entre $ et D à l'instant to et d cette distance à l'instant {6 + T. On note 0 l'angle entre le vecteur SD à to et la direction du vecteur v. -- 12. Faire un schéma de la situation. Exprimer la période 7" perçue par le détecteur en fonction de T°, di, d2 et c. En supposant que vT << d, et v  c, en déduire l'expression de la fréquence f" perçue par le détecteur en fonction de la fréquence d'émission f, de v, 0 et c. Comment se nomme ce phénomène ? Dans le spectre de l'étoile compagnon, les fréquences des raies varient à cause du mouvement du compagnon autour de l'astre central. On peut alors en déduire une mesure de la vitesse du compagnon, projetée sur l'axe de visée. Pour simplifier, on suppose que la trajectoire du compagnon est circulaire, parcourue avec une vitesse uniforme v. On considère un premier cas représenté par la fi- gure 3 ci-contre dans lequel l'observateur fixe se trouve « à l'infini» dans le plan orbital Z du com- Compagnon pagnon autour de l'objet compact. On note v, la ff" Ligne de visée >
. je . . Direction de l'observateur fixe

vitesse du compagnon projetée sur la ligne de visée

et v, son intensité.

Objet @
-- 13. Reproduire et compléter le schéma en in- compact
diquant par des flèches la vitesse v et sa NC
projection v, pour une position quelconque
du compagnon.
Quelles sont les extrema de v, ?
Indiquer les positions du compagnon corres-
pondant aux extrema de v,. FIGURE 3 -- Schématisation

À quel moment peut-on mesurer v ?

En fait la ligne de visée n'est pas forcément contenue dans Z. On définit alors 
le plan du ciel,
noté &, orthogonal à l'axe de visée qui est matérialisé par la droite passant 
par l'observateur
et l'objet compact. On note à l'angle d'inclinaison supposé constant entre EUR 
et #. Ces divers
objets géométriques sont représentés sur la figure 4.

D -- 14. Déterminer les deux valeurs de l'an-
P gle ?: correspondant à la plus petite
@ D'compagnon et la plus grande valeur de la vitesse
projetée v, mesurée.

ne Pour un angle à quelconque, on dé-
Objet d Ligne de visée _ finit les positions extrêmes du com-
CORPECU | Direction de l'observateur fixe pagnon, où v, est maximale. Quelle
1 est alors la relation entre U,, max: V

et 2?
PE Interpréter la courbe tracée dans le

document 4 et proposer une valeur
POUT Up. max ACCOMpagnée d'une in-

FIGURE 4 -- Plan du ciel et plan orbital certitude.

Page 4/8 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2021 -- filière PC

D -- 15. On cherche à présent à relier la vitesse du compagnon aux 
caractéristiques de son or-
bite. Retrouver la troisième loi de Kepler en appliquant le principe 
fondamental de la
dynamique au compagnon, dont l'orbite circulaire de rayon r a une période P 
autour de
l'objet compact de masse 1.

En se basant sur le document 4, on peut définir une fonction g dite « fonction 
de masse » ne
Pr?

p, max

dépendant que de M et à et telle que g(Mi) -- TC
z

D -- 16. Exprimer g(M,i) en fonction de M et i.

Calculer numériquement la valeur de g (en masses solaires) et en déduire une 
masse
minimale pour l'objet compact central de GRS 1915+105.

En déduire la nature de l'objet compact accrétant de GRS 1915+105.

IIT Ejection par l'astre central

Lors d'une campagne d'observation réalisée au printemps 1994, les astronomes 
Félix Mirabel
et Luis Rodriguez ont pu constater que l'objet central de GRS 1915+105 a éjecté 
de la matière
dans deux directions opposées. Ces éjectas ont été détectés grâce à la « 
lumière » qu'ils ont
émise dans le domaine des ondes radio. Le document 5 montre des « clichés » de 
ces éjectas à
quelques jours d'intervalle et permet de repérer leur position par rapport à la 
source centrale.

LD -- 17. Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux ondes 
radio.

D -- 18. Sur la figure du document 5, pourquoi peut-on affirmer sans calcul que 
la vitesse angulaire
apparente des deux éjectas est uniforme ? On fera cette hypothèse dans toute la 
suite.
À partir des deux données extrêmes, exprimer (sous forme d'une fraction que 
l'on ne
simplifiera pas) sa valeur en seconde d'arc par jour pour chaque ejecta.

Par des mesures indépendantes, on a pu déterminer que GRS 1915+105 est situé à 
12 kpc
de la Terre. En utilisant la définition du parsec, déduire la vitesse des deux 
éjectas en
km -s7!. Commenter.

Pour interpréter ce résultat, on fait les hypothèses suivantes (éjectas 
polaires symétriques) :

e On suppose que l'axe d'éjec- 7
tion est perpendiculaire au plan .,
orbital : À V1
A Ligne de visée Observateur
e On suppose que les deux éjec- | DA l "à l'infini
tas sont émis par la source cen- AE _, l D a
trale au même instant { -- 0 et 7
se déplacent avec des vitesses op- P EUR

posées de norme v. constante.
FIGURE 5 -- Géométrie d'une éjection polaire symétrique

1 -- 19. Exprimer la distance R(t) entre la source centrale et chaque éjecta à 
la date t, en déduire
le déplacement apparent sur le plan du ciel de chaque éjecta.

Si chaque éjecta émet de la lumière à l'instant t, à quelles dates {, et t2 les 
photons
correspondants seront-ils reçus par un observateur situé sur la Terre à la 
distance D ?

En déduire l'expression des normes des vitesses apparentes v. et w des deux 
éjectas (voir
figure 5).

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Physique IT, année 2021 -- filière PC

Li -- 20.
LU -- 21.
LU -- 22.

On étudie en particulier la fonction v.(1). Quelle relation doit vérifier 
l'angle + pour que

vi(i) soit maximale ? Que vaut alors la vitesse maximale vi max de v1(i) ? On 
introduira
_1/2

2
le facteur de Lorentz + = |1 -- (=)
C

À quelle condition sur v. le mouvement apparent des éjectas est-il plus rapide 
que celui
de la lumière ?

Exprimer tan? en fonction de c, v. et v2 puis v. en fonction de EUR, v1, v2 et 
cos 1.

À l'aide des valeurs trouvées à la question 18, déterminer les valeurs 
numériques de à et
v.. Commenter la valeur de v..

À partir de tous les résultats obtenus estimer la valeur numérique de la masse 
de l'objet
compact situé au coeur de GRS 1915+105.

Document 1 | Carte du ciel dans l'hémisphère nord.

, .__ _*X
+*Bérénice

77 hevelute de

*

7%} *
Vierge 4

*

UeT
UGI

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Physique IT, année 2021 -- filière PC

Document 2 | Courbes de lumière de GRS 1915+105 dans le domaine des rayons X 
lors
de diverses campagnes d'observations (tirées de MNRAS 330, 487, 2002 et 324, 
267, 2001)

3L | Novembre 1996 | 2 à 60 keV
ALÉLTEAAI
o el), 1), 1
| I Ï T T T Î Ï Î I Il fual | | | | | | h | | |
| | ll | - | | | | }}1),11 | 4 | || |) ] | / }. | 1 | \/ | |
É S | 4 de 1
| [Intensité | 1 | pl | /}) f A 44 OU /| FN f ff l'y / L #4 À | / f
2,5 DS 1 re in -- mn 1500 00 2500 fs]
F ités arbitraires 7 J | \ L
LI erorraires 3E 12 Octobre 1997 2 à 18 keV
k PO . | E -
20EUR 1 10) ,Ë 5
P1 ! Fa =
L95F 1 s | :
pl 100 200 t fs]
1 oL temps t {s] -_ 24 Juin 2000 2 à 6 keV
1 1: --] | En | Et --] | =: 1 8 --
10 30 10 70 90 I -
Détail d'un pic de luminosité typique | u 6+-
Ua
4
_ | | | | | | | | | | |
100 200 t [s]

On note clairement le caractère variable et périodique de la source à 
différentes échelles de
temps. Chaque période est constituée d'un pic caractéristique d'une durée de 
l'ordre de P0.
Chaque pic montre des évènements d'une durée maximale de l'ordre de PI ou P2, 
eux-mêmes
décomposés en sursauts d'une durée de l'ordre de P3. Ces pics sont périodiques 
et une analyse
en fréquence sur de longues périodes a permis de montrer que la fréquence 
associée aux sursauts
est de l'ordre de f; © 10 Hz. La variabilité temporelle At d'une source 
lumineuse astronomique
correspond à la plus petite durée sur laquelle elle varie de façon périodique. 
Elle donne
une limite sur sa taille caractéristique À. La vitesse de propagation d'un 
processus physique
étant limitée par la vitesse de la lumière, on a toujours À < cAt : on parle de limite de causalité. Document 3 |: Evolution stellaire et caractéristiques des objets compacts. En astrophysique, un objet compact est généralement le cadavre d'une étoile. Pendant leur phase active les étoiles sont dites « normales », elles équilibrent leur pression gravitationnelle en réalisant la fusion thermonucléaire d'éléments de plus en plus lourds. Les étoiles les plus légères ne peuvent aller plus loin que la fusion de l'hélium en carbone. Leur cadavre est alors une naine blanche dont la masse ne peut excéder 1,5 M. Certaines étoiles plus massives peuvent aller jusqu'à la synthèse du fer et terminent généralement en étoile à neutrons dont la masse ne peut excéder 3 M. En fin de cycle, les étoiles très massives ne peuvent plus contrebalancer la gravitation et s'effondrent en un trou noir. Naine blanche | Etoile à neutrons Trou noir R = 7000 km R = 10 km R + 3 km pour M + M, p = 1tonne - em * | p + 10° tonne : cm * | Pas de limite en masse M <15 M, M<3M,; Page 7/8 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2021 -- filière PC Document 4 Phasogramme du compagnon de GRS 1915+105. La vitesse projetée est tracée en fonction de la phase orbitale, qui varie de 0 à 1 lors d'une période de révolution. La période mesurée vaut 33,5 jours soit 2,8 x 10° secondes. -- } Î Î À = -- _ == = -- = -- | _-- ea | 150 À + t - À 100 |- À | pa Ê E ! re J L / 3 o 50 À F À K FF 1* 8 0 \ x : Y É *. 2 2 E [ F : 5 EUR # \ " ee [l # L" | 4 Fa " m --100 WA , Æ Le _ É dl | Fr . -150 E à - _ 1 | L | 1 | L | L ] 1 ( L | L ] 1 | 1 | L 1 | - --0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 kel Orbital Phase (33.5 d) Document 5 Position au cours du temps de deux jets 18 mars 1994 de matière émis par l'astre central de GRS 1915+105. La distance verticale entre les images est proportionnelle à la durée séparant les observations. La source centrale est repérée par une croix et est considérée comme fixe. Les deux éjectas sont initialement confondus avec la source centrale, dont ils s'éloignent peu à peu. Le tableau sur la droite donne les distances angulaires entre chaque éjecta et la source centrale. 27 mars 3 avril 1994 -ESy) Date | Dist. éjecta 1 | Dist. éjecta 2 18 mars 0" 0" 27 mars 0,15" 0,08" 3 avril 0,28" 0,15" 9 avril 0,36" 0,19" 16 avril 0,50" 0,26" 9 avril 1994 Xe RE LZ l seconde d'arc FIN DE L'ÉPREUVE Page 8/8