Mines Physique 2 PC 2022

À 2022 - PHYSIQUE II PC

Cm

COCOLIrS COMEMIULN

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARIS
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle international),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2022

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le

signale Sur sa Copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.
Physique IT, année 2022 -- filière PC

À propos des araignées

Les araignées ou Aranéides sont des prédateurs invertébrés arthropodes. À ce 
jour, plus de
47 000 espèces subdivisées en 117 familles sont repertoriées et 1700 d'entre 
elles vivent en
France. Les araignées produisent des fils de soie constitués d'un entrelacement 
de nombreuses
fibrilles élémentaires. Le diamètre de ces fils varient typiquement de 1 
jusqu'à 70 um. À diamètre
équivalent, ces fils sont plus résistants que l'acier et possèdent de 
nombreuses autres propriétés
qui les rendent intéressants pour l'industrie, pour la confection par exemple 
de nouveaux tex-
tiles, de gilets pare-balles ou encore de cordes d'instruments de musique. Dans 
la nature, l'usage
que les araignées en font est multiple et dépend des espèces considérées : fil 
de sécurité pendant
un saut pour fuir ou pour se déplacer (fil d'Ariane), tissage de toile pour 
pièger des proies,
moyen de s'élever dans les airs et de voyager au gré des courants aériens pour 
les araignées
montgolfières (fil de la Vierge), confection de catapultes pour la chasse, 
création de dômes pour
le stockage d'air sous l'eau douce pour les espèces subaquatiques ......

Nous proposons d'aborder quelques problèmes de physique relatifs aux araignées 
et plus par-
ticulièrement aux trois espèces représentées dans la figure ci-dessous (Fig. 
1). Les applications
numériques seront données avec un chiffre significatif. Les vecteurs sont 
indiqués par des flèches

(Y) sauf s'ils sont unitaires et sont alors surmontés d'un chapeau (|le,|] -- 
1). Les nombres
complexes sont soulignés à l'exception de 7 tel que 7° -- --1. Un formulaire 
est fourni en fin
dénoncé.

Les 3 parties de ce problème sont indépendantes.

Xysticus

\ fmm  Hyptiote
PR | cavatus

FIGURE 1 -- Xysticus sp. est une araignée-crabe volante. Hyptiote cavatus est 
une araignée
catapulte, tisseuse de toiles triangulaires. Certaines araignées, comme 
WVephila pilipes en photo,
tissent des toiles dont les propriétés mécaniques rivalisent avec les 
meilleures fibres artificielles
comme le Kevlar et produisent des fils de soie qui peuvent être assemblés pour 
former des cordes
de violon produisant un son au timbre exceptionnel. Source des images : 
Wikipédia.

I Des araignées volantes

Certaines araignées volantes dont la taille est comprise entre 2 et 7 mm 
parviennent, en tirant
profit des forces électrostatiques, à décoller et à s'envoler. Elles arrivent 
ainsi à parcourir, au
gré des vents, des distances considérables (plusieurs centaines de kilomètres) 
comme l'a observé
pour la première fois, Charles Darwin, lors de son grand voyage à bord du 
Beagle de 1831 à 1836.
Dans cette partie du problème, nous nous intéressons à la physique permettant 
d'expliquer un
tel phénomène.

D -- 1. En utilisant une schématisation sphérique rudimentaire pour modéliser 
ces araignées,
estimer un ordre de grandeur m, pour leur masse.

Page 1/8
Physique IT, année 2022 -- filière PC

Par temps clair, le champ électrique, en tout point de la surface de la Terre 
est radial uniforme,
dirigé vers le centre de la Terre et sa valeur moyenne vaut Eo -- 120 V : m !. 
En première
approximation, on assimile localement l'atmosphère terrestre à un condensateur 
plan dont les
deux armatures sont le sol terrestre et la couche de l'ionosphère située à 
l'altitude 25 = 60 km
de celui-ci.

Li -- 2.

Évaluer la valeur de la densité surfacique moyenne de charge au niveau du sol, 
notée 0.
Des mesures ont permis de montrer qu'il existe une différence de 360 KV entre 
l'ionosphère
et le sol. Que pouvez-vous conclure quant à la validité du modèle électrique 
atmosphérique
proposé ?

Les araignées volantes positionnent leurs corps de manière à prendre le vent, 
en éjectant vers
le ciel des fils de soie de longueur L = 1 m et de rayon 7 = 1 um qui leur 
permettent de s'élever
grâce aux courants d'air et au champ électrique. Darwin nota que ces araignées 
décollent en
présence au niveau du sol de légers courants d'air ascendants ayant des 
vitesses Ü de l'ordre de
0,1m:s let que le nombre de fils fabriqués par celles-ci peut atteindre 
quelques dizaines.

LU -- 3.

Rappeler la signification physique du nombre de Reynolds, R. et déterminer son 
ordre
de grandeur pour l'écoulement d'air au niveau d'un fil de soie. On justifiera 
la taille
caractéristique qu'il convient de prendre en compte pour évaluer R..

. Sans en donner l'expression exacte, de quels paramètres physiques dépend 
l'expression de

la force s'exerçant sur un fil de soie aligné dans un écoulement d'air ?

Dans le régime considéré l'intensité de cette force avant le décollage est de 
l'ordre du
micronewton. Combien de fils sont-ils nécessaires pour soulever les plus 
petites araignées ?
Commenter ce résultat.

Darwin remarqua que les différents fils tissés par une même araignée s'écartent 
en éventail du
fait d'une répulsion électrostatique. Pour corroborer cette hypothèse, on 
modélise chaque fil de
soie comme un fil rigide isolant, de longueur ZL que l'on supposera 
inextensible dans un premier
temps, possédant en son extrémité libre, une charge q. Ces charges placées dans 
le champ
électrique terrestre interagissent entre-elles. On suppose qu'il y a 2n fils et 
que les charges
correspondantes se répartissent régulièrement sur le cercle formant la base 
d'un cône d'angle a
en son sommet S (lequel correspond à l'extrémité commune des soies) avec la 
verticale (Fig. 2).

D -- 5.

Montrer que le potentiel électrique créé sur une charge par les 2n -- 1 autres 
charges
s'exprime comme :

n--1 n--1
q I Ù 7
4 _1-- D y)
VE aLana ot) avec G() TE DT + 2

On précisera la valeur de l'entier p. On pourra éventuellement considérer les 
points dia-
métralement opposés À, et Az, avec 1 
À=27/k

(a) (b)

FIGURE 4 -- (a) Image tirée de la revue Pour la science, 04 Mars 2010 -- (b) 
Représentation
schématique d'une fibre imbibée d'eau.

Page 5/8
Physique IT, année 2022 -- filière PC

IITIA Approche statique

On considère un fil d'araignée cylindrique de rayon a, de longueur L, dans la 
direction axiale
(Oz) horizontale parfaitement rigide. Un film axisymétrique d'eau liquide de 
section circulaire
et d'épaisseur ho est initialement déposé sur sa surface.

Sous l'effet d'une perturbation harmonique d'amplitude e(t) et de nombre d'onde 
k = 27T/X,
l'épaisseur de ce film devient A(z,t) = hn(t) + e(t) cos(kz) où h(t) = À! fe 
h(z,t)dz désigne
la valeur moyenne de h(z,t) sur une longueur d'onde. On parle alors de l'état 
modulé.

On se place dans l'approximation pour laquelle &L >> 1 et l'on suppose de plus 
que la modu-
lation d'épaisseur est faible (EUR ho et ka 1).

LH -- 16. On suppose que l'eau est un fluide incompressible. Calculer, en 
fonction de Ro, a et À, le
volume V de fluide formant initialement un film d'eau cylindrique d'épaisseur 
constante
Ro Sur une portion de longueur À autour du fil.
En calculant ce même volume dans l'état modulé et en précisant les conditions 
d'approxi-
mation, établir la relation (1) ci-dessous qui existe entre l'épaisseur moyenne 
du film h,,(#)
et l'amplitude de la modulation harmonique de son épaisseur e(t),

Où Ro = à + ho est le rayon initial du fil cylindrique imbibé d'eau et dans 
laquelle on
précisera la valeur de l'entier y.

Pim(t) = ho --

D -- 17. Calculer l'énergie de surface libre Æ, du film d'eau initial sur une 
portion de longueur À.
Montrer que la variation d'énergie de surface sur cette portion de fil entre 
l'état initial et
l'état modulé s'écrit à l'ordre le plus bas en ke sous la forme :

27 \ye*(t)

AF,\(e) -- YR

(KR -- 1) (2)

D -- 18. Déterminer un critère de stabilité pour le cylindre de liquide.

IIILB Approche dynamique

On commence par s'intéresser à l'écoulement stationnaire laminaire d'un film de 
liquide incom-
pressible (viscosité 7 et masse volumique p) d'épaisseur constante hÿ autour du 
fil cylindrique
de rayon a et de longueur L >> a sous l'effet d'un gradient de pression ----. 
On néglige les effets

dus à la gravité. Le champ de vitesse dans le fluide est de la forme ü(r,0,z) = 
v(r,0,2)e..

1 -- 19. Pourquoi peut-on affirmer qu'en fait on a simplement v = v(r) ?
Montrer que le champ de vitesse v satisfait l'équation différentielle suivante :

n d { dv OP

LE 0. 3

r dr Fr F) OZ (3)
Montrer que le gradient de pression selon z dans le liquide est une constante 
notée f.

d
D -- 20. On suppose que v(a) = 0 et
Fr

-- (. Montrer que le profil de vitesse dans le film d'eau
r=RkRo

= -(e) 0) +001}

où l'on exprimera @ en fonction de 5, n et a.

s'écrit sous la forme

Page 6/8
Physique IT, année 2022 -- filière PC

... ou 2rah5l
Qi -- 21. Montrer que le débit volumique s'écrit Q -- : Ë (x) avec x = ho/a et
1]
Ô 4 4 2
E(x) -- Ga 1+3(41+2x) --4(1+x)" m(1+x) ---4(1+2%)|. (4)

On pourra s'aider de la primitive fournie dans le formulaire. On notera par la 
suite que

lim £(oe) = --1.

On considère à présent que les modulations axisymétriques d'épaisseur du film 
de liquide,

P
h(z,t)--hm(t) + et) cos(kz), génèrent, du fait d'effets capillaires, un 
gradient de pression Er
z

qui induit un écoulement du fluide autour du fil.
Lorsque h EUR a, ce gradient s'exprime de la façon suivante :

op

_ [ion , on
Oz 7

ED 5 avec 7 > 0. (5)

Bien que le gradient de pression selon z soit devenu une fonction de z et de {, 
on suppose que
l'expression du débit volumique obtenue à la question précédente n'est pas 
modifiée.

D -- 22. Après avoir, dans ces conditions, déterminé l'expression du gradient 
de pression, en dé-
duire la nouvelle expression du débit volumique local Q(z;t).

D -- 23. Démontrer que le débit volumique local, Q(z;t), et le rayon local 
R(z,t) = a + h(z,t) de
la surface libre vérifient la relation

-- "7 = 927R-- . (6)

D -- 24. En se plaçant au premier ordre en EUR et dans la limite h6 a soit x -- 
Ü, montrer que la
fonction e(t) vérifie l'équation différentielle

d
T + O(k*a" -- ke = 0,

dans laquelle on précisera l'expression de à > 0 en fonction de ho, 7, n et a.

À partir de cette équation, étudier la stabilité des différents modes de 
fluctuation d'épais-
seur.

On éclaire le fil de l'araignée avec un faisceau monochromatique issu d'un 
laser dont la longueur
d'onde est Ào = 633 nm. Sur un écran situé à une distance D = 2m de ce fil, on 
observe alors
une tâche centrale de diffraction de largeur b = 9 cm.

J -- 25. Quelle est la couleur de la radiation émise par le laser ?

Estimer le rayon a du fil.

En déduire l'ordre de grandeur de la taille minimale des gouttes formées sur ce 
fil.

Page 7/8
Physique IT, année 2022 -- filière PC

Formulaire

Une primitive utile :

1 1
Jr dx = =x°Inx -- =x° + cste.
2 4
Equation de Navier et Stokes d'un fluide Newtonien visqueux incompressible :
OÙ
a
Gradient d'un champ scalaire f en coordonnées cylindriques :

O1 10e
Or À x 90 0 F2.

+ (d: grad)ü | - = pÿ -- gradP + nAY.

grad Î =
Laplacien d'un champ scalaire f en coordonnées cylindriques :

1 ®f  df

1 d [{ df
De eg (rar) + 5 ape 02

Laplacien d'un champ de vecteurs A = A6, + A,ê + A8, en coordonnées 
cylindriques :

2 OA, À
+ (a4o+ DT 72 )e Cp + (AA, ) e;

r2 00 r?

Ai (24, - 2 OA S)e

Divergence d'un vecteur À = 4,6, + AÀ,e9 + A,6, en coordonnées cylindriques :

- 10(rA,)

div A = -- 1 94 OA

Tr. Or

r 00 Oz.

Rayon terrestre

PR: = 6,4 x 105 km

Permitivité électrique du vide

eo = 89x10 > x 10 °F:m !

56%

Viscosité de l'air

Ma = 1,9 x 10 Pas

Constante des gaz parfaits

R=83J.mol -K-!

Masse molaire de l'air

M, = 29 g : mol !

Accélération de pesanteur terrestre

g =10m:s °

Viscosité de l'eau

Me = 1,0 x 10 *Pa:s

Masse volumique de l'eau

pe = 1,0 x 10° kg - m *

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 8/8