Mines Physique 2 PC 2023

A2023 --- PHYSIQUE II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2023
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique II, année 2025 -- filière PC

Planche à voile et vagues.

Ce sujet étudie de manière quantitative la physique des sports de voile. Dans 
la première partie,
nous proposons une étude détaillée des différentes forces qui permettent à une 
planche à voile
d'avancer sur l'eau en présence de vent sur une mer calme. Dans la seconde 
partie, on étudie la
formation des vagues à la surface de la mer. Ces deux parties sont totalement 
indépendantes.

Les vecteurs sont repérés par des flèches () sauf s'ils sont unitaires, ils 
sont alors spécifiés par
des chapeaux (EUR,). Les applications numériques seront fournies avec 2 
chiffres significatifs.

I Étude de la planche à voile.

La première partie porte sur l'étude de la propulsion des planches à voile, 
dans un modèle
simplifié. Afin de comprendre les différents phénomènes physiques responsables 
du déplacement
de la planche à voile sur un plan d'eau ainsi que des changements de directions 
de la planche,
nous allons nous intéresser tout d'abord à la force propulsive associée au vent.

IA Navigation par vent arrière.

Dans un premier temps, on considère une planche à voile qui se déplace dans la 
même direction
que le vent. La vitesse du vent est supposée constante, elle est caractérisée 
par le vecteur
v, = V,EUR,. La vitesse de la planche à voile est caractérisée par le vecteur 
dv, = v, EUR,, colinéaire
à v,, et telle que ü, + ü, > 0.

La voile est assimilée à un triangle isocèle plein de surface $S, dont l'un des 
deux côtés de
longueur identique a constitue le mât de la voile. L'angle au sommet symétrique 
du triangle
isocèle est appelé a. Le mât de la voile fait un angle Ô avec la verticale. Le 
poids du mât sera
négligé dans cette partie. Le point d'attache du mât sur la planche est noté O.

Dans cette sous-partie, nous supposerons que le plan de la voile est orthogonal 
à la fois à la
direction du vent et au plan contenant la planche. Le plan de la planche est 
supposé horizontal.
Ces différentes informations sont récapitulées sur la figure 1 ci-dessous.

Vy F 2 Ez
Ez Ey
= Ex Cy
oO
Ex nr

Qu

el Voile

de surface S

Ye de .-- Planche
Planche d F
essus Up

Vue de face

FIGURE 1 - Représentation schématisée de la planche et de sa voile.

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Physique II, année 2023 -- filière PC

Afin d'estimer la force propulsive du vent dans la voile dans cette 
configuration particulière, le
modèle le plus simple consiste à supposer que l'air est un gaz homogène composé 
de particules
de masse m se déplaçant à une vitesse v,. Lors du choc avec la voile, ces 
particules cèdent
intégralement leur quantité de mouvement à la voile. On admet que le temps 
caractéristique
T associé à la collision d'une particule d'air avec la voile correspond à celui 
du transfert de sa
quantité de mouvement. On négligera les effets de bord dans ce modèle.

D -- 1. Exprimer le nombre N de particules d'air qui entrent en collision avec 
la voile pendant
un temps Tr en fonction de m, #, v,, Tr et de la masse volumique de l'air notée 
pa.

1 -- 2. En précisant les hypothèses nécessaires, déterminer l'expression de la 
force f associée à
l'impact d'une molécule.

D -- 3. En déduire l'expression de la force propulsive F exercée dans la voile 
par le vent en
fonction de p,, v, et S.

Il existe une valeur d'angle 0 = 04 pour laquelle le mode de propulsion 
envisagé permet un
déplacement en ligne droite dans la direction du vent, sans dérive ou 
changement de direction.
Dans cette configuration, notée ., la force propulsive se répartit 
symétriquement sur les deux
parties de la voile séparées par l'axe (O,EUR,).

D -- 4. Établir l'expression de S en fonction de a et à.

Établir l'expression de la surface S' de la voile située à la droite de la 
verticale et repré-
sentée en grisé sur la vue de face de la figure 1. On exprimera Sen fonction de 
à, a et

Û.

En déduire que la configuration .7 est caractérisée par la relation

sin
tan 03 -- 2 ca

Déterminer la valeur numérique de 44 pour une voile dont l'angle au sommet est 
a = 60°.

Le modèle simple de collision entre les molécules d'air et la voile ne donne 
qu'une estimation de
l'ordre de grandeur de la force propulsive sur la voile. En effet, ce modèle 
néglige complètement
la mécanique des fluides autour de la voile. En particulier, les écoulements de 
l'air autour de la
voile ne sont pas pris en compte. Lors de la mesure de ces écoulements en 
soufflerie avec une
voile fixe, rigide et perpendiculaire au vent, on trouve une force propulsive 
phénoménologique
colinéaire à la direction du vent de la forme

_ 1 .
Fpro = GPaOS USE, (1)

Dans cette relation, le coefficient sans dimension C, dépend de plusieurs 
facteurs dont la cour-
bure de la voile, son orientation par rapport à l'écoulement moyen mais aussi 
et dans une
moindre mesure de la vitesse du vent. Nous supposerons par la suite que la 
force propulsive est
donnée par la relation (1), avec un coefficient C, indépendant de la vitesse du 
vent.

Par ailleurs, le déplacement de la planche à la surface de l'eau engendre une 
force résistante
entre la planche et l'eau, qui dépend de la vitesse de la planche par rapport à 
l'eau. Nous
supposerons pour simplifier que cette force est de direction opposée à la force 
propulsive, et que
son intensité est donnée par une relation inspirée de la relation (1), soit

Fe 1 nu
Es = -- 5 Pe On Svp (2)

dans laquelle on à utilisé maintenant la masse volumique p. de l'eau, la 
surface de frottement
effective entre la planche et l'eau S; et le coefficient sans dimension C,.

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Physique II, année 2023 -- filière PC

1 -- 5. Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse v,, quelle est 
l'expression de la vitesse
du vent qui souffle dans la voile relativement au référentiel entrainé avec la 
planche ? Ce
vent s'appelle le vent apparent, sa vitesse est notée v,,, c'est elle qu'il 
faut prendre
en compte dans l'expression (1) de la force propulsive .

1 -- 6. En supposant un mouvement uniforme de la planche à voile à la vitesse 
w,, exprimer la

norme de cette vitesse en fonction de vw, et de la quantité o = 1/ PS.

Est-il possible pour la planche à voile d'aller plus vite que le vent ?

IB Navigation « au près ».

Jusqu'à présent, le déplacement de la planche à voile a été décrit dans le même 
sens que le
vent. On considère maintenant une planche à voile qui « remonte au vent ». Cela 
veut dire en
pratique que le produit scalaire de la vitesse du vent par celle de la planche 
à voile est négatif
Uy * Up < 0. Afin de préciser les choses, on définit la direction de navigation comme l'angle f entre la vitesse du vent et celle de la planche de telle manière que : ü, + ü, = --w,uv, cos So, avec 0 < 55 < T/2, we = [féull et v, = [fo Cet angle est représenté sur la figure 2 ci-dessous sur laquelle on à également indiqué la présence d'une dérive sous la planche. Cette dérive, placée sur l'axe de symétrie de la planche, assure la stabilité du mouvement et permet l'appui nécessaire pour orienter la vitesse de la planche dans une direction différente de celle du vent. Son effet sera pris en compte dans notre modèle de façon effective. Bo Vue de dessus Dérive FIGURE 2 - La planche remonte le vent. D -- 7. Dans le cas d'une planche qui remonte au vent, démontrer que la norme v,, de la vitesse Vy du vent apparent est supérieure à celle de la vitesse v, du vent réel. Lorsque la planche à voile se déplace en remontant au vent, l'orientation de la voile par rapport au vent apparent influence fortement la force générée par le vent. Des mesures en souferie permettent de montrer que la voile se comporte dans ce cas de manière similaire à une aile d'avion : le vent génère d'une part une force dans la direction orthogonale à celle du vent apparent et d'autre part une force dans la même direction et le même sens que le vent apparent. Page 3/9 Physique II, année 2023 -- filière PC Ces deux forces sont appelées respectivement la force de portance et la force de traînée. Elles sont données par les deux relations ci-dessous et représentées sur la figure 3 : = 1 = à 1 = Fer -- D PaCv,1 (B)Sv% EL à et Fi -- ZPaC (8) SE La . (3) Les coefficients C de portance et de traînée dépendent de l'angle B entre le vent apparent et le plan moyen de la voile. Cet angle dit d'attaque est également représenté sur la figure 3. Dans ces relations, les vecteurs EUR], et EUR1A désignent respectivement les vecteurs unitaires associés aux directions parallèle et normale au vent apparent. Les deux forces de portance et de traînée constituent les composantes de la force propulsive Fo qui s'exerce dans la voile au sein de la base (Cr; Êl a; Eta); où CZ désigne le centre des efforts de la voile, c'est-à-dire le point d'application de la force propulsive totale. © LE Vue de dessus | 2: er a Dérive J a EILa FIGURE 3 -- Force propulsive au près. 1 -- 8. On suppose que la vitesse de la planche à voile est constante en module et direction, en présence de la force propulsive FE ro: Que peut-on dire sur l'intensité de la force Fes qui s'oppose au mouvement, et qui à pour origine les frottements entre la planche, sa dérive et l'eau ? En reprenant les vecteurs utiles déjà représentés, compléter sur votre copie la figure 3 en indiquant la vitesse de la planche à voile v, (dont la norme sera choisie arbitrairement), la vitesse du vent v, ainsi que la force résistive Frs. On fera l'hypothèse que la force propulsive et la force résistive appartiennent à deux plans distincts mais parallèles à l'horizontal, en négligeant ainsi les bilans de forces dans la direction verticale. La force Fs (qui s'oppose au mouvement) possède des caractéristiques similaires à celle qui propulse la planche à voile. Elle est associée à l'écoulement relatif de l'eau sur la planche, d'une part, et sur sa dérive, d'autre part. Page 4/9 Physique Il, année 2023 -- filière PC La résultante globale comporte ainsi deux composantes dans le plan horizontal : une composante le long de la direction de déplacement dans l'eau, mais de sens opposé à la vitesse de la planche, et une autre composante dans la direction perpendiculaire. On peut écrire ces deux composantes de la manière suivante : | - x 1 5 Fi = 5 peOn(Be)Sp0êlp EUR ÊL = 5 PeOn1(Be)Sp0pELp (& Les coefficients de proportionnalité C,,, (Be) et C:,1(8e) dépendent de l'angle B entre l'axe de symétrie de la planche dans le plan horizontal et la direction du déplacement. Cet angle est représenté sur la figure 3. On précise que C,,1(Be = 0) = 0. Q -- 9. Onse place dans les mêmes conditions que la question précédente (vitesse constante, force propulsive donnée). Expliquer pourquoi un tel déplacement uniforme n'est possible que si Be £ 0. D -- 10. Montrer que dans le cas d'un déplacement uniforme, on a la relation v + V2 + 2UU, COS Bo = 010? (5) p v pv 0 10p » dans laquelle on précisera l'expression de o, en fonction des données ainsi que des divers coefficients de portance et de traînée de la voile et de la planche. 1 -- 11. Montrer que si 0 < f5 < r/2 alors o1 > 1.

La valeur précise du paramètre o1 dépend à la fois des caractéristiques 
intrinsèques de la voile
et de la planche, mais aussi du navigateur. Ce dernier peut en effet ajuster 
l'angle entre la voile
et la direction de la planche de manière à obtenir la valeur de o, qui permet 
d'obtenir la plus
grande valeur possible de la vitesse de la planche dans le régime de 
déplacement uniforme.

1 -- 12. En supposant une valeur constante pour 0. et en utilisant la relation 
(5), montrer que la
vitesse de la planche peut être supérieure à la vitesse du vent à condition que
O1 -- 2

COS Bo > 5 --

D -- 13. En supposant toujours une valeur constante pour 01, comment choisir la 
direction de
navigation H) pour obtenir la vitesse de la planche la plus grande possible ?

D -- 14. Pour une direction de navigation fixe 55, comment choisir la valeur de 
o, pour obtenir la
vitesse maximale ?

II Physique des vagues.

On considère un fluide étudié dans un référentiel galiléen {O,6,,6,, e,}.

Un point de ce fluide, repéré par le vecteur 7 = re, + ye, + zEUR,, est 
caractérisé par une masse
volumique p(r,t) et un champ de vitesse ü(r,t). La pression au sein du fluide 
est notée p(r,t).
Pour simplifier l'étude, nous supposerons que le système est invariant par 
translation dans la
direction (O,EUR,), de telle sorte que la densité, la pression et la vitesse ne 
dépendent, en plus du
temps t, que des deux coordonnées spatiales x et z. En particulier, la vitesse 
du fluide dans la
direction y est nulle.

Pour établir les équations qui permettront de décrire les vagues de surface, 
nous procéderons
par étapes. Dans un premier temps, nous établirons les équations générales 
décrivant le champ
de vitesse du fluide accompagnées des conditions aux limites particulières du 
problème. Nous
chercherons, dans un second temps, la solution qui décrit les vagues en nous 
limitant aux régimes
des faibles vitesses et des faibles amplitudes.

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Physique Il, année 2023 -- filière PC

ITA Les équations de la vague linéaire.

D -- 15. En faisant un bilan de matière dans un petit volume dr = dxdydz 
pendant un temps
élémentaire dt, établir la loi de conservation de la matière reliant p(x,z,t), 
u,(æ,2,t) et
u,(x,2,t), où u = üu-ê, et u, =ü-E,.

1 -- 16. Dans le cas où le fluide est incompressible, démontrer que cette 
relation devient simple-
ment 9 9

OU + Uz
Ox Oz

On suppose dorénavant que l'écoulement est irrotationnel, c'est-à-dire que rot 
(ü) = 0.
Cette hypothèse permet de définir un potentiel des vitesses @ (x,2,t) associé 
au champ de vitesse

= 0.

et qui vérifie & = grad (6)
D -- 17. Montrer que le potentiel des vitesses vérifie l'équation de Laplace

Aÿ=0.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide de 
volume infini-
tésimal dr permet d'établir une équation décrivant la dynamique du fluide.

Dans le cadre de cette description, la dérivée totale d'un champ scalaire 
quelconque A(x,2;t)
par rapport au temps s'écrit :

dA OA

dt dt
Par conséquent, en négligeant les effets de viscosité dans le fluide et en 
supposant que le mou-
vement du fluide est irrotationnel, le principe fondamental de la dynamique 
dans un champ de
pesanteur ÿg = ge, s'écrit :

+ü: gradA .

Où 1 L -

Pr + jerad (ü- ü)| = --pge, -- grad (p) . (6)
Cette relation est appelée relation d'Euler en mécanique des fluides. Le terme 
de gauche désigne
l'accélération de la particule de fluide, prenant en compte en particulier la 
dérivée particulaire, le
premier terme de droite désigne la force de pesanteur, et le dernier terme 
désigne la contribution
des forces de pression.

D -- 18. Montrer que la relation d'Euler PE d'écrire l'équation suivante :

0 : p
+5 U+gz+---=/f(t
pr g2+© F (E)
où f(t) est une fonction que l'on ne cherchera pas à déterminer mais qui ne 
dépend que
du temps.

Quel résultat classique retrouve-t-on dans le cas d'un écoulement stationnaire ?

Nous admettrons par la suite qu'il est possible de choisir une fonction f(t) -- 
fo qui est in-
dépendante du temps sans perte de généralité. On choisit fo -- po/p, où po est 
la pression
atmosphérique immédiatement au-dessus de la surface du fluide. Nous supposerons 
que la pres-
sion atmosphérique est constante dans l'espace et dans le temps.

À ce stade, il est possible de spécifier quelques conditions aux limites du 
problème.

Le fluide est contenu dans un réservoir. La surface libre du fluide est 
caractérisée par un profil
de hauteur 2 = n(x;t). Le fond du réservoir est situé à une altitude z = --H, 
de telle sorte que
le plan z = 0 correspond à la surface du fluide au repos, sans la présence de 
vague. La vitesse
du fluide dans la direction verticale est nulle sur le fond du réservoir :

09

u,(x,z = --H}t) = |,
=_H

0. (7)

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Physique Il, année 2023 -- filière PC

1 -- 19. Montrer que, sur la surface libre z = n(x;t), on à la relation
09 On 0p0n
= 71 5, 7 8
0: Ôt Oro (8)
1 -- 20. Déterminer l'expression de la pression p(x,z = n,t) à la surface du 
fluide.
En déduire une seconde condition de surface libre :

1 66

1 &

üu-u

_, % (9)

2=1

Il n'est généralement pas possible de résoudre de façon générale les équations 
de la dynamique
des fluides (ici conservation de la matière et Euler) avec les conditions aux 
limites discutées
dans les questions précédentes.

Il est cependant possible de linéariser ces équations et ces conditions aux 
limites. On se place
pour cela dans une limite de faible vitesse et de faible amplitude pour une 
vague de surface.
Les premiers travaux en ce sens ont été menés par Joseph-Louis Lagrange dès le 
XIII° siècle.
Sous ces hypothèses, on peut linéariser les conditions de surface libre (8) et 
(9) qui deviennent

On d6 : 1 06

-- = -- e
ot 2: gel,
et qui sont écrites sur la position de la surface libre au repos.
Pour trouver une solution décrivant la dynamique du fluide sous l'hypothèse de 
faible vitesse
et faible amplitude, il ne reste plus qu'à trouver un potentiel de vitesse 
solution de l'équation
de Laplace et satisfaisant ces conditions aux limites du problème. Pour ce 
faire, on utilise
la méthode de séparation des variables en cherchant cette solution sous la 
forme @(x,z,t) --
X(xt)Z(2).
D -- 21. Montrer que les fonctions X'(x;t) et Z(z) sont solutions du système 
d'équations suivant :
®X
x
O? F

d?7

dz2

où 4 est une constante qui ne dépend ni des coordonnées spatiales ni du temps.

On peut montrer par des arguments de symétrie que y > 0.

La solution X (x,t) est alors de forme sinusoïdale comme il est possible de s'y 
attendre dans le
cadre d'un modèle de vague se propageant le long de la direction x.

Pour la fonction définissant la surface libre du fluide, nous choisirons une 
forme d'onde plane
progressive 7(x,t) = Acos(kx -- wt) de nombre d'onde k, de pulsation w et 
d'amplitude À,
constante.

1 -- 22. En utilisant l'une des conditions de surface au repos montrer que les 
expressions
dZz
X (xt) = sin(kx --wt) et -- = 7 = cste
dz z=0
résolvent le problème. On exprimera la constante 7 en fonction de À et w.

1 -- 23. En utilisant les résultats précédents complétés par la condition (7) 
au fond du réservoir,
montrer qu'alors
2 =c Feel [k(z + H)]
sinh(kH)
où l'on exprimera la constante Ç en fonction de À, w et k. La solution totale 
correspondante
o(x,z,t) = X(x,t)Z(2) sera appelée par la suite « la vague linéaire ».

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Physique Il, année 2023 -- filière PC

D -- 24. En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, 
établir la relation de
dispersion de l'onde entre w, g, k et la tangente hyperbolique de kH.

1 -- 25. Calculer la vitesse de phase v,, de la vague linéaire.
Déterminer les deux expressions limites de v, lorsque la profondeur du 
réservoir A est
petite ou grande devant la longueur d'onde de la vague linéaire. On commentera 
les
expressions obtenues.

 -- 26. Déterminer l'expression de la vitesse de groupe v, de la vague linéaire 
en profondeur

arbitraire.

Montrer la relation v, = Æ [1 + nkH/smh(2kH)] où n est un entier que l'on 
déterminera.

En déduire les valeurs extrêmes du rapport v,/u,.

Au sein du fluide on considère deux vagues linéaires de même amplitude, mais de 
nombre d'onde
et de pulsation distinctes : m{x,t) = À cos(kix -- uit) et m(x,t) -- A cos(k2x 
-- wot).
J -- 27. Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre 
sous la forme (xt) --
2A cos (kx -- wt) cos (k'x -- w't). On donnera l'expression des 4 paramètres k 
< k' et w < w' en fonction de k1, ko, wi et wo. Tracer le profil cette vague résultante à un instant fixé { en représentant les longueurs d'ondes À = 27/k et À = 27/k' sur le même schéma. IILB De l'influence du fond. Dans cette partie, nous étudierons de manière simplifiée l'influence du changement de profon- deur lorsque les vagues approchent du bord de mer. Dans le cadre de la théorie linéaire précédente, une vague est caractérisée par un profil de hauteur dépendant du temps t, de sa position latérale R = re, + yer, de son vecteur d'onde k et de sa pulsation w. Le profil est de la forme n(R;t) = A cos(R : k -- wt). Nous supposerons que le nombre d'onde et la pulsation sont reliés par la relation de dispersion établie dans la partie précédente. La zone étudiée présente une variation brutale de profondeur en passant de la profondeur H,; à la profondeur H, lorsque l'abscisse x = 0 est franchie. Cette région de transition ainsi que les vecteurs d'ondes respectifs dans les zones 1 et 2, notés ki et ko. sont représentés sur la figure 4 ci-dessous. Dans ce modèle très simplifié on suppose qu'il n'y a pas d'onde réfléchie. Zone de profondeur H: Zone de profondeur H FIGURE 4 -- Zone de changement de profondeur. Nous supposerons que les pulsations des vagues sont identiques dans les deux milieux de pro- fondeur différente. En notant k12 -- LE , on se place dans le régime pour lequel k, H, 1 et Page 8/9 Physique Il, année 2023 -- filière PC k2H3 EUR 1. On note 1, et à2 les angles entre les vecteurs d'onde respectifs dans les zones 1 et 2 et la direction x, voir figure 4. D -- 28. Que représentent les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'ondes sur la figure 4 ? Montrer que la condition de continuité des profils de vague à l'interface impose d'une part des amplitudes identiques dans les deux zones et, d'autre part, une relation entre les angles 1, et à de la forme sin t,/ sin 2 -- f(H:/H2) où l'on précisera la fonction f. D -- 29. En déduire la façon dont varie la direction de propagation des vagues lorsqu'elles ap- prochent du bord de mer, en supposant une variation continue de la profondeur. Lorsque les vagues approchent du bord de mer, on cherche à déterminer également s'il y a un changement de l'amplitude de la vague, même dans le cadre de la théorie linéaire. Pour cela, on suppose l'absence de toute forme de dissipation dans le système. L'énergie mécanique moyenne du fluide par unité de surface horizontale s'écrit Es = L 44? . 2 Cette énergie est associée aux mouvements dans le fluide en présence d'une vague de surface. Il est possible de montrer que l'énergie moyenne correspondante est transportée par la vitesse de groupe de la vague dont l'intensité est notée v,. On considère une vague qui se propage dans la direction (O,EUR,). On indique que le flux d'énergie moyen pour une unité de longueur de vague dy, qui se propage dans cette direction est donnée par dP = Ev,dy. On considère toujours un changement de profondeur en x = 0. D -- 30. Déterminer l'expression du rapport des amplitudes de vagues dans les deux zones en fonction du rapport des vitesses de groupe. Comment varie l'amplitude de la vague à l'approche du rivage ? Commenter ce résultat en considérant ceux de la question 28. FIN DE L'ÉPREUVE Page 9/9