Mines Physique 2 PC 2024

A2024 --- PHYSIQUE II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 10 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2024 -- filière PC

Éclipses du Soleil et ondes dans l'atmosphère

Les éclipses du Soleil par la Lune se produisent lorsque la Lune s'intercale 
sur le trajet de
la lumière solaire provoquant, selon le point d'observation au sol, une 
occultation totale ou
partielle de l'astre. Le refroidissement temporaire et localisé de l'atmosphère 
dans la région
éclipsée peut générer la propagation d'ondes acoustiques, ou bien d'ondes de 
gravité (analogues
à la propagation de la houle à la surface de l'eau).

Du fait du mouvement rapide de la zone éclipsée, ces ondes se regroupent en 
ondes de sillage,
comme celles que l'on peut observer à la surface de l'eau lors du passage d'un 
navire.

Il existe divers moyens de mise en évidence de ces ondes : la mesure directe 
des faibles fluctua-
tions de pression au sol en est une, mais on peut aussi effectuer des mesures 
électromagnétiques
des propriétés de la haute atmosphère par la technique des sondages 
ionosphériques.

Ce sujet aborde certains aspects des éclipses du Soleil et de leurs 
conséquences ; il est constitué
de trois parties totalement indépendantes. La partie TI s'intéresse aux 
mouvements relatifs de la
Lune, de la Terre et du Soleil, causes des éclipses elles-mêmes. La partie IT 
décrit certaines ondes,
causées par ces éclipses et susceptibles de se propager dans l'atmosphère : 
ondes acoustiques,
ondes de gravité et regroupement en ondes de sillage. Enfin, la partie IIT 
décrit le principe du
sondage ionosphérique utilisé pour mesurer les fluctuations locales des 
propriétés de la haute
atmosphère.

Dans la mesure du possible les grandeurs complexes seront soulignées (2), sauf 
i tel que 1? = --1.
Dans tout le problème, «exprimer » signifie donner une expression littérale, « 
calculer >» signifie
donner une expression littérale puis une valeur numérique ; on se contentera 
alors de deux
chiffres significatifs, sauf pour les ordres de grandeur pour lesquels il 
suffit de se limiter à la
puissance de 10 la plus proche. Les vecteurs sont généralement surmonté d'une 
flèche (v) sauf
s'ils sont unitaires et sont alors affublés d'un chapeau (EUR,). Enfin, 
quelques résultats classiques
d'analyse vectorielle sont rappelés en fin d'énoncé. Dans tout le problème 
(EUR,,e,.e,) désigne une
base orthonormée de R*°.

I Les éclipses du Soleil par la Lune

Cette partie se décompose en deux sous-parties indépendantes I. A et [I.B, elle 
décrit sommai-
rement quelques unes des propriétés mécaniques du système formé du Soleil, de 
la Terre et de
la Lune. On donne les grandeurs astronomiques, toutes supposées constantes :

Grandeur Symbole Valeur Unité
Masse du Soleil Ms 2,0-10% kg
Masse de la Terre Mr 6,0-10%T kg
Masse de la Lune M 74107 kg
Distance Terre-Soleil Drs 15-10!  m
Distance Terre-Lune Drr 3,8-10° m
Rayon du Soleil Rs 7,0-10$ m
Rayon de la Terre Rr 6,4-106 m
Rayon de la Lune Ri 1,7-109 m

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Physique IT, année 2024 -- filière PC

IA Le système Soleil, Terre, Lune

Dans cette partie I. A, on considérera que le Soleil, la Terre et la Lune sont 
des points matériels ;
le Soleil est fixé à l'origine © d'un référentiel galiléen (Ro) = (Oxyz) alors 
que la Terre T'et la
Lune L sont en mouvement sous l'action des forces de gravitation dans le même 
plan (Oxy).
On notera G la constante de la gravitation.

C1 -- 1. Calculer la distance Dar entre la Terre et le barycentre G du système 
Terre-Lune (voir
figure 1).

Quelle remarque peut-on faire, au vu de la valeur de Rr ?

Au vu de ce résultat, on poursuit l'étude du système Terre-Lune considéré comme 
un point
matériel G, de masse Mr + M}, en mouvement circulaire uniforme autour de O : 
Drs = Do.

D -- 2. Exprimer la pulsation w, du mouvement de G autour du Soleil en fonction 
de données
astronomiques et de G.

Donner le nom usuel et/ou la valeur numérique de T5 = 27 /wo ?
On veut analyser maintenant les mouvements respectifs des points matériels L et 
T' autour de

G. À cet effet, on poursuit l'étude dans le référentiel barycentrique (R,) = 
(Gxyz) : ses axes
sont les mêmes que ceux du référentiel héliocentrique (Ro) mais il est centré 
en G (figure 1).

FIGURE 1 - Le système Terre-Lune et les référentiels d'étude

LJ -- 3. Pourquoi ne tient-on pas compte des forces d'inertie de CORIOLIS dans 
l'étude des mou-
vements de T'et L relativement à (R,) ?

D -- 4. Pour le mouvement de L relativement à (R,), on note fe la force 
d'inertie d'entraînement

et fe -- || f.| sa norme. On note de même fr la force de gravitation exercée 
par la Terre
et fr = ||fr|. Exprimer en fonction des seules données astronomiques le rapport 
f./fr.
calculer l'ordre de grandeur associé puis proposer une brève conclusion (une 
courte phrase
suffit).

D -- 5. Toujours pour le mouvement de L relativement à (R,), on note fs la 
force de gravitation
exercée par le Soleil, fn = fe + fs, fm = finll t Fn la valeur de f}, dans le 
cas de
l'alignement Soleil, Terre, Lune (dans cet ordre). Comment nomme-t-on f,, ?

Exprimer le rapport F,/fr en fonction des seules données astronomiques , 
calculer son
ordre de grandeur puis proposer une brève conclusion (ici aussi en une phrase).

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Physique IT, année 2024 -- filière PC

I.B Les éclipses du Soleil par la Lune

On étudie maintenant une situation simplifiée (voir figure 2). Le Soleil est 
toujours immobile
en © dans le référentiel (Ro) = (Oxyz). Relativement à ce référentiel, la Terre 
T parcourt un
cercle de rayon Drs à vitesse constante dans le sens direct du plan (Oxy) avec 
une période
Ty = 27/wo. La Lune L parcourt, quant à elle, un cercle de rayon Dry dans le 
même sens avec
une vitesse angulaire w, relativement à (Ro), on notera T1 -- 27/w; la période 
sidérale de ce
mouvement.

FIGURE 2 -- Le système Terre-Lune simplifié

Dans ces conditions, une éclipse du Soleil a lieu (au moins en certains points 
de la surface de
la Terre) à chaque fois que la Lune s'intercale entre le Soleil et la Terre. 
L'alignement exact
des points O, L et T correspond au maximum de l'éclipse et la durée T7 -- 29,5 
j (on prendra
T} = 31,/37 pour les calculs) qui sépare deux maxima d'éclipses porte le nom de 
période
synodique. On notera aussi w! = 27/T} = 2,5-10  rad-s7!.

D -- 6. Exprimer la relation liant 75, 1} et T1 puis, après avoir effectué un 
développement limité
à l'ordre 1 en 77/Tÿ, exprimer T; comme une fraction numérique de 7;. Pour 
différentes
raisons liées à la simplicité de la modélisation adoptée ici, les éclipses 
significatives sont
en fait bien moins nombreuses.

LJ -- 7. Dans toute cette question on appuiera son raisonnement par des schémas 
adaptés.

Sous quels angles (en degrés, minutes) voit-on respectivement la Lune et le 
Soleil depuis
la surface de la Terre ? Que peut-on en conclure ? On rappelle que 1° = © 17 
mrad.
Pendant le passage de l'éclipse autour de son maximum, estimer la vitesse à 
laquelle se
déplace, sur la surface de la Terre, l'ombre de l'éclipse.
Si on tient compte en plus de la rotation propre de la Terre en Ty = 1 j autour 
de l'axe des
pôles (soit wy = 27/T; © 7-10 * rad:s-!), cette vitesse est-elle diminuée ou 
augmentée ?
dans quelles proportions ?
Le déplacement rapide de la zone éclipsée provoque un refroidissement localisé 
de la haute
atmosphère qui se déplace rapidement par rapport à celle-ci. Ce refroidissement 
crée à son tour
des ondes au sein de la haute atmosphère, dont l'étude fait l'objet du problème 
IT.

II Ondes dans les fluides

Différents types d'ondes peuvent se propager à l'intérieur d'un fluide ou à 
l'interface de deux
fluides. Nous en étudierons ici deux : les ondes acoustiques (de compression) 
et les ondes de gra-
vité (dans un modèle incompressible). Dans les deux cas l'écoulement sera 
supposé irrotationnel
et de faible amplitude.

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Physique IT, année 2024 -- filière PC

II A Le modèle fluide utilisé

On s'intéresse ici à un fluide parfait de masse volumique p soumis au champ de 
pesanteur g,
caractérisé par les champs de pression P et des vitesses supposé irrotationnel 
v et décrit par
l'équation d'EULER (1) :

OÙ 2  --= _
P Ë + grade -- PJ -- gradP + Jautres (1)

1 -- 8. Préciser la signification éventuelle et l'unité de mesure usuelle (ou 
la dimension) du terme
fautres. Dans toute la suite, on considérera que ce terme est nul.

--_ ,
D -- 9. Préciser la signification et l'unité de mesure usuelle (ou la 
dimension) du terme grade.

------ _,
D -- 10. Montrer que, lors de la propagation d'une onde de célérité c, ce terme 
grad® est toujours
négligeable devant un autre terme de l'équation (1), sous réserve que |ü||  c. 
Dans toute
la suite, on considérera que cette approximation est vérifiée.

DJ -- 11. Rappeler sans démonstration l'équation locale, liant les variations 
spatio-temporelles de
p et v, qui exprime la conservation de la masse du fluide lors de son mouvement.

Dans ce qui suit nous allons décrire deux types d'ondes dans les fluides (ondes 
acoustiques et
ondes de gravité) puis nous proposerons une description sommaire des ondes de 
sillage.

Dans cette partie IT, les sous-parties IL.B, II.C et II.D sont indépendantes, 
sous réserve
d'utiliser les résultats établis dans la sous-partie IT. A ci-dessus.

IT.B Ondes acoustiques

Les ondes acoustiques sont des ondes de compression caractérisées par des 
évolutions de la
masse volumique autour de sa valeur moyenne (hors du passage de l'onde) po de 
la forme
p(rit) = po + ôp(rit) avec Op(rt)| & po; au premier ordre, une telle 
fluctuation de densité
s'accompagne d'une fluctuation au même ordre de la pression, 0 P -- 0 p où la 
compressibilité
y est supposée uniforme et constante.

D -- 12. Lorsque le fluide est un gaz parfait de pression au repos F, 
caractérisé par le rapport adia-
batique 7 = CP/Cy constant, exprimer la compressibilité y = -- LT | & Si la 
propagation
des ondes acoustiques est isentropique. On ne fera pas nécessairement cette 
hypothèse

dans ce qui suit.

En présence du champ de pesanteur uniforme g = --ge,, on s'intéresse à la 
propagation d'une
onde acoustique d'amplitude À, de pulsation w et de vecteur d'onde k = ke, 
caractérisée par
0p = Acos(wt -- kx); on pourra utiliser la notation complexe 69 -- À exp li(wt 
-- kx)|.

D -- 13. On cherche le champ des vitesses U(x,t) = V5 exp [i(wt -- kx)|e,. 
Exprimer, à l'ordre d'ap-
proximation cité ici, W en fonction de À, po, w et k.

LD -- 14. Déduire de l'équation d'EULER l'équation de dispersion liant w et k 
en fonction de y et
Po. La propagation est-elle dispersive ?

1 -- 15. Calculer la vitesse de groupe des ondes acoustiques dans l'air (gaz 
parfait, y -- 1,4, masse
molaire M -- 29g-mol !) au sommet de la stratosphère (z = 50km, T = 290K). On
rappelle la valeur de la constante molaire des gaz parfaits, R -- 8.3J-K-!:mol 
! et, à
toutes fins utiles, on donne 12 = 3,5.

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Physique IT, année 2024 -- filière PC

IIC Ondes de gravité

On s'intéresse ici à des ondes se propageant au voisinage de l'interface 
quasiment horizontale
z + z de deux fluides. Nous étudierons d'abord le cas des ondes à la surface 
séparant l'eau
(z < 2», fluide considéré comme incompressible de masse volumique p9 et régi par l'équation d'Euler, toujours dans les conditions de la partie IT.A) et l'air (z > 23, 
fluide supposé isobare
de pression P;), cf. figure 3. On prendra g = 9,8 m-s* quelle que soit 
l'altitude.

Z à
Ar, P=F

9m D XX A XX A.
Eau, 9 = po

FIGURE 3 -- Interface eau-air pour la propagation d'ondes de gravité

Li -- 16. Quelle circonstance autorise à négliger les variations de la pression 
dans l'air ?
.. , _, y,
Pourquoi peut-on choisir de décrire la vitesse Y de l'eau sous la forme ü = 
gradA(r;t) ?

D -- 17. Montrer qu'on peut choisir À de façon à vérifier l'équation de LAPLACE 
AA = 0 (où A
désigne l'opérateur laplacien) ainsi que l'équation de BERNOULLI généralisée 
(2) :

A  10P

on = 0 2
ot? Ta ot F9v (2)

On s'intéresse à la propagation unidimensionnelle d'une onde de gravité en eau 
très profonde,
avec (en notations complexes) A(r,t) -- f(z)exp li(wt -- kx)]. La surface libre 
est voisine de
z = 21 = 0 et le fond de l'eau est en z -- --0co.

D -- 18. Exprimer f(z) en fonction seulement de k et de fo -- f(0).

LJ -- 19. Que devient l'équation de BERNOULLI au niveau de la surface libre de 
l'eau ? En déduire
l'équation de dispersion w°? -- gk. La propagation est-elle dispersive ? On 
notera que cette
équation de dépend pas des propriétés des fluides en contact; on admettra donc 
qu'elle
s'applique encore dans le cas de l'interface entre deux couches de la haute 
atmosphère,
par exemple.

Lj -- 20. Calculer la fréquence et la longueur d'onde d'une onde de gravité se 
propageant à la
vitesse de phase v -- 20m:s7!. Ces données correspondent aux mesures effectuées 
par des
microbarographes (sondes de mesure de faibles variations de pression) installés 
au sol lors
de l'éclipse totale du 11 août 1999 dans le nord de la FRANCE.

ILD Ondes de sillage

Différents types d'ondes sont susceptibles de se regrouper sous la forme 
d'ondes de sillage
lorsque le point d'émission est en mouvement. Ces ondes de sillage furent 
décrites pour la
première fois par KELVIN en 1887 (revue de l'Institution of Mechanichal 
Engineers, 3 Aout
1887). Elle correspondent par exemple au motif laissé derrière lui par un 
canard se déplaçant à
la surface d'une mare calme.

On étudie d'abord un bateau B qui se déplace à la surface (Oxy) de l'eau à la 
vitesse V = Vé,
en émettant des ondes de surface de pulsation w au fur et à mesure de son 
avancée. Ces ondes de

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Physique IT, année 2024 -- filière PC

surface se propagent à la vitesse de phase c(w) relativement au référentiel 
(Ro) = (Oxyz). Ces
ondes, divergentes depuis leur point d'émission sont, dans ce référentiel, en 
notations complexes

caractérisées par les oscillations de la surface de l'eau d'amplitude Z (rt) -- 
Zo exp (ut -- >]

(voir figure 4). On choisit l'origine temporelle & -- 0 à l'instant où le 
bateau passe au point ©.

U à
sillage +... :
RAR | /
Nes @) y À
l '
Du |
| / ETS P |
! / à Ze ;
D, 1 '«,
I / / REZ
| / / '.
1 / / Le |
_ -- O _ _-- -- 4" _-- ------ ------ -- -- -- : D _ ------ -- -- --+- T
LA \ 0 o e° --?
\ \ M - V
| \ 0e"
\
| \ pu P!
| 2°
+ Q
. 7° |
sillage +" |

FIGURE 4 -- Formation d'un sillage derrière un bateau en mouvement

Les ondes forment un sillage constitué de points P, Q qui sont atteints par des 
ondes de surface
émises par le bateau lorsqu'il était aux points À et O respectivement. Ce 
sillage a un aspect en
V stable pour un observateur lié au bateau. Ce sillage en V est caractérisé par 
un demi-angle
au sommet Y représenté sur la figure 4.

D -- 21. On considère un point P de coordonnées F7 = re, + ye, relativement au 
référentiel (Ro).
Déterminer, à l'instant {, ses coordonnées 7" = x'e, + y'e, relativement au 
référentiel
(R) = (Bzxy2) lié au bateau.
En déduire l'expression de la hauteur de l'eau Z(r",t) en ce point.
LD -- 22. Montrer que l'hypothèse d'un niveau stationnaire définit le sillage 
par la relation de
KELVIN, w -- E.V.
Pour transcrire ce résultat sous forme géométrique, on s'intéresse aux points 
Q, Q" du sillage
qui sont atteints à l'instant { par une onde qui a été émise lorsque le bateau 
passait en ©, donc
à l'instant { = 0. Aïnsi, la distance OQ correspond à un parcours pendant la 
durée t à la vitesse
de phase v,, de l'onde. De même, les points P, P' du sillage sont atteints par 
une onde qui a
été émise lorsque le bateau était en À, etc.

LD -- 23. Montrer que OÙ QÈ = (,.

D -- 24. En déduire que la connaissance de l'angle Y du sillage et de la 
vitesse V de sa source
permettent de déterminer la vitesse de phase v,, de l'onde.

Le sillage peut ainsi être considéré comme l'enveloppe des cercles qui 
définissent l'extension
maximale des ondes successivement émises lors du déplacement du point 
d'émission (figure
5 à gauche). La trajectoire du maximum de l'éclipse totale du 11 août 1999 est 
représenté
figure 5 à droite, ainsi que le sillage de l'onde atmosphérique générée. Cette 
figure est tirée
de l'article FARGES T., LE PICHON A., BLANC E., PEREZ $., & ALCOVERRO B. (2003).
Response of the lower atmosphere and the ionosphere to the eclipse of August 
11, 1999. Journal
of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics, 65(6), 717-726. Les points de 
mesure au sol sont
des microbarographes (FLR, BRG BRA) et une station de sondage ionosphérique 
(FRC).

D -- 25. Au vu de la figure 5, pouvez-vous déterminer et éventuellement 
commenter le sens et la
vitesse de déplacement de l'éclipse ainsi que la vitesse de phase de l'onde 
générée et sa
nature ?

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Physique IT, année 2024 -- filière PC

0 km

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ITTA Densité électronique et fréquence de plasma L'atmosphère sera, dans un premier temps, assimilée à un gaz parfait en équilibre isotherme de température 75 = 270 K dans le champ de pesanteur uniforme g = --ge,. On notera À la constante molaire des gaz parfaits, WA -- 6.0-10* mol-! la constante d'AVOGADRO et kg -- R/N\ = 1,4107% J-K-! la constante de BOLTZMANN. La pression au sol sera prise égale à Po = 1bar. 1 -- 26. Calculer la densité particulaire atmosphérique n* (nombre de molécules par unité de volume) au niveau du sol. D -- 27. Montrer que la pression P(z) évolue en fonction de l'altitude sous la forme P(z) -- Pi exp (--2/H) et exprimer la hauteur caractéristique H en fonction de kg, To, g et de la masse moyenne M, des molécules de l'air. Proposer un ordre de grandeur pour A. LH -- 28. Là où la densité particulaire des ions est maximale, on considérera que exp (---2/H) = 10710, En déduire une estimation de la densité particulaire n,,, des ions (N; et 0j) à cette altitude. Dans toute la suite on pourra considérer que la densité volumique ny commune des ions et des électrons dans la haute atmosphère vérifie en tout point no < 10m *. Page 7/10 Physique IT, année 2024 -- filière PC On s'intéresse aux évolutions spontanées d'un système comportant des électrons (charge --e, masse M.) en densité particulaire uniforme nQÇ au sein d'un milieu ionisé comportant aussi no ions positifs de charge +e, immobiles. Le mouvement des électrons est caractérisé par la vitesse exprimée, en notations complexes, sous la forme ü = vje"'EUR, en présence du champ électrique Ê -- Eee, LD -- 29. Montrer que le champ magnétique est nécessairement statique. On négligera ce champ dans toute la suite de cette partie IIT.A. D -- 30. Expliciter la seconde loi de NEWTON pour un des électrons mobiles. En déduire que la densité volumique de courant j vérifie la relation ÿ -- 7 (w)E et exprimer la conductivité électronique y(w) en fonction de w, no, e et me. D -- 31. Rappeler l'équation de MAXWELL-AMPÈRE ; on notera EUR0 la permittivité électronique du vide et 0 sa splitéabilité magnétique. En déduire que les électrons et le champ électrique oscillent spontanément à la pulsation w, que l'on exprimera en fonction de nr, et de constantes fondamentales. D -- 32. Dans la suite, on adoptera la formulation numérique w, = à,/n0 où à = 56$[. Quel est le domaine de fréquence maximal de ces oscillations de plasma dans la haute atmosphère terrestre ? IITLB Propagation d'ondes électromagnétiques dans l'atmosphère Dans cette partie IIT.B on étudie la propagation des ondes électromagnétiques dans l'atmo- sphère caractérisé, à la pulsation w, par une densité volumique de charge nulle et la densité volumique de courants 1 = --noet avec une vitesse des électrons donnée par l'équation diélec- trique (3) écrite en notations complexes : 2 - W m ° -- O -- EUR -- imewv0 = --eE -- me 0 -- --ù (3) iw T où wo et 7 sont des constantes positives. Les champs électrique et magnétique de l'onde ont pour expression complexe Ê = FE EXP L (ut : Er) et B = B EXP L (ut : Er) 1 -- 33. Décrire en quelques mots l'origine de chacun des termes de l'équation (3). Pourquoi n'y a-t-1l aucun terme lié au champ magnétique B? Quelle est la signification physique de la constante 7 ? Quelle est la particularité du modèle si Tr -- ©? On se placera dans ce cas dans toute la suite. LU -- 34. Montrer que les ondes électromagnétiques dans un tel milieu sont transverses puis établir leur équation de dispersion exprimant k2 en fonction de la célérité c de la lumière dans le vide, w, wo et de la constante w, définie dans la partie IIT.B. Dans la basse atmosphère, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques dans le domaine lumineux ; on admet que dans ces conditions ces ondes vérifient la condition w, & w wo. On définit dans ce cas l'indice optique N par l'expression v, = c/N de la vitesse de phase. D -- 35. Exprimer N en fonction de w, wo et w, au premier ordre non nul en w du développement limité. Commenter le résultat obtenu. Dans la haute atmosphère (l'ionosphère), on admet que la propagation d'ondes électromagné- tiques du domaine radio HF est caractérisée par wo = 0. LJ -- 36. Que devient ici l'équation de dispersion ? Dans quel domaine de fréquence le milieu est-il transparent ? La propagation est-elle dispersive ? Page 8/10 Physique IT, année 2024 -- filière PC IIIC  Écho ionosphérique Le dispositif étudié ici est basé sur un émetteur au sol situé en z < 0. Cet émetteur envoie dans la basse atmosphère (assimilée au vide) et en direction de l'ionosphère, une onde électromagnétique incidente de champ électrique Æ; = Ep exp liw (t -- z/c)] EUR. La réflexion sur la surface z = 0 séparant le vide de l'ionosphère crée une onde réfléchie de champ électrique E, = pEy exp liw (t + z/c)|6,. La réflexion crée aussi une onde transmise dans l'ionosphère de champ électrique Ë, = BE exp li(wt -- kz)]ez. NZ ionosphère z--=(068------------------ ondes dans le vide t |} incidente réfléchie FIGURE 6 --- Modèle pour l'étude des échos ionosphériques L'ionosphère sera décrite comme un milieu équivalent au vide dans lequel la relation de dis- persion est de la forme k°c° = w° -- wf où w, > 0 est la pulsation définie à la 
partie III.B.
Enfin, on admet, en l'absence de toute discontinuité surfacique sur le plan z = 
0, la continuité

de toutes les composantes du champ électromagnétique de part et d'autre de ce 
plan.

LU -- 37. Exprimer les champs magnétiques B;, B, et B;, associés respectivement 
à chacune des
ondes incidente, réfléchie et transmise en fonction, suivant les cas, de Æo, 
EUR, w,t, 2, k, p

ou f.
En déduire l'expression de p en fonction de w, c et k puis en fonction de w et 
w,.
D -- 38. Quelle est la signification de la grandeur R = |p|°?

Sans étudier la fonction, tracer l'allure qualitative de la courbe w + R(w), en 
distinguant
les deux cas w < w, et w > Wu.

Dans quel cas observe-t-on un écho ionosphérique ?

On rappelle ici que la grandeur w, dépend de la densité électronique no de 
l'ionosphère ; cette
densité électronique croît en général du sol (où on prendra no = 0) vers les 
hautes altitudes. Le
signal émis, de pulsation w variable, est constitué d'impulsions brèves de 
durée At.

D -- 39. Comment choisir At pour que la mesure de la durée séparant l'émission 
du signal et la
réception de l'écho permette de mesurer l'altitude À de la surface de réflexion 
?

Le décalage en fréquence (effet DOPPLER) de l'onde réfléchie renseigne sur les 
déplacements de
l'air au sein de l'atmosphère. Avec trois récepteurs au minimum il est possible 
de mesurer par
triangulation la direction et la vitesse des perturbations.

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Physique IT, année 2024 -- filière PC

Formulaire d'analyse vectorielle

divgradf = Af et rot (rot

div (roi W) --0 et rot (grad f) = Ô
Z 2 =: ... TS e) Le 0 Le
En coordonnées cartésiennes, en notant V = ----e, + ----e, + --e,
Ox Oy OZ
0? 0? 0? = = 5 >  OW, OW,  OW,
Af -- J 1,07, div W = VW -- 2

Où 0p 07

OT = GA -- Es : | > à or COMTE EZ me .

Oy Oz | "

FIN DE L'ÉPREUVE

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