X Physique 1 PC 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2000 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Phénomènes météorologiques associés à des mouvements verticaux de masses d'air

Les phénomènes météorologiques ont des origines multiples; une compréhension 
complète néces-
site de prendre en compte de nombreux bilans d'échange (rayonnement, cycle de 
l'eau). Toutefois
un certain nombre de phénomènes sont uniquement dus au déplacement adiabatique 
de masses
d'air. Nous nous proposons dans ce problème d'analyser certains d'entre eux et 
étudierons leurs
conséquences sur la formation de certains types de nuages.

Nous nous intéresserons dans une première partie aux mouvements verticaux d'air 
sec puis
dans une seconde partie aux mouvements d'air humide et au phénomène de 
condensation. Enfin
la troisième partie étudie quelques aspects de l'air humide saturé.

On supposera le champ de pesanteur localement uniforme : ? : --geÎ} où ?; est 
le vecteur
unitaire dirigé selon la verticale ascendante.
Constantes et données numériques.
Constante des gaz parfaits R = 8, 3 J K_1 mol--1
Accélération de la pesanteur g = 9, 8 m s"2
Air sec
Masse molaire moyenne M,, = 29 g mol"1
Capacité thermique massique à pression constante c,, = 1, 0 X 103 J K"1 kg"1

Rapport des capacités thermiques à p et à V constants 'y = cp/cv = 1, 40

Eau

Masse molaire M6 = 18 g mol--1
Température du point triple Tt = 273,16 K (0,01°C)
Pression du point triple pt : 610 Pa

Enthalpie massique de vaporisation à 0°C L,, = 2, 50 X 106 J kg'1
Enthalpie massique de vaporisation à 100°C L,, = 2, 25 >< 106 .] kg"l Première partie Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme d'oscillations ver-- ticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques. 1. Pour une atmosphère en équilibre << hydrostatique », les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l'altitude z. a) Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression p(z), la masse volumique p(z) et 9. b) On considère l'air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l'atmosphère isotherme de température To. Déterminer p(z) et p(z) à l'aide de p(0), p(0), M... 9, R et T0 . ' c) Calculer la hauteur caractéristique correspondante pour une température de 10°C. 2. Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse d'air m que l'on déplace verticalement dans l'atmosphère supposé être en équilibre hydrostatique mais non iso-- therme a priori. On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe du type << bulle de savon >> d'effet négligeable. La pression dans la 
bulle est supposée
être à tout instant égale à la pression extérieure correspondant à l'altitude 
où se trouve la bulle.

Avant d'être déplacée, la bulle de volume V6 est en équilibre à l'altitude zo 
et sa température
et sa pression sont égales à celles de l'air environnant, soit T(zo) et p(z0).

&) La bulle est déplacée à la hauteur 20 + h. En supposant son évolution 
adiabatique et
réversible, et les variations assez petites pour être traitées linéairement, 
déterminer la variation
ôV de volume en fonction de VO, p, g, h et du coefficient de compressibilité 
isentropique XS défini

ar __l(Ü_V)
p Xs-- V ap S-

b) Déterminer la force d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle; on 
introduira

1 d
le gradient relatif de masse volumique : --d--p .
p z

0) En déduire l'équation du mouvement de la bulle.

(1) Quelle condition doit vérifier le gradient de masse volumique pour que 
l'équilibre de
l'air en zo soit stable? Déterminer dans ce cas la pulsation Q(zo) des 
oscillations d'une bulle
autour de l'altitude zo. La pulsation Q(zo) est appelée << pulsation de Väisälä-Brunt >>.

3. On considère l'air comme un gaz parfait.

a) Expliciter xg à l'aide du coefiicient 'y = cp/cv. Traduire la condition de 
stabilité sur le

gradient de masse volumique sous la forme d'une condition relative au gradient 
de température
dT/dz.

b) Montrer alors qu'une atmosphère isotherme est stable. Déterminer dans ce cas 
la pul--
sation Q(zo) en fonction de g, 7 et de la célérité des ondes sonores co .

c) Calculer numériquement (Ma) et la période T correspondante pour une 
température
de 15 °C .

Deuxième partie

On s'intéresse dans cette partie tout d'abord à l'équilibre liquide--vapeur de 
l'eau pure, puis
à l'effet de l'eau contenue dans l'atmosphère sous forme vapeur.

1. Soit e(T) la pression de vapeur saturante de l'eau a la température T et L,, 
l'enthalpie
massique de vaporisation de l'eau à cette température. On considère la vapeur 
d'eau comme un
gaz parfait.

a) Montrer que, moyennant une approximation que l'on justifiera :

1 d_e L,,Me

EdT _ RT2 '

b) En choisissant LU indépendant de T et égal à L, (Tt), exprimer e(T) en 
fonction de T,
à l'aide de pt et Tt, pression et température du point triple.

c) Calculer numériquement, en utilisant le tableau de données, e(T) pour les 
températures
de 5°C, 10°C, 15°C.

Calculer aussi e(100°C) en prenant pour LU sa valeur moyenne entre 0°C et 
100°C. Com-
menter la valeur trouvée pour 100°C.

2. On considère maintenant un volume V d'air humide, mélange composé d'une 
masse ms
d'air sec et d'une masse mv de vapeur d'eau (sans eau liquide) avec mv << ms. On note 123 la pression partielle de l'air sec, c'est-à--dire la pression qu'il aurait s'il occupait seul le volume V; on note de même pu la pression partielle de la vapeur d'eau. Ce mélange est considéré comme un mélange idéal de gaz parfaits et donc la pression totale ]) est la somme des deux pressions ps et pv . L'humidz'té 'H est définie comme le rapport entre la pression partielle de vapeur d'eau pv et la pression de vapeur saturante (: (T) : 'H = &. On cherche à déterminer les conditions pour @ lesquelles apparaît une condensation. &) On suppose l'enthalpie de vaporisation ainsi que les capacités thermiques indépendantes de la température dans le domaine considéré. Montrer que l'humidité, la pression totale et la température, pour deux états indicés 1 et 2 sont reliées par : 1"(Ë) -- 1n(Ë) -- L"Me (l -- l) H2 192 R T2 T1 ' b) L'air humide est dans un état initial A de température TA, de pression totale 11,4 et d'humidité H A strictement inférieure à 1. Il subit une transformation adiabatique réversible. En négligeant la capacité thermique de l'eau, trouver une relation implicite qui permet de déterminer la température de condensation TC en fonction de T A et de 'H A c) En supposant T C proche de TA, montrer que T0 est approximativement donné par : --1 ln'HA T = 1------_ T . C LvMe_cpMa A RTA R La transformation nécessaire est--elle une compression ou une détente ? 3.a) Par beau temps, on observe des nuages appelés << cumulus >>. Quelle est 
l'origine de ces
nuages ?

Ces nuages ont une forme caractéristique : leur base est pratiquement plane et 
les bases
de tous les nuages sont à la même altitude (figure 1). Pourquoi en est-il ainsi 
et par quoi est
déterminée cette altitude ?

Figure 1

b) On considère que la pression de l'air en mouvement vertical adiabatique est 
toujours
égale à celle de l'atmosphère en équilibre hydrostatique (Cf. question 2. de la 
première partie).
Montrer que dans ces conditions, pour cet air :

Calculer numériquement ce gradient en K / km .

c) On donne au sol (2 = O) : TA : 25°C, 'HA = 0,55 . Calculer l'altitude de 
base des
cumulus.

d) En présence de vent, les nuages sont entraînés; cependant on peut voir des 
nuages
« accrochés >> au sommet d'une colline ou d'une montagne. Expliquer pourquoi le 
vent ne les
emporte pas.

Figure 2

e) La photographie de la figure 2 montre une structure nuageuse possédant une 
périodicité
spatiale. Elle est due à un vent de NO arrivant sur les Monts Appalaches 
(chaîne orientée SO--
NE) et excitant dans l'atmosphère des oscillations verticales. Expliquer le 
phénomène observé.
La période spatiale est de l'ordre de 10 km. En utilisant la période de 
Väisälä-Brunt calculée
dans la question 3.c) de la première partie, évaluer la vitesse du vent 
nécessaire pour expliquer
le phénomène; le résultat est--il plausible ?

Troisième partie

On s'intéresse maintenant à des transformations d'air humide pour lesquelles 
une fraction de
l'eau est condensée. La phase gazeuse se comporte comme il a été vu dans la 
deuxième partie.
L'enthalpie du système est la somme des enthalpies de l'air sec et de l'eau. On 
raisonnera sur
un volume V contenant une masse ma d'air sec, une masse mv de vapeur d'eau et 
une masse ml
d'eau liquide. On négligera le volume de la phase liquide et on considèrera des 
situations où la
masse d'eau, vapeur et liquide, est très faible devant la masse de l'air.

La) Montrer que, dans ces conditions, la différentielle de l'enthalpie H du 
système peut
s'écrire :
dH : macpdT + L,,dmv

b) En déduire celle de l'entropie dS .

2. Exprimer m,, en fonction de e(T) et de la pression p. En déduire 
l'expression de la diffé--
rentielle dm... en prenant comme variables indépendantes T et p.

3. On considère une transformation adiabatique et réversible. Exprimer pour 
cette transfor--

dT
mation (--) en fonction de T, p et e(T). Mettre le résultat sous la forme :
cond

dp
( dT ) ( dT)
_ = a _
dp cond dp as

dT
où (d_) est la quantité correspondante pour de l'air sec et où & [T, p,e(T )] 
est un facteur
P as

multiplicatif dont on montrera qu'il est inférieur à 1.

4. De l'air contenant une certaine proportion d'eau sous forme vapeur arrive 
sur une chaîne
de montagnes où il subit à la montée une détente et à la descente une 
compression que l'on
supposera toutes deux adiabatiques et réversibles.

a) Montrer, par une discussion qualitative, que, si la température initiale est 
supérieure
à une température T1, il n'y a pas formation de nuage et que, pour une même 
altitude, l'air
redescendant possède la même température que l'air montant .

b) Montrer de même que si la température initiale est plus froide, il y a 
formation de
nuages. S'il y a alors pluie, en déduire que l'air descendant est à une 
température plus élevée
que celle de l'air montant. Ce vent est appelé foehn en Europe et chinook aux 
Etats-Unis.

5. On souhaite effectuer une évaluation de ce dernier effet. Pour cela, on 
suppose que l'air
montant commence à se condenser à l'altitude h A pour une température TA et la 
pression p A. Il
se détend adiabatiquement avec pluie jusqu'à l'altitude h B de pression p B où 
sa température est

notée TB . Puis l'air devenu sec revient à l'altitude h A de pression p A mais 
avec la température
TF .

a) En prenant a constant, égal à une valeur moyenne a, exprimer T3/TA en 
fonction de
p 3 / p A. Exprimer ensuite Tp/TB . En déduire T F / TA en fonction de p B / p 
A, Py et a .

b) On donne hA = 500 m, TA = 10°C, hB = 2500 m. Evaluer la pression p... de 
l'atmo--
sphère à l'altitude moyenne de 1500 m à l'aide du modèle isotherme étudié aux 
questions 1.b)

et Le) de la première partie, pour une température de 10°C et une pression de 1 
X 105 Pa au
niveau de la mer. Prendre a = a(5°C, p...) et le calculer.

c) Le même modèle d'atmosphère donne 193 / p A. Calculer la température TF.