X Physique 1 PC 2004

ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004 . FILIÈRE PC

PREMIERE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

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L'héliosismologie

L'héliosismologie -- l'étude sismique du Soleil -- a pris son essor au cours 
des années 1970
lorsque l'on s'est aperçu que les raies du spectre solaire étaient modulées & 
des périodes de l'ordre
de 5 minutes, et que cette modulation était due auoe oscillations globales du 
Soleil. Ces oscillations

sont de type acoustique.

Le but de ce problème est d'analyser dans le cadre de modèles très simplifiés, 
la propagation
de ces ondes acoustiques à l'intérieur d'un astre fluide et sphérique tel le 
Soleil.

Données numériques :

Constante de gravitation : G = 6, 67 >< 10"11 kg_l--m3.s"2 Constante des gaz parfaits : RGP = 8, 31 J -K"'-moF1 Masse molaire de l'hydrogène : mH = 1 g-mol_1 Masse molaire de l'hélium _: mHe = 4 g-mol_1 Masse molaire moyenne du Soleil : , ,a = 1, 27 g-mol"1 Masse du Soleil : M = 2,0 >< 1030 kg Rayon du Soleil : R = 7,0 >< 108 m Température de surface du Soleil : T* = 5 800 K Dans tout le problème, on supposera que le Soleil possède la symétrie sphérique, et on '- négligera sa rotation propre. Sa composition sera assimilée à celle d'un gaz parfait monoatomique de masse molaire ,a. I. La structure interne du Soleil : un modèle simple ' 1. Les ordres de grandeur On cherche à estimer l'ordre de grandeur de la pression Pc, de la masse volumique pc et de la température T0 au centre du Soleil. On admettra que l'étoile n'est composée que d'hydrogène atomique et d'hélium, et que la concentrationen hélium est uniforme dans toute l'étoile. a) Estimer, par analyse dimensionnelle, l'ordre de grandeur de la pression PC au centre d'un astre de masse M et de rayon R soumis à sa propre gravité. Calculer PC dans le cas du Soleil. b) On désigne par EC l'énergie cinétique du gaz parfait monoatomique de masse molaire ,u constituant l'étoile et par Q l'énergie potentielle interne de gravitation de cet astre; on admettra la relation O + 2Eg : 0 que donne le théorème du viriel. Trouver, à. l'aide d'une simple analyse dimensionnelle, une expression de l'énergie de gravi-- tation Q; écrire l'expression de l'énergiecinétique EC du gaz stellaire en supposant, pour cette question seulement, que la température T du gaz stellaire est uniforme. En déduire l'ordre de grandeur de la température du gaz que l'on assimilera a la température TC au centre de l'astre ainsi que l'ordre de grandeur de la masse volumique centrale pc. Calculer ces deux valeurs dans le cas du Soleil. 2. Le champ gravitationnel a) ÿ désignant le champ de gravitation au sein de l'astre, donner l'expression de son module g au niveau repéré par la variable radiale r, en fonction de la masse m(r) de la boule de rayon 7". b) Montrer que, dans le cas du Soleil, dont la période de rotation moyenne est de l'ordre de 27 jours, négliger la rotation est tout à fait licite. Pour toute la suite du problème on supposera que le module g du champ gravi-- tationnel est uniforme dans toute l'étoile. 3. L'état d'équilibre On note PO (r) la pression d'équilibre au niveau 7° et g le module, uniforme dans toute l'étoile, du champ de gravitation. On suppose de plus que la structure interne de l'astre est adiabatique, l'indice adiabatique 7 étant pris lui aussi uniforme dans toute l'étoile : P0 = Bpä. Afin d'alléger 9(7 -- 1) 7 A , A étant une les calculs on notera la constante de proportionnalité sous la forme B = autre constante et on définira la profondeur z dans l'astre par 2 = R -- r. a) Pour quelle raison physique peut--on exclure del'étude le cas 7 = 1 ? b) Exprimer g en fonction de C, M et R et calculer sa valeur dans le cas du Soleil. c) Écrire l'équation locale exprimant l'équilibre au sein de l'astre. En déduire les expres-- sions de P0(2) et po(z). Donner l'allure des graphes correspondants. d) La célérité c d'une onde acoustique dans un fluide, de pression P et de masse volumique ôP 55 d'équilibre. L'exprimer pour le Soleil en fonction de 7, PO et pg. Montrer que, à l'intérieur du p est donnée par c2 = ( ) S, dans l'hypothèse d'adiabaticité et la dérivée étant prise à. l'état Soleil, la valeur de cette grandeur dépend de la profondeur 2 selon la loi : 62(2) = (7 ---- 1)gz Calculer numériquement la vitesse du son cR : c(R) au centre du Soleil, en prenant 7 = 5/3. e) Le Soleil possède une température de surface T*; en déduire dans quelle partie de l'astre solaire le modèle précédent décrivant l'évolution de c avec la profondeur z est mis en défaut. Déterminer les expressions de la vitesse du son minimale c* et de l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche z* dans laquelle le modèle n'est plus applicable. Calculer numériquement leurs valeurs avec 7 = 5/3. Il. Étude des oscillations dans les couches périphériques Dans les couches périphériques de l'étoile, on modélise localement le milieu stellaire par une structure de plans parallèles. On repère une couche par sa profondeur z = R -- 7". On s'intéresse aux petites perturbations des champs de pression et de masse volumique, de valeurs à l'équilibre Pg(2) et po(z). Par souci de généralité, on mènera les calculs avec les fonctions P0(z) et po(z) et non avec leurs expressions analytiques fonctions de z établies précédemment. On ne se servira de ces dernières expressions que dans les cas particuliers explicitement mentionnés. On considère des ondes planes de propagation verticale; les perturbations des champs de vitesse verticale 1), de pression P et de masse volumique p, sont définies par : v(z, t) = 0 + m(z, t) P(Z,t) = P0(Z) +p1(z,t) p(Z, t) = po(Z) + pi(zç t) 1. Évolution des champs a) Ecrire l'équation du mouvement d'une particule fluide soumise aux seules forces de gravité et de pression. La linéariser; le terme convectif de l'accélération (Ü -- V)fü' sera supposé négligeable. b) Que traduit l'équation ; Êpj_ : __Ô(PO'U1) ., Ôt Ôz ' c) L'évolution locale du gaz est supposée adiabatique avec P : Bp? En déduire par linéarisation la relation P1 = 02P1 où c2(z) est la célérité locale des ondes acoustiques introduite en I.3.d). d) Déduire des relations précédentes l'équation décrivant la propagation du champ de masse volumique p1 : 32 2 8,01 32,01 ""-- _ _ -- ---- = 0 87.2 (W ' 9 ôz ât2 e) Développer cette équation en explicitant 02 (z) obtenu en I.3.d). 2. Solution analytique a) En prenant 7 = 5/3, vérifier que l'équation d'évolution de pl admet comme solutions des ondes progressives de la forme générale p1(z, t) = f (t :|: 2z/c(z)). Dans la suite du problème) on conserve 7 = 5/3. 1 b) p0(z) étant de la forme zv----Î, montrer que p1 est nul à la surface. Quelle en est la conséquence pour une onde progressive arrivant en surface ? c) On considère une onde monochromatique de pulsation ca de la forme p.1(z, t) = F (2) cos cut. Dans quel type d'onde peut--on la classer? Expliciter F(z) en désignant par AM l'amplitude maximale de l'onde. d) En déduire l'expression correspondante de p1(z, t). Quelle est la particularité que pré-- sente en fonction de z l'amplitude de l'onde de pression? e) Déterminer l'expression de l'onde de vitesse associée vl (z,t). Quelles particularités observez--vous tant sur sa dépendance temporelle que spatiale? Montrer que l'amplitude de U1 atteint une limite finie à la surface, en z = O. 3. Evolution au voisinage de la surface a) À partir du niveau z* défini en I.3.e), et jusqu'à des altitudes positives (2 < 0), l'atmosphère stellaire est supposée isotherme à l'équilibre, et la vitesse des ondes sonores y prend la valeur c*. Écrire l'équation d'évolution de pl valable dans cette zone. Pour des ondes sinusoïdales, montrer qu'il existe une pulsation limite whm séparant les ondes qui pénètrent dans cette zone de celles qui n'y pénètrent pas. Calculer numériquement wlim et la période Tlim assoc1ee. b) Les régions visibles de l'atmosphère stellaire étant au voisinage de z = z*, quel effet physique permet de percevoir le champ de vitesse 111 ? Quel type de mesure permet d'y avoir accès ? Le comportement du champ v(z) est-il favorable à une telle mesure ? III. Étude des oscillations dans les couches internes Dans les couches internes de l'étoile il n'est plus possible de négliger la structure sphérique. On suppose que l'onde est sinusoïdale, localement plane et on admet que la vitesse de phase est donnée par l'expression obtenue en I.3.d), c2(z) = (fy -- l)gz avec 2 = R -- 7° Pour une étude simple, on utilise une description en termes de << rayons acoustiques >>. Pour 
les applications
numériques, on prend 'y = 5/3.

1. Réfract ion

, Par analogie avec l'optique, on définit l'indice acoustique local du milieu 
comme le rapport
de la vitesse du son 03 au centre de l'astre à la vitesse du son locale :

CR

C(Z)

&) Rappeler les lois de la réfraction. Montrer qu'elles impliquent, dans le 
cadre du modèle
<< plan parallèle >> où l'indice n'est fonction que de la coordonnée 
cartésienne z, la conservation
de n sind où 73 est l'angle d'incidence. Pour un déplacement élémentaire le 
long du rayon, exprimer
la variation di de l'angle d'incidence en fonction de dn, n et i.

n:

b) Dans une situation a symétrie sphérique, montrer qu'un rayon acoustique se 
propage
en restant dans un plan passant par le centre (plan diamétral).

c) De plus, à la variation de l'angle d'incidence calculée ci-dessus et 
désignée par di1,
s'ajoute une autre contribution d'origine purement géométrique dig. Exprimer 
dig en fonction
de dr, 7' et i.

d) Dédùire de ces résultats la conservation de la quantité D = nr sinz' le long 
du rayon
acoustique.

e) En déduire que la relation précédente implique, sauf dans le cas où D est 
nul, l'existence
d'un niveau limite rc en dessous duquel il n'y a plus de propagation verticale 
de l'onde. Quelle
est la direction du rayon acoustique a ce niveau ?

2. 'I'rajectoire des rayons acoustiques

a) Soit 7" = f (9) l'équation polaire d'un rayon acoustique. À partir des 
résultats précé--
/ demment obtenus, justifier qu'un rayon acoustique associé à une valeur de D 
fixée est constitué
d'arcs successifs contenus dans une couronne de rayons rmin et rmax que l'on 
identifiera. Que
subit le rayon acoustique respectivement en ,. = rmin et 7° = rmax ?

b) Montrer que, dans la partie II, il était justifié de supposer verticale la 
propagation dans
les couches supérieures de l'étoile.

c) On pose A6 = 92 -- 91, où 91 et 92 sont les angles polaires correspondants 
aux extrémités
d'un arc. Un mode correspond a une trajectoire du rayon acoustique fermée sur 
un tour. A6'
ne peut alors prendre que des valeurs discrètes que l'on déterminera en 
fonction d'un nombre

entier p.

(1) On montre que A9 ne dépend que du rapport oz = rc / R, soit ap pour le mode 
p. De
plus, en considérant l'aspect ondulatoire de la propagation, un mode correspond 
à une onde
stationnaire présentant des noeuds de pl en surface (cf. II.2.b). Soit Tp le 
temps de propagation
de la phase de l'onde le long d'un arc du mode p; TP est donné par 7'}) = 
(ZR/CR)fip où @, est
un facteur numérique ne dépendant que de ap.

Dans ces conditions, montrer qu'au mode p correspondent des ondes stationnaires 
de diverses
périodes sous--multiples d'une période fondamentale Tp; exprimer T p en 
fonction de Tp.

e) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de cup et de @, pour quelques 
valeurs de p.
Calculer les valeurs correspondantes des périodes Tp.

0,459 0,645 0,737 0,791 0,827 0,886

1,805 1,586 1,423 1,299 1,202 1,003

f) Représenter sur un schéma en coupe de l'intérieur stellaire, l'allure des 
rayons associés
aux modes d'ordre p = 4 et p = 12. Quels modes fourniront des informations sur 
la structure du
centre de l'astre ? Lesquels seront surtout sensibles aux propriétés des 
couches périphériques ?

3. Les modes radiaux

On définit la fréquence caractéristique des oscillations du Soleil par :

Rd _
...=(2/0 %")1

a) D'après la définition de cette fréquence, quel phénomène physique a pour 
durée la
période TO : 1/1/0 ?

b) Le profil de la célérité du son étant toujours celui trouvé en partie I), 
montrer que la
valeur de V0 est dominée par les couches périphériques de l'astre. Déterminer 
1/0 en fonction de
7, G, M et R. Calculer la période TO associée dans le cas du Soleil.

c) Montrer que nécessairement, le centre du Soleil correspond pour 
l'oseillation à un noeud
de vitesse. On note u,... la fréquence propre du mode d'oscillation 
stationnaire présentant radia--
lement n noeuds d'oscillation pour la vitesse (centre exclu).

Une première estimation des modes radiaux consiste à déterminer les pulsations 
pour les-

R dr
quelles w / ---- = q7r + W / 2 où q est un entier positif ou nul; donner une 
justification de cette

0 C(?")
expression. Montrer que cette relation donne des modes d'oscillations radiales 
de fréquences :

"0.0 = (q + 1/2)V0

Les modes excités du Soleil qui sont observés ont des périodes voisines de 5 
minutes. Quel
est l'ordre q moyen de ces modes radiaux ?