X Physique 1 PC 2005

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Anneau de stockage pour molécules polaires

Le problème analyse le principe du piégeage dans une région restreinte de 
l'espace de molécules
CH3F qui possèdent un moment dipolaire électrique, en utilisant l'interaction 
avec un champ
électrostatique inhomogëne. De tels pièges permettent l'étude des collisions 
moléculaires ainsi
que la construction de faisceaux moléculaires utilisés en nanolithographie et 
pour la réalisation
de dépôts de surface.

Données numériques :

Constante de Boltzmann : kB : 1, 38 >< 10"23 J - K"1 Unité atomique de masse : 1 u = 1, 66 >< 10--27 kg Masse de CH3F : m : 34u Permittivité du vide : 80 : 8, 85 >< 10"12 F -- m"1 I. Hexapôle électrostatique On étudie la possibilité de guider le mouvement de molécules polaires avec un système élec-- trostatique formé de six électrodes cylindriques et parallèles {Ci, ?; = 1, 2, . . . 6} disposées aux sommets d'un hexagone régulier auquel elles sont orthogonales (figure 1). / \\ // x \ CÔO 2aÊ C2 / \\ .' Z } \ / )' \ ///R /I 650 , OC3 \{ / / F figure ] Leur rayon a est très inférieur au côté R de l'hexagone, a << R. Elles portent des densités linéiques de charge égales alternativement à À(À > O) pour les électrodes 
impaires et --À pour
les paires; on considèrera que ces charges sont fixes et uniformément réparties 
a leur surface. On
négligera les effets d'extrémités, l'ensemble pouvant être considéré comme 
invariant par trans--
lation selon l'axe central Oz du système. On utilisera un système de 
coordonnées cylindriques
(fr, 9, z) avec comme repère orthonormé (à}, 59, 52).

1. Analyse des symétries

&) Quelles conclusions sur le champ Ê et le potentiel électrostatique V 
tire--t--on de l'inva--
riance par translation du système ?

b) Considérer la symétrie par rapport a un plan perpendiculaire à l'axe. Quelle 
propriété
du champ électrique E en déduit-on ?

c) Même question pour l'un des trois plans passant par l'axe central et les 
axes de deux
électrodes opposées.

(1) Montrer que les trois plans passant par l'axe et à égale distance des 
électrodes sont
équipotentiels.

e) Quelle est la période angulaire d'invariance du système par rotation autour 
de l'axe Oz ?
En déduire une expression générale du potentiel VO", 9, 2) sous forme d'une 
série.

2. Soit une électrode de densité linéique de charge À. Déterminer le champ 
électrostatique
créé par cette électrode en un point P à l'aide de la distance D de ce point à 
son axe (D > a).

En déduire une expression du potentiel électrostatique correspondant.

3. On considère maintenant l'ensemble des électrodes du système. Montrer que, 
en le choisis--

sant nul sur l'axe central, le potentiel électrostatique en un point P est 
donné par l'expression :

À D2D4Dg )

VP : 1 (_
( ) 27T80 Il D1D3D5

où D,- désigne la distance de P à l'axe de l'électrode Ci.

4. Pour expliciter le potentiel en fonction des coordonnées de P, il est 
commode de considérer
le plan acOy comme plan de représentation des nombres complexes. Le point P y 
est repéré par
Z = a: + iy = rexp(i9), les axes des électrodes impaires le sont par (R, jR, 
fil?) et ceux des
électrodes paires par (--R, --jR, --j2R), avec j = exp(i2w/ 3) racine cubique 
de l'unité. Montrer
que :

D2D4Dô _ R3 + __Z_3
D1D3D5 _ R3 -- z3

5. On s'intéresse à la partie centrale ?" << R. Montrer que le potentiel électrostatique y est À 7" 3 donné par V(T, 9, z) : ---- (È) cos(39). Cette expression respecte--t--eHe les symétries étudiées 7T80 en question 1. ? 6. Déterminer les potentiels VO des électrodes impaires dans l'hypothèse 0. << R en fonction de R, a. et À. Quel est celui des électrodes paires ? 7. On considère le système comme un condensateur, les trois électrodes impaires formant l'une des armatures, les trois paires l'autre. Déterminer la capacité par unité de longueur corres-- pondante C . Montrer que le potentiel électrostatique dans la partie centrale de l'hexapôle s'exprime sim-- plement en fonction de cette capacité linéique et de la tension Vb. 8. Application numérique. Calculer la capacité électrostatique par unité de longueur d'un hexapôle ayant R = 2.5 cm et a = 2.5 mm. II. Mouvement de molécules polaires dans un hexapôle électrostatique Dans cette partie, on analyse le mouvement de molécules, possédant un moment dipolaire permanent d, dans le champ électrique de l'hexapôle électrostatique étudié en partie I. Dans le vide, les molécules, libres de tourner, ont un mouvement de rotation; l'énergie et le moment cinétique correspondant sont quantifiés. Seul compte, pour le couplage avec le champ électrique, la projection defi' = d . E / El du moment dipolaire sur la direction du champ électrique; deff est une constante positive, négative ou nulle, donnée pour chaque état moléculaire. 1. Rappeler l'expression générale de l'énergie potentielle d'un dipôle J dans un champ élec-- trostatique E. L'écrire à l'aide de defi. 2. Déterminer l'expression du champ électrostatique Ê(T, 9, z) en coordonnées polaires dans la partie centrale de l'hexapôle. Expliciter l'expression de l'énergie potentielle puis celle de la force exercée par l'hexapôle électrostatique sur une molécule en fonction de son moment dipolaire effectif deff. 3. Montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement d'une molécule de masse m dans le champ hexapolaire s'écrit sous la forme mf' = ----KfF, où ,,--.» = ré}... et K est une constante à déterminer. À quelle condition sur le signe de deff le mouvement est-il périodique? Quelle est alors la fréquence angulaire wo correspondante ? Quel est le mouvement des molécules ayant deff de signe contraire ? 4. Résoudre cette équation difiérentielle pour un mouvement périodique d'une molécule située à l'instant t = 0 sur l'axe central et ayant une vitesse 17(t = O) = 1203353; + voyëy + vOZë'Z. Un jet moléculaire effusif est généré à partir d'une enceinte contenant CH3F gazeux, à tem-- pérature T, munie d'un orifice de sortie. Le jet est collimaté par un diaphragme de petit diamètre donnant pour direction moyenne du jet celle de l'axe central Oz de l'hexapôle. 5. Montrer que l'hexapôle permet de refocaliser les molécules, en opérant une sélection selon le moment dipolaire. Préciser la distance de première refocalisation. 6. Dans un tel jet, la distribution des vitesses est donnée par l'expression dN(v) = Av3 exp(--mv2/2kBT)dv, où dN(v) est le nombre de molécules qui ont le module de leur vitesse entre ?) et 1) + du et A un facteur ne dépendant que de la température. Établir l'expression de la vitesse la plus probable du jet. La comparer a la vitesse quadratique moyenne dans l'enceinte. 7. Application numérique. On donne R = 2, 5 cm, a = 2,5 mm, V0 = 50 kV et T = 140 K. On analyse le mouvement des molécules CH3F ayant un moment dipolaire ldeff| = 3 >< 10'30 C - m. a) Calculer wo. b) Calculer la position du premier point P(O, O, 1) où les molécules, ayant la vitesse la plus probable du jet, sont refocalisées sur l'axe Oz. III. Un anneau de stockage pour les molécules polaires Pour stocker des molécules polaires dans une région limitée de l'espace, on modifie l'hexapôle étudié auparavant en courbant les électrodes pour les transformer en tores, tous de même axe Oa: (figure 2) ; l'axe central de l'hexapôle est devenu un cercle de rayon pT, et dans un plan méridien passant par 0515, les électrodes gardent la même position relative, aux sommets d'un hexagone régulier de côté R. Lorsque le rayon du tore pT est très grand par rapport au rayon de l'hexapôle R, on admettra qu'il n'y a pas, au voisinage du cercle central, de distorsion significative du champ électrostatique par rapport au cas linéaire étudié en partie II. Pour confiner le mouvement des molécules dans la région centrale du potentiel électrostatique, on interpose un diaphragme vertical, centré sur la circonférence p = pT du tore, qui laisse passer les molécules à travers un trou de rayon TD. 1 | \l \ll , | ' I'll || '._ ..... 1 "il ul .! Il |" m' j.',.;- ----_ _ __ . i ....... , Ill Ill 'll'u "ll! Ill"! Il " || ll l'] \ F figure 2 On utilise un système de coordonnées cylindriques (p, < 10--30 O -- m. 4. On analyse le mouvement des particules décrivant une trajectoire sur la surface cylindrique W) = po- a) Déterminer a: = a:(t) pour les conditions initiales oe(t = O) = 0 et :i:(t = O) = Uoe0- b) Estimer la valeur maximale de la vitesse 'UOEO pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon TD. Représenter graphiquement la dépendance väax = väax(po) en employant les valeurs données en 3.c). 5. On analyse le mouvement des molécules dans le plan (p(t), go(t), a: = 0). Les molécules sont injectées au centre de l'anneau p(t = O) = pT avec une vitesse initiale U(t = O) = vs00 EUR}, + vp0 ê'p, où 0900 est inférieure à v$ax déterminé en 3.c). &) Montrer que l'énergie mécanique des molécules peut se mettre sous la forme mp'2 EMO = T + Ueff(p), où le dernier terme correspond a une énergie potentielle effective à expli-- citer. b) Montrer , en utilisant une représentation graphique, que le mouvement radial est contenu dans un intervalle [pmin, pmaX]. c) Calculer la valeur maximale vääax de la vitesse radiale pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon TD pour une vitesse v