X Physique 1 PC 2006

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2006 FILIÈRE PC

PREMIERE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Propagation de signaux électriques

L'objet de ce problème est d'étudier. la propagation de signaux électriques 
dans diverses
structures conductrices. Dans la première partie, on s'intéresse à la 
propagation dans un câble
dit << coaxial >>. L'équation de propagation est établie ainsi que certaines 
caractéristiques des ondes
se propageant dans le câble. Dans la seconde partie, la structure de 
propagation, ou « ligne >>,
est une chaîne constituée de l'association en série de cellules LC . La 
propagation y présente
un aspect dispersif qui est étudié. Dans la troisième partie, on montre comment 
l'introduction
d'un élément non linéaire permet de contrebalancer l'effet dispersif de la 
ligne; des solutions
« solitons >> de l'équation de propagation sont mises en évidence.

Données numériques :

Permittivité du vide : 50 : 8, 854 >< 10--12F-m"1 = 3 >< 108m-s'"1 Vitesse des ondes EM dans le vide : c = \/80M0 Formulaire : f étant un champ scalaire et ä un champ vectoriel : rot( f (L') = f rot ä + grad f /\ ä' ch(u + v)ch(u -- v) = ch2u + sh2v divÊ=£-- rotË=-------- Équations de Maxwell dans le vide 50 375 , 4 # 3Ê div B = 0 rotB = ,u0j + 80N0--ÔÎ I. Propagation dans un câble coaxial Le câble, schématisé figure 1, est formé de deux cylindres métalliques, de sections circulaires, coaxiaux et de rayons respectifs p1 et pg(p1 < pg). Le premier cylindre 1 est plein, c'est l'âme du câble, et le deuxième 2 est creux, c'est la gaine. On supposera les cylindres de très grande conductivité; les charges et courants électriques qu'ils transportent seront, aux fréquences de travail, considérés comme surfaciques et le champ électromagnétique est nul dans le volume des conducteurs. De plus il ne circule aucun courant sur la surface extérieure de la gaine. L'espace entre les deux cylindres est empli d'un milieu isolant homogène dont les caractéristiques sont supposées indépendantes de la fréquence; on admettra alors qu'il suffit de remplacer dans toutes les équations de Maxwell 50 par 5 = 808,-- où EUR,... est la permittivité relative de l'isolant. Données numériques du câble : q51 : 2p1 : 1,0 mm, (bg : 2pg = 3, 5 mm,er ='2, 25. Coupe longitudinale Coupe transversale Figure 1 -- Schéma du câble coaxial Un point M entre les cylindres sera repéré par ses coordonnées cylindriques (p, 9 , 2), Oz étant l'axe des cylindres. On désigne par (EUR... 59, ë},) le repère orthonormé associé. 1.1. Caractéristiques électriques du câble On cherche dans ces premières questions à. identifier quelques quantités électriques caracté-- ristiques du câble. Capacité linéique. On suppose que l'âme porte la charge Q par unité de longueur. 1.1.1 En un point M compris entre les conducteurs, établir l'expression du vecteur champ électrique E en fonction de Q, de p et EUR = 5057. ; on négligera tout effet de bord. 1.1.2 En déduire l'expression de la différence de potentiel entre les cylindres, V1 -- Vg, en fonction de Q, p1 et pg. 1.1.3 Exprimer la capacité linéique 1' du câble en fonction de pl et pg. 1.1.4 Calculer la valeur numérique de 1' et celle de V1 ----- Vg pour Q = 1 nC - m"1. À quelle distance de l'axe le champ E prend--il sa valeur maximale Emax dans le milieu isolant ? Calculer Emax. Inductanoe linéique. On suppose le conducteur central parcouru par un courant surfacique continu d'intensité I. 1.1.5 Donner l'expression du vecteur champ magnétique Ë en fonction de I et de p en un point M compris entre les conducteurs; on négligera tout effet de bord. 1.1.6 On considère un tronçon de longueur unité limité par deux plans orthogonaux à l'axe. Le flux magnétique propre <1> de ce tronçon est le flux de B a travers un 
demi--plan 9 : Cste,
limité par les extrémités du tronçon. Trouver l'expression de (1) en fonction 
de I, pl et pg.

1.1.7 En déduire l'inductance linéique du câble A en fonction de pl et pg.

1.1.8 Calculer la valeur numérique de A. À quelle distance de l'axe le champ B 
prend--il sa
valeur maximale Bmax dans le milieu isolant ? Calculer Bmax pour I = 100 mA.

1.1.9 Si on suppose maintenant que l'intensité I est répartie en volume dans le 
conducteur
central, l'inductance par unité de longueur sera--t--elle modifiée ?

1.2. Onde électromagnétique TEM

On cherche a montrer qu'un champ électromagnétique a la fois transverse 
électrique et trans-
verse magnétique (mode TEM) peut se propager entre les deux conducteurs. On 
considère une
onde progressive (E, B) de la forme :

Êo(OE. y)e'(w'"'"". Êo(OE. y)EUR'(wt_kz'

avec des composantes nulles selon Oz et la > 0.

1.2.1 Montrer que ké} /\ Ë0 = wËO et ké} /\ ËO = --weu0Êo. Quelle est la 
structure locale du
champ EM ?

1.2.2 En déduire la relation de dispersion qui relie le et w. Quelle est la 
vitesse de phase 1)
de cette onde; l'exprimer en fonction de s.,. et c. Préciser le rapport entre 
la norme de E et celle

de Ë.

1.2.3 Le champ EM doit satisfaire les conditions aux limites du système. 
Justifier que c'est
le cas pour l'onde caractérisée par EO (p) = EO (,0)ê'p et B0 (p) = BO (p)ëg.

1.2.4 Soit I (z, t) l'intensité du courant parcourant le conducteur interne. 
Montrer que I (2, t)
est de la forme I (27, t) = 10EURj(wt--kz), et exprimer Bo(p) en fonction de lo 
et p.

1.2.5 Quelle est l'intensité parcourant le conducteur externe ?
1.3. Aspect électrocinétique; impédance caractéristique

Pour z fixé et à un instant t donné, on définit localement la différence de 
potentiel U (z,t)

1 --0
entre le conducteur interne 1 et l'externe 2 par U (2,15) = -- / E(p, z,t) -- 
dl, la circulation du
2

champ électrique étant prise sur une "courbe plane du plan z fixé reliant les 
deux conducteurs.

1.3.1 Montrer que, pour l'onde TEM analysée en 1.2, U(z,t) est indépendant de 
la courbe
plane choisie pour relier dans ce plan les conducteurs et montrer que U (z, t) 
s'exprime sous la
forme : U(z,t) = UOeÎ("'t_kz).

Peut--on définir, pour cette onde, un potentiel scalaire V(p, z, t) tel que E 
en soit partout, au
signe près, le gradient ? Expliciter les raisons de votre réponse.

1.3.2 Déterminer le rapport Z; = U (2, t) / I (2, t). Quelle est la propriété 
remarquable de cette
impédance appelée « impédance caractéristique » ?

A
1.3.3 Montrer que ZC : \/;.

1.3.4 On considère maintenant une onde TEM du même type mais se propageant en 
sens
inverse. Quelles sont alors les dépendances spatiotemporelles de U (z, t) et I 
(z, t) pour cette onde '?
En déduire l'expression de U / I en fonction de Zc. '

1.3.5 Calculer numériquement Zc et la vitesse de propagation v a partir des 
données.

1.4. Réflexion en bout de câble

Un signal de tension UinC(z,t) : Aexp j (cut -- kz) se propage dans le sens des 
z croissants.
Il atteint l'extrémité du câble en z = 0. À cette extrémité les deux 
conducteurs cylindriques sont

reliés par une impédance Z (ou)

1.4.1 Quelle condition doivent vérifier tension et courant en z = 0? En déduire 
l'existence
d'un signal réfléchi Uref(Z, t) : B exp j(wt + kz) et expliciter la relation 
entre A, B, Z et Zc.

1.4.2 Exprimer le coefficient de réflexion en tension ?" : B /A en fonction de 
Z et Zc. Quelle
est sa valeur pour Z = 00 (circuit ouvert) ? même question pour Z = 0 
(court--circuit) ?

Les résultats obtenus en 1.3 se généralisent a toute onde TEM progressive 
correspondant au
signal U (t =F 2/11) et d'intensité I (t :|: 2/0) associée.

1.4.3 Quelle caractéristique de la propagation dans ce câble justifie cette 
généralisation?
Préciser l'hypothèse de travail essentielle à cette propriété.

1.4.4 Le signal incident est un signal rectangulaire de durée 7' courte par 
rapport au temps
de propagation dans le câble. Donner sans calcul l'allure du signal réfléchi 
dans le cas d'une
extrémité ouverte, puis dans le cas d'une extrémité en court-circuit.

1.4.5 L'extrémité du câble est maintenant fermée sur une résistance R. Pour 
quelle valeur de
R n'y a--t-il aucun signal réfléchi ? '

1.4.6 Expliquer avec la valeur numérique obtenue à la question 1.3.5 l'intérêt 
d'avoir un
générateur de signaux dont l'impédance de sortie est de 50 Q.

11. Propagation sur une ligne électrique

On considère une << ligne électrique >> composée d'une suite de « cellules » 
identiques.
Le schéma de la ligne est donné dans la figure 2. Dans la cellule n, on note Vn 
la tension
aux bornes de la capacité C, Qn la charge de celle--ci et In le courant 
traversant l'inductance L.

L'étude est menée dans le cadre de l'électrocinétique.

11.1. Equation d'évolution

11.1.1 Exprimer la dérivée par rapport au temps de Qn uniquement en fonction 
des courants
et celle de In en fonction des tensions.

d2
II.1.2 En déduire que dtîn 2

exprimera en fonction de L et C' .

Figure 2 - Ligne de cellules LC en série

II.2. Aspect énergétique

d 1 1
Calculer Elt-- (5CVn2 + 5Llä) et l'exprimer en fonction de Vn_1, V... In et 
In+1. Interpréter

la relation obtenue en précisant le rôle de chaque terme.

11.3. Propagation

On cherche une solution sinusoïdale Vn(t) de l'équation obtenue en 11.12 (en 
nota--
tion complexe _l_/fi(t) = Anejwt) telle que l'effet de chaque cellule soit un 
déphasage & fixé
Vn+1 = _lfae_ja (retard si 01 > O).

II.3.1 Exprimer An en fonction de A0, n et oz.

II.3.2 Trouver la relation de « dispersion » entre a et w.

II.3.3 Montrer que ces solutions n'existent que si ca est inférieur à une 
certaine fréquence wc
que l'on exprimera. Quel est alors le domaine utile de variation de oz ?

II.3.4 Si cette condition est vérifiée, pourquoi peut--on parler de propagation 
de la phase?
Préciser la « vitesse » de propagation 'vç, correspondante, la vitesse étant 
définie ici comme le
nombre de cellules parcourues par unité de temps ?

II.3.5 On suppose maintenant au << cm. En explicitant oz en fonction de w, exprimer ch. Que constate--t--on ? En déduire que l'effet d'une cellule sur un signal électrique, composé de fré-- quences suffisamment basses, se traduit par un retard temporel 7' que l'on exprimera en fonction de tag, justifiant ainsi le nom de << ligne à retard >> donné à ce système.

II.3.6 Application numérique. C' =10nF, L =25 ,uH. Calculer wo et T. Combien de 
cellules
faut--il mettre en série pour obtenir un retard total de 0,1 ms? Quelle serait 
la longueur d'un
câble coaxial comme celui étudié en I qui produirait le même retard ?

11.4. Effets dispersifs

On se place dans le cas où au < wc et a > O.

II.4.1 Rappeler la définition et l'interprétation de la vitesse de groupe 719. 
En donner l'ex--

pression en fonction de cm et a ; donner l'allure de son graphe en fonction de 
04. Que constate--t--on
pour a : 7r ?

II.4.2 En notation complexe, l'intensité I,, est de la forme £n(t) = Bnej'"t. 
Exprimer

B..., en fonction de A... L, wo et &. Calculer la moyenne temporelle de 
l'énergie de la cellule (n) :

1 1
E : <ëCVn2 + --Llä> ainsi que celle de la puissance P reçue de la cellule (n -- 
1). En déduire le

2
rapport P/ E. Que retrouve--t--on ?

II.4.3 Expliquer qualitativement comment va évoluer un signal non 
monochromatique se
propageant le long de cette ligne. Comment appelle--t--on ce phénomène '?

II.5. Impédance caractéristique

II.5.1 Pour un signal sinusoïdal avec a: > O, expliciter le rapport Zc : fi/ 
In+1 de la tension
et du courant de sortie de la cellule (n), appelé << impédance caractéristique >>.

II.5.2 Montrer que la partie réactive XC de cette impédance est celle d'une 
inductance L'
que l'on précisera.

II.5.3 En exprimer la partie résistive RC en fonction de L, C' et 04, puis de 
L, C et au.
En étudier la valeur pour u) << wo et pour au --> wc. Commenter ces résultats.

II.5.4 Pour une ligne de longueur finie, et pour des signaux correspondant à ca 
<< wo, sur quelle impédance faut--il fermer la ligne pour ne pas avoir de signal réfléchi? En utilisant les valeurs numériques de 11.3.6, calculer L' et la valeur de RC correspondante. III. Le soliton de Toda Dans cette partie, on cherche à compenser les effets dispersifs vus précédemment. Pour cela, on remplace le condensateur présent dans chaque cellule de la partie II, par un dipôle non linéaire, représenté figure 3.a et comportant une diode D. Cette diode est polarisée en inverse par la tension continue Vg. Pour la propagation dans la ligne, la diode D se comporte alors comme un condensateur de capacité variable Cp(V) dépendant de la tension V a ses bornes, et donc de la polarisation Vb choisie et du signal Vn (t) propagé. III.1. Modélisation de la capacité variable III.1.1. Expliquer qualitativement comment on peut choisir les valeurs de la résistance de polarisation R0 et de la capacité linéaire Go pour que l'ensemble soit équivalent en régime variable à une capacité variable CD(VO--l--Vn) soumise àla tension VO+Vn. On supposera cette modélisation valable par la suite (figure 3.b). III.1.2. On place, en parallèle avec l'élément non linéaire CD de la figure 3.b, une capacité linéaire CL. Il est possible de choisir judicieusement la valeur de CL pour que l'on ait approxi-- 1 mativement ---------------- s a + bV sur le domaine V E [1V, 3V]. CL + CD(V) En déduire que la charge Q(V) portée par la capacité variable soumise à la tension V0 + V,, Vn est de la forme : Q(Vg + V n)-- -- Cste + Qoln (l +-- F --) où QD et F0 sont des constantes que l'on 0 exprimera en fonction de a, b et V6. V=VO+Vn CD(V) <--->
& b

Figure 3 - Dipôle non linéaire remplaçant la capacité C

III.2. Propagation de solitons sur la ligne

III.2.1 Reprendre l'étude faite au 11.1. et montrer que, désormais :

(122 V,,
Fo
III 2 2 Montrer ue V (t) -- FOQ2 est Solution de l'é uation récédente avec
' ' q "' _ ch2[Qcmî -- Pn] q p

Lroä : F0 et Q : sh(P) où P est un paramètre sans dimension. On pourra exprimer 
le
second membre de l'équation de 111.21 en utilisant la relation suivante, 
valable pour tout n :

2 2 2

Q CO d

m-- 'Ælfl[Ch(QCÛÉ _ [EUR)] .

III.2.3 rIïracer l'allure de cette solution a t fixé en fonction de n. Exprimer 
sa vitesse de
propagation ?) (nombre de cellules par unité de temps) a l'aide de CO et P. 
Quelle est son amplitude
maximale Vmax ? Son étalement (ordre de grandeur de sa largeur)? Montrer qu'une 
telle onde
n'existe que si 11 est supérieur a une valeur critique que l'on précisera.

III.2.4 Application numérique. On prend L = 220 ,uH, @@ = 3, 5 nC et F0 : 4, 5 
V. Calculer
Co. Expérimentalement on a observé sur une telle ligne 1) = 2, 5 cellules 
[LS--1. Évaluer l'amplitude
de V,, et estimer la durée de passage du soliton dans la cellule n.

III.2.5 En supposant que chaque soliton représente un bit d'information, quel 
débit obtient--
on avec cette ligne ?