X Physique 1 PC 2007

ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Analyse d'un mouvement << collé-glissé >> (stick-slip)

et l'une de ses conséquences, le chant des verres

Le frottement solide joue un rôle considérable dans de nombreuses situations, 
statiques ou dyna--
miques. Nous allons analyser ici quelques aspects du mouvement d'un solide qui 
peut soit glisser
(<< slip >>) soit adhérer (<< stick >>) sur son support. Ce phénomène a pour 
origine le fait que les
coefficients de frottement statique et cinétique différent. Il est ainsi 
responsable du grincement
des portes, du crissement des craies sur le tableau noir, ou dans un registre 
plus harmonieux, de
la mise en vibration d'une corde de violon. Un tel type de mouvement est étudié 
dans les parties
1 et 2, et dans la partie 3 nous nous intéresserons a un phénomène de vibration 
qui trouve aussi
son origine dans le mouvement << collé--glissé >> : le chant des verres.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.

Dans tout le problème on désigne par a. la norme de tout vecteur d', et par d: 
la dérivée de
a:(t) par rapport au temps.

Définitions et rappels :

. Lois du frottement solide / solide (lois de Coulomb) : f et ]\_f étant 
respectivement les com--
posantes tangentielle et normale de l'action de contact exercée par un solide 
sur un autre,
,LL5 et ac les coefficients de frottement << statique >> et << cinétique >> 
avec ,LL5 > ,Lbc,

-- si la vitesse de glissement est nulle, alors H fll < ,LL5HN' H -- si la vitesse de glissement est non nulle, alors f est de sens opposé a cette vitesse et de module llfll = ucllNll . Relation entre la déformation (allongement ou contraction relatif) 5l/l d'une tige solide et la contrainte normale (force de traction ou de compression longitudinale par unité de surface de section) F/ S : ÿ_1E _ S l Y , Y désignant le module d'Young . Données numériques : Module d'Young du verre : Y = 70 GPa Masse volumique du verre : pv : 3 >< 103 kg - m--3 I. Principe du mouvement « collé--glissé » Une poutre rigide et homogène, de longueur L, de masse m et de section carrée s, est posée en équilibre a l'horizontale sur deux supports (numérotés 1 et 2) séparés de la distance DO (Figure 1). Les coefficients de frottement solide statique et cinétique entre cette poutre et chacun des supports sont respectivement ,uS et ,uç, avec pas > ,uc. Le centre de 
gravité G de la poutre
se trouve initialement a la distance horizontale ao du support 1, avec ao < DO / 2. < L >
$
4---- a0 -->+ G
: Do > X
Figure ]

L1. La poutre est immobile. Calculer les forces de réaction verticales des 
supports sur la
poutre, RN1 et RN2, en fonction des données du problème.

I.2. Les supports 1 et 2 sont maintenant animés l'un vers l'autre de vitesses 
horizontales
et constantes, respectivement @@ / 2 et --vO / 2 selon Ox. La poutre ne peut se 
déplacer qu'en
translation horizontale selon cette même direction. La distance entre les deux 
supports s'écrit
donc : D(É) = DO -- Dot.

Que deviennent les forces RN1(t) et RN2(t) en fonction de a(t), distance 
horizontale entre le
centre de gravité G de la poutre et le support 1 a l'instant t ?

I.3. On suppose que la poutre glisse d'abord par rapport a un seul des deux 
supports. Préciser
lequel, déterminer les forces horizontales de frottement, d'intensités F1(t) et 
F2(É), qui agissent
sur la poutre lors de cette phase du mouvement.

1.4. Montrer que ce mouvement ne peut se perpétuer, et qu'il existe un instant 
151 où la poutre
se met a glisser sur l'autre support. Déterminer la distance D1 : D(t1) en 
fonction de CLO, ,uS et

Mc.

I.5. Justifier qu'il existe alors une phase du mouvement où nécessairement il y 
a glissement
sur les deux supports. Exprimer alors la somme des forces de frottement en 
fonction de a(t), D(t)
et des constantes du problème. Dans quel sens agit-elle? Donner le critère qui 
détermine la fin
de cette seconde phase en précisant le support sur lequel le glissement cesse. 
Soit t'1 l'instant
correspondant.

1.6. Décrire la phase suivante du mouvement. Elle se termine a l'instant 152. 
Montrer que
NC
D<æ> = (1 + --) [D -- a(tâ)l--
HS
1.7. On admettra que) pour une faible vitesse de rapprochement des supports et 
une distance
@@ suffisamment grande7 les modifications de D(t) et de a(t) durant la phase 
transitoire (cf. 1--5)

restent faibles en valeur relative. En les négligeant, montrer que D(t2) : 
"'--CD(t1). En déduire
Ms

un moyen simple d'évaluer le rapport ,uC/u5.
II. Analyse d'un mouvement d'osci11ation. Masse sur un tapis roulant

Dans cette partie) on considère le mouvement d'une masse m posée sur un tapis 
roulant se
déplaçant a une vitesse horizontale 170 : voë'oe , @@ > 0, par rapport au 
référentiel du laboratoire.
La masse est soumise a une force de rappel colinéaire au mouvement du tapis 
roulant et exercée
par un ressort de raideur [EUR. Les coefficients de frottement statique et 
cinétique entre la masse et
le tapis sont notés respectivement ,uS et ,uC. On repérera la position de la 
masse par son abscisse
a: dans le référentiel du laboratoire, l'origine correspondant a l'absence de 
déformation du ressort.

"v

F igure 2

11.1. Montrer qu'il existe une position d'équilibre dont on déterminera 
l'abscisse a:eq en fonc--
tion de ,uC,g et w2 : k/m.

II.2. On pose X = a: -- a:eq. Expliciter l'équation du mouvement de la masse; 
on distinguera
les situations X < vo et X > vo.

Montrer qu'une phase de mouvement avec collage7 pour laquelle X : @... peut 
s'établir si X
appartient a l'intervalle [X1, X2] dont on déterminera les bornes. À quelle 
condition peut--elle se
maintenir ?

11.3. La masse est posée sur le tapis sans vitesse initiale a l'abscisse XO, 
avec XO > 0.
Déterminer X (t) pour le début du mouvement. Montrer que ce type de mouvement 
se maintient
si X0 est inférieur a une valeur Xm que l'on déterminera.

II.4. On utilise Xm comme longueur caractéristique On pose qeq : greg/X..., q1 
: X1/Xm
et (12 : Xg/X.... Exprimer (11 et (12 en fonction de qeq et du rapport y : 
pts/Nc.

d .
II.5. On pose q(9) : X/Xm avec 9 : cat. Exprimer q'£d--g en fonction de X et 
oO. Transcrire

pour q(9) les équations différentielles du mouvement obtenues en II.2. Dans le 
plan (q; q' ) tracer
le portrait de phase correspondant au mouvement de conditions initiales (0,5 ; 
0). Quel est alors
le mouvement ?

II.6. On donne qeq : 0,5 et y = 2. Préciser dans le plan (q; q' ) les points 
représentatifs des
états avec collage.

II.7 . En procédant par étapes, tracer le portrait de phase correspondant aux 
conditions
initiales (2 , 0). Préciser ce qui se passe lorsque le point représentatif de 
l'état du système franchit
la ligne q' = 1 pour la première fois, puis la seconde fois.

Montrer que le mouvement devient périodique et préciser le cycle correspondant 
dans le plan
de phase (q; q' ) Ce cycle dépend--il des conditions initiales ?

II.8. Dans le cas général, calculer la période To de ce cycle avec collage en 
fonction de w
et (12.

L'étude précédente peut servir de modèle au fonctionnement d'un patin de frein 
s'appuyant
sur une roue en rotation, système pour lequel on désire savoir si l'alternance 
éventuelle de collage
et de glissement nuit a son efficacité.

II.9. Calculer le travail W des forces de frottement pendant un cycle du 
mouvement en
distinguant les deux types de cycle (avec ou sans phase de collage). En 
déduire, pour chacun
d'eux, la puissance moyenne correspondante et comparer les résultats. Quelle 
conclusion en tirez--
vous ? Pourquoi cherche--t--on a éviter le collage ?

III. Le chant des verres

En frottant légèrement le bord d'un verre a pied a l'aide d'un doigt humide, un 
son audible
est parfois émis. Même si cela reste imperceptible pour l'opérateur, le 
mouvement du doigt par
rapport au verre est de type << collé--glissé >>. L'alternance de mouvements << collés >> et << glissés >>
provoque la mise en vibration du verre a sa fréquence de résonance. Le 
mouvement pour le mode
fondamental, le seul auquel nous nous intéresserons, consiste en une 
déformation du bord de la
paroi du verre, de forme circulaire au repos, en une forme d'allure elliptique 
dont les axes de
symétrie restent fixes (axes 0913 et Oy de la figure 3).

F igure 3

Les déformations géométriques d'un verre étant en réalité fort complexes, il ne 
sera effectué
ici qu'une première approche en étudiant les oscillations libres d'un système 
plus simple, un tube
cylindrique.

La modélisation est donc celle d'un cylindre de révolution d'axe zz' , de rayon 
R et de
hauteur H. L'épaisseur de la paroi est a avec 0. << R. La déformation est supposée plane, orthogonale a l'axe, et indépendante de z (déformation cylindrique) , sa composante radiale, en coordonnées cylindriques (T, 9, z) est supposée de la forme : 5r(9,t) : 50 cos 29 cos wt avec 50 << R . III.1. Analyse énergétique de la vibration III.1.1 Justifier que l'expression de 5r(9,t) permet de décrire correctement l'allure géomé-- trique de la déformation représentée en figure 3. III.1.2 Soit 5(t) le déplacement d'un point du bord du verre situé a un ventre de vibration (sur l'axe 0:13 par exemple), ce déplacement est radial. Si l'on suppose que les déformations restent dans le domaine élastique, justifier que l'énergie mécanique E d'un tel système peut dé 2 s'écrire @ priori sous la forme E = A (--) + B52 où A et B sont deux constantes que l'on ne dt cherchera pas pour l'instant a expliciter. III.1.3 Que vaut alors la fréquence propre au du mode en fonction de A et B si l'on suppose qu'il n'y a pas d'amortissement ? III.2. Énergie cinétique du tube cylindrique III.2.1 Écrire la masse dm d'un élément de la paroi du tube situé entre 9 et 9 + d9. On désignera par pu la masse volumique du verre. III.2.2 Donner l'expression de la vitesse radiale instantanée du point de coordonnées au repos (R, 9). III.2.3 La déformation étudiée s'effectue sans modification du périmètre de la section du tube (bord du verre). De ce fait, un point situé en dehors des axes 0:17 et Oy subira également un léger déplacement tangentiel, soit 3(9, t) pour un point de coordonnées au repos (R, 9), avec ls(9,t)l << R. On admettra sans démonstration que, compte tenu des hypothèses, la condition ds 9,15 de conservation du périmètre peut s'écrire ( ) + 5r(9, t) = 0. d9 Donner l'expression de ce déplacement tangentiel et la vitesse correspondante. III.2.4 Calculer alors l'énergie cinétique totale EC du tube a l'instant t. III.3. Analyse énergétique de la vibration. Énergie potentielle élastique III.3.1 Considérons une petite portion de la paroi du tube de hauteur ôz (52 << R) et de longueur lg au centre de la paroi, formant un segment d'anneau (figure 4). l'.../'" F igurc 4 Donner la longueur d'un << filament >> d'épaisseur du situé a la distance u de 
la ligne centrale
de cet élément en fonction du rayon de courbure au repos R de cette ligne.

Lors de la déformation, ce rayon de courbure passe de R a R' . Montrer que le 
changement
1 1

de longueur du filament est donné par (% : lg u (Ë -- Ê> .
III.3.2 En supposant la déformation homogène, exprimer la force de tension (ou 
de compres--
sion) 5F le long de ce filament (du, 5.2) en fonction du module d'Young Y du 
matériau.

III.3.3 Compte tenu de l'hypothèse ôg << R, calculer l'énergie potentielle élastique associée a ce filament, puis celle associée au segment d'anneau de longueur lg et d'épaisseur &. III.3.4 La déformation de l'anneau dépend en fait de 9. On admettra que la courbure (inverse du rayon de courbure) d'une portion élémentaire de l'anneau (située entre 9 et 9 + d9, donc pour 1 1 57" 57" lequel lg : Rd9) qui a subi un déplacement radial 5r(9, 15) (<< R) est donné par ? : Ë_% 257" où 57""£--2. En utilisant le résultat de la question précédente, exprimer l'énergie potentielle élastique de l'anneau de hauteur 5.2. 111.4. Fréquence de vibration du tube Pour passer de l'anneau de hauteur ôz au tube complet, il faut tenir compte des contraintes latérales internes qui font que le tube ne se décompose pas en éléments << anneaux >> indépendants.
Mais dans cette géométrie de déformation particulière, on montre que l'on peut 
procéder comme
s'ils l'étaient, a condition de multiplier le résultat par le facteur (1 -- 
02)_1 où a est un coefficient
caractéristique du matériau.

Ondonne:R=3cm,H=5cm,a=1,4mm,0=0,2.

Calculer la fréquence du mode de vibration étudié.