X Physique 1 PC 2009

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2009

FILIÈRE

PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Stabilité de la matière, stellaire et interstellaire
Les nuages de gaz interstellaire que l'on trouve dans l'univers peuvent 
s'effondrer sous l'effet
de leur propre champ gravitationnel et donner lieu à des structures denses, 
dont la stabilité
même n'est pas nécessairement assurée. L'objet de ce problème est d'analyser 
certaines situations
conduisant à ce phénomène.
On admettra qu'une distribution de masse caractérisée par une masse volumique 
(~r) donne
--
lieu à un champ gravitationnel ~g(~r) dérivant d'un potentiel (~r) avec ~g (~r) 
= -grad  et tel que
div ~g = -4G.
Données numériques
G = 6, 7 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2

Constante gravitationnelle :

NA = 6, 02 × 1023 mol-1

Nombre d'Avogadro :

c = 3, 0 × 108 m · s-1

Vitesse de la lumière dans le vide :

I. Première approche
I.1 Si l'on cherche à déterminer le champ gravitationnel ~g (~r) résultant 
d'une distribution de
masse volumique (~r), on peut s'appuyer sur une analogie électrostatique. 
Préciser, dans le cadre
de cette analogie, les quantités qui jouent les rôles de ~g(~r), de (~r) et de 
G.
I.2 Soit une boule de rayon R centrée à l'origine des coordonnées, dont la 
distribution de masse
est à symétrie sphérique. Soient (r) la masse volumique, m(r) la masse de la 
boule de rayon r
(pour r < R) et M la masse totale. I.2.1 Déterminer, pour r  R, le champ gravitationnel ~g(~r) produit par cette boule de matière. 1 I.2.2 Déterminer de même, pour r < R, le champ gravitationnel ~g(~r) à l'aide de m(r). I.3 Soit une boule gazeuse de masse volumique  uniforme, de masse M et de rayon R0 , initialement au repos. Elle s'effondre sous l'effet de son propre champ gravitationnel. On suppose que ce mouvement garde à tout moment la symétrie sphérique ; on fait l'hypothèse qu'un élément quelconque du milieu gazeux, de masse µ, initialement à la distance r0 , a un mouvement de chute libre, c'est-à-dire qu'il n'est soumis qu'à la force de gravitation du gaz situé initialement à une distance du centre inférieure à r0 et qui se contracte. I.3.1 On rappelle la loi de Kepler reliant, dans le cas d'une trajectoire elliptique d'un corps attiré par une masse ponctuelle M0 , la période au demi-grand axe a : = 2(a3 /GM0 )1/2 . En déduire l'expression de la durée de chute g jusqu'à l'origine en fonction de G et . Cette durée dépend-elle de r0 ? I.3.2 Calculer g pour M = 2, 0 × 1030 kg et R0 = 7, 0 × 108 m (valeurs correspondant au Soleil). Même calcul pour un nuage intergalactique sphérique, de rayon 108 fois celui du Soleil et possédant dix atomes d'hydrogène par cm3 . I.3.3 Quelle force antagoniste, non prise en compte, peut freiner un tel effondrement et éventuellement l'arrêter ? I.4 On suppose que le gaz de la boule précédente possède une température moyenne T non nulle. Ce gaz est supposé parfait, monoatomique et de masse molaire MA . I.4.1 Donner l'expression de l'énergie cinétique totale Ucin du gaz en fonction de T, M, MA et de la constante des gaz parfaits RGP . I.4.2 L'énergie potentielle de gravitation Eg de la boule est donnée par : Eg = - 3 GM 2 . 5 R0 Si Eg + 2Ucin < 0, on montre qu'un effondrement s'amorce. Déterminer le rayon critique Rc tel que, à  fixé et pour R0 > Rc , ce phénomène se produit. Exprimer Rc en 
fonction de , T , et
des constantes G, MA et RGP .
I.4.3 Soit cS la vitesse des ondes acoustiques dans le gaz et S = R0 /cS une 
estimation du
temps mis par une perturbation acoustique pour aller de la surface au centre. 
Expliciter cS en
fonction de T, MA et RGP et exprimer S .
Montrer que S est supérieur à g pour R0 > RS où RS est une distance que l'on 
explicitera
en fonction de , T , et des constantes G, MA et RGP . Quelle interprétation 
dynamique vous suggère la comparaison de RS et Rc ?

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II. Stabilité d'une étoile
On s'intéresse dans cette partie aux propriétés d'une étoile dense, comme le 
Soleil, que l'on
décrira comme une boule de gaz parfait à symétrie sphérique de masse totale M . 
On reprend les
notations de la partie I : (r), m(r), ~g(~r) et on en utilisera les résultats.
II.1 On suppose la distribution à l'équilibre.
II.1.1 Exprimer, à l'aide de m(r) et (r), la force de gravitation par unité de 
volume à la
distance r du centre.
II.1.2 Dans le fluide règne une pression locale P (r) avec P (R) = 0 à la 
surface. Exprimer la
dP
.
condition d'équilibre ; en déduire
dr
II.2 On s'intéresse à l'aspect énergétique. Soit Eg l'énergie potentielle de 
gravitation de toute
la boule et dEg la contribution à cette énergie de la couche sphérique de masse 
dm(r) située
entre r et r + dr.
II.2.1 Exprimer dEg à l'aide de m(r) et de dm(r) .
II.2.2 Montrer que dEg s'écrit dEg =
II.2.3 Montrer que Eg = -3
comprise entre r et r + dr.

Z R

dP
4r 3 dr.
dr

P dV où dV = 4r 2 dr est le volume de la couche sphérique

0

II.3 Rappeler l'expression de l'énergie interne molaire Umol d'un gaz parfait 
en fonction de la
capacité thermique molaire CV et de la température thermodynamique T . Soit  = 
CP /CV .
Exprimer Umol en fonction de , de T et de la constante des gaz parfaits RGP .
II.4 Déduire de cette expression et de la précédente une relation entre Eg et 
l'énergie interne
totale U du gaz. On supposera que  est uniforme.
II.5 Exprimer l'énergie totale E de la boule en fonction de U . Déterminer à 
quelle condition
portant sur  l'étoile est stable.
II.6 Que devient la relation entre Eg et U obtenue en II.4 pour  = 5/3. À quel 
type de gaz
correspond cette valeur ? À quelle forme d'énergie correspond alors U ?
II.7 Si la température T croît, écartant un peu le système de l'équilibre, les 
réactions nucléaires
s'accroissent et fournissent plus d'énergie. En utilisant II.5, comment 
interprétez-vous le retour
à l'équilibre, donc la stabilité, du Soleil ?

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III. Évolution d'une perturbation
On suppose que l'univers est constitué de matière que l'on traitera comme un 
fluide non
visqueux, caractérisé par un champ de masse volumique (~r, t) , un champ de 
vitesse ~v (~r, t) et
un champ de pression P (~r, t). On appellera ~g(~r, t) le champ gravitationnel 
local.
On suppose qu'en plus de la pression et de la gravitation, il existe une autre 
force extérieure
de densité volumique f~V (~r, t) = (~r, t)~(~r, t) caractérisée ici par le 
champ vectoriel ~(~r, t).
III.1 Écrire l'équation locale traduisant la conservation de la masse.
III.2 Écrire l'équation d'Euler traduisant localement le principe fondamental 
de la
dynamique.
III.3 Écrire l'équation locale reliant ~g et .
III.4 On suppose que le milieu est suffisamment dilué pour négliger la pression 
:
P0 = P (~r, t)  0. On considère à un instant t0 une région de masse volumique 
uniforme
0 et au repos : ~v (~r, t0 ) = ~0 ; on note ~g0 (~r) le champ gravitationnel 
dans cette région, et on
suppose ~(~r, t) = -~g0 .
III.4.1 Montrer que  = 0 et ~v = ~0 est solution des équations précédentes pour 
t > t0
(solution statique).
III.4.2 À un instant donné, cette région est soumise à une perturbation ; son 
état est alors
caractérisé par le champ de vitesse ~v1 = ~v (~r, t), la masse volumique  = 0 + 
1 et le champ
~g = ~g0 + ~g1 ; on suppose toujours P = 0 et ~ = -~g0 .
Exprimer les trois équations qui relient ~v1 , 1 et ~g1 . Les linéariser par 
rapport à ces trois
variables. En déduire l'équation satisfaite par 1 .
Qu'en concluez-vous sur l'évolution de la perturbation ? Préciser le temps 
caractéristique
d'évolution.
III.5 La croissance d'une perturbation crée progressivement une surpression P1 .
III.5.1 Écrire l'équation d'Euler en tenant compte de cette pression et la 
linéariser.
III.5.2 La pression et la masse volumique du fluide sont liées par l'équation 
d'état P ().
 2 1
Montrer que 1 est solution de l'équation :
= c2S 1 + 4G0 1 où on exprimera cS en
t2
dP
fonction de
.
d
III.5.3 On cherche alors des solutions de l'équation précédente sous la forme
P1 (~r, t) = A exp i(~k · ~r - t). Exprimer la relation de dispersion (k) 
donnant  en fonction
de k.

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III.5.4 Montrer qu'il existe un nombre d'onde critique kJ tel que, pour k < kJ , les perturbations sont exponentiellement amplifiées. Exprimer la longueur caractéristique associée J = 2/kJ en fonction de G, 0 et cS . Comparer cette longueur aux rayons Rc et RS déterminés en I.4.2 et I.4.3. III.5.5 On désigne par masse de Jeans et on note MJ la masse de la boule de rayon J /2. En donner l'expression. Traduire la stabilité du fluide par une condition sur sa masse totale M et sur MJ . IV. Univers en expansion et stabilité L'Univers est en expansion uniforme. Une origine étant choisie (arbitraire, l'espace étant homogène et isotrope) et un repère R d'observation déterminé, soit ~s le vecteur position d'un point matériel de l'espace à l'instant de référence tR . À un instant t, ce point matériel se trouve en ~r(t) = a(t)~s où a(t) est un facteur d'échelle universel, avec a(tR ) = 1. Il est donc en mouvement d~r a dans R avec la vitesse ~v = = a~s = ~r. dt a Dans cette partie, on suppose ~(~r, t)  ~0. IV.1 On considère deux points matériels A et B repérés respectivement par ~rA et ~rB . Expliciter leur vitesse relative ~vA - ~vB . En déduire que tout point, par exemple B, peut être choisi comme « centre » de l'expansion. IV.2 La matière constituant l'univers est, comme en III.4, considérée comme un fluide non visqueux de masse volumique uniforme 0 (t), de pression P0 = 0 mais animé dans R d'une a vitesse locale ~v0 (~r, t) = ~r. a IV.2.1 L'équation obtenue en III.1 est satisfaite par la solution 0 (t) = a-3 (t)0 où on a posé 0 = 0 (tR ). Montrer que l'intégrale de 0 (t) sur une boule de rayon r(t) est une constante au cours du temps. Quelle propriété physique ce résultat traduit-il ? IV.2.2 Montrer que l'équation obtenue en III.2 est satisfaite par ~g0 (~r, t) = - condition que aa2 soit une constante que l'on précisera. 4G0 (t) ~r à 3 IV.2.3 Une solution a(t), correspondant à un modèle cosmologique particulier, est telle que a(t = 0) = 0. Déterminer cette solution en cherchant pour a(t) une dépendance temporelle de la forme t . IV.2.4 Exprimer H(t)  a/a en fonction de t. On pose HR = H(tR ). Exprimer tR en fonction de HR . Pourquoi appelle-t-on tR « âge de l'univers » ? Calculer l'âge que donne ce modèle avec la valeur de HR que permet d'obtenir l'expérience : HR = 71 km · s-1 · Mpc-1 . Le parsec (symbole « pc ») est une unité de longueur couramment utilisée en astronomie et adaptée aux grandes échelles de distance : 1 pc = 3, 262 année-lumière ; son multiple Mpc est le mégaparsec. 5 IV.3. On cherche à déterminer l'évolution temporelle d'une perturbation, l'état de base étant celui étudié en question IV.2 et caractérisé par {0 (t), ~v0 (~r, t), g0 (~r, t), P0 = 0} . On pose : = 0 + 1 (~r, t), ~v = ~v0 + ~v1 (~r, t), ~g = ~g0 + ~g1 (~r, t), P = P0 = 0 et on ne retiendra dans les équations que les termes linéaires en 1 , ~v1 et ~g1 . IV.3.1 En utilisant l'opérateur de dérivation à l'ordre zéro : l'équation de conservation de la masse (cf.III.1) conduit à : d ~ montrer que = + (~v0 · ), dt t a d1 + 3 1 + 0 div ~v1 = 0 . dt a On pose  = 1 (~r, t) d et  = . Montrer que  + div ~v1 = 0. 0 (t) dt IV.3.2 Montrer de même que l'équation d'Euler (cf. III.2) conduit à l'équation : d~v1 a + ~v1 = ~g1 . dt a IV.3.3 Écrire l'expression reliant ~g1 et 1 . Cette relation forme avec les deux équations obtenues aux questions précédentes un système fermé. En éliminant ~g1 et ~v1 , montrer que satisfait l'équation différentielle : a + 2  - 4G0  = 0 . a Indication. On utilisera le fait que ~r évoluant proportionnellement à a(t), on a pour tout champ de vecteur V (~r, t) : ~ d ~ = - a div V ~ + div dV . div V dt a dt IV.3.4 En utilisant l'expression de 0 (t) et celle de a(t) obtenue en IV.2.3 expliciter l'équation différentielle de . L'équation admet des solutions de la forme t ; en donner la solution générale. Qu'en concluez-vous sur l'évolution temporelle d'une perturbation ? La comparer à celle obtenue en III.5.4. 6