X Physique 1 PC 2013

ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE -- A -- (XE)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.

***

Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale

La lumière exerce une pression sur les surfaces qu'elle éclaire. La partie I 
traite en détail
du phénomène. En adjoignant une vaste voile réfléchissante a un satellite, ce 
mécanisme permet
d'utiliser la pression exercée par la lumière du Soleil pour la navigation 
spatiale. La partie II
étudie l'effet de la pression de rayonnement sur un satellite en orbite autour 
du Soleil. La partie III
traite d'un mouvement particulier d'un vaisseau spatial qui accompagne la Terre 
autour du Soleil,
rendu possible par l'usage d'une voile.

Données numériques

3>< 108m-s_1 1,5>< 108 km Vitesse de la lumière dans le vide : c Distance Terre--Soleil : D I. Pression de rayonnement Une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique se propage dans le vide puis se réfléchit sur un conducteur ohmique immobile, de surface plane, sous incidence normale. I.1 Rappeler dans le cas général les formes locales de l'équation de conservation de la charge électrique et de la loi d'Ohm. En déduire que la densité de charge électrique décroît au cours du temps en tout point a l'intérieur d'un conducteur ohmique, avec un temps caractéristique dont on donnera l'expression. I.2 Ecrire les équations de Maxwell dans le conducteur, en supposant la densité de charge nulle. I.3 Décrire qualitativement le phénomène de la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur, en détaillant les mécanismes physiques mis en jeu. 1.4 Rappeler le critère de validité du modèle limite du conducteur parfait, et caractériser le phénomène de réflexion dans cette limite. 1.5 Quel terme des équations de Maxwell est négligeable dans le modèle limite du conducteur parfait ? On se placera dorénavant dans ce cadre. 1.6 Rappeler l'expression de la force volumique de Laplace en un point du conducteur. On exprimera le résultat en fonction du champ B et de ses dérivées. 1.7 On nomme pression de rayonnement, ou pression de radiation, la pression exercée par la force de Laplace sur le conducteur. Montrer qu'elle vaut 1 --* 2 P = --, HBH #0 où Ë est le champ magnétique a la surface du conducteur. 1.8 À l'extérieur du conducteur, l'onde électromagnétique est la superposition d'une onde in-- cidente et d'une onde réfléchie. Quelle est la relation entre le champ magnétique total B a la surface du conducteur et le champ magnétique B,- de l'onde incidente au même point ? 1.9 Établir la relation entre la pression de rayonnement et la densité d'énergie u de l'onde incidente. 1.10 Établir la relation entre la pression de rayonnement et le module du vecteur de Poynting de l'onde incidente. 1.11 Application numérique : le flux d'énergie reçu du Soleil sous incidence normale au niveau de l'orbite de la Terre, ou constante solaire, vaut <1>0 : 1350 W-m_2. Exprimer 
la pression de
rayonnement PO correspondante en fonction de <1>0, et calculer sa valeur. 
Commenter l'ordre de
grandeur obtenu.

1.12 Comment la pression de rayonnement varie--t--elle avec la distance au 
Soleil ?

1.13 On se propose maintenant de retrouver le résultat de la question 1.9 par 
une approche
microscopique. On admet les résultats suivants : une onde électromagnétique 
plane, progressive
et harmonique dans le vide peut aussi être décrite par des corpuscules appelés 
photons, qui se
déplacent a la vitesse de la lumière c dans le sens de propagation de l'onde. 
La réflexion de l'onde
sur le conducteur s'interprëte alors comme le rebond des photons sur la surface 
du conducteur.

La quantité de mouvement d'un photon est 71%, où % est le vecteur d'onde et h 
une constante
universelle. L'énergie d'un photon est ñw, où ca est la pulsation de l'onde. On 
note n la densité
de photons par unité de volume dans l'onde incidente, supposée uniforme.

Rappeler la relation entre au et @. En utilisant la définition cinétique de la 
pression, retrouver
le résultat de la question 1.9.

1.14 On a supposé jusqu'à présent que la réflexion se faisait sous incidence 
normale. En utilisant
la méthode de la question 1.13, établir la relation entre la pression et la 
densité d'énergie pour
un angle d'incidence oz quelconque.

1.15 Analyse de données : le vaisseau spatial IKAROS est un prototype de voile 
solaire fabriqué
par l'agence spatiale japonaise (JAXA), qui a été lancé le 20 mai 2010 pour 
vérifier les perfor--
mances d'une propulsion basée sur une voile solaire. La force totale exercée 
par les photons sur
la voile, d'une superficie de 173 m2 et d'une épaisseur de 7, 5 am, a été 
mesurée à 1,12 >< 10_3 N. La force exercée sur la sonde spatiale, d'une masse totale de 315 kg, a permis d'augmenter la vitesse d'une dizaine de mètres par seconde au bout d'un mois (source : Wikipedia). Montrer que ces résultats expérimentaux sont compatibles entre eux d'une part, et avec les résultats théoriques obtenus plus haut, d'autre part. II. Satellite en orbite héliocentrique II.1 Soit un satellite en orbite circulaire autour du Soleil, à une distance 7" de celui--ci. Exprimer sa vitesse en fonction de r, de la masse du Soleil M@ et de la constante gravitationnelle G. Dans la suite de cette partie, on étudie l'effet de la pression de rayonnement sur un satellite de masse m possédant une voile solaire de surface S , éclairée tout d'abord sous incidence normale. On supposera que les résultats de la partie I restent valables si la voile est en mouvement. II.2 On note D la distance Terre--Soleil et P0 la pression de rayonnement au niveau de l'orbite de la Terre, déterminée à la question 1.11. Exprimer la force exercée sur cette voile par la pression de rayonnement en fonction de S , Pg, D et 7". 11.3 Déterminer pour quelle valeur oc de la masse surfacique o = m / S l'attraction solaire com-- pense exactement la pression de rayonnement sous incidence normale. Exprimer oc en fonction de P0, D et de la vitesse @@ de la Terre autour du Soleil. II.4 Application numérique : on donne @@ = 30 km/ s. Calculer numériquement oc. Pour quelle épaisseur d'une voile faite dans un matériau ordinaire cette valeur est--elle atteinte ? II.5 Montrer que la résultante de la force gravitationnelle et de la force de rayonnement dérive d'une énergie potentielle dont on donnera l'expression en fonction de G, m, M@, o, Je et 7". Quelles sont les trajectoires possibles dans les cas 0 > ac, 0 = Je et 0 < oc ? 11.6 Le satellite est initialement sous l'effet de l'attraction gravitationnelle seule et en orbite circulaire de rayon 7" autour du Soleil. Il déploie sa voile de surface S a un instant %. Déterminer son énergie mécanique pour t > 150 en fonction de G, m, M@, o, Je et 7". En 
déduire la nature
de la nouvelle trajectoire en fonction du rapport (7/00. Représenter sur un 
même schéma l'orbite
initiale et la nouvelle trajectoire correspondant aux différents cas.

II.7 On suppose maintenant que la voile reçoit le flux solaire sous l'angle 
d'incidence oz, et on
note ii le vecteur unitaire normal à la voile, dirigé dans le sens de la force 
de pression. En utilisant
le résultat de la question 1.14, exprimer la force F R exercée par le 
rayonnement sur la voile sous

laforme
FR=ÔFGñ7

où FG est le module de la force de gravitation exercée par le Soleil sur le 
satellite, et 5 est un
coefficient positif dont on déterminera l'expression en fonction de o, Je et oz.

11.8 Le satellite est initialement sur une orbite circulaire, sa voile étant 
déployée sous incidence
normale (oz : 0). Une manoeuvre du satellite permet de changer la valeur de 04 
en orientant la
voile. On suppose que 04 est constant, et que la normale ñ reste dans le plan 
de l'orbite initiale.
La trajectoire reste donc également dans ce plan.

On suppose dans toute la suite de cette partie que la perturbation apportée par 
la pression
du rayonnement est faible, de telle sorte que la vitesse radiale U,. est très 
petite devant la vitesse
orthoradiale U9, celle--ci étant donnée a tout instant par la relation obtenue 
a la question II.1.
Écrire le théorème du moment cinétique. En déduire l'équation d'évolution de 
7". Montrer que
w/oe est une constante qu'on exprimera en fonction de 04 et 5.

11.9 Dessiner l'allure de la trajectoire.

II.1O On cherche a faire passer le satellite sur une orbite plus élevée au 
moyen de la voile solaire.
Pour quelle orientation de la voile le changement d'orbite est--il le plus 
rapide ? On se contentera
d'une expression littérale de oz, sans chercher a évaluer sa valeur numérique.

III. Statite

Le terme "statite" est un mot--valise formé a partir de "statique" et 
"satellite", et désigne un
vaisseau spatial gardant une distance constante avec la Terre et le Soleil. On 
suppose dans toute
cette partie que la Terre est en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil 
a la vitesse
angulaire w. On se place dans le référentiel tournant a la vitesse angulaire ou 
autour du Soleil,
dans lequel la Terre et le Soleil sont tous deux immobiles, et on choisit dans 
ce référentiel un
repère orthon0rmé (O, ë'oe, @, 52), où 0 est le centre du Soleil, EUR}, est 
dirigé du Soleil vers la Terre,
et 52 est perpendiculaire au plan de révolution de la Terre. La masse de la 
Terre étant très petite
devant celle du Soleil, on considérera que le centre de gravité du système 
Terre--Soleil est en 0.

On considère dans toute cette partie un satellite de masse m placé au voisinage 
de la Terre
en un point A de coordonnées (a:, y, 75). On pose a: = D + a:' , où D est la 
distance Terre--Soleil, et
on suppose :c' , y et ?: très petits devant D.

III.1 Écrire la résultante de la force centrifuge et de la force de gravitation 
solaire qui s'exercent

sur le satellite. Exprimer ca en fonction de G, M@ et D, et développer la 
résultante a l'ordre 1
en a:'/D, y/D, et z/D.

III.2 Le satellite est soumis a l'action combinée de la force centrifuge et des 
forces de gravitation
terrestre et solaire. On note M$ la masse de la Terre. Montrer qu'il existe 
deux positions d'équi--
libre sur l'axe Oa:, situées de part et d'autre de la Terre a une distance d 
qu'on exprimera en
fonction de D, M@ et Mæ. On note L1 et L2 les points correspondants a ces 
positions d'équilibre,
dits points de Lagrange. Par convention, L2 est le plus éloigné du Soleil. 
L'approximation faite
a la question III.1 est--elle valable aux points L1 et L2 ?

III.3 Application numérique : on donne Mæ/M@ : 3 >< 10--6. Calculer d. III.4 On adjoint une voile solaire au satellite. Dans cette question, on suppose pour simplifier que les rayons du Soleil sont parallèles a EUR}; et on ne prend pas en compte l'ombre de la Terre. On cherche a ajuster la surface et l'orientation de la voile solaire de telle sorte que le satellite soit en équilibre. Déterminer les régions de l'espace où l'équilibre est en principe possible7 moyennant un tel ajustement. Les représenter schématiquement sur un plan contenant l'axe Occ. On indiquera clairement sur le schéma la direction du rayonnement solaire et les positions de la Terre et des points L1 et L2. III.5 Déterminer la valeur maximale de a:' pour laquelle un satellite situé sur l'axe 056 est complètement dans l'ombre de la Terre. On exprimera cette valeur maximale, notée 5, en fonction de D, du rayon terrestre R$ et du rayon du Soleil R@. III.6 Application numérique : on donne RGB/RG} : 9 >< 10--3. Calculer 5. 111.7 Comment le phénomène d'ombre modifie--t--il le schéma obtenu a la question III.4 ?