X/ENS Physique A PC 2015

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2015

FILIERE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
On se contentera, pour les applications numeriques, d'un ou deux chiffres 
significatifs.

Objectif Lune
Ce probleme traite de la telemetrie laser appliquee a la mesure precise de la 
distance separant
la Terre de la Lune. Il se compose d'un texte de 3 pages, de deux figures 
montrant des donnees
experimentales et de 30 questions d'analyse et de comprehension auxquelles le 
candidat doit
repondre. Ces questions sont regroupees en six courtes parties independantes.
Commencez par lire attentivement le texte intitule "La telemetrie laser-Lune". 
Cela
devrait vous prendre entre 20 et 30 minutes.
Puis repondez aux questions de la partie intitulee "Analyse de l'article". 
Elles ne sont
pas forcement ordonnees par difficulte croissante et certaines d'entre elles 
ont une formulation
ouverte. Dans ce cas, toutes vos initiatives de resolution sont bienvenues a 
condition de justifier
et de detailler systematiquement votre demarche. Si necessaire, vous citerez 
precisement la
partie du texte qui appuie votre raisonnement (les lignes sont numerotees de 1 
a 236 a cet effet).
Les hypotheses des modelisations doivent etre clairement precisees et toutes 
les approximations
doivent etre explicitees et justifiees. Les calculs devront etre menes sous 
forme litterale, avec
pour objectif final d'obtenir une valeur numerique.

1

Donnees utiles pour l'analyse du texte
Acceleration de la pesanteur
Contante des gaz parfaits
Masse molaire de l'air
Distance Terre-Soleil

g = 9, 8 m · s-2
R = 8, 3 J · K-1
M = 29 g · mol-1
D = 150 × 106 km

Rayon de la Terre
Masse de la Terre
Rayon de la Lune
Masse de la Lune

R = 6 400 km
M = 6, 0 × 1024 kg
RL = R /4
ML = M /81

Un photon dont la longueur d'onde est de 1 µm a une energie de 2, 0 × 10-19 J.
Une annee dure 3, 1 × 107 secondes.
Un angle d'une seconde d'arc correspond a 4, 8 × 10-6 radian.
Le moment d'inertie d'une boule homogene de masse M et de rayon R par rapport a 
un axe
passant par son centre est donne par I = 25 M R2 .

35
36
37
38
39

cos 
0,819
0,809
0,799
0,788
0,777

40
41
42
43
44

cos 
0,766
0,755
0,743
0,731
0,719

45
46
47
48
49

cos 
0,707
0,695
0,682
0,669
0,656

50
51
52
53
54

cos 
0,643
0,629
0,616
0,602
0,588

55
56
57
58
59

cos 
0,574
0,559
0,545
0,530
0,515

60
61
62
63
64

Table 1: Extrait d'une table trigonometrique par degre, a 0,001 pres.

2

cos 
0,500
0,485
0,469
0,454
0,438

La telemetrie laser-Lune

Resume
La telemetrie laser permet de determiner avec precision de grandes distances. 
La cible la plus
eloignee jamais atteinte par cette methode est notre satellite naturel, la 
Lune. Principe simple et
mise en oeuvre delicate caracterisent cette technique, utilisee avec succes 
depuis l'observatoire de la
Cote d'Azur. Passee en 10 ans d'une trentaine de centimetres a moins de trois, 
la precision des
mesures devrait atteindre quelques millimetres d'ici 1995. Cela ameliorera 
notre connaissance de la
dynamique du systeme Terre-Lune, de la rotation de la Terre, de l'interieur de 
la Lune et permettra
de tester la theorie de la gravitation.

1

5

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30

Mesurer une distance par une duree

Le principe de la telemetrie laser-Lune est
simple. Un telescope envoie une impulsion lumineuse vers un reflecteur pose sur 
la surface lunaire. Une partie de la lumiere emise est renvoyee
et va, apres environ deux secondes et demie, etre
recue par le meme telescope. Il suffit de dater
l'instant de depart de l'impulsion et celui du retour de l'echo pour connaitre 
la duree de trajet. En multipliant cette duree par la vitesse
de la lumiere, on obtient la longueur du trajet parcouru, egale au double de la 
distance de
notre telescope a la Lune, ou plus precisement au
reflecteur vise.
Mais le passage d'une duree a une distance
n'est pas aussi simple, notamment a cause de
l'atmosphere qui ralentit la lumiere et allonge
ainsi la duree de son trajet (voir appendice A).
Retenons pour l'instant que l'on mesure une
duree que l'on peut assimiler a une distance.
Quels sont les ordres de grandeur de la conversion
duree­distance ? En une nanoseconde la lumiere
parcourt une trentaine de centimetres. Mesurer
la distance de la Lune a quelques centimetres pres
necessite donc de maitriser la mesure de durees a
quelques dixiemes de nanoseconde !
La telemetrie lunaire debute avec les vols
habites vers la Lune. Les astronautes de la mission Apollo 11 emportaient avec 
eux le premier
panneau de cataphotes auquel viendront se joindre ceux des missions Apollo 14 
et Apollo 15 (figure 1). Quelques annees plus tard, les sovietiques
deposerent deux vehicules automatiques, Lunakhod 1 et 2, dotes de cataphotes 
francais dont
 Texte

35

40

45

un seul fonctionne encore. Quatre reflecteurs sont
donc aujourd'hui disponibles sur la Lune.
A quoi ressemblent ces cataphotes ? Ce sont
des coins de cube qui ont la propriete essentielle
de renvoyer la lumiere dans la direction d'ou elle
est arrivee grace aux reflexions successives sur
trois plans reflechissants perpendiculaires deux a
deux. On est ainsi assure de recevoir des echos de
la lumiere envoyee, quelles que soient les positions
respectives du telescope, qui suit le mouvement
de la Terre en rotation sur elle-meme et autour
du Soleil, et du reflecteur qui se deplace au gre
du mouvement de la Lune sur son axe et autour
de la Terre.

Figure 1: Le reflecteur (12 × 25 cataphotes) depose
sur la Lune par la mission Apollo 15.

extrait et adapte d'un article publie dans la revue Images de la physique en 
1992.

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La telemetrie laser-Lune est une technique assez difficile a mettre en oeuvre. 
L'interet du laser
est qu'il permet d'envoyer de l'ordre de 1018 photons en peu de temps. Dans les 
meilleures conditions, on ne detecte qu'un photon en echo tous
les cent tirs ! Sachant que les lasers actuels permettent une cadence de dix 
tirs par seconde, il
faut donc attendre une dizaine de minutes pour
detecter une soixantaine de photons.
Sans precautions, ces photons sont noyes dans
ceux du ciel si l'on travaille de jour, ceux de la
Lune si le reflecteur vise est dans le croissant
eclaire, et aussi ceux du detecteur, imparfait. Il
faut donc identifier les bons photons ­ ceux des
echos ­ des mauvais ­ le bruit. Pour cela, commencons par isoler une zone de 
quelques secondes d'arc (une dizaine de kilometres sur la Lune)
autour du reflecteur vise. Ensuite, on ne considere que les photons de la bonne 
couleur. Le
laser etant stabilise en temperature, sa longueur
d'onde est bien definie. Un filtre ayant une bande
passante etroite ­ moins de 0,2 nm ­ permet de
ne detecter que les photons qui ont la bonne
longueur d'onde. Malgre ces precautions, on
detecterait plus d'un million de photons par seconde si les conditions sont 
defavorables ! Il faut
donc realiser un ultime filtrage, temporel celui-

3
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120

125

La chasse aux photons

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ci. Sachant quand l'impulsion laser a ete emise,
le calculateur qui gere l'experience en temps reel
estime le moment d'arrivee de l'echo grace a
notre bonne connaissance du mouvement de la
Lune. Et plutot que de regarder en permanence,
le detecteur electronique (un photomultiplicateur
ou une photodiode) ne va s'ouvrir qu'un peu
avant le moment predit, pour se fermer un peu
apres. Ce tres petit intervalle de detection, de
l'ordre de cent milliardiemes de seconde, elimine
la plus grande partie du bruit. Un traitement
statistique des photons recus permettra enfin de
valider la presence de l'echo.
Il est impossible de savoir si le photon de retour que l'on detecte vient du 
debut ou de la fin
de l'impulsion laser emise. C'est la l'incertitude
fondamentale de la telemetrie laser quand on ne
recoit en echo qu'au plus un photon par tir. Plus
l'impulsion emise est courte, plus cette incertitude est faible, mais moins on 
emet de photons
car il est difficile d'emettre beaucoup d'energie en
un temps tres faible. La duree de l'impulsion correspond a une incertitude tir 
a tir d'une dizaine
de centimetres sur la mesure de distance, incertitude ramenee a un ou deux 
centimetres en accumulant les echos sur une dizaine de minutes.

Pour quelles applications ?

Pour pouvoir calculer la duree du trajet
separant le telescope du panneau de reflecteurs,
il faut modeliser les differents mouvements du
systeme Terre-Lune.
Commencons par le reflecteur dont le
deplacement le plus important est celui du au
mouvement de la Lune autour de la Terre.
La telemetrie laser-Lune a permis un bond de
trois ordres de grandeur dans la precision de
determination des parametres orbitaux de la
Lune. Il en est de meme pour sa rotation,
synchronisee avec sa revolution (c'est pour cela
que la Lune nous montre toujours la meme
face). En fait, la face visible de la Lune oscille autour d'une position 
moyenne a cause de
l'influence du Soleil et de l'interaction entre la
Terre et son satellite, qui ne sont ni spheriques,
ni homogenes, ni rigides... La confrontation entre modeles et observations 
permet notamment
d'etudier l'interieur de la Lune, car la rotation
d'un corps sur lui-meme depend de sa structure
interne (faites tourner un oeuf cru et un oeuf dur
pour vous en convaincre !) et de sa repartition de

130

135

140

145

4

masse. L'etude de l'evolution passee ou future
de l'orbite lunaire necessite aussi la telemetrie
laser-Lune, seule methode capable de fournir une
mesure de la deceleration seculaire de la Lune et
un instantane precis des mouvements actuels.
Passons maintenant au mouvement de la station. Elle se trouve sur la Terre qui 
tourne sur
elle-meme en 23 heures et 56 minutes. Cette
rotation n'est pas parfaitement reguliere car la
direction de son axe et sa vitesse fluctuent. Il
faut donc modeliser precisement cette rotation a
laquelle les mesures sont tres sensibles. D'autres
techniques contribuent a l'etude de la rotation de
la Terre (interferometrie a grande base, telemetrie
laser sur satellites...), mais le laser-Lune permet
une prediction rapide, fondee sur des observations
recentes de la rotation de la Terre.
Terre et Lune etant en orbite autour du Soleil,
la telemetrie laser-Lune contribue a l'elaboration
des ephemerides du systeme solaire. Ainsi, elle
permet de mesurer l'angle entre l'ecliptique (le
plan contenant l'orbite moyenne de la Terre) et le
plan equatorial de la Terre, element cle de la navi-

150

155

gation spatiale. Elle permet aussi de determiner
le rapport des masses de la Terre et de la Lune.
La telemetrie laser-Lune permet enfin de
tester la theorie de la gravitation d'Einstein, la
relativite generale. Terre et Lune ont des masses
tres importantes et des vitesses que l'on ne peut
negliger par rapport a la vitesse de la lumiere.

160

La precision relative des mesures de distance,
quelques 10-11 , rend indispensable la prise en
compte de la relativite et permet de tester la validite de ses principes. C'est 
ainsi que le principe
d'equivalence1 se trouve verifie avec une tres
bonne precision pour des corps comme la Terre
et la Lune (voir l'appendice C).

Appendices
165

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185

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A

La duree du trajet aller-retour n'est pas
immediatement convertible en distance car entre l'emission de l'impulsion par 
le telescope
et son arrivee sur la Lune, cette derniere s'est
deplacee et le reflecteur avec elle. Entraine par
la rotation de la Terre, le telescope s'est aussi
deplace entre le depart et le retour de l'impulsion.
De plus, l'infime ralentissement de la lumiere
dans l'atmosphere se traduit par un allongement
de la duree du trajet. Equivalent a plusieurs
metres sur la distance, cet ecart est d'autant plus
grand que l'impulsion laser traverse une couche
d'atmosphere plus epaisse, donc que la Lune
est basse sur l'horizon. Il faut aussi modeliser
l'atmosphere le long du trajet de la lumiere a
partir des parametres meteorologiques mesures a
la station. L'incertitude de cette correction est
de quelques millimetres pour une hauteur de 40
au-dessus de l'horizon, mais peut atteindre deux
centimetres si la Lune n'est qu'a 15 . Enfin, selon
la relativite generale, la duree de propagation de
la lumiere dans le potentiel gravitationnel d'un
objet massif (pour nous, le Soleil essentiellement)
est plus longue que celle en l'absence de cet objet.
Dans le cas d'un trajet Terre-Lune, ce retard est
equivalent a allonger leur distance de pres d'une
dizaine de metres !

B
195

200

Vous avez dit distance ?

205

C

210

215

220

225

Quelques nombres

Le telescope a un diametre de 1,5 metre et sa focale est de 30 metres. A la 
sortie du telescope, le
faisceau a un angle d'ouverture de 1 seconde d'arc
mais l'agitation de l'atmosphere augmente cette
valeur qui devient de l'ordre de 5 secondes d'arc.
Le laser utilise envoie des impulsions de 600 mJ
a une longueur d'onde 1,06 µm ou de 300 mJ a

0,53 µm. La duree d'une impulsion est de 400 ps
et la cadence de tir est de 10 Hz. Le reflecteur
de la mission Apollo 15 est compose de 300 cataphotes ayant chacun une 
ouverture circulaire de
3,8 cm de diametre.

230

235

Laser-Lune et relativite

En dehors de l'amelioration de notre connaissance des mouvements de la Lune 
offerte par les
observations laser-Lune, la plus importante application en physique 
fondamentale a trait a la
gravitation. Verifier que la constante de la gravitation G ne variait pas etait 
l'un des buts annonces. Une diminution de G au cours du temps
se traduirait par une decroissance de la vitesse
angulaire orbitale de la Lune, une deceleration
seculaire donc. Or, les interactions de maree entre la Terre et la Lune sont 
responsables d'une
deceleration seculaire de la Lune (le laser-Lune
donne -24 secondes d'arc par siecle au carre)
qui doit etre precisement modelisee pour isoler
la contribution d'une eventuelle variation de G.
La limite actuelle est |G/G| < 2 × 10-11 /an. Une autre application de type relativiste a ete suggeree par K. Nordtvedt en 1968 : si la Terre et la Lune ne repondaient pas de la meme facon au champ de gravitation du Soleil, violant ainsi le principe d'equivalence de la relativite generale, l'orbite de la Lune autour de la Terre se trouverait allongee le long de l'axe Terre-Soleil. En 1976, deux equipes americaines ont montre qu'aucun effet Nordtvedt n'etait mesurable, conduisant a une verification du principe d'equivalence a 10-12 pres. Le laser-Lune est a l'heure actuelle le meilleur test du principe d'equivalence pour des corps dont la cohesion est assuree par leur gravitation propre. 1 Le principe d'equivalence enonce l'egalite de la masse gravitationnelle et de la masse inertielle de tous les corps. Rappelons qu'on appelle masse inertielle d'un corps celle qui intervient dans la relation fondamentale de la dynamique, c'est-adire le rapport de proportionnalite entre les forces appliquees a ce corps et son acceleration. La masse gravitationnelle d'un corps est la masse qui intervient dans l'expression de la force de gravitation qu'il subit. 5 2.644 2.643 Durée d'aller-retour (s) 2.642 2.641 2.64 2.639 2.638 2.637 0 1 2 3 4 5 6 Heure de mesure Figure 2: Observations menees dans la nuit du 25 mars 2000, donnant la duree d'aller-retour de la lumiere entre l'observatoire et la Lune en fonction de l'heure. Sur l'axe des abscisses, le temps est compte en heures et l'origine correspond a minuit. 2.7 Durée d'aller-retour (s) 2.65 Observations mars-avril 2000 2.6 2.55 2.5 2.45 2.4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Numéro du jour d'observation (en jour) Figure 3: Observations menees aux mois de mars et d'avril 2000, donnant la duree d'aller-retour de la lumiere entre l'observatoire et la Lune en fonction du temps. L'axe des abscisses est gradue avec un pas de 1 jour a partir de la graduation 1 qui correspond au 1er mars 2000. 6 Analyse de l'article 1. Estimez la distance D separant la Terre de la Lune grace aux donnees du debut du texte. I - Traversee de l'atmosphere L'atmosphere terrestre est supposee en equilibre hydrostatique dans un champ de pesanteur uniforme. Elle est assimilee a un gaz parfait de masse molaire M , sans autre hypothese particuliere. Sa pression P , sa temperature T , sa masse volumique et son indice optique n varient avec l'altitude z. On suppose que n(z) - 1 est proportionnel a (z). 2. Pour un tir vertical, quelle correction D faut-il apporter a la mesure de la distance D a cause de l'atmosphere ? Vous l'exprimerez sous forme d'une integrale sur l'epaisseur de l'atmosphere. 3. Exprimez D en fonction de n0 , indice optique au sol (z = 0), et d'une longueur H fonction de la temperature au sol T0 . Quelle est l'interpretation physique de H ? 4. Sachant que n0 - 1 = 3 × 10-4 et que T0 = 290 K, calculez H et D. Comparez cette derniere valeur a celle indiquee dans le texte (ligne 176). 5. Comment l'expression de D obtenue a la question 3 est-elle modifiee pour un tir incline de l'angle h > 0 par rapport a l'horizontale ?
II - Trajet Terre - Lune
6. D'apres le texte (lignes 186 ­ 192) la duree du trajet Terre-Lune est 
affectee par la presence
du Soleil. On suppose que la variation relative de la duree de ce trajet est 
proportionnelle au
potentiel gravitationnel du Soleil et fait aussi intervenir c, la vitesse de la 
lumiere dans le vide.
Par un raisonnement dimensionnel, exprimez la correction a apporter a la 
distance Terre-Lune
resultant de cet effet. Dans votre resultat final, faites apparaitre la vitesse 
de revolution v de
la Terre autour du Soleil.
7. Estimez numeriquement la valeur de v . Calculez la correction de distance 
due a la presence
du Soleil et comparez-la a ce qu'indique le texte (ligne 192).
III - L'echo lumineux
Le faisceau lumineux emis depuis la Terre est un cone dont l'angle d'ouverture 
est note . On
note S la surface du miroir du telescope et S  la surface du reflecteur place 
sur la Lune. On
supposera que tous les miroirs sont parfaits. Le laser vert utilise a une 
longueur d'onde .
8. Calculez le nombre N de photons emis par une impulsion laser et verifiez que 
votre valeur
est coherente avec celle indiquee dans le texte (ligne 52).
9. L'ouverture du faisceau a la sortie du telescope (ligne 196) est-elle due a 
la seule diffraction ?
10. En tenant compte de l'agitation atmospherique (ligne 198), quelle est la 
fraction d'energie
lumineuse recue par le reflecteur lunaire a chaque impulsion laser ?
11. Expliquez pourquoi les cataphotes ont la propriete de renvoyer la lumiere 
dans la direction
d'ou elle est arrivee (lignes 37 ­ 42).
12. Montrez que tous les rayons lumineux reflechis sur un meme cataphote 
parcourent exactement le meme chemin optique entre l'emission et la reception.
13. Estimez l'angle d'ouverture  du faisceau reflechi par un cataphote du a la 
diffraction.
14. Estimez le rapport entre l'energie recue par le telescope et celle 
reflechie par les cataphotes.
15. En deduire la valeur du rapport  entre l'energie recue par le telescope et 
celle qu'il a emise.

7

16. Combien de photons recupere-t-on apres chaque tir ? Quelles raisons peut-on 
invoquer pour
rendre compte de l'ecart entre cette valeur et celle du texte (lignes 54 ­ 55) ?
17. Expliquez pourquoi l'incertitude de mesure est liee a la duree de 
l'impulsion. En quoi
l'accumulation de tirs permet-elle de reduire cette incertitude (lignes 90 ­ 
102) ?
IV - Analyse de la figure 2
Pour simplifier l'analyse, on suppose que l'orbite de la Lune est contenue dans 
le plan de
l'equateur terrestre et que le reflecteur est au centre de la face visible de 
la Lune. On suppose
aussi que la Lune tourne autour de la Terre dans le meme sens que la Terre 
autour d'elle-meme.
On note  la latitude de l'observatoire ou se trouve le telescope.
18. Les observations du 25 mars 2000 ont-elles ete menees autour du premier 
quartier lunaire,
de la pleine Lune ou du dernier quartier lunaire ?
19. Quelle est la principale cause de la variation de la duree aller-retour t 
representee sur la
figure 2 ? A quel instant t0 la Lune est-elle au plus haut dans le ciel de 
l'observatoire ?
20. Modelisez la variation temporelle de t autour de t0 . Dans un cadre que 
vous detaillerez,
montrez que t s'ecrit comme un polynome du second degre en (t - t0 ).
21. Estimez la latitude de l'observatoire grace a la figure 2 et a la table 1. 
Commentez.
V - Analyse de la figure 3
Dans cette analyse, on considere que l'orbite de la Lune est une ellipse 
d'equation polaire
r = p/(1 + e cos ), ou r est la distance Terre-Lune et  l'angle reperant la 
direction de la Lune
dans le plan de son orbite. Le parametre p et l'excentricite e sont des 
constantes.
22. Quel est le cadre d'hypotheses qui permet d'obtenir cette orbite ?
23. Quelle est la cause principale des variations de la duree d'aller-retour 
representee figure 3 ?
24. Grace a la figure 3, estimez la periode de revolution T de la Lune ainsi 
que le demi-grand
axe a et l'excentricite e de son orbite.
25. Quelles explications peut-on donner a l'absence d'observations entre les 
jours 27 et 43 ?
VI - Tests de physique
26. On suppose que la constante de gravitation G varie lentement au cours du 
temps (lignes 211
­ 216) et on en etudie les consequences sur l'orbite de la Lune. Quelle 
quantite reste conservee ?
27. On suppose que l'orbite de la Lune est approximativement circulaire. 
Expliquez pourquoi
une diminution de G se traduit par un ralentissement de la vitesse angulaire de 
la Lune. Quelle
est la variation relative de la vitesse angulaire si celle de G est de 1 % ?
28. G est maintenant supposee constante. Montrez qu'a la deceleration seculaire 
(diminution
de la vitesse angulaire) de -24 secondes d'arc par siecle au carre (ligne 219) 
est associe un
eloignement de la Lune au rythme de quelques centimetres par an.
29. On s'interesse maintenant a l'influence de la deceleration seculaire de la 
Lune sur la rotation
propre de la Terre. Expliquez pourquoi le moment cinetique total du couple 
Terre-Lune est conserve. Montrez que l'on peut negliger la contribution due a 
la rotation de la Lune sur elle-meme.
30. Montrez que la deceleration seculaire de la Lune modifie la periode de 
rotation de la Terre
sur elle-meme. S'agit-il d'une augmentation ou d'une diminution ?

8