X/ENS Physique A PC 2016

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2016

FILIERE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
On se contentera, pour les applications numeriques, d'un seul chiffre 
significatif.

Miroir a atomes
Ce probleme traite de la realisation et de l'utilisation d'un miroir a atomes. 
Ce dispositif
permet a la fois de mesurer quantitativement la force de van der Waals et de 
mesurer les rugosites
d'une surface. Il se compose d'un texte de 3 pages, de trois figures et de 35 
questions d'analyse
et de comprehension auxquelles le candidat doit repondre. Ces questions sont 
regroupees en
quatre parties et leur ordre suit le texte.
Commencez par lire attentivement le texte intitule "L'atome devant son miroir". 
Cela
devrait vous prendre entre 25 et 30 minutes. N'hesitez pas a surligner ou a 
relever les elements
qui vous paraissent importants.
Puis repondez aux questions de la partie intitulee "Analyse de l'article". 
Elles ne sont
pas forcement ordonnees par difficulte croissante et certaines d'entre elles 
ont une formulation
ouverte. Dans ce cas, toutes vos initiatives de resolution sont bienvenues a 
condition de justifier
et de detailler systematiquement votre demarche. Si necessaire, vous citerez 
precisement la
partie du texte qui appuie votre raisonnement (les lignes sont numerotees de 1 
a 246 a cet effet).
Les hypotheses des modelisations doivent etre clairement precisees et toutes 
les approximations
doivent etre explicitees et justifiees. Les calculs devront etre menes sous 
forme litterale, avec
pour objectif final d'obtenir une valeur numerique.

1

Donnees utiles pour l'analyse du texte
NA
kB
h/2 = ~
g
M

Nombre d'Avogadro
Constante de Boltzmann
Constante de Planck reduite
Acceleration de la pesanteur
Masse molaire du rubidium

2

1024
10-23 J.K-1
10-34 J.s
10 m.s-2
100 g.mol-1

L'atome devant son miroir

Resume
Les progres du refroidissement d'atomes par laser ont permis de controler le 
mouvement des
atomes. De cette maitrise est nee l'optique atomique qui, apres l'optique 
electronique et l'optique
neutronique, etend le champ de l'optique a des objets plus gros et plus 
complexes. Nous nous sommes
particulierement interesses a un composant optique de base, le miroir. En se 
reflechissant a sa surface,
les atomes nous informent sur leur interaction avec celle-ci.

5

10

Depuis plusieurs annees les faisceaux laser
permettent de refroidir des atomes neutres
jusqu'a des temperatures de l'ordre du microkelvin. La reduction de l'agitation 
de ces atomes
les rend manipulables et a permis de fonder une
veritable optique atomique. Les rayons sont les
trajectoires des atomes que l'on devie, reflechit ou
focalise en utilisant toute une panoplie de forces
exercees par des faisceaux laser et des champs
magnetiques. L'optique atomique a egalement

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ses ondes et les longueurs d'onde de de Broglie
associees sont d'autant plus grandes que les
atomes sont plus lents, de un a quelques centaines de nanometres. L'optique 
atomique utilise
deux types de miroirs : le miroir magnetique
et le miroir a onde evanescente. C'est en cherchant a ameliorer la qualite de 
ces derniers que
nous avons mis en evidence leur sensibilite a
l'interaction de van der Waals ou a la rugosite
d'une surface a l'echelle du nanometre.

Reflechir un atome sur un miroir de lumiere

Le miroir est constitue d'un prisme de verre a
la surface duquel on forme une onde evanescente.
Cette onde est obtenue par reflexion totale
a l'interieur du prisme de l'onde lumineuse
monochromatique issue d'un laser (figure 1).
Pour obtenir la reflexion totale, il faut que l'angle
d'incidence du faisceau laser depasse un angle
limite. Si la lumiere ne peut plus se propager
vers l'exterieur du prisme, la continuite du champ
electromagnetique a l'interface impose l'existence
d'un champ non nul a l'exterieur, qui decroit
exponentiellement en s'eloignant de la surface :
c'est l'onde evanescente. Pour des incidences pas
trop proches de l'angle limite, sa longueur caracteristique de decroissance est 
de l'ordre de /2
( = 780 nm est la longueur d'onde du laser).
Le prisme est place dans une enceinte a vide.
Lorsqu'un atome approche de sa surface, il rencontre un champ electromagnetique 
d'intensite
croissante et subit donc une force dipolaire,
repulsive si la frequence du laser est superieure a
la frequence de resonance de la transition atomique (voir appendice).
 Texte

Figure 1: L'onde evanescente est creee par reflexion
totale d'un laser a la surface d'un prisme. Les atomes
tombent du piege magneto-optique puis sont reflechis
par l'onde evanescente. Leur fluorescence est observee quand ils traversent le 
laser sonde.

45

L'onde evanescente cree ainsi une barriere
de potentiel qui croit exponentiellement lorsque
l'atome s'approche de la surface du prisme ou

extrait et adapte d'un article publie dans la revue Images de la physique en 
1998.

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elle atteint une valeur maximale U0 (voir figure 2 a gauche). Un atome dont 
l'energie
cinetique est inferieure a U0 rebrousse chemin
avant d'atteindre la surface. L'intensite laser
utilisee (quelques watts par mm2 ) correspond a
une energie U0 de l'ordre de 10-25 joule. Des
atomes de rubidium ayant cette energie ont une
vitesse d'environ 1 m/s. A temperature ambiante
la vitesse d'un atome est de l'ordre de quelques
centaines de m/s. Pour le faire rebondir, il faut
donc que la composante de sa vitesse normale a
la surface soit sensiblement diminuee. Cela peut
etre obtenu en incidence rasante avec des atomes
ayant une vitesse thermique ordinaire ou avec des
atomes ralentis. Nous avons choisi la deuxieme
methode, dans une experience consistant a lacher
des atomes froids sur une surface.

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La source d'atomes froids est un piege
combinant des faisceaux lasers et un champ
magnetique. Il contient 100 millions d'atomes
dans une sphere d'un millimetre de diametre et
les maintient a une temperature voisine de 10 µK.
On ouvre le piege en coupant les faisceaux laser
et le champ magnetique. Les atomes acquierent
alors une vitesse de 0,5 m/s au bout d'1 centimetre de chute libre et peuvent 
rebondir sur la
surface horizontale du miroir a atomes. Pour observer leur rebond, on les 
illumine avec un laser
se propageant horizontalement entre le piege et
la surface du miroir (figure 1). On detecte alors
la tres faible absorption de ce laser au passage
des atomes, avant et apres le rebond, ou on peut
capter la lumiere diffusee par les atomes grace a
une camera tres sensible.

Caracteriser l'interaction d'un atome avec une surface

Lors du rebond, les atomes s'approchent de
la surface de verre a une distance voisine de la
longueur de decroissance de l'onde evanescente,
soit une centaine de nanometres. A cette distance, ils interagissent aussi avec 
la surface de
verre : en l'absence d'onde evanescente, un atome
neutre subit une force attractive au voisinage
d'une surface dielectrique.
Comment comprendre l'origine de cette
force ? Examinons d'abord le cas d'un dipole
electrique permanent place parallelement au plan
d'une paroi dielectrique. Tout se passe comme
s'il interagissait avec un dipole de sens contraire
et symetrique par rapport au plan de la paroi,
nomme "dipole image". Dans son etat fondamental un atome neutre ne possede pas 
de moment
dipolaire electrique permanent. Cependant, des
fluctuations d'origine quantique produisent un
dipole fluctuant de valeur instantanee differente
de zero, mais dont la valeur moyenne est nulle.
Bien que sa frequence caracteristique de fluctuation  soit tres elevee (de 
l'ordre des frequences
optiques), le dipole apparait fige a l'echelle du
temps de propagation du champ entre l'atome et
la paroi lorsque la distance atome-paroi est petite
devant la longueur d'onde optique. L'interaction
de ce dipole fluctuant et de son dipole image
donne lieu a une force attractive, dite force de
van der Waals.
Dans un miroir a atomes, on mesure la force
de van der Waals en l'equilibrant par la force

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dipolaire a une distance connue entre l'atome et la
paroi. La figure 2 (droite) represente l'energie potentielle qui correspond aux 
deux forces en fonction de la distance z a la paroi. Au potentiel dipolaire 
deja presente s'ajoute le potentiel de van der
Waals qui varie en 1/z 3. La somme des deux potentiels presente un maximum pour 
une distance
d'environ 50 nm. Les atomes froids permettent
de sonder cette barriere de potentiel.
Dans une experience de chute libre, l'energie
cinetique des atomes est fixee par l'altitude initiale. On pourrait choisir 
d'augmenter cette hauteur jusqu'a ce que les atomes ne rebondissent
plus. Dans la pratique, il est plus simple de
fixer la hauteur de chute et de baisser l'intensite
du laser, donc la valeur du potentiel dipolaire,
jusqu'au seuil de reflexion des atomes. On mesure
ainsi la valeur du maximum du potentiel total et,
puisqu'on connait la valeur du potentiel dipolaire,
on obtient une mesure du potentiel de van der
Waals a une distance donnee. Il est interessant de
noter qu'il existe une zone de transition autour du
seuil de reflexion car l'atome peut passer a travers
la barriere par effet tunnel, ou etre reflechi audessus de la barriere 
(reflexion quantique). Dans
notre experience, cette zone de transition n'a pas
ete observee car sa largeur, de quelques centiemes
de l'energie cinetique incidente, est masquee par
la dispersion en energie des atomes et les fluctuations d'intensite du laser. 
Le seuil de reflexion
observe est en bon accord avec le modele de
l'interaction de van der Waals evoque plus haut.

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Mesurer les rugosites de surface

Nous avons ete surpris d'observer qu'une
tres petite variation de la distance minimale
d'approche, due par exemple a un defaut de la
surface de l'ordre du nanometre, modifiait de
facon notable la trajectoire des atomes reflechis.
En fait, la rugosite de la surface se traduit par
une perturbation du champ lumineux de l'onde
evanescente. Cette perturbation conduit a une
modification du potentiel dipolaire sur lequel rebondissent les atomes et donc 
a une modification
de leurs trajectoires.
Pour etudier la sensibilite du dispositif a la
rugosite de la surface, nous avons fait rebondir
les atomes sur une structure reguliere connue.
Pour cela, nous avons realise un reseau de diffraction a atomes via une 
modulation periodique
de l'onde evanescente. Dans ce but, le faisceau laser est partiellement 
reflechi de sorte a
interferer avec l'onde aller. Il en resulte une modulation spatiale du 
potentiel repulsif de forme sinusoidale (voir figure 3, a gauche). La periode
de modulation est fixee a environ la moitie de
la longueur d'onde lumineuse. La profondeur
de modulation des surfaces equipotentielles, qui
resulte de l'interference entre l'onde incidente
et l'onde reflechie, est reglable via la fraction
R d'intensite reflechie. On montre que la profondeur de modulation est une 
fraction
 de la

longueur d'onde lumineuse,  = 2 R/(1 + R)
etant le contraste de l'interference entre l'onde incidente et l'onde 
reflechie. Pour que la diffraction

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soit observable, il faut que la profondeur de modulation des surfaces 
equipotentielles, qui jouent le
role de miroir atomique et qui produisent donc la
modulation des ondes atomiques reflechies, soit
de l'ordre de la longueur d'onde de de Broglie
dB de l'onde atomique incidente. Comme cette
longueur d'onde est de l'ordre de 8 nm pour du
rubidium arrivant a 0,5 m/s, il faut que l'intensite
reflechie soit tres faible, de l'ordre de 10-4 de
l'intensite incidente.
Ces resultats debouchent sur la possibilite
d'analyser la rugosite de la surface du prisme avec
une sensibilite inferieure au nanometre. En effet,
le cas d'une surface rugueuse peut s'interpreter
comme une multitude d'interferences entre l'onde
lumineuse incidente et les ondes diffusees par les
defauts de la surface. Ceci cree des reseaux de
diffraction d'orientation et de periodes variables
qui conduisent donc, non plus a des ordres de
diffraction bien distincts, mais a un elargissement
global du nuage d'atomes. L'analyse detaillee de
cet elargissement permet de caracteriser quantitativement la rugosite de la 
surface.
Finalement, le rebond d'un atome permet de
sonder la surface-miroir avec une resolution de
l'ordre d'une fraction de dB /2 dans la direction perpendiculaire a celle-ci. 
Le grand interet
de cette methode est que l'atome perturbe tres
peu le champ analyse. En contrepartie, il faut
effectuer une moyenne sur un grand nombre
d'atomes pour obtenir un signal utilisable.

Appendice
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225

Un atome neutre plonge dans un champ
electrique voit son nuage electronique deforme de
sorte qu'un dipole electrique est induit. Le moment de ce dipole p~ est lie a 
l'amplitude du champ
~ par la relation p~ = 0 E
~ ou  est la
electrique E
polarisabilite de l'atome qui depend de la pulsation d'oscillation  du champ 
electrique.
La polarisation induite de l'atome resulte
du deplacement des charges sous l'effet du
champ electrique exterieur. Pour modeliser ce
phenomene, on suppose que le noyau est immobile. Il soumet l'electron de charge 
-e a une force
de rappel elastique -m02 ~r, ou m et ~r designent
respectivement la masse de l'electron et sa position relativement au noyau, 
tandis que 0 est la
pulsation fondamentale de l'oscillateur atomique.
~ est uniSi l'on suppose que le champ electrique E
forme a l'echelle de l'atome, l'electron subit aussi
~ = -e E
~ 0 cos t. Ce modele tres
une force -e E

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5

simple, dit de l'electron elastiquement lie, permet
de determiner la polarisabilite () de l'atome en
regime force.
La moyenne temporelle de l'energie potentielle du dipole atomique induit, 
plonge dans
~ vaut U = - 1 0 |E0 |2 .
le champ electrique E,
2
Dans un champ inhomogene, un atome subit une
force qui derive de cette energie potentielle. Au
voisinage d'une resonance atomique, la polarisabilite peut atteindre des 
valeurs importantes.
Elle devient negative pour des frequences plus
elevees que celle de la resonance : c'est cette situation, ou le dipole induit 
oscille en opposition
de phase par rapport au champ, qui est utilisee
dans le miroir a atomes. Dans ce cas, l'atome est
expulse des regions de champ fort par une force
qui depend de |E0 |2 , c'est-a-dire de l'intensite du
laser qui cree le champ.

Figure 2: A gauche : L'onde evanescente cree un potentiel d'interaction qui 
decroit exponentiellement
en fonction de la distance du prisme. Les atomes sont reflechis si leur energie 
cinetique est inferieure a
la valeur maximale de l'energie potentielle. A droite : Le potentiel total 
auquel sont soumis les atomes
(trait plein) est la somme du potentiel dipolaire et du potentiel de van der 
Waals (en pointille). Il est
represente en fonction de la distance au prisme. L'unite d'energie est ~ ou /2 
= 6 MHz est la largeur
naturelle de la transition atomique utilisee pour le rubidium. Les valeurs 
correspondent aux conditions
de l'experience decrite dans le texte.

Figure 3: A gauche : Reseau de diffraction a atomes. Une petite fraction de la 
lumiere incidente est
renvoyee vers le prisme, creant une onde evanescente legerement modulee. La 
profondeur des surfaces
equipotentielles (amplitude verticale entre les sommets et les creux) est 
beaucoup plus petite que sa
periode. Une onde de de Broglie atomique subit une forte diffraction si dB est 
de l'ordre de cette
profondeur de modulation. Puisque dB  /100, les atomes sont sensibles a de tres 
faibles deformations
de l'onde evanescente. A droite : Mesure de la probabilite de diffraction 
atomique (en unite arbitraire)
en fonction de la quantite de mouvement transverse Px de l'atome en unite de 
~kx . La partie gauche
correspond a la reflexion sur une surface plane. La partie droite represente la 
figure de diffraction sur un
reseau de lumiere pour lequel  = 0, 023. Les pics correspondent aux deux 
premiers ordres diffractes (en
±2~kx et ±4~kx ) qui ne sont pas resolus.

6

Analyse de l'article
I - Onde evanescente
1. Demontrer la condition d'obtention de la reflexion totale (lignes 27-29). 
Vous appuierez votre
raisonnement par un schema. Determiner l'angle limite si l'indice optique du 
prisme vaut n = 2.
Les questions qui suivent ont pour but de modeliser l'onde evanescente (lignes 
29-37). On
note ~k et ~k les vecteurs d'onde complexes du faisceau laser incident dans le 
prisme et de l'onde
evanescente dans le vide, respectivement, et on repere par les indices x et z 
leurs composantes
tangentielles et normales a la surface du prisme.
2. Expliquer pourquoi les composantes tangentielles kx et kx sont egales.
3. En deduire la relation liant kz , k et l'indice n pour un angle d'incidence 
i.
4. Retrouver la condition de reflexion totale et, quand elle est verifiee, 
donner l'expression de
la longueur caracteristique de decroissance de l'onde evanescente, qu'on notera 
.
5. Tracer l'allure de la variation de  en fonction de l'angle d'incidence i. 
Commenter les lignes
34 a 37 du texte.
II - Rebond des atomes
6. En utilisant la modelisation exposee dans l'appendice (lignes 210-231), 
determiner l'expression
de la polarisabilite () en fonction de m, e, 0 , 0 et . Quelle est son unite ?
7. Justifier l'expression de U donnee dans l'appendice, ligne 234.
8. Justifier les lignes 39-44.
9. Expliquer les lignes 45-49.
10. Expliquer pourquoi les atomes rebroussent chemin (lignes 49-51 et figure 2 
a gauche).
11. Verifier que les valeurs de U0 et de la vitesse des atomes de rubidium 
indiquees lignes 53-55
sont bien coherentes entre elles.
12. Expliquer quantitativement les lignes 55-57.
13. Expliquer les lignes 57-62. Preciser quantitativement ce que signifie 
"incidence rasante".
14. Estimer la densite volumique d'atomes dans le piege et la comparer avec la 
densite de
molecules dans l'air ambiant.
15. Estimer la pression dans le piege en supposant que les atomes froids se 
comportent comme
un gaz parfait. Quelle contrainte experimentale en decoule ?
16. Verifier la valeur de la vitesse de chute des atomes indiquee ligne 72.
III - Interaction d'un atome avec une surface dielectrique
17. Tracer l'allure des lignes du champ d'un dipole electrique.
18. En deduire pourquoi un dipole permanent est attire par son dipole image 
dans une paroi
dielectrique (lignes 94-97) et justifier la dependance en 1/z 3 indiquee ligne 
119.
19. Expliquer les lignes 103 a 108.
20. L'ordre de grandeur de la distance minimale atome-paroi donnee dans le 
texte verifie-t-elle
la condition enoncee aux lignes 107-108 ?

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21. Le potentiel dipolaire est de la forme U0 exp(-2z/) et le potentiel de van 
der Waals est de
la forme -A/z 3 . Quel est le signe de A ? Decrire le comportement asymptotique 
du potentiel
total pour z  0 et z  .
22. Construire avec U0 ,  et A une quantite sans dimension  proportionnelle a A.
23. Tracer l'allure du potentiel total dans les limites   1 et   1. De quelle 
limite se
rapproche la figure 2 a droite ?
24. Ecrire, sans les resoudre, les deux equations permettant de determiner A en 
fonction de
l'altitude initiale des atomes, qu'on notera h, et de la valeur de U0 
correspondant au seuil de
reflexion des atomes (lignes 123-134).
On rappelle que la probabilite de transmission T par effet tunnel (lignes 
134-143) a travers
une barriere de potentiel rectangulaire de largeur a et de hauteur V , pour un 
atome de masse m
p
dont l'energie cinetique Ec est inferieure a V , vaut environ T  exp(-2a 2m(V - 
Ec )/~)  1.
25. De quel autre phenomene physique rencontre dans l'article peut-on 
rapprocher l'effet tunnel ? Vous argumenterez votre reponse.
26. On cherche l'expression de T pour estimer le coefficient de transmission a 
travers le potentiel
de la figure 2 (droite) lorsque l'energie cinetique Ec de l'atome est 
inferieure a la valeur maximale
du potentiel total, qu'on notera Vmax . Expliquer au moyen d'un schema comment 
on peut, pour
ce calcul, approcher le potentiel total par une barriere rectangulaire.
27. Comment varie la largeur de cette barriere en fonction de Vmax - Ec lorsque 
l'energie
cinetique Ec est juste inferieure a Vmax ? En deduire comment, dans cette 
approximation, la
probabilite de transmission varie avec Ec . Proposer une expression litterale 
de la largeur de la
zone de transition sur laquelle on observe l'effet tunnel (lignes 134-143).
IV - Mesure des rugosites de surface
28. Donner l'expression de l'amplitude de l'onde evanescente resultant du 
faisceau laser incident
en fonction de x et z. Par analogie, en deduire l'amplitude de l'onde 
evanescente resultant du
faisceau laser reflechi sur le miroir de reflectivite R.
29. En deduire que le potentiel repulsif qui en resulte se met sous la forme
U (x, z) = U1 e-2z/ [1 +  cos(2kx x)]
ou U1 est une constante de normalisation.
30. Exprimer z en fonction de x sur une equipotentielle dans le cas ou   1. 
Dans ce cas,
representer graphiquement quelques equipotentielles.
31. Donner l'expression de la profondeur des equipotentielles dans cette 
approximation.
32. Rappeler la definition de la longueur d'onde de de Broglie et retrouver son 
ordre de grandeur
pour le rubidium (lignes 183-185).
33. Montrer que les conditions experimentales de la figure 3 correspondent bien 
au regime ou
la diffraction doit etre observable.
34. Retrouver l'ordre de grandeur de R (lignes 185-187).
35. Calculer a quel angle de diffraction correspondent les pics sur la figure 3 
a droite.

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