X/ENS Physique A PC 2018

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2018

FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée. Les applications 
numériques, auxquelles vous
prêterez la plus grande attention, seront données avec un seul chiffre 
significatif.

L'épreuve se compose d'un exercice et d'un problème, qui sont indépendants. Il 
est raisonnable
de ne pas passer plus de 30% du temps de l'épreuve à la résolution de 
l'exercice.

Exercice
Une onde lumineuse progressive plane, en provenance d'un laser hélium-néon, se 
propage
dans le vide et se réfléchit sur un bloc de cuivre, sous incidence normale. 
Établissez l'expression
du coefficient de réflexion complexe à l'interface et interprétez physiquement 
le résultat. Vous
justifierez brièvement les hypothèses faites à chaque étape du calcul.

Problème
La première observation expérimentale des ondes gravitationnelles, en 2016, est 
une découverte majeure de la physique du 21e siècle. Les ondes observées sont 
produites à l'extérieur de
notre galaxie lorsque deux astres massifs, initialement en rotation l'un par 
rapport à l'autre, se
rapprochent et fusionnent en un seul. Ce problème étudie quelques aspects de 
ces événements et
de leur détection.
Données numériques
Constante gravitationnelle :
Vitesse de la lumière dans le vide :

G
c

=
=

7 × 10-11 N.m2 .kg-2
3 × 108 m.s-1

1. Deux astres de masse M sont en mouvement circulaire l'un par rapport à 
l'autre, leur centre de
masse étant fixe. Déterminez l'expression de la fréquence de rotation en 
fonction de leur distance
relative d.
1

2. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, le champ gravitationnel créé par 
ces deux astres
en un point donné de l'espace à un temps t est déterminé par les positions des 
masses au même
temps t. En réalité, cependant, l'information sur ces positions ne se transmet 
pas instantanément.
Elle est transmise par une onde qui se propage dans le vide à vitesse finie, et 
qu'on appelle onde
gravitationnelle. Proposez une analogie dans un autre domaine de la physique.
3. Expliquez pourquoi la fréquence de l'onde gravitationnelle émise par le 
système des deux astres
de la question 1, observée en un point fixe quelconque de l'espace, est double 
de leur fréquence
de rotation.
4. Les détecteurs d'ondes gravitationnelles sont des interféromètres de 
Michelson dont les bras
mesurent plusieurs kilomètres. L'onde gravitationnelle, lors de son passage, 
modifie la taille des
objets sur son passage d'une petite fraction, proportionnelle à son amplitude, 
et qui dépend aussi
de l'orientation de ces objets. Ainsi, les longueurs des bras de 
l'interféromètre sont en général
modifiées différemment, et on mesure la légère variation de la différence de 
longueur entre les bras
lors du passage de l'onde. Rappelez le principe et le schéma de 
l'interféromètre de Michelson.
Quel est l'ordre de grandeur de la variation de longueur qu'il permet de 
mesurer ? Pourquoi
a-t-on intérêt à construire un instrument aussi grand que possible ?
5. Les ondes gravitationnelles transportent de l'énergie, donc le système des 
deux astres perd de
l'énergie mécanique en émettant ces ondes. Qu'en déduisez-vous qualitativement 
sur l'évolution
de la distance d au cours du temps ? Vous justifierez précisément votre réponse.
6. On admet que la fréquence f (t) des ondes gravitationnelles émises évolue au 
cours du temps
suivant la loi
df
= Kf 11/3 ,
(1)
dt
où K est une constante indépendante du temps. Quel est son signe ? Intégrez 
l'équation différentielle. Représentez la variation de f (t).
7. Décrivez qualitativement l'évolution du système formé par les deux astres.

Figure 1 ­ Variation de la fréquence (Frequency en anglais) des ondes 
gravitationnelles détectées
en fonction du temps (Time) lors de la fusion de deux étoiles à neutrons, 
observée le 12 août
2017. L'instant où se produit la fusion (merger ) est pris comme origine des 
temps sur l'axe des
abscisses. [Extrait de B. P. Abbott et al., Astrophysical Journal, volume 828, 
L13 (2017).]
8. La figure 1 représente la variation de f (t) mesurée dans un détecteur 
d'ondes gravitationnelles.
Ce signal est interprété comme provenant de la fusion de deux étoiles à 
neutrons de masses
approximativement identiques. Vérifiez aussi précisément que possible, en 
relevant des valeurs
2

numériques sur la figure, que cette variation est compatible avec le résultat 
de la question 6.
Vous utiliserez avec profit le fait que l'échelle de l'axe des ordonnées est 
logarithmique.
9. On admet que la constante K de l'équation (1) ne dépend que de M , G et c. 
Déduisez-en, par
analyse dimensionnelle, la forme de cette dépendance.
10. Déduisez, en analysant les données de la figure 1, un ordre de grandeur 
grossier de M . Vous
détaillerez votre démarche. Que pensez-vous du résultat ?
11. En analysant l'amplitude du signal, on estime que l'événement s'est produit 
à environ 108
années-lumière de la Terre. Deux secondes après la fin du signal des ondes 
gravitationnelles,
repérée par le temps t = 0 sur la figure 1, on a observé un rayonnement 
électromagnétique
provenant du même endroit, qu'on pense produit lors de la fusion des deux 
étoiles à neutrons.
Si ce retard de deux secondes était dû à une différence entre la vitesse de 
propagation des ondes
gravitationnelles vg et la vitesse de la lumière c, quelle serait leur 
différence relative ? On rappelle
que 1 année  3 × 107 s. Commentez le résultat.

Figure 2 ­ De gauche à droite : ondes gravitationnelles enregistrées par les 
détecteurs H1 (à
gauche), L1 (au centre) et Virgo (à droite) le 14 août 2017. En bas : variation 
de l'amplitude de
l'onde gravitationnelle en fonction du temps. Les traits fins représentent le 
signal mesuré, qui est
bruité, et les bandes grises représentent la contribution estimée de la source 
astrophysique. En
haut : fréquence de l'onde en fonction du temps. [Extrait de B. P. Abbott et 
al., Physical Review
Letters, volume 119, 141101 (2017).]
12. La figure 2 représente la fréquence et l'amplitude d'un autre signal d'onde 
gravitationnelle
observé simultanément par trois détecteurs, nommés H1, L1 et Virgo. Vérifiez 
sur l'exemple du
détecteur L1 que les valeurs de la fréquence (en haut) correspondent aux 
données de l'amplitude
représentée sur le panneau du bas.
13. Les détecteurs H1 et L1 sont distants de 3000 km. Montrez que le léger 
décalage temporel
entre les signaux correspondants (à gauche et au centre de la figure 2) donne 
une information
quantitative sur la direction de la source des ondes gravitationnelles. Vous 
illustrerez votre raisonnement par un schéma où vous représenterez les 
positions de H1 et L1, et la direction de la
source.
14. Expliquez pourquoi deux détecteurs ne suffisent pas en général à localiser 
la direction de la
source dans le ciel. Quelle information apporte un troisième détecteur ? 
Peut-on alors préciser la
direction de la source sans ambiguïté ?
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15. Justifiez qu'on puisse attribuer le signal observé sur la figure 2 à la 
fusion d'un système de
deux astres, comme pour la figure 1.
16. En supposant comme précédemment les masses des deux astres identiques, 
estimez à partir
des données l'ordre de grandeur du rapport entre les masses des systèmes 
binaires de la figure 2
et de la figure 1.
17. L'écriture de l'équation (1) suppose que le signal soit quasi-périodique, 
soit encore que sa
fréquence f varie lentement avec le temps. Pour lequel des deux systèmes 
étudiés cette approximation est-elle meilleure ? Commentez l'aspect des 
panneaux du haut de la figure 2 à la lueur de
cette discussion.
18. Écrivez à quelle condition, portant sur df /dt, le signal peut être 
considéré comme quasipériodique.
19. Montrez que cette condition peut se récrire comme une condition portant sur 
la vitesse v
des astres en rotation. Commentez le résultat.

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