X/ENS Physique A PC 2021

ECOLE POLYTECHNIQUE
ESPCI

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

MARDI 13 AVRIL 2021
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 3

PHYSIQUE A (XE)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Imagerie par tomographie photoacoustique

Introduction !

De vieilles découvertes en physique peuvent
soudainement révolutionner des technologies
quand on les combine avec d'autres plus ré-
centes. C'est ce qui est advenu avec l'effet
photoacoustique qui, grâce au laser, fournit
maintenant une nouvelle technique d'image-
rie médicale appelée la tomographie photoa-
coustique.

On envoie des faisceaux d'impulsions laser
à travers des tissus biologiques. Ces impul-
sions chauffent certains tissus, qui en consé-
quence génèrent des ultrasons que l'on peut
détecter avec des capteurs adéquats. Dans
certains cas, pour maximiser l'effet, on uti-
lise des nanoparticules d'or qui absorbent
mieux la chaleur. Un ordinateur et des algo-
rithmes de traitement du signal permettent
alors de reconstituer des images à haute ré-
solution, par exemple de l'intérieur d'un cer-

© Junjie Yao et Lihong Wang, WUSTL

veau de rat (figure ci-contre). Bien que la technique soit encore 
principalement utilisée dans des
expériences de laboratoire, les chercheurs travaillent sur des applications 
cliniques telles que

l'étude de trajectoires sanguines dans le cerveau.

Dans ce sujet on s'intéresse à cette modalité d'imagerie médicale émergente et 
on décompose
l'étude en 4 parties largement indépendantes les unes des autres. À noter que 
quelques
expressions mathématiques utiles sont regroupées dans un formulaire en fin 
d'énoncé.

1. Texte extrait et adapté d'un article publié dans Futura Sciences en 2015 
sous la plume de Laurent Sacco.
I. Étude de la source laser

1. Le laser utilisé comme source est un laser Nd' VAG dont le diagramme des 
niveaux énergétiques
est décrit sur la figure 1. Déduire de ce diagramme l'énergie des photons émis 
par ce laser, puis
la longueur d'onde )o. À quel domaine du spectre électromagnétique ce faisceau 
appartient-il ?
Pour l'application numérique, on considèrera la valeur approchée de la 
constante de Planck
suivante : À © -- x 107% J.s

Energie (eV)

4

transition rapide

1,5 + ---- -  hNon-radiative
1,45 + --

|

hv

AN

Pompage optique
Emission Laser

0,2 + Rs

transition rapide
0 ---- --

non-radiative

Niveau
fondamental

FIGURE 1 -- Diagramme simplifié des niveaux d'énergie du laser Nd:YAG

2. Afin de changer la longueur d'onde de travail un cristal de triborate de 
lithium LiB305 peut
être utilisé. En effet, si E1(t) = Eisin(wit) et E2(t) -- E2sin(wot) sont les 
champs électriques
scalaires de 2 ondes arrivant sur le cristal, on peut obtenir en sortie du 
cristal un champ électrique
E,(t) & (E1(t) + Eo(t))°. En imaginant que les ondes incidentes sur le cristal 
sont soit les ondes
issues du laser soit des ondes qui sont déjà sorties du cristal, déterminer les 
différentes longueurs
d'onde accessibles par cette méthode.

10000 r

100

Absorbance [cm'!]
o

200 1000 5000
Longueur d'onde [nm]

FIGURE 2 -- Diagramme d'absorption des principaux absorbeurs endogènes des 
tissus biologiques (Hb
représente l'hémoglobine).

3. On appelle fenêtre de transparence biologique le domaine de longueurs d'onde 
pour lequel
on peut imager les tissus biologiques en profondeur sans absorption. À l'aide 
du graphe de la
figure 2, donner un ordre de grandeur de cette fenêtre de transparence 
biologique. Parmi les
longueurs d'onde calculées précédemment pour le laser Nd:YAG, avec ou sans 
cristal, quelle est
celle que vous choiïsiriez pour faire de l'imagerie en profondeur sans 
absorption dans les tissus
biologiques ?

4. Le laser fonctionne dans un régime dit « impulsionnel » : c'est-à-dire qu'il 
émet des impulsions
lumineuses courtes d'une durée 7, -- 5 ns, avec une cadence de répétition fre 
-- 1 kHz. Les
normes d'exposition à un tel laser sur la peau fixent une valeur maximale & -- 
100 W.cm ? à
l'énergie lumineuse reçue par seconde et par unité de surface de la peau. On 
suppose que l'on
utilise un laser dont le faisceau a un diamètre de 1 mm à travers un objectif 
de focale 1 cm. Quelle
est la surface de la tache focale ? Dans ces conditions, calculer la puissance 
crête maximale du

laser pour respecter la norme mentionnée.
IT. Génération photo-acoustique

5. Lorsque la lumière du laser pénètre dans les tissus biologiques, elle peut 
être absorbée par
ceux-ci en fonction de leur coeæfficient d'absorption à la longueur d'onde 
utilisée. Sous quelle forme
l'énergie optique absorbée par la matière rencontrée peut-elle être convertie ? 
Décrire les différents
phénomènes d'interaction lumière-matière que vous connaissez en donnant des 
exemples.

Pour maximiser l'absorption, on utilise des nanoparticules d'or comme agents de 
contraste. On
considère donc la fraction d'énergie optique absorbée et convertie sous forme 
de chaleur par cette
nanoparticule sphérique de rayon a, de conductivité thermique K,, de masse 
volumique p, et de
capacité calorifique massique à pression constante EUR,,. Le milieu environnant 
est assimilé à de
l'eau de conductivité thermique «, de masse volumique p et de capacité 
calorifique massique EUR».
Pour les applications numériques on prendra les valeurs suivantes :

a = 100 nm
Kky = 300 Wim !K7!
Pg = 20.10° kg.m *
Cp, = 120 JSK kg
Kk=0,5 W.m LK !
Cp = 4000 J.K7! kg"!

6. Après avoir expliqué pourquoi il est légitime de supposer que l'eau 
n'absorbe pas l'impulsion
lumineuse produite par le laser, établir l'équation de la diffusion thermique 
dans l'eau (r > a)
à l'aide d'un bilan conservatif à préciser. Étant donné la géométrie sphérique 
des nanoparticules
on traitera le problème en coordonnées sphériques.

7. Faire de même dans la nanoparticule (r < a) en tenant compte de la puissance absorbée par unité de volume de la nanoparticule que l'on notera Py(r,t) suite à l'impulsion laser. 8. Par analyse dimensionnelle estimer les temps caractéristiques 7, et 7 d'évolution de la tempé- rature au sein de la nanoparticule et dans l'eau à une distance a de la nanoparticule. Comparer les valeurs de 7,, 7, et Te. et discuter ces différentes échelles de temps. À partir de leur comparai- son, établir le scénario de l'élévation de température, puis du retour à l'équilibre, à la fois dans l'or et dans l'eau. 9. Pour r < a, intégrer l'équation obtenue sur le volume de la nanoparticule en considé- rant que celle-ci absorbe l'énergie optique de manière homogène sur l'ensemble de son vo- lume. On introduira la température moyenne au sein de la nanoparticule que l'on notera Tj(t) = ÿ Jf] T(r,t)dv.. nanoparticule 10. En précisant les expressions de D, «a, et B, en fonction des données du problème, vérifier 3 que les équations précédentes peuvent se mettre sous la forme : O(rT) | O(rT) pour Tr > a: JO -- D Dr?
dTy OT

dé Or |,._,-

pour r 
LD i i 'i '1 i ni i i but i ' Du buts ' ' Du tt ®,
a Ke Va Ban 2 RCE 1 1 tot OU US ous hi D FORT
D Ecoulement laminaire 1 ; ST 0002 ©
= titi Re : OU us Kat: INR D Un out NO M L'OEr 2
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le 1 T Il pi k ind 0.0025 £ e Ù 276,400 + ui : 1 11 1 1 LE : mt dt 4 EUR
E À RE 5 | Turbulence complète : : 7" tt Ft à 10 << D ' Verre, Plexiglass 0.0025 ' ' NO D C'EST ' ' ' 1 tutti: ' 1 1 À i 1 ' : : Y 5 QD © ' Fer. Fonte 0.15 ' RE LA CEA i \ '1 ï ï TT 5 x 10 Fr 0.01 el RS Esbot= sé dot Los oces fnssfasbmetsdiibibisese à bastéidisssssdsss Gates LS ee S © VTT Égout, usé 3D [unten NU bone Qi noise 1! Acier, revêtement ciment 0.1 NU ON RAT SR 2 M! TT FO + = mm 77777771 E Q&lm ' 1 thus i ' 1 ii: 1 1 11: 5 | Acier, rouillé 05 |-t-3.3. £ -- 24 Ap iiitit.t.3 tte" RE 107 | | Acier, de construction ou forgé | 0.025 ; pV l via ne : h » LI : ; CET OX 106 | [érpeeation deu ee 0 Jr print 5 OL iii |! Tuyau lisse ri * EUR ; > u e
10% 104 10° 106 107 105

Nombre de Reynolds,

FIGURE / - Diagramme de Moody.

31. On définit la résistance à l'écoulement R en régime stationnaire par la 
relation suivante :

AP
R -- D, où Dy est le débit volumique et AP la perte de charge. Estimer la 
résistance à

l'écoulement d'un capillaire Rp et celle de l'aorte Roorte. 91 l'on simplifie 
la structure sanguine
du corps humain, on peut considérer que l'ensemble des vaisseaux est composé de 
l'aorte qui doit
alimenter un réseau de N capillaires en parallèle. Combien faut-il alors de 
capillaires pour que
la résistance à l'écoulement de l'ensemble des capillaires soit égale à celle 
de l'aorte ?
Formulaire

Equation de Navier-Stokes :

(27 + (Cv ° grad)Y) -- Fest -- gradP + AT

où p représente la masse volumique du fluide considéré, Fou la densité 
volumique de forces
extérieures et 7 la viscosité dynamique du fluide.

Formulaire mathématique :

En coordonnées sphériques (r,0,) le Laplacien s'écrit :

1 d(rU) 1 Ô OÙ OU
AU = À ._ ao f. AOU OU
7 r Or? ï r2 sin? 0 (sin V5 (sin ° 00 | ï 0? )

Pour une fonction ÜU qui ne dépend que de la variable r on a :

1 Ô ( 0 _ 16 (rU)

r20r\ dr)

r. Or?

En coordonnées cylindriques (r, 0,2) pour un champ vectoriel À(r. 0,z) = A,u + 
Apug + A,u:
les expressions de la divergence et du rotationnel de ce champ s'écrivent :

.--+ 1ô(rA4) 1049 A,
div À == Dr r 00 à

r 00 Ôz

--j-- 104; OA5\-, OÀ, h OA; \_ 1 O(r A) h 1 04, \
rot À = ( je (Se Or ja+ Or r O0 2

Pour un champ vectoriel de la forme À -- A;(r)%. le Laplacien vectoriel de À 
s'écrit :

AÂ-10 | Je

r Ôr "Or