X/ENS Physique A PC 2022

ECOLE POLYTECHNIQUE
ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2022

MARDI 26 AVRIL 2022
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 3

PHYSIQUE A (XE)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Flotter sous un liquide en lévitation

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée. On se contentera de 
réponses courtes, sauf
pour les questions 10, 17, 23, 24, 25, 28 où l'énoncé demande explicitement une 
justification.

1 cm

Cette photographie est tirée d'un article ! publié par des chercheurs de 
l''ESPCI qui ont mené
une expérience étonnante : il est possible de faire léviter un liquide et d'y 
faire flotter un bateau
la tête en bas.

On sait que des bulles d'air dans un liquide remontent rapidement à sa surface. 
De même,
si on place une couche de liquide au-dessus d'une couche d'air, elle est 
rapidement déstabilisée
et s'effondre sous l'effet de la gravité, et l'air repasse au-dessus du 
liquide. Ces phénomènes
peuvent être empêchés si on agite verticalement le récipient contenant le 
liquide. Dans certaines
conditions, les bulles s'enfoncent au lieu de remonter, et on peut ainsi créer 
une poche d'air stable
au-dessous du liquide. On fait donc léviter, au-dessus de cette poche, une 
couche de liquide dont
la largeur peut atteindre vingt centimètres et le volume un demi-litre. On peut 
alors montrer
qu'il existe une position de flottabilité stable à l'interface inférieure du 
liquide (voir figure ci-
dessus) : tout se passe comme si la gravité était inversée ! Dans ce problème, 
nous allons retracer
le cheminement qui mène à cette situation exotique et contre-intuitive.

I --- Comportement d'une bulle dans un bain en vibration

1. L'expérience utilise un récipient dans lequel on verse un liquide de masse 
volumique py, qu'on
supposera approximativement égale à celle de l'eau. On suppose dans un premier 
temps que le
récipient et le liquide sont immobiles. Rappeler l'expression de la pression P, 
à une profondeur
D au-dessous de la surface du liquide. On notera PF, la pression à la surface 
du liquide, qui est
la pression atmosphérique, et g l'accélération de la pesanteur.

2. Exprimer P; en fonction de P6, D, et d'une longueur caractéristique Æ dont 
on donnera
l'expression littérale et l'ordre de grandeur.

3. Rappeler l'expression de la force de poussée d'Archimède FA exercée sur une 
petite bulle d'air
de volume V.

1. B. Apffel, F. Novkoski, À. Eddi & E. Fort. Floating under a levitating 
liquid. Nature 585, 48-52 (2020). Les
figures qui suivent sont également adaptées de cet article.

4. On imprime au récipient un mouvement vertical d'amplitude À et de pulsation 
w, Z(t) --
À cos wt, où Z est la coordonnée verticale ascendante. Déterminer la force 
d'inertie d'entraînement
Fi(t) exercée sur un point matériel de masse m dans le référentiel du récipient.

5. On suppose que le liquide reste immobile dans le référentiel du récipient. 
On admet que les
lois de l'hydrostatique s'appliquent toujours, à condition de prendre en compte 
la force d'inertie
d'entraînement en plus de la pesanteur. En déduire l'expression de la pression 
P(t) à la profondeur
D, qu'on exprimera en fonction de P1, . D et de l'accélération instantanée du 
récipient Z (é). En
déduire également l'expression de la poussée d'Archimède F4(#) sur une bulle de 
volume V(#).

6. On note VA le volume de la bulle à la pression P,. Déterminer l'expression 
de V(t), en traitant
la bulle comme un gaz parfait isotherme. On suppose qu'à tout instant, |P(t) -- 
P;| EUR P1.
Développer l'expression de V(t) au premier ordre en (P(t) -- P;)/P1.

7. En déduire la valeur moyenne de FA(t) sur une période 27/w du mouvement du 
récipient. On
fera apparaître la correction au résultat statique obtenu à la question 3, qui 
est proportionnelle
à la valeur moyenne de Z(t)°.

8. En faisant l'approximation P; = P6, déterminer la profondeur critique D* 
au-delà de laquelle
la bulle s'enfonce dans le liquide (voir figure 1 à droite). On exprimera D* en 
fonction de H et
du paramètre 7 = Aw*/g.

9. Montrer que l'approximation |P(t) -- Pi] & P, se traduit, à la profondeur 
D*, par une condi-
tion sur le paramètre 7. Interpréter physiquement cette condition.

26
* Expérience
ô --- Modèle

no)
LD
6

eee 20 LUE

Profondeur d'équilibre D* (mm)
do
$
e
EUR
.
Q

14 Tu
A cos(wt)

().45 ().55 ().65
Amplitude de l'oscillation (mm)

FIGURE 1 -- Variation de la profondeur critique D* en fonction de l'amplitude À 
de l'oscillation,
pour une pulsation w fixée (à gauche). La courbe pointillée est définie par D* 
= c/A?, où
c = 5,5 mm°. La figure de droite illustre la situation expérimentale.

10. La figure 1 donne la variation de la profondeur critique D* en fonction de 
l'amplitude À,
pour une pulsation w fixée. Les approximations Pi = Pj et |P(t) -- Pi] & Pi 
faites plus haut
sont-elles justifiées à la profondeur D* 7?

11. Estimer à partir de cette figure l'ordre de grandeur de la fréquence des 
oscillations.

IT -- Liquide en lévitation sur une couche d'air

Au moyen d'une seringue, on gonfle une bulle d'air dans le liquide en-dessous 
de la profondeur
critique D*, de manière à séparer totalement le liquide du fond du récipient 
(voir figure 2). Une

2
Po

h:
mg

Support Y oscillant
A cos (wt)

FIGURE 2 -- Séquence d'images montrant la formation de la couche d'air sur 
laquelle lévite le
liquide (à gauche). Les notations utiles pour traiter de cette lévitation sont 
illustrées à droite.

épaisseur h, de liquide est ainsi en lévitation sur une couche d'air. On note 
P, et h, la pression et
l'épaisseur de la couche d'air lorsqu'elle est à l'équilibre sous le poids du 
liquide. Si le liquide se
déplace verticalement, la pression de la couche d'air varie, et elle se 
comporte comme un ressort
(voir encart de la figure 3 en haut).

12. Déterminer la variation de pression ÔP dans la couche d'air, assimilée à un 
gaz parfait
isotherme, lorsque son épaisseur vaut h,; + 2, avec |z] EUR h,. En déduire la 
force de rappel subie
par le liquide sous l'effet de cette variation de pression, pour un récipient 
de surface $.

13. Rappeler l'expression de la pulsation propre wo d'un ressort de raideur £ 
supportant une
masse M. Par analogie, en déduire l'expression de la pulsation propre wo des 
oscillations verticales
du liquide en fonction de P,, pr, lu et ha.

14. Comme à la question 4, on imprime au récipient un mouvement vertical 
d'amplitude À et de
pulsation w. On modélise le déplacement vertical du liquide z(t) par rapport au 
récipient comme
un oscillateur harmonique amorti de masse m, de pulsation propre wo et de temps 
d'amortisse-
ment Q/wo, correspondant à un facteur de qualité Q. La force d'inertie 
d'entraînement soumet
cet oscillateur à une excitation sinusoïdale de pulsation w. Ecrire l'équation 
différentielle du mou-
vement. Déterminer l'amplitude complexe À; du mouvement du liquide en fonction 
de À, @, et
T = W/wp.

15. À partir de la figure 3, évaluer numériquement la pulsation propre et le 
facteur de qualité.

III -- Étude de la stabilité d'une interface liquide-air

Dans cette partie, nous allons étudier la stabilité de l'interface liquide-air 
inférieure, et mon-
trer que sous certaines conditions, la disposition où le liquide est au-dessus 
d'une couche d'air
est un équilibre stable. Dans toute cette partie, le récipient est un 
parallélépipède dont les axes
définissent un système de coordonnées cartésiennes (x,y,2) (voir figure 2 à 
droite). La base,
horizontale, est un rectangle dont les dimensions suivant les axes x et y sont 
notées L,; et L,,. Sa
surface est S = L;Ly.

III À -- Surface supérieure du liquide dans un récipient immobile

Nous commençons par étudier le cas simple où le récipient est immobile, et où 
le liquide
le remplit jusqu'au fond. On suppose que la profondeur h, du liquide est grande 
devant toutes
les autres longueurs caractéristiques. Nous étudions les oscillations de sa 
surface supérieure. À
l'équilibre, celle-ci définit le plan z = 0. On s'intéresse à un déplacement 
vertical de la surface
15 1 I l 1
--- Modèle

e Expérience 8 A, | |

--h
O
'

®
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1

Gain, A,/A
>

s ®
ce s
5l + É 7
foce | °..e
NN à .._"ese
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0 E---------- | +
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| --1 | & 'x 1
& °e. °:
d e °°,
ao L. e* Î
Ë '«,
+
Q "so pe QE TE
-3 1 1 1 L Leone 0 99
80 100 120

Fréquence d'excitation, w/(27x) (Hz)

FIGURE 3 -- La figure du haut représente l'amplitude verticale A; (définie par 
Ay -- Ar |) de
l'oscillation de la couche liquide en unités de l'amplitude À de l'oscillation 
du support. La figure
du bas représente le déphasage entre l'oscillation du liquide et celle du 
support. Les points
correspondent aux mesures expérimentales, et la courbe en pointillés à une 
approximation de ces
données par le modèle d'oscillateur harmonique forcé (question 14).

de la forme C(t) cos(kx).

16. Quelle condition k et Ç(t) doivent-ils vérifier pour que la surface du 
liquide soit, en tout
point, peu inclinée par rapport au plan horizontal ? On supposera cette 
condition vérifiée dans
toute la suite du problème.

17. On néglige les phénomènes de dissipation, dus par exemple à la viscosité du 
liquide. Vérifier
que le champ de vitesses suivant correspond à un écoulement irrotationnel et 
incompressible, et
que sa composante verticale v,(x,z,t) vérifie les bonnes conditions aux limites 
à la surface et au
fond du récipient :

vtt, z,t) = --((t)e* sin kr
v,(x,2,0) = C(t)e** coskx. (1)
où ((t) = d(t)/dt.

18. Pour quelles valeurs de k ce champ de vitesses vérifie-t-1l les bonnes 
conditions aux limites
sur les parois verticales du récipient ?

19. Calculer l'énergie cinétique Æ.(t) du liquide associée à ce champ de 
vitesses en fonction de

pr, k,S et ((t).

20. Calculer la variation de l'énergie potentielle de pesanteur du liquide 
résultant du déplacement
de sa surface. On notera ÆE,(t) cette variation, qu'on exprimera en fonction de 
p, g, S et C(t).

21. Calculer la variation de l'énergie de tension superficielle, due à 
l'augmentation de la surface
du liquide résultant du déplacement vertical. On notera E;(t) cette variation, 
qu'on exprimera
en fonction de k, #, C(t), et du coefficient de tension superficielle s.

22. Déduire alors des résultats des trois questions précédentes que Ç(t) varie 
sinusoïdalement en
fonction de { avec une pulsation {? dont on donnera l'expression en fonction de 
g, k, y; et ©.

4
III B -- Surface supérieure du liquide dans un récipient en vibration

Comme dans la première partie de ce problème, on imprime maintenant au 
récipient un mou-
vement oscillant vertical Z(t) = À coswt très rapide. Pour étudier son effet 
sur le liquide contenu
dans le récipient, on effectue deux simplifications. D'une part, on suppose que 
la force d'inertie
l'emporte sur les autres forces, gravité et tension superficielle, qu'on 
néglige. Le mouvement du
liquide est donc dû à la seule force d'inertie. D'autre part, on suppose que la 
surface du liquide n'a
pas le temps d'évoluer significativement pendant une période d'oscillation du 
récipient, de telle
sorte que le déplacement vertical vaut h(x) = Çcos(kx), où on néglige 
maintenant la dépendance
temporelle de .

23. En utilisant les résultats de la première partie, expliquer pourquoi il est 
légitime de supposer
que la force de gravité est beaucoup plus petite que la force d'inertie.

24. En appliquant l'équation d'Euler, dans laquelle on néglige le terme 
convectif, montrer qu'à
la surface, la vitesse du liquide dans le référentiel du récipient vérifie 
l'équation

Ova
ot

dh(x)
ne (2)

= -ÿ(t)

25. Justifier que le champ de vitesses dans le liquide est donné par

Vx(x,z,t) -- Z(t) k Ce"? sin kx
v:(x,2,t) = --Z(t)kCe" cos kr. (3)

26. Calculer l'énergie cinétique Æ, du liquide associée à ce champ de vitesses, 
moyennée sur une
période d'oscillation, en fonction de @&, À, w, k, Set {.

27. Le mouvement du liquide est la superposition d'un mouvement rapide, imprimé 
par la vi-
bration du récipient, et d'un mouvement lent sous l'effet des autres forces en 
présence, gravité
et tension superficielle. Nous admettrons que le seul effet du mouvement rapide 
sur le mouve-
ment lent est l'ajout d'une contribution supplémentaire à l'énergie mécanique, 
qui est l'énergie
cinétique moyenne Æ, calculée à la question précédente. On note maintenant 
E,(t) cette contri-
bution pour prendre en compte le fait que l'amplitude Ç(t) varie lentement avec 
le temps. En
déduire comment la relation de dispersion Q(k) déterminée à la question 22 est 
modifiée par le
mouvement de vibration.

III C -- Surface inférieure du liquide dans un récipient en vibration

On considère enfin le cas, étudié dans la partie IT, où le liquide est en 
lévitation sur une poche
d'air. Nous allons étudier les oscillations de sa surface inférieure, dont on 
note toujours Ç(t) cos kx
le déplacement vertical, en exploitant les résultats obtenus dans les questions 
précédentes.

28. Expliquer sans calcul pourquoi le résultat de la question 26 s'applique 
toujours, à condition
de remplacer l'amplitude À du mouvement du récipient par l'amplitude A7 du 
mouvement du
liquide, déterminée à la question 14.

29. En utilisant le résultat de la question 27, écrire la relation de 
dispersion vérifiée par les
oscillations de la surface inférieure du liquide.

30. On néglige la tension superficielle. En utilisant les résultats des 
questions 18 et 29, montrer
que l'interface liquide-air inférieure est stable si L,; < L*, où L* est une longueur critique qu'on exprimera en fonction de AJ, w et g. 31. En utilisant la figure 3, quelle valeur de w a-t-on intérêt à choisir pour stabiliser l'interface ? IV -- Équilibre d'un corps flottant Le but de cette dernière partie est de montrer qu'on peut faire flotter un solide, appelé flotteur, à l'interface inférieure liquide-air. On considère pour simplifier un flotteur cylindrique homogène dont l'axe reste vertical à tout instant. On note ho sa hauteur et s la surface de sa base horizontale. Sa masse volumique, notée p, est inférieure à celle du liquide, pr < pr. IV À -- Flotteur sur le liquide dans un récipient immobile Nous commençons par étudier le cas simple où le récipient est immobile, et où le bas du flotteur est à la profondeur D au-dessous de la surface supérieure du liquide. Le haut du flotteur est alors à la hauteur ho -- D au-dessus de la surface du liquide. 32. Déterminer l'expression de la valeur de D à l'équilibre, notée Do, en fonction de ho, pr et pr. 33. On élève le flotteur d'une hauteur 0 au-dessus de la profondeur d'équilibre Do, de telle sorte que le bas du flotteur soit à la profondeur D = Dj -- à. On suppose Ô < Do pour que le flotteur reste partiellement immergé. Calculer le travail de la force de pesanteur et de la force de poussée d'Archimède lors de ce déplacement. En déduire que la variation d'énergie potentielle est de la forme à B6?, où on donnera l'expression de B. 34. En déduire la pulsation w des petites oscillations verticales du flotteur autour de la profon- deur d'équilibre Do. Exprimer w en fonction de g et D. IV B -- Flotteur sur le liquide puis sous le liquide dans un récipient en vibration On imprime maintenant au récipient un mouvement oscillant vertical Z(t) = À coswt très rapide. 35. En reprenant le résultat de la question 5, écrire l'expression de la poussée d'Archimède instantanée exercée sur le flotteur, en notant D(t) sa profondeur à l'instant £. 36. Écrire l'équation du mouvement du flotteur dans le référentiel du récipient, sous la forme d'une équation différentielle pour D(t). Simplifier cette équation en utilisant l'expression de Do obtenue à la question 32. 37. Pour résoudre l'équation, on effectue des simplifications analogues à celles de la partie III B. On suppose que la force d'inertie l'emporte sur la force de gravité, qu'on néglige. On suppose de plus que D(t) varie très peu au cours d'une période du mouvement oscillant. On écrit donc D(t) = D -- z(t), où D est la valeur moyenne et z2(t) est une petite perturbation oscillant autour de 0, qui vérifie à tout instant |2(t)| & D. Simplifier l'équation du mouvement sous ces approximations. Montrer qu'elle s'intègre en z(t) = aZ(t), où a est une constante qu'on exprimera en fonction de à et Do. Discuter les cas limites D = 0 et D = Do. 38. En déduire l'expression de l'énergie cinétique du flotteur, moyennée sur une période. 39. Le mouvement du flotteur est la superposition d'un mouvement rapide, imprimé par la vibration du récipient, et d'un mouvement lent sous l'effet des autres forces en présence, gravité et force de poussée d'Archimède. Comme à la question 27, nous admettrons que le seul effet du mouvement rapide sur le mouvement lent est l'ajout d'une contribution supplémentaire à l'énergie mécanique, qui est l'énergie cinétique moyenne calculée à la question précédente. En déduire comment la pulsation des petites oscillations du flotteur autour de sa position d'équilibre est modifiée par le mouvement de vibration. A0. On considère finalement le cas où le liquide est en lévitation sur une poche d'air. Déterminer à quelle condition sur la hauteur ho le flotteur peut être en équilibre stable sous le liquide, à une position qu'on précisera. Commenter à la lueur de ce résultat la photographie reproduite en exergue du sujet.