X Physique 2 PC 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2000 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Commutateur optoélectronique

Dans un circuit intégré électronique l'information est véhiculée par des 
électrons. Un des
buts de l'optoélectronique est de remplacer autant que faire se peut l'électron 
par le photon. On
sera donc amené à acheminer des faisceaux lumineux d'un point d'un circuit où 
ils auront été
mis en forme à un autre point où ils subiront des opérations logiques. Ce 
transport s'effectue
à. l'aide de guides optiques. Le but de ce problème est l'étude de quelques 
propriétés de ces
guides. Dans la première partie on s'intéresse au principe de guidage des ondes 
lumineuses dans
le cadre d'un modèle théorique simple. Une situation plus réaliste où le 
guidage des ondes est
plus complexe est étudiée dans la deuxième partie. Dans la troisième partie on 
introduira un

couplage entre deux guides optiques et on utilisera ce couplage dans la 
quatrième partie pour
réaliser un commutateur électro--optique.

Formulaire

Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : c = 3 >< 108 HIS--1 Équations de Maxwell pour les milieux diélectriques non magnétiques : divñ=p divË=0 ' (1) r6t E = --ôË/ôt r6t B' = ...,(î+ ôË/ôt) (2) Pour tout champ de vecteurs Â, on rappelle que : r5t r5t = grâd(div Â) --  Première partie Principe du guidage d'une onde lumineuse On s'intéresse àla propagation d'une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ou dans un guide dont le schéma est représenté sur la figure 1. Ce guide est constitué d'une couche coeur infinie d'arséniure de gallium (GaAs), d'épaisseur d, insérée entre deux plans parfaitement conducteurs, totalement réfléchissants. L'arséniure de gallium est un matériau semi-conducteur que l'on considérera comme un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope et non magné-- tique. On le caractérise par son indice de réfraction n(w). À la pulsation w de l'onde, on a n(w) = n = 3, 3. Figure 1 1. Montrer que le champ électrique de l'onde, exprimé en F au temps t, obéit à l'équation suivante : ÂË(f, t) + u050w2n2Ë(ñ t) = 6 (1) où ...) et 80 sont respectivement la splitéabilité et la permittivité du vide. 2. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par le champ Ë(F, t) ? 3. On se limite au cas de la propagation des ondes transverses électriques pour lesquelles le champ E est orienté selon Oy et on cherche une solution de l'équation (1) sous la forme Ë(F, t) = Re{F(x, y)e'flze"'"'t}ê'y où 5 est une constante positive, Re désignant la partie réelle. a) Justifier le fait que F(æ, y) ne dépend pas de y. b) Écrire l'équation différentielle et les conditions aux limites vérifiées par F(æ). On posera u) k = --. Montrer que ces conditions ne peuvent être satisfaites que si [i < kn (condition de c guidage) . c) On pose 012 = k2n2 -- ,82 avec a positif. Montrer alors que les solutions de cette équation n'existent que pour des valeurs discrètes cv,, de a que l'on déterminera. A chaque valeur ap correspond un mode guidé du champ électromagnétique caractérisé par l'amplitude Fp(oe). (1) Dans le cas d'une onde de longueur d'onde dans le vide A = 1, 4 pm, comment doit-on choisir l'épaisseur d de la couche de GaAs pour que le guide n'admette qu'un seul mode? 4. On se place dans les conditions où le guide n'admet qu'un seul mode. Donner l'expression du champ électrique correspondant à ce mode. Deuxième partie Guide diélectrique On s'intéresse toujours à la propagation d'une onde électromagnétique monochromatique transverse électrique de pulsation ca mais on envisage dans cette partie une structure plus réaliste représentée sur la figure 2. La couche coeur de GaAs, d'indice de réfraction noté désormais nc (nc = 3,3), est maintenant entourée par deux couches confinantes d'arséniure d'aluminium (AlAs) semi-infinies. "E AlAs Y " nc 0 GaAs Z nE AlAs Figure 2 Le matériau semi-conducteur AlAs sera considéré comme un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope, non magnétique d'indice de réfraction mg (mg = 2,7). Comme dans la première partie on cherche des solutions de l'équation (1) de la forme : Ê(ñ t) = Re{F(OE)efize--iwt}ëy 1. Ecrire l'équation différentielle à laquelle doit obéir l'amplitude F(æ) dans chaque milieu. On introduira les paramètres a et { tels que a2 : k2n20 -- 52 et 52 = [32 -- k2nî«. 2.a) Quel doit être le sens de variation de l'amplitude F(æ) à l'extérieur du coeur pour que la structure se comporte comme un guide. En déduire le signe de 52. Montrer que la condition de guidage de l'onde électromagnétique s'écrit maintenant km.; < ,8 < [eng. b) En supposant cette condition satisfaite donner les solutions générales de l'équation précédente dans chaque milieu. 3. Ecrire les relations de continuité entre le GaAs et l'AlAs pour les champs électrique et - aË magnétique de l'onde; en déduire la continuité de E et ---- aux interfaces. 6510 4. Etant donnée la symétrie du problème, on peut chercher des fonctions F(æ) soit paires soit impaires. a) Si F(:r) est une fonction paire, montrer que les paramètres a et & doivent vérifier les relations suivantes : a2 +EUR2 ___ k2(nËv _ n2E) = ------------ avec tg a-- > 0

km 2

b) Ecrire les relations similaires valables quand F (a:) est une fonction 
impaire.

d' a d

c) Proposer une résolution graphique permettant de déterminer les modes du 
guide.

(1) Montrer que l'amplitude du mode fondamental (mode correspondant à la valeur 
la plus
petite possible du paramètre a) est donnée par :
d d d

F(æ) = A cos ax si læ| < 5 F(æ) = Aces (aa) e_£(læl_d/2) si M > 5

où A est une amplitude constante.

RepréSenter schématiquement la dépendance de F(æ) en fonction de a: pour le 
mode fonda--
mental du guide.

e) Pour une longueur d'onde dans le vide A = 1, 4 nm et un guide d'épaisseur d 
= 0,6 pm,
on trouve pour le mode fondamental a = 3, 73 [tm--1. Calculer les valeurs de 
À{, d{ et de la
quantité 1/5.

Quelle est la signification physique de la quantité 1/£ ? Dans quel sens 
varie--t-elle lorsque
l'ordre p du mode augmente ?

5. On introduit l'angle 9 tel que a = knc cos 9. Montrer que, dans la couche 
coeur de GaAs,
le champ électrique correspondant au mode fondamental peut être assimilé au 
champ électrique
résultant de la superposition de deux ondes planes. En considérant la condition 
de propagation
dans le guide énoncée dans la question 2.a) de cette deuxième partie, trouver 
l'inégalité que
doit vérifier l'angle 0 et en donner une interprétation physique.

Troisième partie
Couplage de deux guides

Dans cette partie, nous allons étudier l'effet du couplage entre les ondes 
lumineuses se pro--
pageant, selon leur mode fondamental, dans deux guides identiques, parallèles 
et proches. Ce
couplage est dû à l'extension latérale de leurs champs électriques, le champ du 
mode fonda--
mental de l'un des guides n'étant pas nul dans la couche coeur de l'autre. Par 
construction, ce
couplage est faible; aussi on supposera que la structure du champ pour le mode 
fondamental de
chaque guide est pour l'essentiel non modifiée; on introduit simplement pour 
chaque onde une
amplitude complexe A,(z), (i = 1, 2), évoluant lentement dans la direction Oz 
sur une distance
caractéristique grande devant la longueur d'onde. Soit D la distance entre les 
centres des couches
coeur (figure 3). On posera ainsi :

Ê1(F, t) = E1(x, z, t)ê'y = Re{A1(Z)F(OE)eiflze--M}ëy
Ê2(F, t) = E2(æ, z, t)ë'y = Re{Ag(Z)F(OE -- D)eiflze--M}êy

4

en prenant A = 1 pour F(x) donnée dans la question 4.d) de la deuxième partie.

Figure 3

On admettra que, moyennant certaines approximations justifiées, le couplage se 
traduit par
le jeu d'équations :

%[A1(z)] = w A2] = iv A1

1. Montrer que la condition |A1]2 + lA2l2 = constante impose au coefficient 7 
d'être réel.
Donner une interprétation physique de cette condition.

2. Déterminer l'expression générale de A1(z) et celle associée de A2(z).

3. On suppose qu'à l'entrée la puissance lumineuse est injectée entièrement 
dans le guide 2.
On a alors A1(0) = 0 et A2(O) = A0. Déterminer A1(z) et A2(z).

4. Déterminer L, longueur minimale du double guide nécessaire à la transmission 
complète
vers le guide 1 de la puissance injectée dans le guide 2.

5. Calculer numériquement L pour deux guides de caractéristiques identiques à 
celui étudié
dans la question 4.e) de la deuxième partie avec un entraxe D = 1,4um, 
l'expression du
coefficient de couplage étant :

1 e_ê(D_d)

à+â; 2+Ed

_2
'_r3

Quatrième partie
Commutateur optique

Le matériau GaAs constituant les couches coeur est un matériau 
électro--optique, c'est-à--dire

que son indice nc varie en fonction d'un champ électrique externe appliqué E,, 
= Eaêy suivant
la loi :

Ang(E,,) = nË; rc Eu

où rc est l'indice électro--optique du GaAs valant 1,6 pm/V.

Afin de réaliser un commutateur, on utilise un système de deux guides optiques, 
analogue à ce--
lui étudié dans la troisième partie, mais on dispose deux électrodes sur le 
guide 2 uniquement. On
admettra que la présence de ces électrodes ne modifie pas la structure du champ 
électrique dans
les guides. En appliquant au guide 2 un champ électrique externe, on modifie 
très légèrement l'in-
dice de sa couche coeur qui passe de ne à nc+ônc avec ônc << 1, donnant ainsi au coefficient ,6 du guide 2 une valeur 5 + 55 légèrement différente de celle ,3 du guide 1. Les champs des modes fondamentaux des guides s'expriment alors selon : Ë1(F, t) = E1(x, z, t)ê'y = Re{A1(Z)F(æ)eiflze--M}ëy Ê2(F, t) = E2(OE, z, t)ëy : Re{A2 (z)F(æ -- D)ei(fi+ôfl)ze_i"t}ëy Lors de la propagation sur la distance 2, Ë2 acquiert par rapport à Ê1 un déphasage 652; on admettra que le couplage entre les amplitudes des deux ondes est décrit maintenant par les équations : d%[A1(z)] = ivA2(z)eiôflz d%[A2(z)] = i7A1(z)e-iôflz 1. Pourquoi faut-il tenir compte de la variation ôfl de [? alors que l'on néglige les variations && de a et 57 de fy qui sont a priori du même ordre de grandeur ? Citer un exemple de situation physique où ce type d'approximation est habituellement effec- tué. 2. On suppose qu'à l'entrée la puissance lumineuse est injectée entièrement dans le guide 2. 2 On a alors A1(0) = 0 et A2(0) = A0. On pose : Q = "72 + <%) . La résolution du système d'équations couplées conduit à : A1(z) : iA0%EURiâ% sin 92 A2 (2) = Aoe_iôgz (cos 92 + i% sin Qz) . On appelle Ho la puissance optique injectée dans le guide 2. a) Etablir les expressions des rapports H1(z)/HO et H2(Z)/H0 et dessiner schématiquement leur évolution le long du double guide couplé, b) Déterminer la proportion maximale de puissance transférable du guide 2 au guide 1. 3. L'ensemble des deux guides couplés possède la longueur L déterminée dans la question 4. de la troisième partie. Montrer qu'à la sortie du guide 1, fil (L) / Ho est une fonction du champ E.,, donnée par : HÏ1(f) =Sm2{% 1+ (L5fiÂEOE))'}/{l+ (LôfiiE; )'} 4. Pour que le double guide couplé joue le rôle d'un commutateur électro--optique, il faut que l'application du champ électrique redonne au guide 2 la totalité de la puissance incidente. a) Quelle est la plus petite valeur» de 5,8(Ea) nécessaire? . b) Pour les valeurs numériques données, ,6 % 27rng/À. En utilisant cette relation approchée, donner une expression pour le champ électrique E,, nécessaire à la commutation. c) Avec les valeurs numériques précédentes, calculer (en kV/ cm) le champ Ea nécessaire à la commutation et la différence de potentiel V (en volts) à appliquer aux électrodes, leur distance étant de 0,6 pm. 5. Les fréquences de commutation autorisées par un tel dispositif sont de l'ordre de 10 GHz, très supérieures à celles des commutateurs électroniques classiques. Ces derniers fonctionnent par transfert de porteurs de charges. Proposez une explication qualitative de cette différence de" performance.