X Physique 2 PC 2002

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

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Mesure de distances et de vitesses
à l'aide d'une diode laser

De nombreuses situations expérimentales, en particulier en robotique, 
requièrent une mesure
de distances et de vitesses d'une manière relativement simple et aussi peu 
coûteuse que possible.
Le but de ce problème est de montrer comment cet objectif peut être atteint à 
l'aide d'une
diode laser, source de lumière que l'on supposera monochromatique et dont la 
fréquence peut
être légèrement modifiée par un courant de commande.

I - Diode laser

Dans tout le problème, la diode est consti--
tuée par un milieu homogène, transparent, d'in--
dice n, limité par des faces planes et parallèles
distantes de L; elle est placée dans le vide (fi--
gure 1). Entre ces faces formant cavité, l'onde
optique est constituée de deux ondes progres--
sives, supposées planes, se propageant en sens
inverse, perpendiculairement aux faces; la di--
rection commune de propagation sera choisie
comme axe Oz. Polarisée linéairement, chaque
onde sera représentée par l'amplitude complexe
E(z) du champ électrique dont la dépendance
temporelle est de la forme exp(--iwt).

F figure 1

1. En utilisant les relations de continuité du champ électromagnétique, 
déterminer le coeffi--
cient de réflexion 7° en amplitude sur une face de la cavité (milieu ----> 
vide) en fonction de n ainsi
que le coefficient de transmission t correspondant.

2. Soit EO l'amplitude complexe, au niveau de la face 2 (figure 1), de l'onde 
qui arrive sur
cette face. On désigne par le le module du vecteur d'onde [@ dans le vide. 
Exprimer l'amplitude
de l'onde après un aller et retour complet dans la cavité en fonction de E0, 
7", k, L et n.

3. En fait, au cours de son trajet dans la cavité, l'onde est amplifiée par le 
phénomène appelé
émission induite. Une manière d'exprimer cette propriété est d'utiliser un 
indice complexe nc tel
quem=n--7Çgavecg>0. '

&) Justifier la forme de cette expression.

b) Trouver la relation qui doit exister entre 7", nc, k et L pour qu'il y ait 
un régime perma--
nent d'amplitude constante. Oette relation sera dans la suite dénommée << condition laser >>.

4. On suppose 9 << n, ce qui permet d'utiliser pour 7° l'expression obtenue en 1. En régime permanent, la diode laser n'émet que pour des fréquences particulières % situées dans une certaine plage. &) Déterminer l'écart AV entre deux fréquences consécutives possibles up et Vp+1 de l'onde. b) On appelle << coefficient d'amplification >> le facteur 04 : kg. Déterminer 
en fonction de
L et 7° la valeur @@ que doit avoir oz en régime permanent ?

5. Application numérique. On donne n = 3, 40 et L = 0,5 mm.
&) Calculer AV, 7" et 010.

b) La longueur d'onde de l'oscillation laser est voisine de 845 nm; calculer la 
valeur go de
g correspondante; justifier l'approximation faite sur la valeur de 7° à la 
question 4.

6. L'amplification dans un milieu laser nécessite une << inversion de populations >>, c'est-à--dire
que le niveau supérieur de la transition optique soit plus peuplé que le niveau 
inférieur. L'émission
induite tend à diminuer cette inversion, ce qui entraîne que le coefficient 
d'amplification & décroît
lorsque l'intensité ] de l'onde optique croît; l'intensité I est définie ici 
comme la puissance de
chaque onde progressive a l'intérieur de la cavité. On admettra que la relation 
entre oz et I est

oz
de la forme : oz(l ) -- ------m---- où oz... et IO sont deux constantes. On 
donne oz... : 2 >< 103 m_1, _ 1+I/IO Ï0= 10 mW. Calculer [ en régime permanent et la puissance de sortie 18 du faisceau laser par l'une des faces. II - Principe des mesures de position et de vitesse d'un obstacle Dans cette partie, on étudie qualitativement l'effet sur le fonctionnement d'une diode laser de l'onde émise puis réfléchie (ou rétrodiffusée) par un obstacle extérieur et revenant dans la cavité, puis le principe de son utilisation aux mesures de position et de vitesse d'un obstacle. Le dispositif est modélisé selon le schéma de la figure 2; soit ,a réel positif le coefficient de réflexion en amplitude sur l'obstacle, qui avec la face 2 forme une cavité de longueur D. On supposera p << 1. On désigne par 1/p la fréquence d'oscillation de la diode laser en l'absence d'obstacle. F igure 2 1. Justifier sans calcul que, lorsque l'onde, sortant de la face 2, y revient en phase après un aller et retour, le coefficient d'amplification du milieu est diminué, et que la puissance du faisceau laser est alors maximale. Justifier de même que la puissance du faisceau est minimale si l'onde revient en opposition de phase. L'indice n du milieu dépend du courant d'alimentation de la diode; en faisant varier ce courant, on modifie la fréquence de fonctionnement up; on supposera dans toute cette partie II. que cette fréquence est imposée par le contrôle du courant d'alimentation. 2. Par une rampe de courant, on réalise une croissance monotone de V,, a yp + AV,, ; l'obstacle est fixe. On observe que la puissance émise passe par une succession de maximums. a) Quelle est la différence de fréquence 5V entre deux maximums consécutifs ? b) Déterminer la relation entre le nombre N D de maximums détectés, Ayp,c et la distance D. c) Pour Ayp = 50 GHz, exprimer D en fonction de N D; quelle incertitude sur la mesure de D a--t--on par ce comptage ? 3. On suppose maintenant la fréquence yp fixe et l'obstacle mobile avec la vitesse @ telle que D(t) : D0 + vt. Durant l'intervalle de temps At, on détecte NU maximums de puissance laser. En utilisant les résultats précédents (2.a)), déterminer la relation entre @, At, Up, (: et N,, en supposant la vitesse constante durant At. Pour At = 20 ms, quelle est la résolution de la détermination de la vitesse à partir de N,, ? 4. L'obstacle étant animé de la vitesse @, on impose au courant de commande de la diode une loi de variation << triangulaire >> de durée totale T; la variation de la 
fréquence laser suit la

même loi : croissance de AVP durant T / 2, puis décroissance jusqu'à la valeur 
de départ yp durant
T/ 2. On observe Nl maximums durant la première phase et Ng durant la seconde. 
Dans cette
question, on suppose la vitesse ?) suffisamment grande et positive; d'autre 
part, pour simplifier,
on traitera N1 et Ng comme des variables continues.

Déduire la distance et la vitesse de l'obstacle en fonction de Aup,T , Nl, Ng 
et la longueur -
d'onde AP du rayonnement.

III - Diode laser avec cavité extérieure

Dans cette partie, on analyse quantitativement l'effet de l'onde réfléchie par 
l'obstacle
(cf. partie II) sur l'intensité émise par la diode.

1. Soient 7°' et t' les coefficients de réflexion et de transmission pour les 
amplitudes dans le
sens vide --+ milieu; calculer 7"' et t' en fonction de n; montrer que 7° + 7" 
= 0 et que T2 + tt' : 1.

2.a) En appliquant les relations de continuité aux ondes arrivant sur la face 2 
ou en repartant
(cf. figure 2), montrer que l'on peut assimiler l'ensemble à une cavité laser, 
de longueur L
identique à l'initiale, mais avec un coefficient de réflexion Z sur la face 2 
donné, avec 9 : 2kD,
par :

Z __ 7" + pexp(i9)
_ 1 + rpexp(i9) '

b) Simplifier l'expression de Z en ne gardant que les termes du premier ordre 
en p.

1

Dans la suite, on posera a = p <-- -- 7") avec & << 1. 7° 3.a) Donner dans cette situation la nouvelle expression de la << condition laser >>.

b) En déduire le coefficient d'amplification oz qui maintient l'oscillation en 
fonction de
7°, L, a et 9.

c) Soit 504 l'excursi0n maximale de oz lorsque le déphasage de l'onde retour 
varie; exprimer
(Sd/dg en fonction de a et 7", dg étant la valeur de a pour p = 0 (cf. I.4.b)). 
En donner la valeur
numérique pour p = 1 >< 10--3. ' 4.a) Montrer que l'intensité du faisceau laser émis varie en fonction du déphasage de l'onde à son retour. Pour quelles valeurs de 9 est-elle maximale ? Quelle est alors la fréquence d'émission ? b) Calculer, avec les données numériques précédentes, la variation relative de l'intensité du faisceau laser (Imax -- I......) / I , ] étant l'intensité moyenne. IV - Analyse de la forme du signal L'expérience montre que, lors du déplacement de l'obstacle ou lors d'un balayage de fréquence par modification du courant de commande (cf. partie II), on observe bien des variations presque périodiques de la puissance émise mais souvent avec des discontinuités associées à des sauts de ' fréquence. C'est cet effet qui est analysé dans cette dernière partie. 1. À partir de la << condition laser >> obtenue en III.3.a), montrer, pour & << 1, que la fréquence d'oscillation est déterminée par la relation approchée : L 7159 + asin9 = p 27r avec p entier. 2. Pour un courant de commande fixé et en l'absence d'obstacle (a = 0), on note no et go les valeurs de l'indice n et du coefficient 9 du milieu, et kg le module du vecteur d'onde. En présence de l'obstacle, a la modification 59 = g -- 90 est associée en fait une modification 571 = n ---- no de l'indice, avec 671 = fl5g, où 5 est un coefficient positif de l'ordre de quelques unités; cela entraîne une modification de [EUR : ôk = k -- kg. CL a) En linéarisant le résultat obtenu en III.3., montrer que : go 51EUR + ko 5g = ----îË cos 9. CL b) Montrer de même que la << condition laser >> s'écrit : no 516 + kg 671 = --Ë 
sin «9.

c) Justifier l'hypothèse 5 go << no, et exprimer no 51EUR en fonction de a, L, 3 et 9. 3. Montrer que la relation déterminant k se met sous la forme : A -- BH = sin(9 ---- (p)" avec 3 = tan go, et donner les expressions de A et B en fonction de p, a, T..., L, D et B. Calculer g0 avec B = 6. Évaluer A et B pour p = 1 >< 10_3 et D = 0,5 m. 4. En vue d'effectuer une analyse graphique de cette équation, préciser la valeur 90 de 9 qui annule A -- BO et tracer le graphe de sin(9 -- go) au voisinage de (90. Porter sur ce graphe les points M correspondant aux maximums d'intensité du laser et les points m correspondant aux minimums. 5.a) À courant de commande fixé, donc no fixé, on augmente D. En traçant localement le graphe de A -- BH au voisinage de 90 et en suivant son déplacement (on notera que A _>> 1),
montrer graphiquement que, pour B > 1, 6 augmente de façon continue mais 
irrégulière, et,
pour B < 1, par parties continues séparées par des sauts. b) Lorsqu'ils existent, ces sauts de 9 sont accompagnés de sauts d'amplitude du faisceau laser; quel est le sens de cette variation ? C Dans les IHÔIÏIEURS COHdlthHS OIl diminue D ' llEURl EURSt &lOI'S le 86118 de V8l'l&thfl des sauts 7 7 d'lfitEURl"lSlté .' 6. À D fixé, on augmente de façon régulière le courant de commande de la diode, ce qui augmente de même no; quel est le sens de variation de 9? Quel est celui des discontinuités d'intensité dans les conditions où elles apparaissent ? 7. Quel est l'intérêt de ces sauts d'intensité pour la détection?