X Physique 2 PC 2004

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

* * *
Lévitat ion magnétique

Le but de ce problème est d'interpréter certaines expériences de lévitation 
conduites récemment
sur des substances dites diamagnétiques comme l'eau, le graphite, les matières 
plastiques. ..
Ces expériences sont rendues possibles à température ordinaire grâce à 
l'obtention de champs
magnétiques élevés, supérieurs en général à 10 T.

Dans tout le problème, le référentiel du laboratoire, noté (R), est supposé 
galiléen, Oæyz en
étant un repère orthonormé. C'est le référentiel unique d'étude des parties II, 
III et IV.

Formulaire

--»

En coordonnées cylindriques (I", go, z), les composantes d'un vecteur A sont 
notées
(A... A.}... AZ).

. --»_ 1 8(7"A,) 1 ô'A,p ÔAZ
d1VA _ 7° 67° 7' Ôcp Ô'z

--» 1 ôAZ ÔA
(aA)T : ; Ôg0 _ Î'97£p

ÔA, ôAZ
OEOîÂ)
< 1023m01"1 Champ de pesanteur : g = 9, 81 ms"2 Charge élémentaire : e = 1,60 >< 10"19 C Masse de l'électron-- ' _ : me = 0,91 >< 10"30 kg Masse d'un nucléon : MN = 1, 66 >< 10"27 kg Permittivité du vide : 50 = 8, 85 >< 10-12 F-m--1 Perméabilité du vide : ,u0 : 47r >< 10"7 H-m'1 I. Champ magnétique et orbites électroniques Un noyau fixe, de charge Ze, est placé en 0. Un électron de charge --e, soumis à l'interaction électrostatique du noyau, décrit une trajectoire circulaire (C) de rayon m. La) Écrire l'équation E< 10"10 m et Z = 1. 2. On applique à ce système un champ magnétique Ë , uniforme et constant. a) Écrire dans (R) l'équation du mouvement de l'électron. b) On considère un référentiel (S), lié au repère Ooe' y' z' , en rotation par rapport à (R), à la vitesse angulaire Q constante. Ecrire l'équation E(S) du mouvement de l'électron dans ce référentiel. --o c) Déterminer Q, en fonction de @, mEUR et R, pour que E(5) ne contienne plus de terme linéaire en R . Calculer la valeur correspondante de Q pour B = 10 T. d) Expliciter les termes d'ordre B2 que contient alors E(S). Évaluer numériquement leur importance relative dans l'équation en utilisant les résultats numériques de Le). Ils seront par la suite négligés. Montrer que dans ces conditions il y a identité formelle des équations E(S) et E(R). e) On considère le cas où Ë = Bê'Z est orthogonal a (C). En admettant que la trajectoire (C') n'est pas modifiée par la présence du champ, déterminer la variation AË du moment ciné-- tique par rapport à O et due à. l'introduction du champ. Quelle est la variation associée Afi du moment magnétique ? f) Calculer numériquement Aug/az pour B = 10 T et les valeurs données en Le). 3. L'établissement du champ magnétique, s'effectue en réalité sur une durée 7' très longue devant la période du mouvement électronique. Soit BZ (t) la valeur instantanée du champ, avec Bz(0) = 0 et BZ (t) = B pour t 2 T. On le suppose orthogonal a (C') à tout instant. &) Donner l'expression du flux de Ë à. travers un cercle de rayon r et d'axe 02, puis celle de la f.é.m induite le long de la circonférence de ce cercle. En déduire la composante orthoradiale EÇP du champ électrique induit. EUR b) Écrire l'équation d'évolution temporelle de L2. En déduire que Lz -- 5728 est une constante du mouvement. . c) Montrer que la variation ALZ que l'on peut en déduire est compatible avec celle obtenue en 2.e) si l'on admet que la trajectoire n'est pas modifiée. 4. Un corps solide ou liquide contient N atomes identiques par unité de volume; le noyau de chaque atome contient Z protons et A -- Z neutrons. a) On suppose que les différentes orbites électroniques de l'atome ont des orientations telles que le moment magnétique électronique total est nul en l'absence de champ magnétique. En supposant valable pour l'ensemble du cortège électronique l'équivalence de l'application du champ magnétique et de la rotation à la vitesse angulaire Ô déterminée en 2.c), montrer que l'atome acquiert sous l'effet d'un champ Ë un moment magnétique donné par : Z 62 (332 + y?) _. --+at = --------------------B ,a 4me Où (332 + y2) désigne une moyenne sur les différentes orbites électroniques repérées par rapport au centre de l'atome. ,_ . b) ,u.R désignant la splitéabilité relative d'un matériau, on pose ,uR = 1 + x, x étant appelé la susceptibilité magnétique. Dans le cas où | xl << 1,justifier que l'on puisse adopter la relation approchée ]Ü : x(Ë/;...) où Ë est le champ magnétique externe appliqué et M le vecteur aimantation du corps. c) Application numérique. En supposant cette hypothèse vérifiée, calculer x pour un corps de masse volumique p = 1 >< 103 kg-m--3, avec Z/A = 1/2 et 1132 + y2 = 1 >< 10"20 m2. II. Lévitation dans un champ magnétique à symétrie de révolution 1. Un champ magnétique statique Ë(f') possède la symétrie de révolution autour de l'axe Oz dans une région où le vecteur densité de courant est nul. On cherche à préciser analytiquement ce champ au voisinage de cet axe de symétrie, en utilisant un système de coordonnées cylindriques (73 90, Z)- &) Ecrire les équations satisfaites par B au voisinage de l'axe Oz. b) Compte tenu des propriétés de symétrie du champ Ë , quelles en sont les composantes non nulles et de quels paramètres dépendent--elles ? c) Soit M un point de l'axe Oz de cote ZM et P(r, go, ZM + EUR ) un point situé au voisinage immédiat de M. Vérifier que le développement en série de Taylor limité au deuxième ordre (inclus) en 7° et EUR du champ magnétique B (P) : 2Ç2 _ 'I"2 2 7 ,. B,...(P) = --a15 ---- a2'rÇ _ BAP) = ao + a1Ç + @ satisfait aux équations du champ. 38 d) Exprimer les coefficients cm,... et a2 en fonction de BM = B(M ), va1 = --52 et , ZM Ô2B Il __ BM _ 322 ZM. e) Montrer que l'expression de B2(P), en se limitant au deuxième ordre (inclus) en ,. et Ç , a pour expression 15%) = 3%. + zBMBM + (Bfi + BMBX4)c2 + (BEE. ---- ZBMBXÆ>r2/4

2. L'axe Oz est vertical. On place au point P un corps homogène, de volume V, 
de masse
volumique p et de susceptibilité magnétique x. Il est soumis au champ 
magnétique précédent et
au champ de pesanteur.

&) Montrer que si | xl << 1, la force qu'exerce le champ magnétique sur le corps << dérive >>
d'une énergie potentielle Umag donnée par : '

1
Umag : --fiVXBZ(P)

le volume du corps étant considéré comme assez petit pour prendre la valeur de 
B au point P
comme sa valeur moyenne sur le corps.

b) Soit U... l'énergie potentielle totale du corps; en donner l'expression à 
l'ordre 2 inclus
en EUR et r.

c) On souhaite que M soit un point d'équilibre. Déduire de U... l'équation 
implicite qui
permet de déterminer z M.

(1) Écrire les conditions de stabilité de cet équilibre en fonction de BM, BM, 
BX,! et x.

e) Dans le cas d'un Corps paramagnétique (X = Xp > O), montrer que l'équilibre 
est
toujours instable.

f) Dans le cas d'un corps diamagnétique (x = Xd < 0), préciser les conditions de stabilité. Donner les expressions donnant les pulsations WC et car des petits mouvements autour de la position d'équilibre ZM en fonction de B M, BÂ,_, et BÉÇ_, et 9. III. Lévitation diamagnétique au voisinage d'une spire _1. Le champ magnétique Ë est créé par une spire circulaire d'axe vertical Oz, 0 étant le centre de la spire, de rayon a. Elle est parcourue par un courant constant d'intensité I. a) Calculer le champ magnétique en tout point M de l'axe Oz. b) Déterminer les exmessions de B M', Blv1 et de BX,_, en fonction de BO = BZ (O), 2 et a. 0) Montrer que la lévitation stable d'un corps diamagnétique (x = Xd < 0) de petite taille n'est possible que si ZM se situe dans un intervalle de cotes [zmim zmax] que l'on déterminera en fonction de a. d) Montrer que ZM = a / 2 est une position d'équilibre stable possible. Quelle est la valeur de BX,! en ce point ? 2. Application numérique. Le corps a pour masse volumique p = 103 kg.m"3 et pour sus-- ceptibilité magnétique Xd = --8, 8 >< 10--6. Le rayon de la spire vaut a = 1 >< 10"2 m; le fil de la spire un diamètre d de 1 >< 10"3 m et une résistivité de 10_8 Q-m. a) Calculer la valeur du champ magnétique BO au centre de la spire et l'intensité I du courant nécessaire pour avoir un équilibre en zM = a / 2. b) Calculer alors la puissance dissipée par effet J oule dans la spire. Commenter le résultat. IV. Lévitation d'une sphère supràconductrice Certains matériaux, refroidis à une température inférieure à une certaine température cri-- tique, deviennent supraconducteurs. En présence d'un champ magnétique, une caractéristique de cet état est l'expulsion totale du champ du sein de la matière, des courants surfaciques in- duits créant a l'intérieur du corps un champ magnétique exactement opposé au champ externe appliqué. 1) Soit une sphère supraconductrice, de centre O et de rayon R, plongée dans un champ externe constant et uniforme à l'échelle de la sphère B = Bê}. &) En utilisant les propriétés de symétrie de la situation, montrer qu'un potentiel vecteur pour le champ créé par les courants surfaciques est, en coordonnées cylindriques, de la forme A = A@e< 103 kg.m" , est placée sur l'axe vertical d'une spire circulaire identique a celle étudiée en III.1. &) En transposant les résultats de 111.2, quel est le champ magnétique B(O) au centre de la spire nécessaire pour que la sphère soit en lévitation à la cote ZM = a / 2 ? b) Quelle est alors l'intensité ] dans la spire et la puissance dissipée par effet Joule ?