X Physique 2 PC 2005

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Générateurs et pompes électromagnétiques à métal liquide

Ce problème se propose d'étudier le mouvement d'un fluide homogène, 
incompressible et
conducteur, soumis a un champ électrique et champ magnétique croisés, et d'en 
tirer des conclu-
sions quant a d'éventuelles applications industrielles, tout particulièrement 
pour la circulation
de métaux liquides.

Toute l'étude est effectuée dans le référentiel du laboratoire, supposé 
galiléen.

On désigne par e la charge élémentaire.

Formule du double produit vectoriel : ä' /\ (Ë /\ 6) = (5 - ê)5 -- (ä' - Ë)E .

Permittivité du vide : ...) : 47r >< 10"7 H - m_1. I. Étude préliminaire Dans un plan horizontal, un circuit électrique rectangulaire est constitué de deux rails conduc-- teurs, fixes, parallèles, distants de D et de résistance électrique négligeable; les extrémités A et B sont reliées par une résistance R. Il est fermé par une barre métallique, conductrice, mobile A' B' , de résistance R' , glissant sur ces rails. L'ensemble est plongé dans un champ magnétique vertical, constant et uniforme, avec Ë = Bë} avec B > 0 (figure 1).

F figure 1

Le conducteur A' B' , se déplace en translation a la vitesse 17 = vé}. Cette 
vitesse est constante
du fait d'actions mécaniques extérieures avec lvl << 6. 1. Montrer que ce système est un générateur électrique; calculer la f.é.m correspondante et l'intensité qui traverse le circuit orienté. En déduire la d.d.p. V A ---- VB entre les deux rails et le champ électrique Ê supposé uniforme a l'intérieur du barreau mobile. 2. Le courant est dû a un mouvement d' électrons ,préciser l' origine de la force qui les met en mouvement et en donner l'expression à l'aide de v et B. Donner l' expression de la force totale f qui s'exerce sur un électron dans la barre mobile a l'aide de B et B. 3. Soit 0 la conductivité du métal de la barre. Quelle est la relation entre la densité volumique de courant J, et les champs E, B, 17 et 0. Pourquoi peut--on l'appeler << loi d'Ohm >> locale ?

4. Application numérique. On donne R- -- 109, R'-- ---- 10Q, D-- -- 0,1 m, i) 
-- --2 m s 1 et
B-- -- 0,2 T. Calculer l'intensité 1, puis É et 17 /\ B en précisant leur sens 
par rapport a A'B'.

II. Ecoulement d'un fluide conducteur

On étudie dorénavant l'écoulement d'un fluide conducteur et incompressibIe, de 
masse volu--
mique p. Cet écoulement s'effectue dans la direction 051: et la vitesse locale 
est fonction de la
coordonnée z: v-- - v(z, t)eoe. Soit P (a: y, z ,t) le champ de pression du 
fluide. Le milieu est soumis
a un champ magnétique B= BeZ et a un champ électrique Ë= Eey, constants et 
uniformes
(figure 2). Les forces de pesanteur sont négligées.

2d
y

33

B
E
?)

F igure 2

1. Equation du mouvement
&) Donner l'expression de la densité volumique des forces de pression fp.

b) Soit 77 la,-viscosité dynamique du fluide. Montrer que la densité volumique 
des forces de

_ _ _. .. Ô2'U
Viscos1té f,, est donnée par f,, = 77--eoe.

Ôz2

c) Le fluide est localement neutre. Soit J le vecteur densité de courant. 
Donner l'expression
de la densité volumique de force magnétique fB. En utilisant la loi d'Ohm 
locale, exprimer fB
en fonction de B, B, 17 et a ,expliciter ses composantes.

d) Écrire l'équation du mouvement du fluide. En déduire que la pression est 
indépendante
de y et z.

2. Ecoulement entre deux plans parallèles

Le fluide est canalisé par deux plans horizontaux d'équations z = id (d > 0). 
Au niveau
de ces plans, la vitesse du fluide s'annule : v(id) = 0. On suppose de plus 
toutes les grandeurs
indépendantes de la coordonnée y, les perturbations dues aux limites du conduit 
selon Oy étant
ignorées (figure 2).

On considère un écoulement stationnaire.

a) Écrire l'équation différentielle reliant P et ?? pour cette situation. En 
déduire que
dP

-- --K est indépendant de w.
doe

b) Résoudre l'équation différentielle à laquelle satisfait v(z). On introduira 
le nombre de
Hartmann Ha = Bd(a/n)l/2.

c) Déterminer la vitesse moyenne du fluide vmoy en fonction de E, B, K, a et Ha.
(21) Que devient, pour Ha << 1, la solution v(z) obtenue ? Représenter l'allure de son graphe. e) Pour Ha >> 1, montrer que v(z) prend la forme approchée U(z) oe 
vO[1--exp(--(d--|zl)/5)].
Donner les expressions de 5 et de vo ; comparer @@ et vmoy. Quelle conclusion 
en tirez--vous ?

f) Application numérique. Le fluide est du sodium liquide avec les propriétés 
suivantes :

Viscosité dynamique 77 = 27 >< 10_5 kg . m"1 - s"1 Conductivité 0 = 23 >< 106 Q"1 - m--1 Oalculer Ha et 5 pour d = 1 cm et B = 0,5 T. Tracer l'allure du graphe de v(z). III. Exemple d'application On étudie le système schématisé figure 3; le sodium liquide se déplace dans un conduit cylindrique de longueur Aa: = L, de section rectangulaire Ay = l,Az = D. Les deux côtés perpendiculaires à Oy sont des électrodes ayant pour aire Aa: Az; on négligera les modifications de vitesse a leur voisinage; la vitesse du fluide est alors supposée uniforme. F igure 3 dP La) Exprimer ? = K en fonction de E,B,vo et a. Quelle application peut--on imaginer ' cc pour un tel système dans le cas où E > 'UQB ?

b) Application numérique. On donne : Débit volumique Q = 3 >< 10"3 rn"3 - s--1, D = 2 cm, l = 10 cm, L = 40 cm, B = 0,5 T, a = 23 >< 106 Q_1-m_1. La différence de potentiel VA -- VB entre les électrodes vaut VA -- V3 = O, 1 V. Calculer la différence de pression AP entre la sortie et l'entrée du système. (:) Expliciter la relation entre la ddp VA -- V3 et l'intensité ] qui traverse le fluide. Montrer que le schéma de la figure 4a est équivalent au dispositif de la figure 3, et en préciser les éléments Rf et 60. 1 60 _, Figure 4a (1) L'ensemble est alimenté par un générateur de courant I 5. Une partie de ce courant ne traverse pas le fluide, mais le court-circuits en cheminant dans les parois du tube conductrices, de résistance R2. De plus les parois d'amenée et de sortie du courant ont une résistance Rp; on pose R1 = R f + Rp, cette situation est schématisée figure 4b. Exprimer AP en fonction de I 5 et de Q, à l'aide des paramètres du dispositif. e) Montrer qu'à débit Q et intensité fournie IS fixés, AP présente un maximum pour une valeur du champ magnétique Bmax dont on donnera l'expression. Quelle est la valeur de la différence de pression correspondante APmax ? f) Application numérique. On donne Q =3 >< 10"3 m3 - s"1, 15 = 1 >< 104 A, D = 2 cm, R1 = 2 >< 10_6 Q et R2 = 2 >< 10_5 Q. Calculer Bmax et APmax. 2. Conservant la même installation on supprime la source de courant externe. Les électrodes sont reliées par une résistance externe Rext. Pour simplifier, on ignorera la résistance de fuite R2 décrite en Le. La vitesse du fluide vo est maintenue constante (figure 5). . Figure 5 &) Déterminer l'intensité I du circuit en fonction de vo, B , l , R1 et Rext. b) Calculer la différence de pression entre l'entrée et la sortie; préciser son signe. Quel rôle joue ce dispositif? Exprimer la puissance mécanique reçue par le fluide en fonction de vo, B , l , R1 et Rext. c) On définit le rendement p de l'installation comme le rapport entre la puissance utilisée (par effet Joule) dans la résistance externe Rext et la puissance mécanique reçue. L'exprimer en fonction de R1 et Rext. lnterpréter le résultat simple obtenu. (1) Calculer [ et p avec Q = 3 >< 10"3 m3-s_l, B =0,5 T, D = 2 cm, R1 = 2 >< 10--69 et Rext = 4 >< 10-6 n. e) Dans certains réacteurs nucléaires on doit faire fonctionner un circuit primaire contenant un fluide caloporteur, par exemple le sodium liquide qui se trouve être dans ce cas irradié au coeur du réacteur, et un circuit secondaire comportant toujours du sodium mais cette fois non irradié. Le flux dans le circuit primaire est causé par l'énergie thermique venant du réacteur. À partir des propriétés des dispositifs étudiés en 1) et 2), expliquer comment, en couplant ces dispositifs, on peut assurer la circulation dans le circuit secondaire. Quel est l'intérêt d'un tel système du point de vue mécanique ? IV. Pompe à induction On envisage un écoulement de fluide conducteur analogue aux précédents, dans un conduit identique, mais soumis cette fois à un champ magnétique B0 variant sinusoïdalement en fonction du temps et en outre << glissant >>. Sa composante verticale, en notation 
complexe est de la forme :

BS : BOEURj(wt--kOE)

Ce champ est produit par des bobines plates réparties de part et d'autre du 
tube (figure 6)
alimentées par des courants convenablement déphasés les uns par rapport aux 
autres. La com--
posante inévitable Boe selon Occ joue un rôle parasite; on supposera qu'elle 
reste faible et que
son rôle est négligeable. De même les perturbations dues aux extrémités ainsi 
que celles liées a
« l'effet de peau», limitant la pénétration du champ électromagnétique dans un 
milieu conduc--
teur, ne seront pas prises en compte. Toutes les grandeurs sont indépendantes 
des variables

yet z.

glissement

.AOAOAOAOÀOÆÀOÀOÀODÀODA.À.À.@ÀODÀO

BZO +llll +lll+ x
"__--W

.'O'O'O'O*.'âv0'0'0'0'0'.'.*O'O'®'OÜ"Û
Figure 6

L'étude est effectuée dans l'approximation des régimes quasistationnaires et en 
régime per--
manent.

1. Dans le fluide en mouvement, il apparaît un courant induit de la forme :

----»

J = Jyê'y avec Jy = JO expj(wt -- koe)

Montrer que le champ magnétique Ë' créé par ce courant est donné par BË = 
(pg/jk)Jy.

2. Soit Ë' = ËO + Ë' le champ magnétique total. Déterminer le champ électrique 
Ë = Eyëy
associé à ce champ. On posera par la suite ...; = w/k.

3. Écrire la loi d'Ohm reliant f a É et a Ë', le fluide, de conductivité 0, 
étant en mouvement

à la vitesse 27 = ve}. On pose G = v/uB et R... = ,u00uB/k. Exprimer J,, en 
fonction de BS a
l'aide des paramètres a, 7143, R... et G.

4. Exprimer de même Ey en fonction de BE.

5. Calculer Pelec; densité de puissance électrique moyenne reçue par les 
porteurs de charge
mobiles du fluide.

6. Calculer fm, densité de la force moyenne qui s'exerce sur le fluide. En 
déduire l'expression
de la densité de puissance correspondante P...eca reçue par le fluide.

7. On suppose G < 1. lnterpréter les signes de Pelec et de P...ecä en précisant le rôle du dispositif. On définit le rendement du système par 7° = P...eca /Pe1ec- Justifier ce choix et donner son expression. 8. Application numérique. On considère l'écoulement, dans un conduit de section rectangu-- laire, d'un mélange eutectique Na--K de conductivité a = 26 >< 106 Q'1 - m_1 ; sa vitesse est de 45 m--s--1. L'amplitude du champ magnétique est lBol = O, 5 T; sa fréquence est de 100 Hz et la vitesse de glissement vaut u B = 50 m -- s--1 Oalculer R... et le rendement 7". La longueur utile du conduit est L = 1 m ; calculer la différence de pression entre entrée et sortie en l'absence de frottements. 9. Quel rôle joue le dispositif si ...; < 1), soit G > 1 ?