X Physique 2 PC 2006

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2006 FILIÈRE P C

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Réflexion et transmission d'une onde électromagnétique

par des couches conductrices d'épaisseurs nanométriques

Le problème est consacré à l'étude de la réflexion et de la transmission d'une 
onde élec--
tromagnétique par des milieux conducteurs, d'abord d'extension infinie, puis 
par des couches
conductrices d'épaisseurs nanométriques. Ces dernières, déjà utilisées dans de 
nombreux disposi--
tifs de l'optoélectronique moderne (détecteurs infrarouges, lasers solides), 
font l'objet de travaux
' de recherche soutenus.

On rappelle les équations de Maxwell pour un milieu non magnétique :

--»

_. _. .. _» ôB
dIV(SOE + P) : plibre ; TOLE : _ä--
- - .. 6 E 13 _,
f0tB = #0 jlibre + _(_5_O_Ëtl_) ; diVB = 0
1 9
oe 9 >< 10 SI . 47T80 masse de l'électron : m0 = 9,1 >< 10_31 kg charge élémentaire : e = 1, 6 >< 10_19 C électronvolt : 1 eV = 1, 6 >< 10--19 J constante de Planck : h = 6, 6 >< 10_34 J - S constante de Boltzmann : kB : 1,4 >< 10--23J - K--1 Le mouvement d'un électron dans un solide correspond à celui d'une particule chargée de charge --e (EUR > O) et de masse << effective >> 777. (777. < mo où m0 est la masse de l'électron dans le vide) . I. Propagation d'une onde électromagnétique dans « un plasma solide » Un solide contient des électrons de conduction de masse effective m et de charge --e, c > O, de
concentration volumique n supposée uniforme. La neutralité électrique est 
assurée par des charges

+e fixes, de même concentration volumique n. Une onde électromagnétique plane, 
progressive, de
pulsation angulaire w, polarisée linéairement, arrive normalement sur une face 
plane de ce solide.
On note Oz la direction de propagation, z = 0 la surface de l'échantillon et 
0:13 la direction de

polarisation de l'onde électromagnétique.

Dans le solide, on suppose que les électrons sont sans interaction entre eux et 
soumis au

champ électrique de l'onde :
E(z, t) = Eoe(z) exp(iwt)ëflÙ

1.1. Montrer qu'en régime permanent, le mouvement des électrons de conduction 
peut être

, . . . . . "' "! 813 el . . ,, .
decrit par une polarisation du milieu Pel avec jlibre : Ôt et que cette 
polarisation peut s ecrire :
2
Pel : EUR0Xel(C--U)El avec Xel(w) : _ 2 '
mw 80

A cette polarisation s'ajoute une polarisation associée aux électrons << élastiquement liés >>
qui, dans la gamme des fréquences qui nous intéresse, est caractérisée par une 
susceptibilité x,.
constante.

1.2. Montrer que, dans ces conditions, EOE vérifie les équations :

d2Eæ w2
_ dz2 : c_2Eæ Z S 0
d2EOE w2 w2

où ca,, est une pulsation angulaire que l'on définira.

1.3. On cherche des solutions de cette équation de propagation sous la forme :
Eæ(z) : c'"CZ + re"" 2 < 0 EC,--(Z) = te_iqz z > O
Caractériser les ondes associées à ces trois termes. Quelles sont les relations 
entre k, q et w ?

dEoe
dz

sont continus en z = O.

1.4. Montrer que E.,; et

1.5. En déduire que pour w 2 ca,, le coefficient de réflexion R : |7°|2 est 
égal à :

2
2
ca
«% 1----Ê--
R= "'
w2
./i+XT 1--w--g+i

tandis que pour w _<_ ca,, le coefficient de réflexion R est égal à 1. 1.6. La figure suivante présente des résultats expérimentaux sur le coefficient de réflexion d'un échantillon de lnSb pour plusieurs valeurs de densité électronique. "><--4.0 >< 1024 --*---- 2.8 >< 1024 + 1.2 >< 1024 "°"6.2 >< 1023 ""--3.5 >< 1023 Densités électroniques (en m--3) Longueur d'onde ( um) Figure ]. Coeficient de réfleæion en fonction de la longueur d'onde du rayonnement incident À partir de la courbe correspondant à la densité 1,2 >< 1024 m--3, déduire xf,. ainsi que la valeur de la masse effective m des électrons dans ce solide. II. Effet des interactions coulombiennes entre porteurs Dans un milieu diélectrique de permittivité diélectrique relative e,... (e,...)l), l'interaction entre deux charges q et q', situées en F et r" et suffisamment éloignées l'une de l'autre, est décrite par une force coulombienne dérivant de l'énergie potentielle : / qq 47reoer|f'-- ,:»/| ' qu' : II.1. On désire analyser l'effet des interactions entre électrons dans un solide sur l'absorption d'une onde électromagnétique. On considère donc un ensemble de N électrons de masse m et de charge --e. En plus de l'interaction coulombienne, ces électrons sont soumis à des forces de rappel harmoniques. Pour l'électron i, de position 77}, cette force s'écrit : Ê- = ----mwâ (ñ -- ñ'0), ñg étant sa position d'équilibre. De plus, les électrons interagissent avec un champ magnétique statique et uniforme Ë . Enfin, chaque électron interagit avec le champ électrique Eem d'une onde électromagnétique, champ que l'on considèrera comme uniforme sur l'ensemble des N électrons. II.1.1) Écrire l'équation du mouvement de l'électron i. II.1.2) On introduit le centre de masse G des N électrons. Quelle est l'équation du mouve-- ment de G ? II.1.3) Exprimer le travail élémentaire du champ électrique de l'onde effectué durant dt sur, les N électrons. Montrer que ce travail est indépendant des interactions entre électrons et que l'on peut donc l'évaluer dans un modèle d'électrons indépendants. --+ II.1.4) Outre la force de rappel harmonique, quelles sont les forces à un électron F,- pour lesquelles le résultat obtenu en H.1.3 demeure établi ? 11.2. Les techniques modernes d'épitaxie permettent de réaliser des empilements contrôlés de couches nanométriques. Il est également possible de transférer dans une couche donnée un nombre contrôlé d'électrons. Enfin, sous illumination, des paires de charges opposées (+e, ----e) s'ajoutent à ces électrons. Une telle paire, notée X 0, peut s'agréger a un électron et former un complexe à trois particules, un trion X ". Un tel complexe est stable si son énergie est inférieure d'une quantité A,A > 0, a la somme de l'énergie de la paire X 0 et de celle 
d'un deuxième
électron au repos à l'infini.

On suppose que l'interaction entre charges est celle décrite en début de partie 
II, et pour

simplifier l'écriture, on pourra poser ê2 : 82/47T8087--.

On étudie la stabilité des complexes X " dans un modèle semiclassique; on 
suppose que
la particule +e est localisée à l'origine tandis que les deux charges --e 
décrivent des orbites
circulaires de rayon R autour de la charge +e.

II.2.1) Les deux électrons peuvent-ils être situés sur des cercles de rayons 
différents ? Obtenir
l'expression de l'énergie totale en fonction de ê2 et de R.

II.2.2) En utilisant pour chaque électron la quantification du moment cinétique 
qui impose
que sa composante perpendiculaire à l'orbite soit un multiple entier de h = h / 
27r,(h constante de
Planck), déterminer le rayon R correspondant à l'état fondamental de X "' ainsi 
que son énergie.

II.2.3) Même question pour X0, la charge +e étant toujours localisée à 
l'origine.

II.2.4) Évaluer numériquement A, l'énergie de dissociation du complexe X ", en 
eV, pour
m = 0, 07m... EUR,... = 12, 4. A quelle température cette énergie de 
dissociation correspond--elle ?

II.3. Soit un échantillon contenant NEUR électrons dans le volume V : LS. Après 
irradiation lu--
mineus'e, N X (0) paires (+e, --e) sont ajoutées au système. On admet que des X 
0 peuvent s'agréger
a des électrons pour donner des X " et, réciproquement, que des X " peuvent se 
dissocier en des
X 0 plus des électrons. Les trois espèces, électrons, X 0, X _ sont en 
équilibre thermodynamique
à la température T selon la réaction :

X0+e_2X_.

II.3.1) On considère un gaz parfait << bidimensionnel » de N << particules », chacune de masse M, confinées dans une couche de très faible épaisseur L et de surface S, et ne pouvant se mouvoir que parallèlement à la surface; à la température T, on montre que le potentiel chimique par particule ,u est donné, à une constante additive près, par : N 27rñ2 =k T1 --- . " B "(5 MkBT) A quelle valeur limite de ,a conduit cette expression pour T --+ OK ? On adopte ce modèle de gaz parfait pour les trois espèces (électrons, X 0 et X _ avec leurs masses respectives m, m X0 et m X_), leur mélange étant considéré comme idéal. On prend comme origine des énergies celle d'un couple (X 0, e--) à T: OK ; quelle valeur doit alors prendre le potentiel chimique de X -- à T = 0 '? En déduire l'expression de ce potentiel /L(X") à T quelconque. II.3.2) Justifier que la condition d'équilibre thermodynamique entre les trois espèces s'écrit u(X') -- u(e) -- u(X°) = 0. En déduire une relation entre les concentrations surfacz'ques ne =Ne/S, 'ÏLXo : NX0/S, nx-- : Nx--/S. II.3.3) Soient ne (0) et nX(O) les concentrations surfaciques d'électrons introduits et de paires (+6, --e) créées par illumination. À partir de lois de conservation, déduire deux autres relations entre ne, nXo et nX_. En déduire nXo et ne en fonction de nX_ et des conditions initiales. II.3.4) Déduire de la condition d'équilibre l'équation déterminant nX_'. On posera mmxok3TJ ( A ) 27Tñ2mx-- kBT W, V) = [ II.3.5) Sans résoudre l'équation, discuter les variations de nX-- en fonction de T, dans l'hy-- pothèse nX-- (0) << ne(0). III. Effet d'un champ magnétique sur la réponse optique de N électrons confinés dans une couche d'épaisseur nanométrique Dans cette partie, N électrons sont confinés dans une couche d'épaisseur L le selon Oz (|z| < L/ 2), et de surface S macroscopique dans le plan :vOy. On néglige les interactions entre électrons et chacun d'entre eux est soumis à une force harmonique dirigée le long de z'Oz et de pulsation angulaire wo, Ë' : --mwâzêz. On notera a l'élongation maximum du mouvement de l'électron le long de l'axe z, avec a << L. L'électron est également soumis à un champ magnétique statique et uniforme dirigé le long de x'Ooe : Ë=B@ De plus, chaque électron est soumis au champ électrique d'une onde électromagnétique se pro-- pageant le long de z et polarisée linéairement à l'extérieur de la couche; a l'intérieur le champ est a priori de la forme : _ E(z,t) : e'wt[Eg(z)êy + E2(z)ë}] L'effet des imperfections du matériau, des collisions sur le mouvement des électrons est ' ' I I . Ü modehse pour chaque electron par une force de frottement v1squeux --m--. 7' III.1. Écrire les équations du mouvement pour un électron. On s'intéresse dans la suite aux mouvements forcés : 77 = F0e'wt avec F0 de composantes (mo, yo, zo). III.2. Justifier que oe0 : O, et montrer que (yo, 20) est solution d'une équation de la forme où M est une matrice 2 >< 2 que l'on explicitera. Exprimer les composantes (P... Py, R,) de la polarisation d'origine électronique Pe] en fonction de yo et zo. On peut déduire de 111.2 que : Py xâ'y (Z) xî} Pz Xzy(z lez(z >L
>2

où

. . L
tandis que s1 |z| S 2 :
N 82 ( au) N 82
el 2 2 -- el '
=------------ --w +w --z-- ; =------------ +zww
ny mLSD50 0 7' Xyz LSDeO ( c)
N 62 ( au) N 62
el 2 ' el .
= -- w _ 'Îz-- ; = _ ""wa
XZZ mLSDEURO 7' XZy mLSDSO ( C)
avec _ B
w w 6
D = (w2 -- z'--) (--wâ + w2 -- i---) -- w2wî et wc = --
7' 7' m
Outre la polarisation d'origine électronique précédente, il existe pour tout 2: 
une polarisation
el
P,... = EUR0XrE où x,... = 11,4. On pose Bij = X"
1 + X»,--

111.3. Montrer qu'à l'ordre zéro en 1/7' les composantes Bij admettent une 
résonance pour

ou = cures avec cures = Vwâ + wâ.
Ne2

111.4. Évaluer numériquement 04 = ----------2---- pour N/S = 1 >< 1015m_2, L = 10 nm, ñwo = O, 1 eV,m = 0,07m0. Evaluer numériquement wc,max, valeur de wc correspondant a un champ magnétique maximal de 15 T; comparer a cm; en déduire un développement limité de cures à l'ordre le plus bas non nul en cac/wo. 111.5. En présence d'amortissement, les ordres de grandeur des coefficients Bij sont tels que le facteur de transmission T de l'échantillon est alors approximativement donné par : T : 1 + kL 1m(flyy) si |kL Im(flyy)l << 1, où k est le nombre d'onde dans le milieu en dehors de la couche. Montrer, compte tenu des évaluations numériques de 111.4, que la transmission Tres(B) de l'échantillon à la résonance s'écrit : 2 wc?" 0100 + X7') . Que se passe-t-il lorsque B = O'? Expliquer qualitativement pourquoi un champ B affecte la transmission de l'échantillon? Comment varie essentiellement 5Toes = Tres(0) -- Tres(B) en fonction de B ? Comment varie la fréquence de résonance avec B ? TreS(B) % 1 -- kLa III.6. En réalité, l'échantillon comprend NC couches d'épaisseur nanométrique, toutes iden-- tiques. On étudie la transmission par ces Nc couches en négligeant les phénomènes de réflexion a chaque interface. Que vaut la diminution ATOES de cette transmission, due a la résonance, en fonction de 5Tres et de Nc ? Évaluer AToeS pour oz = 0,84, L = 9,5 nm, wo = 1,55 >< 1014 rds--"1, & = 0,16, wgr : 20, WO X,... = 11,4, NC = 30. 1.00 0.99 8 ;" 0.98 >
5 0.97
5,
0.96
0.95

90 95 100 105 1 10
Énergie ( meV)

Figure 2. Variation, pour difiérentes valeurs du champ magnétique B, de la 
trans-
mission relative de l 'échantillon en fonction de l'énergie E(ñw) ( en me V}, 
où 01 est
' la pulsation de l'onde incidente. La flèche montre la position correspondant 
à 010.

111.7 . La figure ci--dessus présente la variation de transmission relative T 
(B ) / T (0) en fonction
de ñw pour diverses valeurs du champ magnétique B : 6T,8T,1OT,11T,12T,13T,14T 
et 15T.
Comparer les résultats expérimentaux aux prévisions du modèle développé 
ci--dessus. En déduire

la masse effective des électrons dans cette hétérostructure.