X Physique 2 PC 2007

ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Équilibres thermodynamiques en situations inhomogènes

Dans les systèmes infinis et en l'absence de forces extérieures, l'équilibre 
thermodynamique
correspond, aux fluctuations près, a des phases uniformes. Il n'en va pas de 
même pour des
systèmes présentant des frontières ou pour des systèmes soumis a des forces 
extérieures.

Dans de tels systèmes, l'équilibre thermodynamique résulte de la compensation 
exacte de
divers courants antagonistes de particules. Cette situation est examinée dans 
la partie I où
l'on étudie l'équilibre de macromolécules en solution dans un champ de 
pesanteur. La partie
II est consacrée a une étude simplifiée d'une structure 
Métal--Oxyde-Semiconducteur et, plus
particulièrement, a la distribution d'équilibre des électrons et des trous en 
présence d'un champ
électrostatique, au voisinage de l'interface oxyde-semiconducteur.

Charge élémentaire : e = 1,6 >< 10_19 C Constante de Planck : h = 6, 6 >< 10_34 J - s Constante de Boltzmann : kB : 1, 38 >< 10_23 J - K_1 Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K_1 -rnol_1 Permittivité du vide : 50 = (..., 02)_1 = 8, 85 >< 10-12 F - m--1 I. Équilibre thermodynamique et diffusion Cette partie vise a montrer que la diffusion des particules est une composante essentielle de l'équilibre thermodynamique. I.1. On considère un fluide gazeux dans un champ de pesanteur uniforme ÿ' : --gê'z où 52 est le vecteur unitaire de l'axe z orienté suivant la verticale ascendante. À l'équilibre thermodynamique, sa température T est uniforme et sa masse volumique p ne dépend que de l'altitude z. Il sera considéré comme parfait. @) Écrire l'équilibre mécanique d'une tranche d'épaisseur dz et de surface S comprise entre les altitudes z et z + dz. P M -- b) En déduire que la pression du gaz P(z) vérifie la loi : P ((£)) : exp (--%) où M est la masse molaire du fluide et R la constante des gaz parfaits. c) Le fluide est constitué de particules indépendantes de masse m. Déduire de la relation précédente que la densité volumique (nombre par unité de volume) de particules du fluide n(z) a l'altitude z vérifie : mgz) kgT où kB : R/NA est la constante de Boltzmann, N A étant le nombre d'Avogadr0. n(z) : n(0) exp (-- d) En utilisant l'expression du potentiel chimique u(P, T) d'un gaz parfait, montrer que la relation caractérisant l'équilibre dans le champ de pesanteur, a la température T, se traduit par le fait que la quantité u(P, T) + M gz possède la même valeur en tout point du fluide. 1.2. Soit une solution diluée de macromolécules dans un solvant, solution considérée comme idéale. Les macromolécules sont supposées de forme sphérique, de rayon &, de masse m; soit n(z) leur densité volumique supposée ne dépendre que de l'altitude z. Au cours de son mouvement dans le solvant une macromolécule est soumise a divers t es de forces : son oids et les forces 7 d'interaction avec les molécules du solvant (les macromolécules sont suffisamment diluées pour que l'on puisse négliger leurs interactions mutuelles). On admettra que les innombrables chocs entre une macromolécule en mouvement et les molécules du solvant donnent lieu, outre la poussée d'Archimède, a une force de frottement visqueux s'exerçant sur la macromolécule : F : --cmî. On désignera par m' la masse de fluide possédant le même volume qu'une macromolécule. @) Montrer qu'il en résulte pour les macromolécules une vitesse de chute limite @. b) En déduire la densité de courant de macromolécules jg associé aux forces de pesanteur et au frottement visqueux (courant dit << de dérive >>).

1.3. À l'inhomogénéité spatiale de la concentration n(z) de macromolécules est 
associé un
courant de diffusion, soit D le coefficient correspondant. À l'équilibre 
thermodynamique, il est
nécessaire qu'il n'y ait globalement aucun courant de macromolécules.

Écrire l'équation différentielle que doit vérifier n(z) et la résoudre.

I.4.a) Comment faut--il modifier le résultat de la question Le pour prendre en 
compte la
poussée d'Archimède ?

b) Par identification avec la loi n(z) déterminée en 3, obtenir la relation 
entre les coefficients
D et a.

1.5. Pour une sphère de rayon 0. se déplaçant dans un liquide de viscosité 77, 
le coefficient de
frottement visqueux & est donné par : a : 67r77a.

Les figures ci--dessous présentent en échelle log--log le résultat des mesures 
du coefficient
de diffusion D pour diverses macromolécules, porté en fonction de leur rayon 
d'une part et
de leur poids moléculaire d'autre part. La modélisation précédente rend--elle 
bien compte des
résultats expérimentaux ? On adoptera la même masse volumique pour toutes les 
macromolécules
organiques.

D(mz.s")

10"

10"9

l0--10

......

H20
urée

ribonucléasc

hémoglobinc

10

glucose (T = 298 °K)
.

inuline

B--lactoglobulinc

100

a(À)

D(ml.s")

10f l0
catalase

BSV .
Virus

10ÿ ... bactériophage
virus mosaïque tabac .
10-- ... . ADN

10' 10° 107 108
M (a)

ox 8Si

\\\\\

Si02 Si dopé

\\\\\\\\\\\

\\\\\

Nv

[
l
0

F igure 2. Structure Métal-Oæyde-Semicauducteur

Soient e...; et 881 les permittivités diélectriques respectives de l'oxyde et 
du silicium. Pour les
applications numériques7 on prendra : saw/50 : 4 et eSi/eO : 12.

Le silicium est dopé uniformément : des atomes << accepteurs >> introduits lors 
de son élabo--
ration, de densité volumique N... piègent les électrons) constituant alors des 
charges (--e) flæes
de même densité Na et créant autant de trous mobiles (+e).

II.1. Distribution de charges dans le silicium loin de l'oxyde.

II.1.1 On suppose Na : 1, 0 >< 1023 m_3. Écrire la neutralité électrique au voisinage du point B. En déduire que p(B) : Na. II.1.2 En déduire la densité d'électrons n(B) ; la comparer a Na. Quelle conclusion en tirez-- vous? II.2. Distribution de charges dans le silicium pour VGB < 0. Accumulation. On se place a l'équilibre thermodynamique et électrostatique, et l'on suppose que l'on a polarisé la grille négativement par rapport au silicium a l'aide d'un circuit extérieur. II.2.1 Expliquer pourquoi des charges mobiles +e (les trous) sont attirées au voisinage de l'interface Sl--Sl02. II.2.2 On suppose le champ électrique uniforme dans l'oxyde Sl02 sous la grille en négligeant les effets de bord. Donner l'expression C...; de la capacité par unité de surface de la couche d'oxyde en fonction de d et e..., II.2.3 Une modélisation simple consiste a considérer que les charges déplacées forment une couche surfacique a l'interface z = 0 et que le silicium reste neutre pour z > 
0. Quelle est alors

la charge électrique QG portée par la grille en fonction de V...; puis de VGB ?

On abandonne cette modélisation pour effectuer une étude plus fine. Soit p(z) 
la densité
volumique de trous et çb(z) le potentiel électrostatique dans le silicium.

II.2.4 Exprimer la densité volumique de charges p(z) en fonction de p(z), Na et 
e.

II.2.5 La densité de trous est donnée par :

p(z) = p(B) exp (fg?) : N, exp (--%)) avec VT = "'BÎT .

À la lumière de l'étude effectuée en partie I, commenter cette expression. 
Préciser le signe algé--
brique de çb(z).

Dans un milieu matériel, l'équation de Poisson a 1 dimension, reliant potentiel 
et densité de
charges, s'écrit :

@"(Z) = --p(Z)/EUR

où &" désigne la permittivité diélectrique du matériau.

II.2.6 Écrire l'équation différentielle satisfaite par çb(z). B étant 
suffisamment loin de l'inter--
face, on admettra que çb' (B) = O. Compte--tenu des conditions aux limites, 
montrer que

@" = --"Ï;VT lexp ("%> + % _ 1l '

II.2.7 Relier la charge totale par unité de surface 625, accumulée dans le 
silicium au voisinage

O iV
de l'interface, a çb'(0)- On pose u : _Çb'(/ ) et L2 : ÎNT

T a
VT, L et u. Quelle est la charge totale QG sur l'électrode G ?

; exprimer alors QS en fonction de 551,

II.2.8 On suppose lçb(0)l << VT ; préciser alors le lien entre QG et çb(0) , en déduire la capacité apparente CSi, par unité de surface, de la partie silicium de la structure MOS. Quelle est alors la capacité équivalente de l'ensemble de la structure MOS. II.2.9 Application numérique. On donne VT : 26 mV,Na : 1,0 >< 1023 m_3, d = 40 nm. Calculer C...,, L et C51. Calculer VGB pour u = 1, puis 3 et 5. 11.3. Distribution de charges dans le silicium pour VGB > O. Déplétion.

La grille est maintenant polarisée positivement, les charges mobiles (trous) 
sont alors repous--
sées par le champ et éloignées de l'interface. Dans ce qui suit on suppose 
qu'au voisinage de
l'interface, il n'y a plus aucune charge mobile jusqu'à la cote z : zD , il n'y 
reste que les charges
négatives fixes (--e) (celles qui ont donné naissance aux trous mobiles). 
Au--delà, pour z > zD,
le silicium est neutre.

II.3.1 Montrer que le potentiel électrostatique çb(z) dans le silicium est 
donné par :

@(z) -- eN"

_2EURS_(z--zp)2 si O 0. Régime
d'inversion.

II.4.1 On admet que la densité électronique est donnée par :

n(z) : n(B) exp (îÏ?) : ÏÎ--'2 exp (%) avec VT : kîT .

Commenter cette expression. En quelle valeur de z se situe son maximum ?

II.4.2 Pour des valeurs suffisantes de VGB, la densité d'électrons dans le 
creux de potentiel
devient notable; ce sont des électrons mobiles (et non des trous, d'où le nom 
d'inversion donné
a cette situation) et le silicium y devient conducteur. On adopte comme critère 
d'inversion que
la densité électronique a l'interface, n(0+), soit égale a la densité 
d'accepteurs Na.

@) On suppose que cette densité électronique influe peu sur l'allure du 
potentiel et on continue
d'adopter pour çb(z) l'expression obtenue en 3.1. Déterminer alors la valeur 
çb5 de çb(0) qui
correspond a ce seuil, en fonction de VT, Na et n,.

(9) Déterminer la valeur correspondante zS de la largeur zD de la zone de 
déplétion.

0) Calculer numériquement çbg et zS pour Na : 1,0 >< 1023 m_3. On donne VT : 26 mV a T = 300 K. d) Calculer la valeur V5 de VGB correspondante (tension << seuil >>).

II.4.3 Pour VGB > V5, l'expérience montre que la zone de déplétion n'augmente 
que très
peu. On adopte le modèle suivant : çb(0) et zD gardent respectivement leurs 
valeurs çb5 et @, la
couche d'électrons est considérée comme surfacique en z = 0 avec la densité de 
charge --qS avec
qS > 0.

a.) Exprimer (18 en fonction de 0033, VGB et V5.

19) Quelle est alors la valeur de CMOS ?

II.5 Courant transversal dans une structure MOS.

La structure MOS est complétée par deux électrodes semblables implantées sur 
deux zones
dopées où, par construction, les porteurs de charge mobiles sont des électrons. 
L'une S est appelée
<< source >>, l'autre D est appelée << drain >>. Elles effectuent le contact 
électrique avec la couche
électronique apparaissant a l'interface lorsque VGB > VS (figure 3).

Si02

Source
(11)

Drain
(11)

Si dop é(p)

Figure 3. Structure finale

Une ddp VSD est appliquée entre ces deux électrodes créant un champ électrique 
transverse
ÊSD : Eoeë'æ. On limite l'étude au cas lV5pl << VGB , dans ces conditions le champ régnant dans l'oxyde, en particulier au voisinage de l'interface, demeure sensiblement uniforme et on adoptera les résultats de l'étude précédente. II.5.1 Soit ,umOb la mobilité des électrons de la couche reliant leur vitesse de déplacement au champ, soit ua, : --umobEoe avec Nmob > 0. On désigne par W la largeur (en y) 
de la couche.

Donner l'expression du courant total la; circulant entre la source et le drain 
en fonction de
QS) Umob; W et Eau-

II.5.2 Si L est la distance entre les électrodes, EOE : VSD / L. En utilisant 
l'expression de qS

établie en 5.1, exprimer la conductance GC : V--oe. Comment évolue--t--elle en 
fonction de VGB ?
DS

Quel rôle peut jouer ce composant dans des circuits électroniques ?