X Physique 2 PC 2009

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2009

FILIÈRE

PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Deux phénomènes d'hystérésis
Soient une grandeur cause notée C et une grandeur effet notée E. Il y a 
hystérésis lorsque la
courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe 
E = f(C) obtenue
à la décroissance de C. Ce problème propose d'étudier deux exemples de systèmes 
physiques
présentant un phénomène d'hystérésis.
Formulaire : Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction 
périodique f (x), de
période 2, peut être développée en série de Fourier :

X
X
1
f (x) = a0 +
bn sin(nx) avec
an cos(nx) +
2
n=1
n=1

1
a0 =

Z +
-

f (x)dx,

1
an =

Z +

f (x) cos(nx)dx,

-

1
bn =

Z +

f (x) sin(nx)dx

-

I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique
Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultra-sensible de force. 
Son principe
est le suivant : une pointe fine, métallique ou isolante, se trouve à 
l'extrémité d'un bras de levier
souple qui fait office de ressort. L'autre extrémité de ce bras est fixe. 
L'extrémité du bras portant
la pointe est approchée de la surface, à étudier et interagit avec cette 
dernière. La force qui
s'exerce entre la pointe et la surface provoque, en chaque point, une déflexion 
du bras, que l'on
détermine à partir de la réflexion d'un faisceau laser.
Dans le fonctionnement dit en mode résonant, la pointe est excitée par une 
force périodique
de fréquence proche de la fréquence de résonance du système bras-pointe. 
L'interaction pointesurface perturbe le système, ce qui entraîne une variation 
de l'amplitude de vibration. L'ordre de
grandeur de l'amplitude vibratoire peut varier dans de grandes proportions, de 
quelques dixièmes
à quelques dizaines de nanomètres. La mesure de cette amplitude vibratoire 
lorsque la pointe
balaye la surface donne accès à la topographie de la surface étudiée. À l'aide 
de céramiques
piézoélectriques, le déplacement de la sonde au-dessus de la surface s'effectue 
avec une précision
de l'ordre du nanomètre dans les trois directions de l'espace.
1

Figure 1. Schéma d'une sonde ; à gauche au repos, à droite en flexion
À titre d'information, les dimensions caractéristiques d'un levier sont : 
longueur de 100 à
200 µm, largeur de 20 à 30 µm et épaisseur de 1 à 5 µm. La pointe est conique, 
d'une hauteur
de 5 à 20 µm ; l'angle d'ouverture du cône est de 20 degrés et le rayon de 
courbure de l'extrémité
de l'ordre de 20 nm ; l'aire en regard de la surface à étudier est ainsi d'une 
centaine de nm2 .
On suppose que le mouvement de la pointe s'effectue selon la direction 
verticale. Sa position
est repérée par son altitude z(z > 0) à partir de la surface ; on note d la 
distance séparant la
pointe de la surface lorsque la sonde est à l'équilibre en l'absence de forces 
externes.
I.1 Mouvement de la sonde loin de la surface
Loin de la surface, la sonde est modélisée par un oscillateur mécanique 
constitué d'une masse
ponctuelle m soumise :
­ à une force de rappel élastique -k(z - d) avec k > 0,
­ à un amortissement représenté par une force de frottement visqueux -z, avec  
> 0,
­ à une force d'excitation selon Oz, sinusoïdale, fz = f0 cos t.
I.1.1 Écrire l'équation du mouvement régissant le mouvement de cet oscillateur.
Dans la suite, on pose 02 =

k
,
m

Q=

m0
,

am =

Qf0

.
et u =
2
0
m0

I.I.2 Déterminer les dimensions de Q, am et u.
I.1.3 En régime sinusoïdal permanent, la solution est de la forme z(t) = d + a 
cos(t + ),
avec a réel positif. Déterminer l'amplitude a() ; l'exprimer en fonction de am 
, Q et u.
Comment évolue le graphe de a() en fonction de Q ?
I.1.4 Calculer la fréquence propre 0 = 0 /2 pour m = 5 × 10-11 kg et k = 20 N · 
m-1 .
Les valeurs typiques de Q sont de quelques centaines. On prendra Q = 400. Toute 
l'étude
qui suit s'effectuant au voisinage de la résonance, on utilisera dans ce cas 
l'approximation :
am
a()  »
.
1 + Q2 (1 - u2 )2
I.2 Réponse près de la surface
Lorsque la sonde est rapprochée de la surface, elle est soumise à une force 
additionnelle
verticale. Essentiellement due aux interactions de Van der Waals, elle est 
attractive et donnée
2

K
par F (z) = - 2 où Kest une constante positive qui dépend de la taille de la 
pointe et des
z
matériaux en présence.
En effectuant l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude, on adopte pour F 
(z) la forme
approchée suivante :
F (z) = A + B(z - d) + C(z - d)2 + D(z - d)3
(1)
I.2.1 Expliciter les quatre coefficients du développement à l'aide de F (z) et 
de ses dérivées.
On étudie tout d'abord l'effet des deux premiers termes de l'expression (1) et 
l'on effectue le
changement de variable Z = z - d.
I.2.2 Écrire l'équation différentielle régissant le mouvement de la pointe.
I.2.3 Quel est l'effet du terme A sur les oscillations forcées de la sonde ? 
Calculer l'amplitude de cet effet en fonction de K, k et d. L'évaluer 
numériquement pour d = 15 nm
et K = 5 × 10-28 N · m2 .
I.2.4 Sur quelle caractéristique de l'oscillateur influe le terme B ? Évaluer 
numériquement
cet effet avec les données précédentes.
I.2.5 Pour des amplitudes d'oscillation plus importantes, les termes non 
linéaires C(z -d)2 et
D(z -d)3 de l'expression (1) ne sont plus négligeables. Mais, étant donné les 
valeurs élevées de Q,
au voisinage de la résonance, l'oscillation forcée reste pratiquement 
sinusoïdale à la pulsation 
de la force excitatrice, soit Z(t) = a cos(t + ). Montrer que ces termes non 
linéaires entrainent
l'apparition d'harmoniques à des fréquences différentes de  ; préciser ces 
fréquences.
I.3 Réponse non linéaire (fortes amplitudes)
On effectue maintenant une expérience d'approche-retrait : la pointe en 
vibration est rapprochée, puis éloignée de la surface. Les déplacements sont 
supposés être verticaux. On observe ainsi
l'influence croissante, puis décroissante, des forces de surface d'un 
échantillon et l'on utilise ces
données pour discerner les diverses contributions des forces en présence, selon 
leur dépendance
avec la distance.
Dans ces expériences, l'amplitude d'oscillation est importante et la pointe 
s'approche très
près de la surface. La forme approchée (1) n'est plus utilisable et il est 
nécessaire de prendre en
K
compte l'expression "exacte" de la force d'interaction pointe-surface, soit F 
(z) = - 2 .
z
I.3.1 Écrire l'équation du mouvement de la pointe avec cette expression.
I.3.2 À d fixé, l'expérience montre que le mouvement de l'oscillateur demeure 
pratiquement
harmonique, soit Z(t)  a cos(t + ). Avec z = d + Z(t), la force F (z) est 
périodique en
 = (t + ) et décomposable en série de Fourier. On admettra que le terme 
fondamental en 
joue un rôle prédominant.
Expliciter ce terme à l'aide de K, d et a. On donne :
Pour 0  b < 1, 1 2 Z + - cos b . d = - 2 (1 + b cos ) (1 - b2 )3/2 3 m0 Qf0 k ,Q= , am = , et u = 2 m 0 m0 montrer que l'amplitude a et la distance d sont reliées, pour u fixé, par : I.3.3 En utilisant comme en I.1.1 les notations 02 = 2 a ® i2 1 2K + u2 Q 1-u - k (d2 - a2 )3/2 2 h 2 I.3.4 On introduit les variables adimensionnées : a = Montrer que d~ s'exprime en fonction de a selon : d~2 = a2 + Dans toute la suite, on remplacera Q(1 - » ± 2/3 » 1/a2 - u2 1/a2 - u2 par I.3.5 Calculer numériquement Q K = 5 × 10-28 N · m2 , k = 20 N · m-1 , = a2m . a d 2K avec a  1, d~ = et  = 3 . am am kam Q u2 ) ´ » (2) 1/a2 - 1. avec les valeurs données précédemment Q = 400 et en prenant am = 13, 5 nm. soit Dans toute la suite, on prendra (Q)2/3 = 0, 04. Figure 2. Courbes expérimentales d'approche-retrait pour  = 0 . Elles sont pratiquement confondues La figure 2 montre une courbe d'approche-retrait, la pointe étant excitée à sa pulsation de résonance libre  = 0 , soit u = 1. L'expression (2) se met alors sous la forme : d~2 = a2 + 0, 04 (1/a2 - 1)1/3 (3) I.3.6 Montrer que d~ est une fonction croissante de a. Préciser les valeurs limites de a pour ~ d  0 et d~  . I.3.7 Calculer la valeur de d~ pour a = 0, 95 ainsi que l'écart (d~ - a). I.3.8 Le calcul numérique montre que (d~ - a) reste inférieur à 0,04 pour 0,2 < d~ < 0, 99. ~ à l'aide de deux Déduire de ces résultats que l'on peut modéliser simplement le graphe de a(d) portions de droites et en donner le tracé. Comment se compare-t-il au résultat expérimental de la figure 2 ? 4 Figure 3. Courbes expérimentales d'approche-retrait pour  < 0 . Approche : d décroissant régulièrement ; Retrait : d croissant régulièrement Comme le montre la figure 3, dans certaines conditions expérimentales, les courbes approcheretrait présentent de l'hystérésis. Des sauts brusques de l'amplitude se produisent à des distances d différentes lors de l'approche et lors du retrait. L'excitation s'effectue alors à une fréquence très légèrement inférieure à celle de résonance libre,  < 0 soit u < 1. I.3.9 On choisit u pour avoir Q(1 - u2 ) = 0, 9 ; calculer la valeur de u. ~ comme celui de d(a), ~ I.3.10 Le graphe de a(d), comporte deux branches, les branches  et associées respectivement aux signes + et - du dénominateur du crochet de (2). Pour quelle valeur de a ces deux branches se rejoignent-elles ? Quelle est la valeur de d~ correspondante ? ~ I.3.11 Montrer que la branche  correspond à une fonction d(a) monotone croissante. La ~ peut être modélisé situation est analogue à celle analysée en question I.3.8 ; le graphe de a(d) simplement par un segment de droite que l'on précisera. ~ I.3.12 Pour la branche , calculer la valeur de a correspondant aux grandes distances d. ~ ~ Calculer la valeur d1 de d correspondant à a = 0, 75. En déduire l'allure du graphe de cette branche pour d~ > d~1 .
I.3.13 Pour a > 0, 75, le graphe de
la branche  est donné en figure 4. Rassembler sur un même dessin les graphes
des deux branches. À l'aide de ce dessin,
comment interprétez-vous le résultat expérimental de la figure 3 et 
l'hystérésis qui
s'y manifeste ?

Figure 4. Branche  ; graphe pour a > 0, 75

5

II. Réflexion à la surface d'un dioptre plan
Deux milieux diélectriques transparents, d'indices n1 et n2 , sont séparés par 
le dioptre plan
xOy, le milieu d'indice n1 correspondant à z < 0 (figure 5). Une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation , de champ électrique ~ Ei = Ei0 cos(t - ~ki · ~r)~ey , arrive sous l'angle d'incidence 1 , (0 < 1 < /2) sur le dioptre, xOz étant le plan d'incidence. Elle donne lieu à une onde réfléchie, se propageant dans le ~ r = E 0 cos(t - ~kr · ~r)~ey et à une onde transmilieu d'indice n1 , de champ électrique E r ~ t = Et0 cos(t - ~kt · ~r)~ey , avec les mise dans le milieu d'indice n2 , de champ électrique E angles respectivement de réflexion 1 et de réfraction 2 (0 < 1 < /2 et 0 < 2 < /2). Figure 5. Les coefficients de réflexion r et de transmission t pour les amplitudes sont donnés par : r= Er0 sin(2 - 1 ) ; = 0 Ei sin(2 + 1 ) t= Et0 2 cos 1 sin 2 . = 0 Ei sin(2 + 1 ) L'intensité énergétique moyenne d'une onde électromagnétique monochromatique de champ ~ = E 0 cos(t - ~kt · ~r)~ey , se propageant dans un milieu non absorbant d'indice n, est électrique E 1 donnée par I = 0 cn(E 0 )2 . 2 II.1 Réflexion ­ transmission en incidence rasante Dans toute la partie II , l'indice n2 reste très proche de l'indice n1 . De plus l'incidence est quasi rasante et on pose 1 = - 1 avec 0 < 1  /2. On pose de même 2 = - 2 2 2 avec 0 < 2  /2 lorsqu'il y a transmission. II.1.1 Montrer que dans ces conditions r = avec t = 1 + r. II.1.2 Exprimer de même le rapport Et0 1 - 2 21 Er0 et t = 0 0 1 + 2 1 + 2 Ei Ei It en fonction de 1 et 2 , en tenant compte de n2  n1 . Ii II.2 Réflexion­transmission en régime non linéaire On considère dorénavant que le milieu 2 est optiquement non linéaire : l'indice n2 y dépend de l'intensité. On pose n2 (It ) = n2 (0) + It = n1 -  + It, ce qui définit les constantes positives et . On suppose , It  n1 , de sorte que n2 reste toujours peu différent de n1 . 6 II.2.1 On suppose d'abord l'intensité It faible, n2  n2 (0) = n1 - . Déterminer en fonction de n1 et  l'angle d'incidence limite c tel qu'il existe une onde transmise pour 1  c . II.2.2 On suppose maintenant 0 < 1 < c mais avec l'intensité It suffisamment forte pour avoir n2 > n1 . Pour une incidence 1 donnée, quelle est la valeur minimale de 
Ii / pour qu'il
y ait transmission d'une onde dans le milieu d'indice n2 ? Expliciter cette 
valeur en fonction de
1 et c .
Calculer cette valeur minimale pour

1
1
1 1
1
1
= ,
=  et
= .
c
4 c

2 2
2
c

II.2.3 Exprimer n2 en fonction de n1 , , 1 , 2 ,  et Ii .
II.2.4 Toujours pour n2 > n1 , déduire de la loi de Descartes pour la 
réfraction la relation
liant 1 et 2 et montrer qu'à l'ordre le plus bas en 1 et 2 , cette relation 
prend la forme :
h
Ii
4r  1 2 i
1
1
-
.
=

(1 + r)2
(1 + r)2 c
 I 
i
pour 0  r  1 et dans chacun des cas
II.2.5 Tracer l'allure de la courbe r = f

1
1 1
1
1
1
suivants :
= ,
=  et
= .
c
4 c
c
2 2
2

Ii
et de n2 lorsque r = 0 ? Que se passe-t-il alors physiII.2.6 Quelles sont les 
valeurs de

quement ?
II.3 Onde évanescente en régime non linéaire
On suppose maintenant que l'inégalité n1 > n2 est satisfaite, et on se place 
dans la situation
où 0 < 1  c (angle d'incidence supérieur à l'angle limite). C'est la situation de réflexion totale en optique géométrique. La conservation des champs électrique et magnétique au passage du dioptre implique cependant qu'il existe une onde électromagnétique dans le milieu d'indice n2 . ~ t = Et0 e-z cos(t - x + )~ey avec : Le champ électrique est donné par : E = » 2 2 n1 sin 1 - n22 c et E 0 2 t Ei0 = 4n21 cos2 1 . n21 - n22 II.3.1 On considère l'interface verre/CS2 . L'indice du verre est n1 = 1, 63 ; celui du CS2 est n2 = n1 - , avec  = 1, 0 × 10-3 . Calculer la valeur numérique de la profondeur de pénétration -1 de l'onde électromagnétique transmise pour un angle d'incidence 1 = 88, 6 et pour une longueur d'onde de 694 nm (laser à rubis). II.3.2 On tient compte à présent des effets optiques non linéaires dans CS2 . On se place toujours en incidence quasi-rasante : 1 = - 1 et 0 < 1  /2, mais avec It suffisamment 2 faible pour avoir n2 < n1 donc réflexion totale. On pose toujours n2 (It ) = n1 -  + It , où It correspond au champ près du dioptre, soit Et0 . 7 Montrer que It vérifie l'équation du second degré : It2 - 2n1 21 It + Ii = 0 . II.3.3 Que se passe-t-il physiquement lorsque Ii > Iic , où Iic =

1   c 2
?
16  1

1
1
Ii
= . Tracer le graphe r = f ( ) lorsque Ii croît de 0 à Iic .
c
4

En reprenant les résultats des questions II.2.5 et II.2.6, tracer sur le même 
dessin la courbe
Ii
r = f ( ) lorsque Ii décroît de Iic à 0.

1
1
1
1
=  et
= ?
Comment ces courbes sont-elles modifiées pour
c
c
2 2
2
II.3.4 On fixe la valeur

II.3.5 Le coefficient  pour CS2 vaut 3×10-14 W-1 ·cm2 . Calculer Iic pour

1
1
= . Comment
c
4

peut-on obtenir une telle intensité ?

II.3.6 La figure 6 représente la variation du coefficient de réflexion en 
intensité R = |r|2
de l'interface verre-CS2 en fonction de l'intensité incidente, exprimée en 
unités arbitraires. Les
points noirs sont obtenus en augmentant l'intensité incidente, les cercles 
ouverts en la diminuant.
Commenter cette courbe. Quelle application de ce phénomène peut-on envisager ?

Figure 6. Coefficient de réflexion fonction de l'intensité

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