X Physique 2 PC 2010

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2010

FILIÈRE

PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Réponse optique de nano-objets métalliques
Lorsque la taille d'un objet est réduite à l'échelle de quelques nanomètres, 
son interaction avec
une onde électromagnétique dans le domaine optique est modifiée par rapport à 
celle du matériau
massif dont il est constitué. L'étude expérimentale et la modélisation de cette 
modification ainsi
que l'utilisation des propriétés optiques d'un nano-objet pour des applications 
constituent un
thème majeur des nanosciences et des nanotechnologies. L'objet de ce problème 
est d'analyser
quelques aspects de la réponse optique de nanoparticules métalliques 
non-magnétiques.
Données numériques
Permittivité diélectrique du vide :
Charge élémentaire :
Masse de l'électron :
Vitesse de la lumière dans le vide :

0
e
m
c

= 8, 85 × 10-12 F · m-1
= 1, 6 × 10-19 C
= 9, 1 × 10-31 kg
= 3, 0 × 108 m · s-1

Formulaire
Champ électromagnétique, en coordonnées sphériques, créé par un dipôle 
oscillant p~ = p(t)~uz
situé dans le vide au point O :

~ r , t) =
E(~

Er =

h p(t )
1
p(t ) i
2 cos 
+
40
r3
r 2 c t =(t-r/c)

h p(t )
1
p(t ) p(t ) i
sin 
+
+
40
r3
r2c
rc2 t =(t-r/c)
E = 0

E =

h 
 i
~ r , t) = µ0 sin  p(t ) + p(t )
B(~
~u
4
r2
rc t =(t-r/c)

Puissance instantanée rayonnée : Pray =

p(t)2
.
60 c3
1

I. Résonance optique d'un agrégat métallique

On s'intéresse à la réponse optique d'une particule métallique, sphérique, de 
quelques
nanomètres de rayon, placée dans le vide au point O (Fig. 1). Dans cette 
première partie, son
interaction avec une onde électromagnétique est analysée à l'aide du modèle 
suivant : l'ensemble
des électrons de conduction du métal et l'ensemble des ions formant le réseau 
sont décrits chacun
par une boule de rayon a, uniformément chargée, négativement pour les 
électrons, positivement
pour les ions. Les densités volumiques, électronique et ionique, sont égales et 
désignées par N .

Figure 1

~ + créé par la boule ionique est
I.1. Montrer qu'en tout point de l'espace, le champ électrique E
radial. Établir les expressions de ce champ au point M(~r), pour r < a et r > a.
~ - créé en M par la boule électronique.
En déduire le champ E

~ S = ES ~uz .
I.2. On applique un champ électrostatique uniforme : E

I.2.1. Justifier qualitativement que les boules électronique et ionique se 
déplacent l'une par
rapport à l'autre suivant Oz.
On supposera dans toute la suite que la boule ionique reste immobile, de centre 
O, et que
-
le déplacement électronique est uniforme. On notera ~ = ~uz = OO le déplacement 
de la boule
électronique de centre O ; on admettra que l'amplitude || de ce déplacement est 
très petite
devant a, hypothèse que l'on vérifiera a posteriori.

~d = E
~+ + E
~-
I.2.2. Exprimer en un point M intérieur aux deux boules le champ électrique E
~
dû aux ions et aux électrons à l'aide de .
En déduire la force exercée par ce champ sur un électron de conduction.

I.2.3. En tenant compte du champ électrostatique appliqué, exprimer la force 
totale qui
s'exerce sur un électron. Montrer qu'il y a une position d'équilibre pour un 
déplacement ~s que
l'on explicitera.
Quelle hypothèse exprimée en I.2.1. se trouve justifiée par le résultat ?
Que vaut le champ électrique total dans cette situation d'équilibre ?

I.2.4. L'amplitude du champ statique est ES = 106 V · cm-1 . La densité 
d'électrons de
conduction dans le sodium est NN a  2, 5 × 1028 m-3 . Justifier l'hypothèse 
faite sur .

I.2.5. La séparation des charges donne à la boule métallique un moment 
dipolaire électrique
~ S . En déduire la polarisabilité statique 0 de la
~0 . L'exprimer en fonction du champ appliqué E
p
~S.
boule, définie par p~0 = 0 0 E
I.3. Le champ électrique appliqué varie maintenant sinusoïdalement, soit en 
notation complexe
~ 0 = E0 exp(it)~uz . On le suppose uniforme, sans phénomène de propagation. 
Soit ~(t) le
E
déplacement électronique.
I.3.1. En utilisant les résultats de I.2.2, écrire l'équation du mouvement d'un 
électron soumis
~ d.
au champ appliqué»et au champ E
2
On pose p = N e /0 m, appelée « pulsation plasma ». Exprimer à l'aide de p la 
pulsation
propre 0 du mouvement.
I.3.2. Expliciter ~(t) en régime sinusoïdal permanent. Que constate-t-on pour   
0 ?
I.3.3. Le modèle précédent s'applique aux métaux alcalins. Donner la valeur de 
la pulsation
de résonance pour le sodium (NN a  2, 5 × 1028 m-3 ).
Les mesures expérimentales d'absorption (cf. II) donnent 0exp  4, 9 × 1015 s-1 
pour le
sodium. À quel domaine spectral correspond cette pulsation ? Comparer à la 
valeur théorique.
I.4. Le champ électrique oscillant est en fait celui d'une onde 
électromagnétique plane monochromatique de pulsation , polarisée linéairement 
suivant z, et se propageant suivant x. Le champ
~ 0 = E0 exp i(t - kx)~uz .
est donné en notation complexe par : E
I.4.1. On suppose que la sphère a un rayon de 5 nanomètres et que l'onde 
électromagnétique
~ 0 sur
est dans le domaine visible. Justifier que l'on puisse négliger la variation 
spatiale de E
l'extension de la particule.
On prendra donc par la suite le champ en x = 0.
I.4.2. On suppose que le mouvement des électrons est amorti par des collisions 
; cet effet peut
être décrit phénoménologiquement par une force de frottement fluide s'opposant 
au mouvement

de chaque électron : F~f = -m~, avec   0 .
Donner l'équation du mouvement d'un électron. En déduire l'expression du 
déplacement
 = 0 eit en régime sinusoïdal permanent à la pulsation .
Exprimer |0 | en fonction de . En donner la valeur maximale |0 |max à résonance.
I.4.3. L'onde électromagnétique incidente, produite par un laser focalisé, a 
une intensité
I0 = 105 W · cm-2 . Vérifier l'hypothèse de faible déplacement dans le cas du 
sodium, avec les
données suivantes : NN a  2, 5 × 1028 m-3 , N a  3 × 1013 s-1 .
~ int à la pulsation  en un point
I.4.4. Donner l'expression du champ électrique total interne E
~ 0 au point O. Montrer qu'il existe
M à l'intérieur de la nanoparticule, en fonction de , 0 ,  et E
~
une résonance en amplitude pour Eint au voisinage de la pulsation 0 .
Que vaut le champ interne pour   p ? Commenter ce résultat.
Cette résonance dans l'amplitude du champ électrique à la pulsation 0 
correspond à une
augmentation de la réponse optique des nanoparticules ; elle est appelée 
résonance plasmon de
surface de la particule.
3

~ int |/|E
~ 0 | au voisinage de 0 . Tracer l'allure de sa
I.4.5. Donner l'expression de |f ()| = |E
variation en fonction de . Que vaut ce rapport à résonance dans le cas du 
sodium ?
I.5. On s'intéresse maintenant au champ externe.
~ e créé par la particule en un point M extérieur à celle-ci, sous
I.5.1. Montrer que le champ E
l'action de l'onde électromagnétique, correspond à celui d'un dipôle oscillant. 
Montrer que ce
dipôle p~ peut se mettre sous la forme :
p~ = 

02
~ 0 (O)
E
02 -  2 + i

où on donnera l'expression de .
I.5.2. On se place en un point M (~r) au voisinage immédiat de la nanoparticule 
(r  ).
Représenter la variation du rapport entre l'amplitude du champ total et celle 
du champ incident
à la pulsation de la résonance 0 , en fonction de la distance r au centre de la 
particule pour un
point M situé sur l'axe Ox.
II. Rayonnement et absorption
Avec l'accroissement de la sensibilité des méthodes de spectroscopie optique, 
il est maintenant possible d'observer expérimentalement la diffusion ou 
l'absorption de la lumière par une
nanoparticule métallique unique. L'effet d'un grand nombre de particules sera 
ensuite analysé.
Comme en I, l'onde électromagnétique plane monochromatique incidente, 
d'intensité I0 , se
propage selon la direction x ; elle est polarisée linéairement suivant z. On 
suppose que les particules sont suffisamment petites pour que leur réponse 
individuelle puisse être assimilée à celle
d'un dipôle.
Pour les applications numériques de cette partie, on prendra les valeurs 
correspondant au
sodium 0 = 4, 9 × 1015 s-1 et  = 3 × 1013 s-1 .
II.1. Puissance rayonnée.
~ 0 = E0 exp i(t - kx)~uz en
Soit I0 l'intensité du faisceau lumineux de champ électrique E
notation complexe.
II.1.1. Exprimer I0 à l'aide de |E0 |.
II.1.2. En utilisant le résultat de I.5.1., donner l'expression de la puissance 
moyenne Pd
rayonnée par une nanoparticule unique sous l'action de l'onde 
électromagnétique, en fonction de
I0 . Cette puissance correspond à la puissance diffusée par la particule.
II.1.3. On suppose que l'on peut collecter l'ensemble de la lumière diffusée 
dans le demiespace y > 0 de la figure 1. Le seuil de détection du détecteur 
utilisé est de 10-9 W.
Quelle est la taille minimale de la nanoparticule qui peut être observée par 
cette méthode
pour une intensité incidente I0 = 103 W · cm-2 ?

4

II.2. Puissance dissipée.
II.2.1. Exprimer la puissance moyenne Pa dissipée par la force de frottement 
introduite
en I.4.2, pour l'ensemble des électrons de la nanoparticule, en fonction de I0 
, 0 , , , a et c.
II.2.2. Exprimer le rapport Pd /Pa . Pour quelle valeur de a la puissance 
dissipée à la résonance
devient-t-elle supérieure à celle diffusée par rayonnement ?
II.2.3. On concentre un faisceau laser à la pulsation 0 sur une tache focale de 
diamètre
1 µm au centre de laquelle se trouve la particule. On admettra que la 
description précédente en
terme d'onde plane est toujours valable et que l'énergie est uniformément 
répartie sur la tache
focale. Un changement relatif de puissance du faisceau de l'ordre de 10-4 peut 
être détecté. En
prenant le cas du sodium, quelle est la taille minimale de la particule qui 
peut être observée ?
II.3. La plupart des études expérimentales sur des nanoparticules d'alcalins 
ont été réalisées
sur des nanoparticules sous vide. L'interaction d'une onde électromagnétique 
avec un grand
nombre de particules est alors réalisée. On supposera que les particules sont 
identiques (sphères de
rayon a) et on note Np leur densité volumique.
II.3.1. On suppose que l'interaction des particules est négligeable si leurs 
centres sont séparés
d'une distance supérieure à 8a. Justifiez cette approximation en vous appuyant 
sur le résultat de
I.5.2. Estimer la densité maximale NM de particules pour laquelle cette 
hypothèse est vérifiée
pour a = 5 nm. Exprimer la fraction g de volume du milieu occupé par les 
nanoparticules en
fonction de Np . Donner sa valeur pour Np = NM .
II.3.2. La fraction volumique g est de 2 × 10-4 . Exprimer la polarisation du 
milieu formé par

ces nanoparticules. En déduire sa permittivité complexe  et son indice de 
réfraction complexe

n = n -in ; on supposera n  n et on justifiera que n reste proche de 1 malgré 
la contribution
des nanoparticules.
II.3.3. Montrer que, après propagation sur une longueur L, l'intensité d'une 
onde électromagnétique incidente sur le milieu est donnée par I = I0 exp(-L) où 
le coefficient d'absorption 
est de la forme :
B 2 
= 2
.
( - 02 )2 +  2  2
On exprimera B en fonction de g, p et c.
Calculer numériquement -1 pour des nanoparticules de sodium, à résonance.
III. Extension du modèle
L'étude effectuée en I de l'interaction d'une nanoboule avec une onde 
électromagnétique
peut être reprise et généralisée en traitant le milieu métallique comme un 
milieu diélectrique
particulier. Le passage au cas d'une nanoparticule insérée dans un milieu 
diélectrique sera alors
facilité.
III.1. La nanoparticule métallique est sphérique, immobile de centre O et de 
rayon a, placée
dans le vide et globalement neutre. Comme en I.4.1, on la suppose suffisamment 
petite pour
5

que les phénomènes de propagation soient négligés et que le champ incident 
puisse être considéré
~ 0 = E0 exp(it)~uz . Comme en I, on note ~ le déplacement des électrons
comme uniforme : E
~ d le champ créé en son intérieur par les charges électroniques et ioniques de 
densité voluet E
mique N .
~ d en fonction
III.1.1. En utilisant le résultat de la question I.2.2, donner l'expression de E
~
de  et à l'aide de N et e.
III.1.2. Pour considérer le métal comme un diélectrique, on décrit le 
déplacement des élec~ d.
trons par une polarisation volumique P~ . Exprimer P~ en fonction de ~, puis en 
fonction de E
~ int en un point M à
III.1.3. En déduire l'expression du champ électrique total interne E
~ 0.
l'intérieur de la nanoparticule en fonction de P~ et E
~ int en désignant par met la susceptibilité du métal.
III.1.4. Donner le lien entre P~ et E
30
~ int est relié à E
~ 0 par E
~ int =
~ 0 , où met /0 est la permitMontrer alors que E
E
met + 20
tivité diélectrique relative du métal.
III.2. Lien entre susceptibilité et conductivité.
III.2.1. Soit ~j la densité de courant dans le métal de conductivité . Écrire 
la loi d'Ohm
locale. Rappeler la relation entre ~j et P~ . En régime sinusoïdal permanent de 
pulsation , exprimer
~ int . En déduire la susceptibilité met du métal en fonction de , 0 et  ainsi
P~ en fonction de E
que sa permittivité met .
III.2.2. Pour expliciter la conductivité , on adopte le modèle de Drude. Soit N 
la densité
~ int et à
volumique d'électrons libres. Un électron de masse m est soumis au champ 
électrique E
des collisions dont l'effet est modélisé par une force -m~v , où ~v est sa 
vitesse et  une constante
positive.
Écrire l'équation du mouvement de cet électron. De la solution en régime 
sinusoïdal permanent, déduire la densité de courant, puis la conductivité .
~ int
III.2.3. Dans ce modèle, exprimer met /0 en fonction de ,  et p2 = N e2 /0 m, 
puis E
~ 0 . Comparer le résultat à celui obtenu en I.4.4.
en fonction de E
III.3. Dans de nombreuses situations expérimentales, les particules métalliques 
sont en inclusion dans un milieu transparent (verre ou céramique) caractérisé 
par la permittivité ext . Pour
~ int de III.1.4, de remplacer 0
en tenir compte, on admettra qu'il suffit, dans l'expression de E
par ext .
De plus, dans le métal, les électrons liés participent aussi à la réponse 
optique ; leur contribution est décrite par un terme b (réel positif) dans 
l'expression de la susceptibilité, qui s'ajoute
à met .
III.3.1. En effectuant les modifications demandées, expliciter met + 2ext en 
séparant partie
réelle et partie imaginaire. Simplifier en supposant   p , .

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~ int | présente une résonance pour une pulsation R dont on donnera
III.3.2. Montrer que |E
l'expression en fonction de p , 0 , ext et b . On supposera b /  0 dans le 
domaine optique.
III.3.3. On s'intéresse à des nanoparticules d'argent pour lesquelles b  4, 
dispersées dans
du verre d'indice de réfraction next = 1, 5. Pour l'argent, on prendra N = 5, 9 
× 1028 m-3 . Calculer R et la longueur d'onde (dans le vide) associée R .
De quelle couleur apparaîtra par transparence ce milieu de nanoparticules 
d'argent dispersées ?
III.3.4. Expérimentalement, on peut déterminer la longueur d'onde R de la 
résonance
à 0, 1 nm près. Quel changement minimum de la permittivité diélectrique 
relative ext /0 du
milieu environnant les nanoparticules peut-on détecter ?

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