X Physique 2 PC 2013

ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES

ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE -- B -- (XELC)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Pour les applications numériques, on se contentera de donner un unique chiffre 
significatif.

***

Une goutte d'eau posée sur une plaque chaude s'évapore en une fraction de 
seconde, émettant
parfois un "pshitt" caractéristique. Toutefois, si la température de la plaque 
est très supérieure
a la température d'ébullition du liquide, on observe que le temps de vie de la 
goutte augmente
fortement, pour atteindre jusqu'à plusieurs minutes. La goutte est alors isolée 
thermiquement de
la plaque par un film de sa propre vapeur : c'est le phénomène de caléfaction, 
ou de Leidenfrost,
du nom du médecin hollandais qui a le premier décrit en détail cet état 
particulier. Dans cet
état, on observe également que les gouttes sont très mobiles et glissent sur le 
film de vapeur qui
les protège.

Dans ce problème, nous proposons d'expliquer l'épaisseur du film de vapeur, 
d'étudier les
écoulements en son sein, et de comprendre les trajectoires remarquables de 
gouttes d'oxygène
liquide caléfiées sous l'influence d'un champ magnétique.

Remarque importante : À plusieurs reprises au cours de ce problème, on demande 
au
candidat de raisonner par analyse dimensionnelle ou d'évaluer un ordre de 
grandeur. Dans ce
cas, le candidat n'essaiera pas d'évaluer les coefficients multiplicatifs sans 
dimension, qui seront
omis. De l'ordre de l'unité, ils n'influencent pas l'ordre de grandeur du 
résultat.

Formulaire

Equation de Navier--Stokes pour un fluide newtonien visqueux incompressible, de 
masse vo--
lumique p et viscosité dynamique 77 :

p(Ê--î+ (@ grad) 17) : pÿ'-- grédp + 77AÎÏ (1)
Divergence d'un champ de vecteurs en coordonnées cylindriques :
1 3 1 @@ Ôvz
d 2
...:) ,,,--m w>--+,--,+, <>

Laplacien d'une fonction en coordonnées cylindriques :

af 132f a2f
Af: %aî< 106 J.kg_1 Viscosité de la vapeur d'eau a 100°C : 77 = 1, 3 >< 10_5 Pas Conductivité thermique de la vapeur d'eau : À : 25 >< 10_3 VV.m_1.K_1 Masse volumique de la vapeur d'eau a 100°C : pv : O, 60 kg.m_3 Masse volumique de l'eau liquide a 100°C : pl : 958 kg.m_3 Tension superficielle de l'eau a 100°C : v = 59 mN.m_1 1 Quelques résultats préliminaires 1.1 Forme de la goutte Nous nous intéressons tout d'abord a la forme d'une goutte en caléfaction. Nous admettrons que la goutte prend la forme d'un palet d'épaisseur h et de rayon R, comme indiqué sur la figure 1. Nous supposerons ici que la goutte est très aplatie : h << R. Le volume de la goutte est alors (2 : 7TR2h. 2R 3 {\A hi + +60 FIGURE 1: Une grosse goutte en caléfaction prend la forme d'un palet de rayon R et d'épaisseur h << R. Elle est séparée du substrat chaud par un film de sa propre vapeur d'épaisseur (30. La) La tension superficielle d'un liquide est une grandeur caractéristique qui mesure le coût énergétique de création d'interface liquide/ air. Cette grandeur est toujours positive et nous la noterons v. L'énergie de surface associée a la forme d'une goutte liquide de volume (2 donné s'exprime de la manière suivante : ES : vî3 où v est la tension superficielle de l'eau et E l'aire de l'interface liquide / gaz de la goutte. Quelle est la dimension de la tension superficielle v ? Proposer une expression de ES en fonction de % Q et h. 1.b) La forme de la goutte est dictée par une compétition entre la tension superficielle, qui tend a minimiser l'aire de l'interface eau/ air de la goutte, et la gravité) qui tend a aplatir la goutte. Quelle est l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur Eg de la goutte ? 1.c) Montrer que dans la limite où h << R l'énergie potentielle totale s'écrit sous la forme : h Q Ep : 10995 + 21% (4) En déduire l'épaisseur d'équilibre he de la goutte caléfiée en fonction de la longueur capillaire du liquide ÆC : (v/pg)1/2. Donner une estimation numérique de & et de he. 1.2 Mesure optique de l'épaisseur du film de vapeur 1.d) On dirige sous la goutte un faisceau laser parallèle au substrat (voir figure 2a). On observe sur un écran situé a une distance X = 50 cm de la goutte le motif de la figure 2b. Expliquer ce phénomène. (E) AZ . 2R . h LASER $ ( î )! \.-Q _ _ _ 60 ' X ' 10 mm (21) (b) FIGURE 2: Mesure optique de l'épaisseur du film de vapeur sous une goutte en caléfaction. (a) Un faisceau laser est envoyé horizontalement entre la goutte et la plaque chaude. On observe l'intensité lumineuse sur un écran (E) situé a une distance X de la goutte. (b) Motif lumineux observé sur l'écran. Le segment noir représente 10 mm. Le) En assimilant le film de vapeur a une ouverture de largeur 60 et de longueur infinie, déterminer l'intensité lumineuse observée sur l'écran. On notera ÀL = 632,8 nm la longueur d'onde du laser. 1.f ) Déduire de la figure 2b un ordre de grandeur de l'épaisseur 60 du film de vapeur d'eau sous la goutte. On utilisera cet ordre de grandeur dans la suite du problème. 1.g) Proposer d'autres moyens expérimentaux permettant d'évaluer (30. 2 Temps de vie Nous cherchons dans cette partie du problème a déterminer la durée de vie d'une goutte en caléfaction, c'est--à--dire le temps nécessaire a son évaporation complète. 2. 1 Transfert thermique Nous faisons ici l'hypothèse que les températures du substrat et de la goutte sont uniformes. Nous supposons également que l'épaisseur du film de vapeur est homogène, égale a (30. Par ailleurs, l'expérience montre que 60 << he et 60 << R. Pour les questions relatives aux transferts de chaleur, on se place en régime stationnaire. 2.a) Expliquer pourquoi on peut considérer que le profil de température dans le film de vapeur ne dépend que de la coordonnée z. 2.b) Faire un bilan d'énergie sur une tranche d'épaisseur dz du film de vapeur. En déduire l'équation régissant l'évolution de la température de la vapeur d'eau constituant le film. 2.c) En régime stationnaire, quelle est la température de la goutte d'eau en caléfaction? Déterminer alors le profil de température dans le film de vapeur. 2.d) Déterminer le flux de chaleur reçu par la goutte en fonction de À, R, co et AT où AT : Tp -- TEUR est la différence entre la température T}) de la plaque chaude et la température de la goutte TEUR : 100°C. 2.e) Montrer que la masse d'eau évaporée par unité de temps est : À AT : ÎË où À est la conductivité thermique de la vapeur d'eau, L est la chaleur latente d'évaporation de l'eau. Donner une estimation de m pour une goutte de rayon R = 10 mm sur une plaque a température T p = 300 °C. En déduire une estimation du temps de vie 7' d'une telle goutte. 7TR2 (5) m 2.2 Ecoulement de la vapeur Nous allons maintenant décrire l'écoulement de fuite de la vapeur d'eau dans le film qui sou-- tient la goutte. Pour une goutte maintenue immobile, la vapeur produite s'échappe radialement, du centre vers la périphérie de la goutte, sous l'effet de la pression induite par le poids de la goutte. Nous allons supposer ici que le film de vapeur est d'épaisseur homogène eo (voir figure 3). Par ailleurs, nous considérerons que les parois supérieure et inférieure du film sont planes et solides. L'écoulement se fait sous l'influence de la différence de pression Ap entre le centre (r = O) et la périphérie (r = R) du film de vapeur. R , pîpa WC 3_ __3,' + T 60 ' p=pa+Ap (a) (b) FIGURE 3: (a) Dans le film, la vapeur d'eau s'écoule du centre vers la périphérie de la goutte, sous l'effet de la pression exercée par la goutte sur le film. L'épaisseur eo du film est supposée ho-- mogène. (lo) Nous décrivons l'écoulement dans un système de coordonnées cylindriques. L'origine est située a la surface de la plaque chaude, a la verticale du centre de la goutte. 2.f ) Donner le sens physique de tous les termes de l'équation de Navier--Stokes donnée au début de ce problème. 2.g) Expliquer pourquoi il est naturel de supposer que la composante orthoradiale @@ de la vitesse d'écoulement de la vapeur dans le film est nulle. 2.h) En écrivant la condition d'incompressibilité du fluide sous forme dimensionnelle, montrer que la vitesse d'écoulement horizontale est très supérieure a la vitesse verticale : U7« >> UZ.
L'écoulement de la va eur est donc essentiellement radial : 27 = U 7" 9 z u"'.

'Ï' ? ? 'Ï'

2.i) L'épaisseur du film de vapeur sous la goutte est typiquement 100 am. Le 
temps de vie
d'une goutte centimétrique est de l'ordre de quelques minutes. En déduire un 
ordre de grandeur
de la vitesse d'écoulement V de la vapeur d'eau sous la goutte.

2.j) Montrer que le terme inertiel de l'équation de Navier--Stokes est de 
l'ordre de va2/R
où pv est la masse volumique de la vapeur, V est la vitesse typique de 
l'écoulement.

2.k) Expliquer pourquoi le terme visqueux de l'équation de Navier--Stokes est 
de l'ordre de
77W6Ë-

2.1) Rappeler la signification physique du nombre de Reynolds associé a un 
écoulement.
Exprimer le nombre de Reynolds relatif a cet écoulement, et en donner la valeur 
typique. Montrer
qu'en régime stationnaire, l'équation de Navier--Stokes se réduit a l'équation 
de Stokes :

grädp : nAÜ' (6)

Nous admettons dans toute la suite de cette partie que l'écoulement est régi 
par cette équa--
tion.

2.m) Pourquoi le champ de vitesse ne dépend--il pas de la coordonnée 9 ?

2.n) Montrer que l'équation 6 se réduit a :

Ôp 32:07:

2.0) On admet que la pression p dans le film ne dépend pas de z. Intégrer 
l'équation 7 et
donner l'expression de U,: en fonction de 77, Ôp/Ôr, co et z.

2.p) On note Q le débit volumique de vapeur a une distance 7" du centre du 
film. Montrer
que :

7rr Ôp 3
677 37460 (8)

Q :

2.q) L'évaporation de la goutte nourrit le film de vapeur. Il en résulte que Q 
dépend de 7".

Nous notons jv le volume de vapeur produit sous la goutte par unité de surface 
et par unité

de temps. Nous admettons que jv est homogène sous la goutte. Quel est le lien 
entre ju et la
variation de masse de la goutte par unité de temps m ? Montrer par un bilan 
adéquat que :

ô_@_2 m
Ôr_ pvR2

r (9)

En déduire, en utilisant le résultat de la question 2.p une équation 
différentielle vérifiée par
la pression p dans le film de vapeur.

2.r) Montrer que la pression dans le film s'exprime de la manière suivante :

p =p. + 3""ï, (1 -- R--) (10)

7TPU EUR0

où pa est la pression atmosphérique.

2.5) En utilisant le résultat de la question 1.c7 déterminer la pression dans 
le film en r = 0
en fonction de pl, g et la longueur capillaire & de l'eau.

2.t) En déduire que l'épaisseur du film de vapeur s'exprime, a un coefficient 
numérique près,
comme :

1/4
ÀATn ) (11)

e = R1/2 (
0 plg£chv

Estimer la valeur numérique de co et comparer avec le résultat de la question 
1.f.

2.3 Évolution du rayon de la goutte

On s'intéresse maintenant a l'évolution du rayon de la goutte induit par 
l'évaporation.
2.u) Exprimer la variation de masse de la goutte en fonction de pl, EC, R et R 
=dR/dt.

2.V) En utilisant les équations 5 et 117 montrer que R(t) est solution d'une 
équation diffé--
rentielle de la forme suivante :
R
où 04 est une constante que l'on déterminera.

2.W) Montrer alors que le rayon d'une goutte caléfiée évolue selon la loi 
suivante :

t 2
R(t) = R0 (1 -- _) (13)
7'
et donner l'expression du temps de vie 7' de la goutte en fonction des 
paramètres adaptés. Evaluer
le temps de vie d'une goutte de rayon initial R0 = 10 mm. Comparer ce résultat 
a l'estimation
faite a la question 2.e.

2.x) Comparer les résultats de la question précédente a la figure 4 qui montre 
l'évolution
temporelle du rayon d'une goutte d'eau en caléfaction. Expliquer 
qualitativement le désaccord
entre le modèle et les résultats expérimentaux a la fin de la vie de la goutte.

3 Goutte d'oxygène en caléfaction

On s'intéresse dans cette partie aux trajectoires de gouttes d'oxygène liquide 
en caléfaction
sur une plaque a température ambiante. L'oxygëne est paramagnétique, si bien 
qu'une goutte

0 ' 100 ' 2ù0 300

4ÛÛ 500
I (s)

FIGURE 4: Évolution en fonction du temps du rayon R d'une goutte d'eau en 
caléfaction sur
une plaque a 300 0O (D) et sur une plaque a 380 0O (A). Les courbes en traits 
plein et pointillé
vérifient l'équation 13.

soumise a un champ magnétique acquiert un moment dipolaire et peut subir une 
force d'origine
magnétique.

On suppose ici que les gouttes sont quasi--sphériques, de rayon R et de petite 
taille (R << lc). Par ailleurs, on admettra que la durée des expériences est suffisamment courte pour que la taille d'une goutte ne change pas au cours d'une expérience. 3.a) L'énergie d'interaction par unité de volume de l'oxygène liquide avec un champ magné-- tique s'écrit : X 2 e : ----B 14 où x > 0 est la susceptibilité magnétique de l'oxygène liquide. En considérant 
que le champ est
presque homogène sur le volume de la goutte, quelle est l'énergie magnétique 
d'une goutte de
volume (2 placée dans un champ magnétique B ?

3.b) Comment est orientée la force magnétique subie par une goutte d'oxygène 
liquide au
voisinage d'un aimant ?

3.c) On s'intéresse maintenant a l'expérience décrite sur la figure 5. Une 
goutte d'oxygène
liquide en caléfaction est lancée sur un support horizontal. On place sous ce 
support, au centre
de la plaque, un aimant, dont l'axe Nord--Sud est orienté selon la verticale. 
La goutte est lâchée
a grande distance avec une vitesse VO et un paramètre d'impact b.

L'aimant produit en première approximation un champ dipolaire. Le champ 
magnétique a la
surface de la plaque est orienté selon la verticale, et son expression est :

Ë=&@@=------ë @@

où M > 0 est le moment dipolaire magnétique de l'aimant. Commenter cette 
expression.

_,
,i le.
/ \\ / / \ \
/ _ \ / \
,/ /,/ :_\\\\ ///': _" \ \ \ r
V / / \\ :/_. \ \ d--\,
d_'( / 'TZ M \ \; \ bÎ__ÏÎO_ ___________ @
.\ \ \\ /.T,\\ / ,/ / A7
\ \\ // \\--'/ / /
\ \ '\--«-- /
\ _____ / \\\\ __ / /
(a) (b)

FIGURE 5: Une petite goutte d'oxygène liquide est lancée sur une plaque de 
verre horizontale.
Sous la plaque, on place un petit aimant (moment magnétique ]Ü ), qui crée un 
champ dipolaire
d'axe vertical. Les lignes de champ magnétique sont représentées en trait 
pointillé. La goutte est
libérée a grande distance avec une vitesse initiale VO et un paramètre d'impact 
(9. L'expérience
est vue de côté (a) et du dessus (b).

3.d) Quelle est l'expression de l'énergie magnétique d'interaction entre 
l'aimant et la goutte ?

3.e) Cette énergie est en réalité bien approximée par la formule suivante :
EO
_ 1 + (L)6
ro
Expliquer l'origine de cette différence. Dans toute la suite, nous utiliserons 
cette expres--
sion pour l'énergie magnétique.

Emag(7°) : (16)

3.f ) Ecrire l'énergie mécanique E... du système a un instant donné. À 
l'instant initial, la
goutte est lancée a grande distance de l'aimant, avec une vitesse VO et un 
paramètre d'impact ()
(défini sur la figure 5).

3.g) Expliquer qualitativement pourquoi on peut considérer que E... est 
conservée au cours
du mouvement.

3.h) Justifier que le moment cinétique du système est conservé au cours du 
mouvement.
Exprimer le moment cinétique de la goutte au début de l'expérience. Comment 
s'écrit la conser--
vation du moment cinétique de la goutte ?

3.i) Montrer que l'étude du mouvement peut alors se ramener a l'étude d'un 
point matériel
dans un potentiel effectif qui est fonction de la distance 7" entre la goutte 
et l'aimant. Montrer
que l'énergie potentielle effective s'écrit :

mb2V2
Epeff(7") = Y20 + EmagÜ") (17)

3. j) Sur la figure 6 nous avons tracé des courbes représentatives de Epefl.(r) 
pour différentes
valeurs du paramètre d'impact () et une vitesse a l'infini VO fixée. Expliquer 
qualitativement
l'allure de ces courbes.

Nous discutons maintenant certaines caractéristiques des trajectoires possibles 
pour ces
gouttes magnétiques.

E

\*OE

>r

FIGURE 6: Énergie potentielle effective Epefl.(r) pour différentes valeurs du 
paramètre d'impact
() et une vitesse a l'infini VO fixée.

3.k) Avec les conditions initiales décrites a la question 3.c (vitesse VO a 
l'infini7 paramètre
d'impact b), existe--t--il des états liés, c'est--à--dire des trajectoires 
bornées? Qu'en est--il avec
d'autres conditions initiales ?

3.1) En général, des trajectoires circulaires sont--elles possibles? Si oui, 
discuter graphique--
ment le rayon de ces trajectoires. Dans le cas contraire, expliquer pourquoi de 
telles trajectoires
sont impossibles.

3.m) On observe parfois que la goutte s'approche de l'aimant et fait plusieurs 
tours avant de
repartir. Expliquer graphiquement a quelle distance de l'aimant la goutte tend 
a tourner.