X Physique 2 PC 2014

ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE -- B -- (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un unique chifire 
significatif.

***

Quelques propriétés des instruments de musique à lame et à corde

Présentation.

Ce sujet porte sur l'étude de quelques instruments de musique. L'analyse des 
vibrations d'une
lame (xylophone, clarinette, boîtes a musique, ...) ou d'une corde (piano, 
guitare, harpe, --) nous
permettra de comprendre les caractéristiques musicales de quelques instruments.

Quelques éléments concernant les sons et leur perception.

. Une note est identifiée par sa fréquence fondamentale. Le "la3" correspond a 
la fréquence de 440
Hz.

. Une gamme "do--ré--mi--fa--sol--la--si" est constituée de 12 demi--tons 
(certaines notes successives sont
séparées d'un demi--ton, d'autres de deux demi--tons).

. On "monte" d'un demi--ton en multipliant la fréquence d'une note par %. 
Monter de 12 demi--
tons, c'est--à--dire d'une octave, revient donc a multiplier la fréquence de la 
note par 2 (par exemple,
pour passer du la?» au la4).

. Le timbre d'un son est ici défini par son contenu spectral (ensemble des 
fréquences qui le com--
posent).

. L'intensité perçue par l'oreille est reliée au logarithme de la puissance 
acoustique. Une échelle en
décibels est ainsi adaptée a la perception des sons. Le niveau sonore de 0 dB 
correspond a une
intensité acoustique égale a 10_12 VV-m_2 (seuil d'audition). Il s'élève de 10 
dB lorsque l'intensité
est multipliée par 10.

Le cadre de la modélisation.

L'élément vibrant est une lame (ou tige), de masse volumique ,o, de longueur L 
(selon (Or)) et de
section droite S (dans le plan (0, y, z)) (voir figure (I)). Cette lame est 
susceptible de se déformer dans
le plan (O,oe,y). Nous appelons fibre moyenne, l'ensemble des points de cette 
lame confondus avec
l'axe (OSC) lorsque la lame n'est pas déformée (cette fibre passe donc par le 
centre de chaque section
droite).

Le déplacement ? du point P de la fibre moyenne, d'abscisse a: (en situation 
non déformée), a la
date t, s'écrit (voir figure (2)) :

F(:c, t) : X(:c, t) ë'oe + Y(:c, t) @, (I)

--Page 1/7--

Y P |B
|

Section droite : 5
y A
|

X

\
'

A

Figure 2 -- Tronçon élémentaire [a: -- da:, 55] de lame en situation déformée. 
Repère local associé au point
P(a:). Notation des composantes de l'action mécanique exercée par la partie 
droite de la lame, sur sa
partie gauche, a travers la section S (P)

Nous notons a(a:, t) l'angle formé entre l'axe (OSC) et la tangente a la fibre 
moyenne.

Nous définissons la base locale directe (P, ñ', ?, @) où ii est le vecteur 
unitaire tangent a la fibre
moyenne, dans une situation a priori déformée (voir figure (2)). L'action 
mécanique des efforts internes,
exercés a travers la section droite contenant le point P, par la partie droite 
de la lame sur sa partie
gauche, se caractérise par :

. Une résultante qui se décompose en :
-- Un effort normal a la surface, ou tension, noté ]\7 = N ñ,
-- Un effort tangentiel a la surface, ou effort tranchant, noté Î : T ? ,

o Un moment, au point P : M = M é}, appelé moment fléchissant (ou de flexion).

Nous nous plaçons dans le cadre suivant :

o Les déformations considérées sont telles que lX \ peut être négligé devant 
lYl. Nous considérerons
alors que X = O.

0 Elles nous autorisent également a limiter tous les développements a d'ordre 
le plus bas, non nul,
relativement a 04.

0 L'effet de la pesanteur est négligé (sauf pour la question (28)).

I Préliminaires : vibration d'une corde souple.

L'équation décrivant les petits mouvements vibratoires d'une corde très souple 
(corde de Melde)
s'écrit :

2 2

&? CÊ

1. Rappeler les hypothèses, portant sur les propriétés de la corde et les 
conditions expérimentales,
associées a cette équation. Définir c. Représenter le dispositif expérimental 
correspondant.

--Page 2/7--

2.

L'extrémité gauche (a: = O) de la corde est excitée par un vibreur a la 
pulsation w et son extémité
droite (a: = L) est telle que Y(L, t) = 0 (V t). Représenter (aucun calcul 
n'est attendu) l'amplitude
vibratoire de la corde, en fonction de a:, dans deux situations; (a) la 
pulsation est quelconque,
(b) la pulsation correspond a une résonance de la corde. Déduire de ce dernier 
cas la suite des
pulsations propres.

. Indiquer comment augmenter la fréquence du fondamental (mode de plus faible 
fréquence).

4. Proposer une réalisation d'un instrument de musique, basé sur l'équation 
(2), permettant de

jouer les 12 demis tons du la?» au la4.

II Equation générale.

Nous considérons une lame métallique, ou une corde, de masse linéique ,u : pS 
et non infiniment
souple. Le fléchissement (ou courbure) d'un tel élément fait apparaître un 
moment de flexion M. Ce
moment se manifeste par une raideur de flexion. Le fléchissement est toujours 
supposé s'effectuer dans
le plan (oeOy).

5.

Indiquer la relation entre les fonctions Y(a:, t) et oz(a:, t), dans le cadre 
des hypothèses adoptées.

6. Nous proposons deux expressions phénoménologiques du moment de flexion. 
Chacune relie ce

III

moment a une certaine image de la déformation :

Ô2Y ÔY
M = -- ou M = -- > 0 3
v 3232 v Ôæ (v ) ( )
Indiquer, en précisant le(s) test(s) effectué(s) ou la (les) situation(s) 
particulière(s) envisagée(s),
quelle est la relation qui peut être retenue. Préciser alors la dimension (ou 
l'unité) de y corres--
pondant. De quoi dépend ce paramètre ?

. Considérons un tronçon [55,56 + d£C] de lame compris entre les sections 
droites d'abscisses a: et

a: + (la?. Dans toute l'étude, nous négligerons son moment dynamique (exprimé 
au centre du
tronçon). En appliquant le théorème du moment cinétique a cet élément, établir 
la relation entre
effort tranchant et déformation :

ô'3Y

T : --WË (4)

. En appliquant maintenant le principe fondamental de la dynamique au tronçon 
[cc, a:+doe], établir

l'équation générale d'évolution (un schéma pourra être utile) :

@@ 282Y 34Y \ y

Comment transposer cette équation au cas particulier de la corde de Melde ?

. Combien de conditions aux limites convient--il d'adjoindre a l'équation (5) ? 
Sur quelles grandeurs

physiques sont--elles susceptibles de porter ?

Instruments à lame vibrante.

Dans cette partie, nous nous plaçons dans le cas où la tension est nulle (N = 
0).

--Page 3/7--

III.A Solutions harmoniques.
Nous recherchons une solution de l'équation (5) sous la forme :
Y(oe,t) : Re[X] avec X : f(oe) exp(iwt) et f EUR CC (6)
10. Déterminer la fonction f. Justifier qu'elle peut s'écrire :
f(oe) : B1 sin(Kæ) + B2 cos(Kæ) + B3 sinh(Kæ) + B4 cosh(Kæ) (Bi EUR C, K E R+) 
(7)

et exprimer la constante K , en fonction de A et w.

III.B Lame posée : le xylophone.

Dans le cas du xylophone, les extrémités de la lame reposent sur deux appuis 
situés en a: = 0 et
a: = L (voir figure (3)). Nous supposerons qu'elles y restent en contact.

A
yA B

\!

0 L

Figure 3 -- Lame (représentée non déformée) du xylophone reposant sur ses deux 
appuis.

Nous adoptons les conditions aux limites suivantes :

Y(O,t) = Y(L,t) = 0 (W E @)
M(O,t) = M(L,t) = 0 (W E @)

III.B.a Cadre général.

11. Justifier le choix des conditions aux limites adoptées.

12. Déterminer alors la solution f , associée a la pulsation w, ainsi que la 
constante K. On écrira K
sous la forme : Kn : nK1 où n E N*.

13. Représenter les fonctions f correspondant a K1 et K2.

14. Pour une lame) caractérisée par sa longueur L et le paramètre A, a chaque 
Kn correspond un
mode de pulsation w...
Exprimer wn sous la forme wn : S (n)w1. Ce spectre (distribution des 
pulsations) autorise--t--il
une description des oscillations par une série de Fourier ?

15. Comparer le contenu spectral du xylophone a celui d'une corde (infiniment 
souple) vibrante.
Le timbre d'une note dépend fortement de la présence de l'harmonique 
correspondant a une
octave plus aiguë que son fondamental. Qu'en est--il pour le xylophone ?

III.B.b Applications.

Nous considérons un xylophone pour orchestre (lames en bois de rose et de 
section rectangulaire)
dont le la?» (fondamental a 440 Hz) correspond a la longueur L1a3 : 32, 8 cm. 
La gamme de ce xylophone
s'étend sur deux octaves du la2 au la4 inclus.

16. Calculer les longueurs des lames correspondant aux notes extrêmes.

--Pagc4/7--

III.B.c Etude statique.

Une force extérieure constante E = --F 53, est appliquée sur la lame, en son 
milieu (51: = L / 2). F
est une grandeur algébrique, @ priori positive. Les réactions aux appuis sont 
notées ËA : RA 53, et
ËB = R3 ëy.

N.B. : Les équations obtenues en (II) ont été établies pour des tronçons de 
lame soumis a aucune
force extérieure. Elles restent donc applicables sur chacun des intervalles 
ouverts ]0, L / 2[ et ]L / 2, L[.

17. Exprimer les réactions aux appuis RA et R3.

18. En traduisant l'équilibre mécanique de portions de lame bien choisies (et 
que l'on précisera),
exprimer T(oe) et M(oe) sur chacun des intervalles ]0, L/2[ et ]L/2, L[.

19. Représenter l'évolution des grandeurs T et M en fonction de a:.
20. Indiquer les conditions aux limites que doit satisfaire la fonction Y.
21. En déduire l'expression de la flèche YM E lY (L / 2)l, en fonction de v, L 
et F.

III.B.d Aspect énergétique.

Pour le mode fondamental, nous considérons que les effets inertiels agissant 
sur la lame peuvent
être négligés (régime quasistatique). La déformation de la lame en oscillation 
(pour l'amplitude YM)
est alors proche de sa déformation statique. Le résultat obtenu a la question 
(21) suggère alors de
modéliser la lame par un système masse--ressort dont YM représenterait 
l'amplitude d'élongation. On
attribue a ce système la masse "dynamique" équivalente m1 : 48m / 7r4 w 0, 5 m 
(m étant la masse de
la lame).

22. À travers ce modèle, donner un argument qui justifie que m1 < m. 23. Exprimer la raideur la du ressort équivalent, puis la pulsation un du fondamental de la lame (en fonction de m1 et lq). 24. Dans le cadre de ce modèle, établir une relation entre l'amplitude YM des vibrations du fonda-- mental et l'énergie de vibration U de la lame. 25. La lame émet un la?» de niveau 60 dB, a une distance de 5 mètres, avec une durée de persistance de l'ordre de 1 seconde. Nous supposons que la puissance acoustique est rayonnée de façon isotrope et que l'énergie de la lame ne se dissipe que par ce rayonnement. Estimer YM en fonction de la fréquence fondamentale V1 de la lame, de sa masse m et de son énergie initiale U0. 26. Donner une valeur approximative de YM pour la lame du la?» (440 Hz) (m = 260 g). 27. Estimer l'ordre de grandeur du facteur de qualité de cet oscillateur (en précisant la méthode de détermination). Le comparer a celui d'un circuit électrique (passif) courant. 28. Nous considérons ici, et ici seulement, l'action de la pesanteur. Toujours dans le cadre de ce modèle, et avec les valeurs adoptées, déterminer si le contact entre les extrémités de la lame et les appuis reste effectivement maintenu. III.C Lame encastrée : boîte à musique, clarinette, ou saxophone. III.C.a Détermination des modes d'0scillation libres de la lame. Pour ces instruments, la lame est encastrée a une extrémité et libre a l'autre (figure (4)). Nous adoptons les conditions aux limites suivantes : Y Pouroe=0, Y=0 et Ê--=0 (VÉER) P _L Ô2Y _0 t OEÔBY _O (9) ouroe- , Ôa:2_ e 8553-- --Page 5/7-- A B 0 L Figure 4 -- Lame encastrée a une extrémité et libre a l'autre. 29. Justifier ce choix de conditions aux limites. 30. Les conditions aux limites imposent que le produit KL vérifie la relation : KL : ---- 10 COS( ) cosh(KL) ( ) Donner une forme asymptotique (KL >> 1) des solutions.
31. Les premières solutions de l'équation précédente conduisent a :
(Kg/1x1)2 = 6, 250 ; (Kg/1x1)2 = 17, 556 ; (rg/m)2 = 34, 340 (11)

Le spectre des pulsations peut--il être représenté par une série de Fourier ?

IV Un piano joue plus ou moins juste

Nous étudions les vibrations d'une corde métallique, cylindrique, tendue entre 
deux points fixes.
Cette corde est caractérisée par :

0 Sa longueur L et son rayon r;
0 Sa masse volumique ,a (ou sa masse linéique ,u : 7rr2p) et son module d'Young 
E;
0 Sa tension N

La corde d'un piano est initialement fortement tendue. Nous pouvons alors 
considérer que l'élongation

due aux vibrations ne modifie pas sa tension. Dans ce cadre, rappelons que 
l'équation d'évolution
)» °

s ecr1t :

@@ @@ 34Y 2E
3152 C2Ê + AË : 0 où) dans ce cas, A : Tél--p (12)

Tous les termes de cette équation interviennent dans le comportement de cette 
corde.

IV.A Anharmonicité d'une corde réelle.

Nous recherchons les solutions de cette équation sous la forme :
Y(oe,t) : Re[X] avec X : f(a3) exp(iwt) et f EUR CC (13)

32. Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction f. On posera D = 
A/ c2 et lc : w/c.

33. La fonction f est de la forme :
f(oe) : F1 sin(K;oe) + F2 cos(K;oe) + F3 sinh(ch) + F4 cosh(KRaÿ) (14)

où les constantes Fi sont complexes et les constantes K 1 et K R réelles 
positives.
Expliciter K 1 et K R en fonction des paramètres D et lc.

--Page 6/7--

34.

35.
36.

37.

Le système de fixation des cordes permet d'imposer les conditions aux limites :

f(0) = f(L) = 0 et f"(0) = f"(L) = 0 (15)
Schématiser un dispositif de fixation susceptible d'imposer de telles 
conditions aux limites.

Préciser la fonction f ainsi que la série des paramètres K ] autorisés .

À chaque valeur de K 1 correspond un mode de fréquence un (n = 1 pour le mode 
de fréquence
la plus faible). Établir que :

Vn : num/ 1 --l-- Bn2 (16)

où V0 est la fréquence du fondamental pour B = 0 (corde vibrante "classique").
Préciser l'expression du terme d'anharmonicité B, d'abord en fonction de 7", E, 
N et L, puis en
fonction de 7", E, L, ,a et V0.

Comment réduire l'anharmonicité du son? Vers quel système la corde de piano 
tend--elle alors,
et pourquoi ?

IV.B Piano droit, piano à queue.

Les deux exemples de piano que nous allons considérer sont des cas extrêmes et 
simplifiés. La
structure réelle des cordes de piano de concert est plus complexe (âme en 
cuivre, entourée d'acier
torsadé).

38.

39.

40.

La corde du la2 (220 Hz) d'un piano droit mesure 67, 7 cm et son diamètre est 
égal a 0, 96 mm
(B = 3, 5 >< 10--4). Calculer la fréquence de la dixième harmonique (encore très présente dans le timbre d'un piano). Placer ce résultat entre la fréquence de l'harmonique parfaite et le demi-ton supérieur ( % = 1, 059). Commenter ce résultat. La corde du la2 d'un piano a queue, réalisée dans le même acier, mesure 170,1 cm, pour un diamètre de 0, 79 mm. Dans quel rapport B est--il réduit ? Quelle en est la conséquence ? Un piano dispose de 88 notes. Pour estimer la force totale exercée sur le cadre, nous considérons que pour chaque note il y a trois cordes et que toutes les cordes subissent la tension correspondant au la2. Avec les données précédentes, estimer la force totale exercée par les cordes dans un piano droit et dans un piano a queue (p = 8000 kg - m_3). --Page 7/7--