X/ENS Physique B PC 2018

ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2018

FILIERE

PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XEULC)
(Duree : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.

Dynamique de lignes de tourbillon dans les
fluides parfaits
On s'interesse a l'ecoulement d'un fluide parfait et incompressible. On note le 
champ de vitesse
u(x, y, z, t), et on definit la vorticite de l'ecoulement :
 = rot u .

(1)

Les quantites ecrites en caracteres gras representent des vecteurs. On 
s'interesse a des lignes
de vorticite, voir figure 1 : la vorticite est orientee le long de la ligne, et 
 = 0 en dehors
de ces lignes. Une telle ligne de vorticite est une approximation pour un 
tourbillon dont la
vorticite est localisee dans un coeur de rayon tres faible. Une ligne de 
vorticite est caracterisee
par sa "circulation" , dont l'unite S.I. est m2 s-1 : la circulation du champ 
de vitesse u sur un
contour ferme entourant la ligne de vorticite dans le sens direct vaut , tandis 
que la circulation
du champ de vitesse sur un contour qui n'englobe aucune ligne de vorticite est 
nulle.
On souhaite determiner le champ de vitesse associe a une distribution de lignes 
de vorticite
donnee. Pour ce faire, on remarque que le probleme est analogue a un probleme 
de magnetostatique.
L'analogue de  est µ0 j, ou j est le vecteur densite de courant et µ0 la 
permeabilite magnetique
du vide. Une ligne de vorticite est l'equivalent d'un cable electrique, et sa 
circulation  a pour
analogue µ0 I, ou I est l'intensite du courant electrique parcourant le cable.

1

C1
C2

Figure 1: Une ligne de vorticite est caracterisee par sa "circulation" . La 
circulation du champ
de vitesse sur le contour ferme C1 entourant la ligne dans le sens direct vaut 
. Le contour C2
n'entoure aucune ligne de vorticite : la circulation du champ de vitesse le 
long de ce contour
est donc nulle.
1) L'equation (1) est alors l'analogue de l'equation de Maxwell-Ampere, dans sa 
version independante
du temps (limite magnetostatique). Ecrivez cette equation. Quel est l'analogue 
en magnetostatique
du champ de vitesse u decrit par l'equation (1) ?
2) Quelle est l'autre equation de Maxwell locale verifiee par le champ 
magnetique? Quel est
son equivalent dans le probleme fluide considere ici ? Expliquez pourquoi cette 
equation est
verifiee dans le probleme fluide.
3) Enoncez le theoreme d'Ampere pour la magnetostatique. En utilisant 
l'analogie decrite
precedemment, en deduire un enonce similaire pour le probleme fluide.
4) Toujours dans le cadre de ce parallele, enoncez les proprietes de u(x) 
lorsque x appartient a
un plan de symetrie ou d'antisymetrie de la distribution de vorticite.
5) On se place en coordonnees cylindriques (r, , z) et on considere une ligne 
de vorticite confondue avec l'axe (Oz). Cette ligne de vorticite a une 
circulation  dans la direction de (0z).
En explicitant les symetries et invariances du probleme, calculez le champ de 
vitesse associe a
cette ligne de vorticite.

1

Mouvement de lignes de vorticite

On admet que, dans un fluide parfait, la vorticite est "attachee" aux 
particules de fluide :
elle est simplement advectee (c'est-a-dire transportee) par la vitesse locale 
du fluide au point
considere.
On considere le modele de Rankine d'un tube de vorticite. On se place en 
coordonnees cylin-

2

driques, et on considere le champ de vorticite suivant:

ez pour r  a
=
0 pour r > a

(2)

La vorticite est uniforme et dirigee selon z dans un coeur de rayon a, tandis 
qu'elle est nulle en
dehors de ce coeur.
6) Calculez l'expression du champ de vitesse en tout point de l'espace.
7) Expliquez pourquoi l'advection de la vorticite par ce champ de vitesse ne 
modifie pas la
distribution de vorticite (2). En deduire que le tube de vorticite reste 
immobile et invariant
dans le temps.
Ce resultat reste vrai lorsque l'on considere la limite a  0: une ligne de 
vorticite rectiligne ne
se deplace pas sous l'effet du champ de vitesse qu'elle engendre. Dans toute la 
suite du sujet
on considere des lignes de vorticite.

#
"
!
0 e x

-0 ex

Figure 2: Deux lignes de vorticite paralleles, ayant des circulations opposees.
On considere maintenant deux lignes de vorticite rectilignes, infinies et 
paralleles a l'axe (Ox).
Ces lignes sont representees sur la figure (2). A l'instant initial t = 0, la 
ligne 1 occupe la
position (Y1 = +/2, Z1 = 0) et a une circulation 0 dans la direction +ex , 
tandis que la ligne
2 occupe la position (Y2 = -/2, Z2 = 0) et a une circulation 0 dans la 
direction -ex . Dans
tout ce qui suit, on admet que la circulation de chaque ligne de vorticite est 
conservee au cours
du mouvement.
8) En utilisant la reponse a la question 5), determinez la vitesse induite par 
la ligne 1 au niveau
de la ligne 2. Verifiez qu'elle est egale a la vitesse induite par la ligne 2 
au niveau de la ligne
1. En deduire que les deux lignes de vorticite se deplacent en mouvement 
rectiligne uniforme.
On considere maintenant la situation representee sur la figure 3 : une ligne de 
vorticite de
circulation 0 , orientee positivement selon ex , est situee a une distance d 
d'une paroi rigide
occupant le plan y = 0.
9) Pour ce fluide parfait, quelle condition aux limites doit verifier le champ 
de vitesse au niveau
de la paroi ?
3

#
$ $
"
!
0
Figure 3: Une ligne de vorticite de circulation 0 selon ex se trouve a une 
distance d d'une paroi
rigide occupant le plan y = 0. La condition aux limites a la paroi peut etre 
prise en compte en
imaginant a tout instant l'existence d'une ligne fictive de vorticite placee 
symetriquement par
rapport a la paroi (ligne tiretee).
Une facon simple de satisfaire cette condition aux limites est d'imaginer a 
tout instant l'existence
d'une ligne de vorticite placee de facon symetrique a la ligne initiale par 
rapport au plan, voir
figure 3.
10) En vous basant sur des arguments de symetrie issus de la magnetostatique, 
proposez une
valeur de la circulation f de cette ligne fictive (norme et orientation) pour 
que la condition aux
limites sur u soit bien verifiee. On admet que le champ de vitesse obtenu par 
cette approche
en termes de lignes de vorticite symetriques est le bon en tout point du 
fluide. Deduisez alors
des questions precedentes le mouvement ulterieur de la ligne de vorticite : 
vitesse, direction et
sens du mouvement.

2

Anneau de vorticite
#

"

R

!

Figure 4: Un anneau de vorticite de rayon R, d'axe (Ox) et de circulation  dans 
le sens direct
autour de cet axe.
On considere maintenant une ligne de vorticite fermee ayant la forme d'un 
anneau circulaire
(voir figure 4). Cet anneau est initialement contenu dans le plan x = 0. Il a 
pour axe (Ox)
et sa circulation  est orientee dans le sens direct autour de ex , voir figure 
4. On note R son
rayon.
4

11) A l'aide d'arguments de symetrie issus de l'analogie magnetostatique, 
montrez que le vecteur
vitesse u est le meme en tout point de l'anneau de vorticite et qu'il est 
dirige selon ex : u = V ex
en tout point de l'anneau de vorticite. Quel est le mouvement de l'anneau de 
vorticite ?
12) On admet que la vitesse V est positive selon +ex lorsque  > 0, et qu'elle 
ne depend que
du rayon R de l'anneau et de sa circulation , sous la forme :
V = CR  ,

(3)

ou C > 0 est un prefacteur numerique sans dimension. Par analyse 
dimensionnelle, determinez
 et .

2

!"#!$%&'()*+,-)#$
%+$,"./!0

1
Figure 5: Donnees experimentales: on represente la hauteur de l'anneau de 
vorticite par rapport
au fond de la cuve, en fonction du rayon de l'anneau. Le temps ecoule entre 
deux symboles
successifs est 0.21 s.
On souhaite determiner la valeur de la constante C a l'aide de donnees 
experimentales. Pour
ce faire, on realise l'experience suivante : on engendre dans un recipient un 
anneau de vorticite
d'axe vertical (0z). L'anneau se deplace initialement vers les z decroissants, 
avant d'interagir
avec le fond du recipient, situe en z = 0. L'anneau est forme de fluide colore, 
si bien que
l'on peut suivre son deplacement en prenant des photographies successives. On 
utilise des
coordonnees cylindriques et on represente sur la figure 5 le point 
d'intersection de l'anneau
avec un plan  = cste. On peut donc suivre sur ce graphe l'evolution de la 
hauteur de l'anneau
Z(t) par rapport au fond de la cuve, mais aussi l'evolution du rayon R(t) de 
l'anneau au cours
du temps. L'intervalle de temps separant deux symboles successifs est 0.21 s.
13) Les trois derniers points de la courbe correspondent a la situation ou 
l'anneau est proche
du fond de la cuve : Z est petit devant R. Dans ce regime on admet que l'on 
peut negliger
5

la courbure de l'anneau. Ce dernier se comporte alors approximativement comme 
une ligne de
vorticite rectiligne situee a une distance d d'une paroi solide. A l'aide du 
resultat de la question
10) et des donnees de la figure 5, donnez une estimation numerique de la 
circulation || (en
valeur absolue) de l'anneau de vorticite.
14) Lors de la phase initiale du mouvement, l'anneau est situe loin du fond du 
recipient, si bien
qu'il se comporte comme un anneau isole dans un domaine fluide infini. A l'aide 
de la relation
(3), des donnees de la figure 5 et du resultat de la question precedente, 
proposez une estimation
numerique de la valeur de la constante C.
On considere de nouveau un anneau de vorticite dans un domaine fluide infini 
(voir figure 4). A
grande distance de cet anneau de vorticite, le champ de vitesse qu'il engendre 
a une structure
dipolaire, que l'on peut ecrire :
u=

kmk
(2 cos er + sin e ) ,
4r3

(4)

ou m est le moment dipolaire associe a l'anneau de vorticite. r et  sont des 
coordonnees
spheriques, l'origine de r etant le centre de l'anneau, et l'angle  etant 
compte par rapport a
l'axe du dipole.
15) Dessiner schematiquement les lignes de champ dipolaires autour de l'anneau 
de vorticite. En
utilisant vos connaissances sur la spire de courant (demonstration non 
demandee), determinez
le moment dipolaire m equivalent a cet anneau de vorticite, en fonction de  et 
R.
16) Exprimez le champ de vitesse engendre par l'anneau de vorticite en un point 
de l'axe (Ox)
situe a grande distance L  R de son centre. On exprimera ce champ en fonction 
de L,  et
R.
On considere maintenant la situation representee sur la figure 6 : deux anneaux 
de vorticite
d'axe (Ox) ont des circulations 1 et 2 toutes deux positives dans le sens 
direct autour de
(Ox). Dans le systeme de coordonnees cartesiennes (x, y, z), leurs centres ont 
respectivement
pour coordonnees (x1 (t), 0, 0) et (x2 (t), 0, 0), avec x2 > x1 . La distance 
entre les deux centres
est donc (t) = x2 (t) - x1 (t).

#
"

1
R1

2
R2

$

!

x1

x2

(t)
Figure 6: Deux anneaux de vorticite d'axe (Ox), de circulations 1 et 2 dans le 
sens direct
autour de (Ox), de rayons R1 et R2 , et dont les centres sont aux abscisses x1 
(t) et x2 (t) > x1 (t).

6

17) Les rayons R1 et R2 des anneaux 1 et 2 sont supposes tres faibles devant la 
distance  entre
les anneaux. Dans cette limite, le champ de vitesse u12 engendre par l'anneau 1 
en tout point
de l'anneau 2 est donne approximativement par le champ dipolaire (4), evalue 
sur l'axe (Ox),
a une distance (t) du centre de l'anneau 1. Donnez l'expression de cette 
vitesse u12 . En
utilisant la meme approximation, donnez l'expression du champ de vitesse u21 
engendre par
l'anneau 2 en tout point de l'anneau 1.
18) La vitesse totale de deplacement de l'anneau 1 est donnee par la 
contribution u21 calculee
precedemment, a laquelle s'ajoute la vitesse d'auto-propulsion u11 de l'anneau, 
calculee aux
questions 11) et 12). De meme, la vitesse totale de l'anneau 2 comprend la 
contribution
u12 engendree par l'anneau 1, et la vitesse d'auto-propulsion u22 de l'anneau 
2. Ecrire le
systeme d'equations differentielles verifie par x1 (t) et x2 (t). Montrez que 
ces deux equations
differentielles peuvent etre combinees en une unique equation pour (t).
On introduit les parametres  > 0 et  > 0 definis par :
2
1
= (1 + )
R2
R1

2 R22 = (1 + ) 1 R12 ,

et

(5)

et on suppose  > 0 et  > 0. On note finalement 0 = (t = 0) la distance initiale 
entre les
deux centres des anneaux.
19) Montrez que, selon la valeur initiale de 0 , les anneaux s'eloignent ou se 
rapprochent l'un
de l'autre. Donnez la valeur c de 0 separant ces deux regimes, en fonction de 
C, R1 ,  et .
20) Dans le cas ou les anneaux se rapprochent, ce modele est-il apte a decrire 
la collision des
deux anneaux ?

3

Auto-induction d'une ligne de vorticite

On considere maintenant une ligne de vorticite de forme arbitraire et de 
circulation . Au cours
du temps, cette ligne se deplace et se deforme du fait du champ de vitesse 
qu'elle engendre.
Calculer ce champ de vitesse de maniere exacte est une tache tres compliquee 
dans le cas
general. On utilise donc l'approximation suivante : en chaque point x0 de la 
ligne on trace
un cercle tangent a la ligne de vorticite, dans le plan contenant localement la 
ligne en x0 . On
suppose alors que le point x0 de la courbe se deplace comme se deplacerait ce 
cercle tangent
(a la meme vitesse et dans la meme direction). La vitesse de deplacement du 
point x0 depend
alors uniquement du rayon de courbure local de la ligne de vorticite en x0 , 
selon la relation:
n
.
(6)
R
Dans cette expression, t est le vecteur unitaire localement tangent a la courbe 
dans la direction
de la circulation , n est le vecteur unitaire perpendiculaire a t dans le plan 
local de la courbe,
et dirige vers l'interieur de la courbure, R > 0 est le rayon de courbure local 
de la ligne de
u = C t 

7

vorticite, et C est la meme constante numerique que dans l'equation (3). On 
rappelle que
C > 0.
21) On considere de nouveau l'anneau de vorticite des questions 11) et 12). 
Dessinez cet anneau.
Choisir un point x0 arbitraire sur cet anneau, et dessinez les vecteurs t, n et 
u en x0 . Verifiez
que l'equation (6) donne un vecteur vitesse qui correspond aux resultats de la 
partie 2.

#
"
$

0
!

Figure 7: Une ligne de vorticite de circulation  deformee au voisinage de l'axe 
(Ox). En toute
abscisse x, on note Y (x, t) et Z(x, t) les deformations transverses de la 
ligne par rapport a l'axe
(Ox).
On considere maintenant une ligne de vorticite faiblement deformee, si bien 
qu'elle coincide
presque avec l'axe (Ox). Cette ligne est representee schematiquement sur la 
figure 7. Sa
circulation 0 est dirigee vers les x positifs. Cette ligne peut etre decrite 
comme une courbe
parametree en x, que l'on note X(x, t) = (x, Y (x, t), Z(x, t)). Les 
deplacements transverses
Y (x, t) et Z(x, t) evoluent dans le temps du fait du champ de vitesse induit 
par la ligne de
vorticite. On considere uniquement des petits deplacements transverses Y et Z, 
si bien que
l'on peut lineariser les equations vis-a-vis de ces deux variables. On ecrira 
donc :
t  ex ,

0
n
2
  xY2  .
R
2Z

(7)
(8)

x2

22) Montrez que Y (x, t) et Z(x, t) verifient alors le systeme d'equations 
differentielles :
Y
t
Z
t

 2Z
,
x2
 2Y
= C 0 2 .
x
= -C 0

On cherche des solutions de ce systeme d'equations sous la forme d'ondes :

Y0 i(t-kx)
Y (x, t)
e
,
= Re
Z0
Z(x, t)
ou k  R,   R, (Y0 , Z0 )  C2 , et Re designe la partie reelle.
8

(9)
(10)

(11)

23) Calculez et tracez la relation de dispersion (k) des ondes obtenues, 
appelees ondes de
Kelvin. Ces ondes sont-elles dispersives ? Justifiez votre reponse.
24) Comme les ondes electromagnetiques, les ondes de Kelvin sont des ondes 
transverses. On
peut donc definir leur polarisation. Determinez la polarisation des ondes de 
Kelvin. Decrire
la structure spatiale d'une de ces ondes a un instant donne : quelle est la 
forme de la ligne de
vorticite ?
25) Nous avons linearise les equations pour calculer les ondes de Kelvin, en 
supposant les
deplacements transverses |Y | et |Z| petits. Pour une onde donnee, devant 
quelle longueur
caracteristique ces deplacements transverses doivent-ils etre petits pour que 
l'approximation
soit valable ?

4

Sillage d'un avion

Figure 8: Tourbillons de sillage derriere un avion. L'image du bas est un zoom 
de celle du haut.
On souhaite decrire l'evolution des tourbillons de sillage d'un avion observes 
sur les photographies de la figure 8. Les deux tourbillons ont des axes 
approximativement paralleles et tournent
en sens opposes. Au cours du temps, ces lignes de vorticite se deforment 
jusqu'a venir se toucher.
On modelise l'etat initial de ce sillage par deux lignes de vorticite 
faiblement deformees au
voisinage de deux axes paralleles a (Ox). Ces axes sont distants de  dans la 
direction y. Les
lignes 1 et 2 ont respectivement pour circulation 0 ex et -0 ex , avec 0 > 0. 
Pour simplifier,
on considere que les deux lignes gardent a tout instant des deformations 
symetriques l'une de

9

l'autre par rapport au plan y = 0. On parametre donc ces deux lignes sous la 
forme :

x
x
X1 (x, t) = /2 + Y (x, t) et X2 (x, t) = -/2 - Y (x, t) .
Z(x, t)
Z(x, t)

(12)

On peut alors se concentrer sur la ligne 1 uniquement, la forme de la ligne 2 
etant obtenue
a tout instant par reflexion par rapport au plan y = 0. Chacun des points de 
cette ligne se
deplace en suivant le champ de vitesse local, qui comprend deux contributions : 
le champ de
vitesse u11 (x, t) induit par la deformation de la ligne 1 elle-meme, et le 
champ de vitesse
u21 (x, t) induit par la ligne 2 en tout point de la ligne 1.
26) Faites un schema dans un plan x = cste, en indiquant , Y (x, t), Z(x, t) et 
les points
d'intersection des deux lignes de vorticite avec le plan. On note d(x, t) la 
distance separant ces
deux points d'intersection dans le plan. Exprimez d(x, t) en fonction de  et Y 
(x, t).
27) On souhaite d'abord determiner la contribution u21 (x, t). Pour ce faire, 
on considere que
Y (x, t) et Z(x, t) varient suivant x sur une taille caracteristique  grande 
devant . Pour toute
valeur de x, on peut alors calculer la vitesse induite par la ligne 2 sur la 
ligne 1 en remplacant
ces deux lignes par des lignes droites, paralleles a (Ox), et separees par une 
distance d(x, t).
Exprimez alors la vitesse u21 (x, t) exercee par la ligne 2 sur la ligne 1 en 
fonction de 0 ,  et
Y (x, t).
28) Dans la limite des faibles deformations Y (x, t)  , developpez l'expression 
de u21 au
premier ordre en Y (x, t)/. Pour des lignes faiblement deformees, la vitesse 
d'auto-induction
u11 (x, t) est toujours donnee par les membres de droite des equations (9-10). 
Montrez que
l'evolution de Y (x, t) et Z(x, t) est regie par le systeme d'equations 
linearisees :
Y
t
Z
t

 2Z
,
x2
0
 2Y
0
= C 0 2 -
+ 2Y .
x
2 

= -C 0

(13)
(14)

0
t. Ecrivez le syteme d'equations
29) On introduit la nouvelle variable (x, t) = Z(x, t) + 2
couplees verifiees par Y (x, t) et (x, t). A quoi correspond physiquement ce 
changement de
variables ?

30) On cherche de nouveau des solutions de ce systeme d'equations sous la forme 
d'ondes :

Y (x, t)
Y0 i(t-kx)
= Re
e
,
(15)
(x, t)
0
avec k  R,   C, et (Y0 , 0 )  C2 . Calculez la relation de dispersion (k). 
Montrez que pour
certaines valeurs de k, la pulsation devient imaginaire pure et le systeme 
admet des solutions
exponentiellement croissantes dans le temps.
10

31) Pour quelle gamme de longueur d'ondes peut-on observer ces solutions 
exponentiellement
croissantes ? Exprimez la longueur d'onde critique c qui separe ces solutions 
des solutions
oscillantes.
32) On definit le taux de croissance  = |Im()|. Calculez la longueur d'onde m 
pour laquelle
ce taux est maximum.
33) Tracez le taux de croissance  en fonction de la longueur d'onde .
34) En prenant la valeur de C calculee a la question 14), l'ordre de grandeur 
de l'expression de
m obtenue a la question 32) est-il compatible avec les images de la figure 8 ?
35) Les deplacements Y (x, t) et (x, t) sont transverses par rapport au vecteur 
d'onde kex .
Par analogie avec les ondes electromagnetiques, on s'interesse de nouveau a la 
polarisation des
solutions (15) dans tous les cas de figure rencontres precedemment. Discutez 
l'evolution de la
polarisation de la ligne 1 en fonction de . Comment sont reliees les 
polarisations des lignes
1 et 2 ? Dans quelle limite retrouve-t-on la polarisation decrite a la question 
24) ? Expliquez
physiquement pourquoi.

11