X/ENS Physique B PC 2020

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MERCREDI 22 AVRIL 2020 - 08h00 - 12h00
FILIÈRE PC - Épreuve n°5

PHYSIQUE B
(XEULO)

Durée : 4 heures

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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Ondes de gravité dans un fluide

Des ondes de gravité peuvent apparaître au sein d'un fluide stratifié, 
c'est-à-dire un fluide dont la masse volumique
varie Spatialement selon une direction particulière, généralement la verticale. 
Elles sont appelées ondes internes. Des
ondes peuvent également apparaître à l'interface entre deux fluides de masses 
volumiques différentes et non miscibles.
Elles sont dites ondes de surface. Les vagues à la surface d'un océan en sont 
une manifestation. Notons qu'il s'agit là
d'une situation limite de la précédente.

Cette étude comprend deux parties qui peuvent être abordées de façon 
indépendante. La première s'intéresse aux
ondes à l'interface eau/air, la seconde est consacrée aux ondes internes dans 
l'eau. Nous définissons le référentiel
R(O, x, y,z), supposé galiléen, tel que le champ de gravité s'exprime g = 
--gü,. Nous restreindrons ces études à des
situations spatialement bidimensionnelles, dans le plan vertical (O, x, y).

En vue des applications numériques nous adoptons les valeurs suivantes : D = 15 
cm, L = 15 cm et H -- 20 cm.
Ces grandeurs seront introduites et présentées dans la suite.

N.B. : Nous considérerons que le principe (ou théorème) d'ARCHIMÈDE reste 
applicable hors du domaine de la
stricte statique des fluides.

1 Ondes de surface.

Reportons-nous à la figure (1). Nous considérons un objet cylindrique, de masse 
volumique p. uniforme, de dia-
mèêtre D = 2R et de longueur Z, flottant à la surface de l'eau de masse 
volumique p. Cette eau est contenue dans
un canal de largeur très légèrement supérieure à L (mais considérée égale à L), 
de profondeur H et de longueur très
supérieure à toutes les longueurs caractéristiques du système. L'origine O du 
repère est placée au niveau de la surface
de l'eau. Nous notons Y l'ordonnée du centre de masse G du flotteur et 4 -- Y 
-- Y, son écart par rapport à son ordon-
née d'équilibre Y, (fluide et flotteur à l'équilibre). Nous nous placerons 
toujours dans le cas où l'axe du flotteur reste
parallèle à l'axe (Oz) et tel que [u| EUR R. Nous négligerons l'action de l'air 
sur le flotteur.

A A

y _.
£ | D Air Y L
<--> e------ ">
G x Flotteur iG Z.
0 0! Pc
H Flotteur Pc Eau p Eau p
Canal Canal

FIGURE 1 -- Objet cylindrique (p.,D, L) flottant horizontalement à la surface 
de l'eau (p) d'un canal (vues de face et
de côté). Ces figures ne sont pas à l'échelle. En particulier, la largeur du 
canal n'est que très légèrement supérieure à
L (l'écart est exagéré sur le schéma afin de le rendre visible).

1. Nous souhaitons que le cylindre flotte, à l'équilibre, en étant à moitié 
immergé dans l'eau. Préciser la relation
que doit alors vérifier p.. Calculer sa valeur numérique.

Nous nous placerons dans cette situation dans toute cette partie.

e Nous supposons que l'équilibre du flotteur à été légèrement perturbé 
(verticalement) et souhaitons exprimer la
pulsation ©, de ses oscillations libres. Nous négligerons 1c1 toute cause de 
dissipation d'énergie mécanique et nous
nous placerons dans le cas où le fond du canal n'influence pas le mouvement du 
flotteur.

2. Sur la base de considérations physiques et d'arguments dimensionnels, 
établir la dépendance de ans avec les
différents paramètres du problème. On détaillera chaque étape du raisonnement.

3. Exprimer, au premier ordre relativement au rapport u/R et en fonction de L, 
D et u, la variation algébrique ÔVin
de volume immergé du flotteur par rapport à la situation d'équilibre.

4. Établir l'équation différentielle vérifiée par la variable u. On fera 
apparaître la pulsation @o dont on donnera
l'expression en fonction de g et D.

-- Page 177 --
5. Calculer la valeur numérique de la fréquence f, correspondant à @o.

35
e La figure (2) représente l'évolution temporelle de l'ordonnée Y du centre de 
masse G du flotteur, obtenue expéri-

mentalement.
4- | æ | | |
À ER
2 SA SE S
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61... QUELLE
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RE
J ©. DE
0 0.2 0.4 oO. 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
t (s)

FIGURE 2 -- Évolution temporelle expérimentale de l'ordonnée Y du centre de 
masse G du flotteur.

6. Déterminer, à partir de la figure (2), la pseudo-fréquence fx? des 
oscillations du flotteur ainsi que l'amplitude

initiale #9. Proposer une estimation (approximative) du facteur de qualité Q de 
cet oscillateur (en précisant la

méthode adoptée).

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7. Comparer à f la pseudo-fréquence je? des oscillations du flotteur estimée à 
partir de la figure (2).

e Nous souhaitons maintenant identifier les effets responsables de 
l'amortissement des oscillations du flotteur. Nous

commençons par l'effet de traînée.
8. Préciser, sur la base d'une argumentation, l'expression du nombre de 
REYNOLDS R. qu'il convient d'associer

45

50

55

à l'écoulement de l'eau autour du flotteur en mouvement. En donner une 
estimation (nous adopterons, pour la
2.51), Commenter ce résultat.

viscosité cinématique de l'eau, la valeur 1076 m
9. Donner l'expression de la force de traînée Fr qui paraît alors la mieux 
adaptée à décrire l'action mécanique du

fluide sur le flotteur en mouvement (toujours transversalement à son axe) à la 
vitesse V -- V i,. On raisonnera
comme s1 le cylindre était totalement immergé dans un milieu infini et on 
s'inspirera du résultat connu relatif à

un objet sphérique.
10. Exprimer, à partir de grandeurs caractéristiques que l'on précisera, le 
rapport caractéristique KTR de la force de
traînée à la force de rappel gravitationnel qui est intervenue en question (4) 
lors de l'établissement de l'équation

différentielle.
11. Estimer numériquement le rapport Krr. Conclure sur la participation de 
l'effet de traînée à l'amortissement des

oscillations du flotteur.
e Nous recherchons maintenant la cause de l'amortissement des oscillations du 
flotteur dans les ondes de surface

qu'elles générent. L'image inférieure de la figure (3) est une 
chronophotographie permettant de donner une représen-
tation de l'évolution temporelle de la surface libre eau/air. Pour cela on 
réalise un film du canal à raison de 250 images
par seconde, pendant 3 s. Pour chaque image (telle que celle du haut de la 
figure (3)), on stocke l'état de couleur de

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6 chacun des pixels correspondant à une ligne horizontale prédéterminée (en 
pratique, située très légèrement en dessous
de l'interface libre eau/air au repos [ligne en trait pointillé sur la figure 
du haut]). Ces lignes de pixels sont ensuite
représentées les unes en dessous des autres en respectant la chronologie de la 
prise d'images (figure du bas). Cette
chronophotographie se rapporte à l'expérience relative à l'évolution 
représentée sur la figure (2).

temps

FIGURE 3 -- Chronophotographie illustrant l'évolution de l'interface eau/air 
(cadence de 250 images par seconde sur
une durée de 3 5). La ligne horizontale en trait pointillé tracée sur la 
photographie du haut représente la ligne des
pixels suivis temporellement et qui est reportée chronologiquement, de haut en 
bas, pour former l'image du bas.

12. Proposer une interprétation des lignes obliques situées de part et d'autre 
de la frange sombre verticale et centrale
65 (trace du flotteur).

13. Déterminer, à partir de cette chronophotographie, la fréquence Fexp des 
oscillations du flotteur. On précisera la
démarche suivie.

14. De la même manière, déterminer la longueur d'onde À.;, des ondes de surface.

15. Estimer la célérité cp de ces ondes de surface.

e Nous admettons que la relation de dispersion liant la pulsation © (© > 0) au 
nombre d'onde k des ondes de surface
se propageant dans un canal de profondeur H est donnée par la relation :

2T sinh(kH) exp(2kH)---1
2 |
D = gktanh(kH) où 7 0 et. tanh(&A) cosh(kH) exp(2kH) +1

À (1)

r 16. Représenter l'allure graphique de la fonction © -- w(k). On précisera ses 
comportements limite et asymptotique.
17. Indiquer à quelle condition le milieu peut être considéré comme non 
dispersif.
18. Associer la célérité cex? calculée à la question (15) à l'une des vitesses 
de groupe ou de phase.

19. Déduire de la relation (1), dans la limite KH << 1, l'expression de la célérité c des ondes de surface. Calculer sa valeur numérique. Vérifier la compatibilité de cette valeur avec celle de c.x, déterminée en réponse à la question 75 (IS). -- Page 3/7 -- 80 85 90 95 100 105 e Nous décrivons l'évolution spatio-temporelle de la hauteur (algébrique) À des vagues formant l'onde de surface par l'équation : h(x,t) = Asin(Qot+kx) (A=CsR ER, ;, GER: ;kER:) (2) N.B. : En réalité, l'amplitude À dépend du temps (amortissement des oscillations du flotteur excitant les ondes de surface) et de l'espace (amortissement des ondes de surface). Nous considérerons 1c1 simplement que cette amplitude ne varie pas (sensiblement) sur l'échelle d'une période n1 sur celle d'une longueur d'onde. En pratique, sauf à la question (23), nous considérerons donc l'amplitude À comme constante et uniforme. Nous adoptons comme état de référence, notamment pour ce qui concerne les énergies, la situation correspondant à une interface plane et immobile. Par ailleurs, nous considérons que nous pouvons nous placer dans la limite des faibles profondeurs (&H < 1). Nous notons c la célérité des ondes de surface. 20. Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur E, = E,(p,g,L,A,À) emmagasinée par l'onde, sur une étendue spatiale (selon (Ox)) égale à une longueur d'onde. Rappelons que la largeur de la cuve (égale à la longueur du flotteur) est notée L. 21. En déduire l'expression du flux (moyen) d'énergie potentielle D,, = D, (p,8,L,A,c) ([D,] = W) traversant une section verticale d'abscisse donnée. 22. Nous cherchons d'abord à relier l'amplitude À des ondes à l'amplitude B (B > 0) des oscillations du flotteur.
Nous considérons alors que le volume total des bosses (occupant chacune une 
demie longueur d'onde) des
ondes se formant de part et d'autre du flotteur est égal à celui balayé par le 
flotteur sur une demie période.
Dans cette démarche nous considérons que le flotteur oscille à amplitude 
constante sur l'échelle d'une période
(hypothèse jumelle de celle adjointe à l'équation (2)).

Exprimer, dans ces conditions, l'amplitude À en fonction de B, D et À.

23. En reliant la variation d'énergie par unité de temps du flotteur au flux ®, 
qu'il rayonne par le biais des ondes
de surface, établir que l'amplitude B de ses oscillations vérifie l'équation 
différentielle du premier ordre :

.. B
B+----0 @)
T
On explicitera la dépendance de la constante t avec le diamètre D, la célérité 
c et la longueur d'onde À.

24. Déduire du résultat précédent l'expression du facteur de qualité Q du 
système oscillant. On exprimera Q en
fonction de la célérité c des ondes, de la période T des oscillations et du 
diamètre D du cylindre.

25. Estimer la valeur de ce facteur de qualité. Analyser ce résultat.

2 Ondes internes.

La masse volumique de l'eau varie en fonction de la salinité, de la température 
et de la pression, ce qui conduit
généralement à une stratification verticale du milieu océanique. Nous 
considérons ici que la masse volumique po du
milieu, en situation d'équilibre, varie selon la relation :

Po(y) -- Po(0) --P (4)

SI

La grandeur P représente la masse volumique moyenne (selon la verticale) et la 
grandeur po(0) celle correspondant
au fond océanique (y -- 0). La longueur caractéristique £ est de l'ordre de 107 
m. Le plan (O,z,x) du référentiel
R(O, x, y, z) est placé au niveau du fond océanique (se reporter à la figure 
(4)). Enfin, nous négligerons toute cause de
dissipation de l'énergie mécanique.

Le traitement de la sous-partie suivante (questions (26), (27) et (28)) n'est 
pas indispensable à la suite de l'étude.

e Un cylindre homogène de centre de masse G, de diamètre D -- 2R, de longueur L 
-- D et de masse volumique pe
(de valeur a priori différente de celle prise en partie (1)) trouve son 
équilibre, entre deux eaux, à une altitude Y5. Nous
notons Y = Yo + u l'ordonnée de son centre de masse G, la variable w 
représentant l'écart à sa position d'équilibre.
Nous supposons que son axe reste en permanence parallèle à l'axe (Oz). Ce 
système est représenté sur la figure (4).

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110

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< =. D | L <>
H [7 G Cylindre G

V

Cylindre Eau Py(Y) Eau Poly)

O ÿ X O Canal Z

D >
D D

FIGURE 4 -- Objet cylindrique (pe, D, L) immergé dans l'eau (po(y)). Ces 
figures ne sont pas à l'échelle. En particulier,
la largeur du canal n'est que très légèrement supérieure à L (l'écart est 
exagéré sur le schéma afin de le rendre visible).

26. Établir l'équation algébrique satisfaite par l'ordonnée Y, ainsi que 
l'équation différentielle vérifiée par la va-
riable u. On fera apparaître la pulsation propre Qo (Qo > 0) des oscillations 
du cylindre que l'on exprimera en
fonction des grandeurs £, /, p et pe. On considérera que l'action du fluide sur 
le cylindre est traduite simplement
par la poussée d'ARCHIMÈDE.

Il sera avantageux de noter que la masse volumique de l'eau varie de façon 
affine avec l'altitude y.
27. Dans le cas où Yo -- H/2, exprimer Q4 en fonction de g et L.
28. Calculer la valeur de la période T; associée à Go.

e Nous étudions maintenant la propagation des ondes internes dans le milieu 
océanique stratifié. Nous imaginons
que ces ondes sont excitées à la pulsation @, par exemple par les oscillations 
verticales imposées à l'objet cylindrique
immergé représenté figure (4). Dans la situation de référence, qui correspond à 
l'océan au repos, la vitesse du fluide est
uniformément nulle et sa masse volumique varie selon la relation (4). 
L'excitation entraîne des variations de vitesse
qui s'accompagnent de variations de la masse volumique et de la pression du 
fluide, par rapport à la situation de
référence. Nous notons les champs correspondants de vitesse, de masse volumique 
et de pression, réponses à cette
excitation, sous la forme :

OV(X, y,{) = Ôv,(x, y, 1) üx + Ov, (x, y,1) üy
P(x, 3,1) = po(y) + p(x;y1) (5)
P(x,3,1) = Po(y) + 6P(x, 7,1)

L'indice "0" se rapporte à la situation de référence. Nous recherchons chacune 
de ces variations sous la forme d'ondes
planes harmoniques que nous écrivons en représentation complexe :

OW = Ayexpli(of --Kk,x--k,;y)] (Ay ETC, HZ0,4 ER, k, EUR R) (6)
Enfin, nous considérons l'écoulement du fluide comme incompressible et parfait.

29. Représenter, sur un schéma, dans le cas où k, -- 2k, > 0, la direction de 
propagation # de l'onde. Faire ensuite
apparaître les longueurs d'onde X. et À, en précisant comment elles sont 
obtenues.

e Nous admettons que les fonctions variations ÔW sont solutions du système 
d'équations différentielles linéaires (au
premier ordre par rapport à chacune des fonctions ÔW) :

OÔv, Où,
+ Te --

() ox dy 0
po) ÀP 4 59, 0 0
, of dy D
3) _JÔv, ... 0ÔP
Pr x
_0ôv,  oùP
| (4) Pr 27 SP

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Préciser ce que traduit chacune de ces équations.

Introduire, dans le système différentiel (7), les fonctions sous leur forme 
donnée par l'équation (6) afin d'établir
un système linéaire d'équations algébriques vérifié par les amplitudes 
complexes de ces fonctions.

Déduire de ce système d'équations la relation de dispersion liant @, k; et k,. 
Vérifier qu'elle peut s'écrire sous
la forme :

O7 (KE +K) = KE (8)
où © est une constante positive, propre au milieu stratifié, que l'on exprimera 
en fonction des grandeurs g et {.

Écrire cette relation de dispersion en faisant apparaître l'angle 6 que forme 
le vecteur d'onde k avec l'axe
horizontal (Ox).

Analyser cette relation de dispersion. On s'interrogera notamment sur la façon 
dont le vecteur d'onde k est lié
à la pulsation d'excitation @.

Exprimer, en faisant apparaître les composantes k, et k,, la vitesse de phase 
Vs de ces ondes. Rappelons que
cette vitesse est celle des plans de phase.

Exprimer, en faisant apparaître les composantes £; et K,, la vitesse de groupe 
V, de ces ondes. Nous admettrons
que chacune de ses composantes s'exprime de la même manière que dans le cas 
unidimensionnel, mais avec la
composante correspondante du vecteur d'onde.

Cette vitesse est celle de propagation de l'énergie. Elle définit une direction 
orientée qui est l'analogue de ce
que représente un rayon lumineux en optique.

Établir que les vitesses de phase et de groupe sont orthogonales. Établir que 
leurs composantes selon l'axe
(Ox) sont de même signe. En s'appuyant sur la première équation du système (7), 
montrer que la vitesse dv est
orthogonale au vecteur d'onde k.

Représenter, sur un schéma, la vitesse de groupe, la vitesse de phase ainsi que 
la direction de la vitesse 5v,
dans le cas où k,; -- 2k, > 0.

e La figure (5) représente une cartographie ! spatiale instantanée du champ 
d6p/dy, en régime établi. La valeur va
croissant depuis la couleur bleue (négatif intense) vers la couleur rouge 
(positif intense) en passant par le niveau zéro
510 en Jaune-vert. Dans cette expérience, le milieu est linéairement stratifié 
et tel que la longueur £ introduite dans la
présentation de la partie (2) est égale à 12 m. Ce milieu est excité 
harmoniquement à la pulsation ® par les oscillations
verticales imposées à un cylindre d'axe perpendiculaire au plan de la figure. 
Ce cylindre est situé au centre de la figure.

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Commenter cette cartographie. Le champ représenté peut-il être décrit par une 
unique onde plane (une argu-
mentation est attendue) ?

Estimer, à partir de la cartographie représentée figure (5), la valeur de la 
pulsation excitatrice @.

Les ondes internes peuvent interagir avec le relief sous-marin et subir des 
réflexions. Représenter, sur un schéma
(inspiré de la figure (6)), le vecteur d'onde et la vitesse de groupe 
(orientant l'équivalent du rayon lumineux)
d'une onde, avant puis après sa réflexion sur une paroi verticale. Le vecteur 
d'onde incident est tel que k, --
2k, > 0. Nous admettrons que l'onde réfléchie vérifie la relation de dispersion 
de l'onde incidente.

1. Pour réaliser cette cartographie on place une grille derrière la cuve et on 
photographie son image vue depuis le devant de la cuve, cylindre
et fluide étant au repos. On photographie ensuite à nouveau cette grille, à un 
instant donné, lorsque les oscillations sont établies. C'est à partir
de la comparaison de ces deux photographies que l'on accède au gradient de 
masse volumique, via le gradient d'indice optique qu'il induit.

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en
>

X

FIGURE 5 -- Cartographie spatiale instantanée du champ d0p/dy d'un milieu 
verticalement et linéairement stratifié
({ = 12 m), excité par les oscillations verticales (@) d'un cylindre (situé au 
centre de la figure). La valeur est codée
par la couleur allant du bleu (négatif extrême) au rouge (positif extrême).

y

0

J

À

Oc

éan

X

FIGURE 6 -- Relief sous-marin formant une falaise verticale.

42. Le vecteur d'onde incident est toujours tel que k,; -- 2k, > O0 mais le 
plan représentant la paroi sous-marine
a maintenant pour équation cartésienne y -- 2x = Cste. Représenter, sur un 
schéma inspiré de la figure (6)
et adapté à cette nouvelle situation, deux rayons voisins parallèles incidents 
puis réfléchis (rappelons encore
qu'un "rayon" est orienté par la vitesse de groupe). Analyser cette situation 
d'un point de vue énergétique.

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