X/ENS Physique B PC 2022

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

MERCREDI 27 AVRIL 2022
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 5

PHYSIQUE B (XEULS)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Étude de l'hélium superfluide métastable

Introduction

Dans ce sujet, nous nous intéressons à l'hélium 4 (ou *He) à basse température, 
que nous ap-
pellerons simplement hélium par la suite. La première partie permet d'aborder 
les propriétés sin-
gulières de l'hélium liquide à basse température. L''hélium liquide peut être 
préparé dans des états dits
"métastables" : la description de ces états fera l'objet de la seconde partie. 
Enfin, la troisième partie
traite de l'étude expérimentale de l'hélium métastable par deux techniques : la 
mesure de la masse
volumique par interférométrie et la mesure de la "fréquence Brillouin" par 
diffusion Brillouin. Ces
deux mesures permettent de remonter à l'équation d'état de l'hélium métastable. 
Ces trois parties,
ainsi que les sous-parties 3.1 et 3.2, sont dans une large mesure indépendantes.

Indications

On donne 50 = 3,5.

Constantes fondamentales

e célérité de la lumière dans le vide : ce = 3 x 108 m.s7!

e permittivité diélectrique du vide : 66 = 9x 10 2 Fm !
e constante de Planck : À æ 7 x 10% J.s
e constante de Planck réduite : À = h/27r © 1 x 107% J.s

e constante de Boltzmann : &#p = 1,4 x 10% J.K-!

Notations et grandeurs liées à l'hélium liquide
e masse atomique : mn, © 7 X 10777 kg

e polarisabilité atomique : a

pression de vapeur saturante (coexistence liquide-gaz) : Psat

vitesse du son à T'=1K:v7200 ms!

indice optique : n © I
1 L'hélium liquide à basse température

Lorsque de l'hélium est refroidi en suivant la courbe de coexistence 
gaz-liquide, on observe une
évolution rapide de sa capacité thermique massique à pression constante autour 
de la température
T\ = 2,17 K (voir Fig.l(a)).

15: (a) 145- (b)
C ;= 140:
Su ë
À 135.
5: 5 Q.
130
0-
1 2 3 4 1 2 3 4
T (K) T (K)

FIGURE 1 -- (a) Évolution de la capacité thermique massique à pression 
constante EUR de l'hélium à la
pression de vapeur saturante en fonction de la température T'. (b) Evolution de 
la masse volumique p
de l'hélium à la pression de vapeur saturante en fonction de la température T.

1. On refroidit une masse m d'hélium liquide à pression constante de T = 5 K à 
T = 1 K avec une
puissance de refroidissement P4n < 0 constante au cours du temps. Par application du premier principe, exprimer d1'/dt en fonction des données du problème. Donner l'allure de l'évolution temporelle de la température de l'hélium à partir de la courbe c,(T'). Cette évolution rapide de c,(T') est due à une transition de phase à la température T\ (appelée "transition À" à cause de la forme du pic de c, proche de 7)) d'une phase liquide I vers une phase liquide IT, que l'on appelle aussi phase liquide "superfluide". C'est une transition de phase sans chaleur latente, et à laquelle il n'y à pas de discontinuité de la masse volumique (voir Fig.1(b)). Le diagramme d'état (p, T') de l'hélium est représenté en Fig.2. 2. Donner le diagramme de phase (p, T') typique d'un corps pur en équilibre. Comparer avec celui de l'hélium. Que se passe-t-il lors du refroidissement d'un système le long de sa ligne de coexistence avec la phase gazeuse ? Que se passe-t-il pour l'hélium ? L'hélium superfluide (.e. en phase liquide IT) à des propriétés très différentes de celles de la phase liquide I. En particulier, sa viscosité est extrêmement faible, au moins 106 fois plus faible que celle de la phase liquide I, et l'hélium superfluide peut s'écouler très facilement à travers un milieux poreux. On considère ainsi que l'écoulement de l'hélium est parfait. 3. Donner brièvement quelques caractéristiques d'un écoulement parfait. 4. Les propriétés surprenantes de l'hélium superfluide sont une manifestation directe d'effets quan- tiques. À partir des données fournies dans l'énoncé, donner la distance interatomique typique a de l'hélium en phase superfluide. Déterminer la longueur d'onde de de Broglie, notée À, en fonction de kB, h, T'et Myre en supposant que l'énergie cinétique F4 est de l'ordre de 3kZ3T. Donner la dépendance de la longueur d'onde de de Broglie en T. On considère que le fluide est quantique lorsque À < a. Donner LL TT >

Solide

Helium-I (C)

10° +
F Helium-Il

10° |
103 | Gaz
10° |

10° |

FIGURE 2 -- Diagramme d'état de l'hélium. Le point (C) est le point critique. 
L'hélium-IT est aussi
appelé hélium superfluide.

un ordre de grandeur de la température à laquelle les effets quantiques 
apparaissent et commenter ce
résultat.

2 États métastables de l'hélium liquide

L'hélium liquide à basse température, outre ses propriétés superfluides, a la 
caractéristique de
pouvoir être obtenu avec une remarquable pureté. En effet, à quelques degrés 
Kelvin, toute impureté
éventuellement présente dans le liquide est gelée sur les parois ou sédimente 
au fond du contenant.
On peut ainsi, par filtrage, obtenir un liquide extrêmement pur. Cela offre la 
possibilité d'étudier les
états "métastables" de l'hélium liquide. C'est ce que nous allons étudier dans 
cette partie.

2.1 Métastabilité et cavitation

On prend de l'hélium liquide à la température T' et à la pression p = psat. 
Lorsque p < Pat. l'état thermodynamique le plus stable est la phase gazeuse. Cependant, il peut y avoir un retard au changement d'état, et l'hélium peut rester liquide bien que » soit inférieure à pat. Dans un tel cas, l'hélium est alors dit "métastable". La rupture de l'état métastable, c'est-à-dire la transition liquide-gaz, s'appelle "cavitation". Pour comprendre la métastabilité, on peut considérer la situation suivante. Supposons que de l'hélium liquide soit à une pression p inférieure à psa (hélium métastable). L'énergie que l'on doit apporter au système pour créer la première bulle de gaz, de rayon r, est donnée par 4 AE = nr (p -- Dsat) + ATV (1) Le premier terme, négatif, correspond au fait qu'il est énergétiquement favorable de créer une bulle de gaz dans le milieu. Le second terme fait intervenir le coefficient de tension superficielle 7 à l'interface liquide-gaz. 5. Quelle est l'interprétation physique du second terme qui apparaît dans l'expression de AE? Tracer l'allure de AF en fonction de r à p fixée. Mettre en évidence une valeur de r, notée r,, qui rend AE maximale (on note AE* le maximum de AE). On donnera les expressions de r, et de AF*. Quelle énergie faut-il fournir pour qu'il y ait rupture de l'état métastable (1.e. cavitation) ? 6. Soit L' la probabilité de cavitation par unité de volume et par unité de temps à T. Proposer une expression de l'en fonction de ÂE*, de kBT et d'une constante l' de même dimension que T°. 7. La présence d'impureté a pour effet de diminuer AF*. Pourquoi l'hélium liquide à basse température est-il intéressant pour l'étude des états métastables de la matière condensée ? 8. On crée un état métastable de volume V. On note Y(t) la probabilité que la cavitation ait eu lieu entre les instants 0 et £. X(t + dt) -- X(t) correspond ainsi à la probabilité qu'il y ait cavitation entre un temps t et un temps t + dt. Exprimer (EUR + dt) -- X{t) en fonction de F, V et X{t) et en déduire une équation différentielle sur Y(t). En déduire l'expression de Y(t). 9. On définit la pression de cavitation p. telle que la probabilité de cavitation Z(7) définie au bout d'un temps 7 est égale à : : donner son expression en fonction de 7, kB, T, lo, V et Tr. Que se passe-t-il quand T -- 0? Commenter le signe de p. à basse température. Comment doit-on choisir V et 7 pour maximiser |p.| (avec pe < 0) ? 2.2 Pression négative Il est possible d'étudier l'hélium liquide à des pressions p inférieures à sa pression de vapeur saturante Dsat. Les états métastables de l'hélium sont si robustes que l'on peut même atteindre des pressions négatives (des valeurs de --p de l'ordre de plusieurs bars peuvent être obtenues !). 10. Quelle est l'interprétation microscopique de la pression pour un gaz parfait ? Peut-elle être négative pour un gaz parfait ? Une pression négative ne peut être atteinte que dans des systèmes où il y a des interactions attractives entre les particules. Beaucoup de fluides peuvent être décrits par l'équation d'état de van der Waals : Fr + a) (V -- Nb) = NkBT (2) où a et b sont deux constantes positives qui dépendent de la nature du fluide, N est le nombre de particules considéré et V le volume du fluide. 11. Pourquoi peut-on avoir p < 0 à basse température ? Donner en fonction de a, b et kg la température T* en-dessous de laquelle la pression peut devenir négative. Les systèmes à pression négative ne sont pas de simples curiosités de laboratoire : il en existe dans la nature, c'est par exemple le cas de la sève dans les arbres. 12. On considère un arbre de hauteur h. La pression de la sève au niveau des racines est la pression atmosphérique po. Quelle est la pression de la sève dans l'arbre à une altitude 2 ? À partir de quelle altitude cette pression devient-elle négative ? Faire une application numérique en assimilant la sève à de l'eau. 3 Étude expérimentale des états métastables de l'hélium On étudie les états métastables de l'hélium en focalisant une onde ultrasonore de fréquence 1 MHz au sein du fluide à l'aide d'un "émetteur piézoélectrique". Un tel émetteur est représenté en Fig.3. Sa forme est celle d'une coquille hémisphérique. Lorsqu'une tension est appliquée entre les faces intérieure et extérieure de l'émetteur, le matériau se contracte ou se dilate (selon le signe de la tension), et permet ainsi de créer une onde sonore focalisée au sein de l'hélium. --+ 4-- y FIGURE 3 -- Vue en coupe de l'émetteur piézoélectrique qui crée une onde sonore au sein de l'hélium liquide. La taille typique du foyer acoustique est notée Ôx. 13. On part d'une situation à ps4+. On s'intéresse aux variations de pression et de masse volumique au foyer acoustique. On suppose que les variations de pression au foyer sont sinusoïdales et d'amplitude Ôp. L'hélium reste liquide pendant toute la durée de l'expérience. Représenter l'évolution temporelle de la pression p(t) et repérer les instants où l'hélium est dans un état métastable. Quelle est la durée caractéristique de l'état métastable ? Quelle est sa taille typique dx pour l'hélium liquide à 1 K? Que se passe-t-il si 0p > Deat ?

L'introduction du moindre appareil de mesure au niveau de la région métastable 
provoquerait
sa rupture (c'est-à-dire la cavitation de l'hélium). Il faut donc utiliser des 
méthodes d'étude non
perturbatives. Des méthodes de mesure optiques s'avèrent particulièrement 
adaptées. Dans la suite,
on s'intéresse à la mesure de masse volumique et à la mesure de la "fréquence 
Brillouin" au sein de
l'onde acoustique.

3.1 Mesure de p par interférométrie

On donne la relation de Clausius-Mossoti, valable dans l'hélium, qui relie 
l'indice optique n à la
masse volumique p : ;
me 1 : ATa p (3)
nn +2  SMHe
où « est un coefficient appelé "polarisabilité atomique" de l'hélium. On note 
0p la variation de masse
volumique créée par le passage de l'onde sonore focalisée dans l'hélium, et on 
note ôn la variation
d'indice optique associée.

14. Montrer que l'on a, dans le cas de l'hélium où n = 1 +e avec EUR 1 :

on __ Ôp

n -- I P

2
y Émetteur piézoélectrique
T | 7 | SE
@_| _æ
NI | - Le, : d

ke (2) | He |

cellule

FIGURE 4 -- Schéma de l'interféromètre de Jamin.

Il est possible de mesurer l'indice optique dans l'hélium en utilisant un 
interféromètre, comme
celui de la Fig.4, appelé interféromètre de Jamin. L'interféromètre de Jamin 
est un dispositif qui
repose sur l'utilisation de deux lames épaisses identiques d'épaisseur e et 
parallèles entre elles. La face
arrière de chaque lame est un miroir parfait. Cet interféromètre est éclairé 
par une source laser de
longueur d'onde À, assimilée à une onde plane monochromatique. Le faisceau 
incident est divisé en
deux faisceaux par la première lame. Les faisceaux sont envoyés dans une 
cellule contenant l'hélium
(et elle-même est placée au sein d'un cryostat, non représenté sur la figure). 
Un des deux faisceaux
traverse l'hélium liquide soumis à l'onde sonore (bras (1)), tandis que l'autre 
traverse l'hélium liquide
au repos (bras (2)). Les faisceaux sont ensuite recombinés par la deuxième lame.

15. L'interféromètre de Jamin est-il un interféromètre à division d'amplitude 
ou de front d'onde ?

L'indice de l'air et l'indice de l'hélium sont supposés être égaux à 1. 
L'indice des lames de verre
est noté n,. On note 6; l'angle d'incidence des faisceaux sur les lames.

16. Montrer que la distance d séparant les bras (1) et (2) de l'interféromètre 
est donnée par :

in 20);
d=e SIN (5)

2
\/n£ -- sin" 6;

17. Quel déphasage ®(0;) chaque lame de Jamin induit-elle entre les faisceaux ? 
Quel est le
déphasage 00 entre les deux faisceaux en sortie de l'interféromètre et en 
l'absence d'onde sonore ?

18. Donner la variation du déphasage induit par le non-parallélisme des lames 
(écart angulaire 00
entre les lames). On fera apparaître d dans l'expression obtenue.

On crée une onde sonore dans l'hélium. Seul le faisceau (1) est affecté par la 
présence de l'onde
sonore. On suppose que l'onde sonore créée à une symétrie radiale autour de 
l'axe OZ (voir Fig.5),
et on note n{r,z) = 1 + ôn(r,z) l'indice optique de l'hélium en présence de 
l'onde sonore (n = 1 au
repos). On suppose que la propagation du faisceau (1) reste rectiligne et que 
les variations d'indice
ôn(r,z) sont nulles pour r > R.

lumière laser

Y

Y

Y

Champ acoustique

FIGURE 5 -- La phase mesurée 0p(x, z) à z fixé en sortie de l'interféromètre 
résulte de l'intégration des
déphasages optiques le long du trajet du faisceau dans la cellule. Le cercle en 
trait pointillé de rayon
R délimite le champ acoustique de l'onde sonore créée par l'émetteur 
piézoélectrique.

19. Exprimer la différence de phase 00(x, z) entre les deux faisceaux de 
l'interféromètre en faisant
apparaître une intégrale sur ôn(r, z) le long du chemin optique.

Étant donnée la symétrie radiale du problème, la mesure de 6@(x, z) pour tout z 
permet de remonter
à la variation d'indice optique ôn(r, z) grâce à une opération mathématique 
appelée "transformation
d'Abel". On remonte ensuite à 0p, et donc à p, par l'équation (4).

3.2 Mesure de la fréquence Brillouin

Une autre méthode pour étudier les états métastables est l'étude de la 
diffusion Brillouin.
Expérimentalement, on focalise un faisceau laser, de longueur d'onde À © 1 um, 
au niveau du foyer
de l'onde sonore créée dans l'hélium par l'émetteur piézoélectrique (voir 
Fig.6). La demi-ouverture
angulaire du faisceau est 0, = 7 x 107 rad.

laser f) 8,

= È----------------- | #1)

+ -- fx

He

FIGURE 6 -- Un laser est focalisé au niveau de la région métastable qui 
correspond au foyer de l'onde
acoustique créée par l'émetteur piézoélectrique.
20.

a) En supposant que les faisceaux sont gaussiens, donner le rayon typique 
minimal win des fais-
ceaux au niveau du point de focalisation. Ce rayon typique correspond à la 
résolution spatiale de
l'expérience. La résolution spatiale minimale est-elle suffisante pour étudier 
la région métastable ?

b) On prend un faisceau gaussien de rayon minimal w = 3wmin. Que vaut la 
longueur de Rayleigh
du faisceau ? Comment peut-on alors décrire le faisceau au niveau de la région 
métastable ?

De manière générale, lors de sa propagation dans un milieu uniforme, une 
fraction (très faible) de la
lumière peut être diffusée par des fluctuations "spontanées" de densité qui se 
propagent dans le milieu.
Dans l'expérience considérée ici on s'intéresse à la diffusion du laser par des 
fluctuations de densité
qui se propagent à l'intérieur de la région métastable. Ces fluctuations sont 
d'origine thermique et
ne doivent pas être confondues avec le champ acoustique produit par l'émetteur 
piézoélectrique pour
créer la région métastable. Le faisceau diffusé par ces fluctuations est décalé 
en fréquence (décalage
Doppler). La mesure de ce décalage permet de remonter à la vitesse du son au 
sein de la région
métastable.

Pour étudier ce phénomène, on considère que les faisceaux laser sont constitués 
de photons, d'im-
pulsion k1 et de pulsation w (respectivement ko et wa) pour le faisceau 
incident (resp. diffusé). On
assimile également une fluctuation de densité dans la région métastable à une 
quasi-particule (appelée
"phonon") de vecteur d'onde g8 (et d'impulsion hg3) et de pulsation (3 (et 
d'énergie hQg). On peut
voir la diffusion de la lumière par la fluctuation de densité, c'est-à-dire la 
diffusion d'un photon par
un phonon, comme la collision : photon 1 + phonon -- photon 2 (avec 
l'annihilation du phonon).

21.

a) Donner les relations de dispersion pour la lumière et le son dans l'hélium 
liquide (c'est-à-dire la

relation entre |£;| et w; (à = 1,2) d'une part, et |g#| et Os d'autre part).

b) Écrire les équations de conservation de l'impulsion et de l'énergie lors de 
cette collision.

c) On note 0 l'angle entre les vecteurs k1 et ko, aussi appelé angle de 
diffusion. On fait l'hypothèse :
(Op EUR w1,wo. Dans le cadre de cette approximation, montrer que

Qg = 2 sin(/2) (6)

avec w © w1 © w2. Donner la valeur de f = (3/27 pour un angle de diffusion 0 + 
rx/2. Discuter
la validité de l'hypothèse utilisée.

La fraction de lumière diffusée est très faible, surtout dans un liquide à 
quelques Kelvin où les fluc-
tuations thermiques (à l'origine du processus de diffusion) sont quasiment 
inexistantes. Cependant on
peut "stimuler" la diffusion en focalisant un deuxième laser dans le milieu. 
Son interférence avec le
premier laser va créer une force volumique qui s'exerce sur le fluide. Cette 
force renforce les fluctua-
tions de densité, et renforce ainsi le processus de diffusion.

Pour le comprendre, on utilise une autre approche : on étudie la diffusion à 
partir des équations
classiques d'évolution de la masse volumique et des champs électriques. On 
donne l'équation de pro-
pagation des ondes acoustiques dans un fluide de masse volumique p(r,t) en 
présence d'une force
volumique f et en présence d'atténuation :

®p Op

a -- l'AS -- v'Ap -- divf (7)

où [" est un paramètre d'amortissement positif et où À désigne l'opérateur 
laplacien.
On néglige toute force volumique f pour le moment. On considère la propagation 
d'une onde plane
monochromatique. On écrit ainsi p(r,t) = po + pi(r,t) avec po la masse 
volumique du milieu au repos

et p1(r,t) = Relp,(r;t)] avec p (rt) -- 6pe®st- QT) où ôp est une amplitude 
complexe (constante)

et Q et (3 sont les vecteur d'onde et pulsation de l'onde sonore.

22. Donner la relation de dispersion des ondes sonores dans le milieu. On note 
Q -- Q |. Développer
l'expression de Q au premier ordre en [" et le mettre sous la forme Q = a--ib 
avec a et b deux constantes
réelles.

Un fluide soumis à un champ électrique Æ statique subit une pression (appelée 
"pression strictive")
donnée par : Dst -- -- 2607 E? où E = |E| et où + est une constante positive 
sans dimension.

23. Commenter le signe de p4 : comment le milieu réagit à un champ électrique ? 
Donner la force
volumique résultant de cette pression.

Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée 
linéairement, de champ
électrique É1(z,t) = Re[E,(z2,t)] avec E,(z,t) = Ë; ,(2)efert-he) (où Ë; 9(2) 
est une amplitude
complexe qui ne dépend pas du temps), se propage dans le fluide dans la 
direction z. La pulsation de
cette onde correspond au domaine visible. De même que précédemment, une force 
strictive est associée
au passage de l onde, mais la pression strictive est cette fois donnée en 
remplaçant E° par sa moyenne
temporelle < E + Ë > sur un temps 7 tel que 7 > 27 /w1.

24. Exprimer la pression strictive dans un tel cas.

On considère la propagation d'une deuxième onde électromagnétique plane 
progressive mono-
chromatique polarisée linéairement, se propageant en sens opposé, de champ 
électrique É(z,t) --
Re[E, (z,t)] avec E,(z,t) = Ë) )(2)ewzt+kaz) (où E0(2) est une amplitude 
complexe qui ne dépend
pas du temps). Le champ É(2,t) oscille à une pulsation proche de celle de 
Ei(2,t) : en posant
wi = w2 + ( on a donc [9] EUR we.

25. Que vaut la moyenne temporelle du carré du champ électrique total < É.E > 
en fonction de

z et de {? On moyenne, autour de t, sur un temps 7 tel que 7 & 27/Q et Tr > 
27/wo. En déduire la
force strictive associée. On notera q = k1 + ko.

3,

26. En négligeant les termes en (avec à -- 1,2) devant les termes en QÉ; 0: 
montrer que le

i Q--qz)]

terme de forçage de l'équation (7) est donné par divf -- --Léoyeg Re[E 0 Es pe 
( où Es est

le complexe conjugué de Ê 0

En présence de ce terme de forçage, on cherche des solutions de l'équation (7) 
de la forme
p = Po + Re[ôpei(®t42)], où on suppose pour simplifier que 0p est une amplitude 
complexe uniforme
et constante.

27. Montrer que

1 = +
op -- 5 07e7(q; Q)E: 0: E20 (8)

avec 7(q, ®) une fonction de q et de ( que l'on explicitera et où on fera 
également apparaître LB = q°l""
et (pB = qu.

1
En supposant ps 5 (avec à -- 1,2) on peut montrer que la propagation des champs
t
électriques dans le milieu soumis à la modulation de densité conduit aux 
équations :

--

0E; 0 1W1 Ve =
TE = -- "© E, 0 9
OZ 4cpo 2,0CÈ (9)
0Ë20 iW9Ye =
= --  EF,, ,60* 10
OZ 4cpo 1,0CE (10)

où 0p" est le complexe conjugué de 6p. On suppose de plus que les champs 
électriques É; et Éo ont la
même polarisation. E

On pose /1 -- eoclE: 0l?/2 et 2 -- eoclE2 01/2 les intensités des champs 
électriques 1 et 2 (qui
s'expriment en W.m *). On se placera désormais dans le cas où QT? oe QLTE et (2 
-- Q? ce 20BAQ
avec AQ = Q -- (8.

28. Montrer que

db (T#/2)°
dz  *(Tp/22 + AN !? (1)

où l'on n'explicitera pas la constante positive gs.

29. On s'intéresse au cas où l'intensité du champ électrique 1 est beaucoup 
plus grande que celle
du champ électrique 2. Dans un tel cas, on peut supposer que 11 reste 
constante. En déduire la
dépendance de Z: en z. La pulsation w est fixée, mais on peut faire varier w2 
dans l'expérience. Que se
passe-t-il "à résonance", 1.e. lorsque AQ = 0 ? Que se passe-t-il "hors 
résonance", c'est-à-dire lorsque
AQ! > lp? On mesure l'intensité 2 en sortie de la cellule contenant l'hélium. 
Proposer une méthode
pour déterminer précisément (8.

30. Dans l'hélium, gx = 10 ° m.W-!. En déduire l'ordre de grandeur de 11 pour 
avoir une
amplification de Z à la résonance de l'ordre de 1% sur une échelle typique de 
10 um. Commenter ce
résultat.

On cherche à appliquer cette méthode à l'étude de l'hélium métastable. Pour 
avoir une amplifi-
cation significative, 1 doit être important. On utilise donc pour le champ 1 un 
laser qui émet des
impulsions lumineuses de durée 7. Ceci permet d'obtenir des puissances 
instantanées très importantes.
La longueur d'onde des lasers est À = Ï um.

31. Comment doit-on choisir 7 pour sonder les états métastables ? Quelle est la 
conséquence sur
la largeur spectrale du laser ? En déduire la résolution spectrale de 
l'expérience.

32. Détermination expérimentale de l'équation d'état. Comment, à partir des 
mesures de

p et de fp(p) = Qg(p)/27, peut-on remonter à l'équation d'état p(p) ? On 
exprimera p(p) en faisant

apparaître une intégrale d'une fonction qui dépend de la masse volumique 9. On 
note par ailleurs pat
1

VPXs
Op

1
X4 = -- (5e) est la compressibilité isentropique. On fera également apparaître 
À dans l'expression
P S

la masse volumique pour p = Psat. On rappelle que la vitesse du son est donnée 
par v -- où

Op
de p(p).

- Fin du sujet -

10