X/ENS Physique B PC 2023

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MERCREDI 19 AVRIL 2023
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 5

PHYSIQUE B (XEULS)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Mesure de la constante de structure fine

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

e célérité de la lumière dans le vide : ce 3 x 109 m:s 1

e permittivité diélectrique du vide : 6 = 9 x 107 F.m
e charge élémentaire : e = 1,5 x 107 C

e constante de Planck : À = 7 x 10% J.s

e constante de Planck réduite : À = h/27r © 1 x 107% J:s
e constante de Boltzmann : kg © 1,5 x 10% J.K-{

e masse atomique d'un atome de Rubidium 87 : m=1,5 x 10% kg

Introduction

Ce sujet propose de s'intéresser à la mesure de la constante de structure fine 
«, dont Richard
Feynman, célèbre physicien du XX° siècle, disait qu'elle est "l'un des plus 
grands mystères de la
physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l'homme puisse le 
comprendre."

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l'interaction 
électromagnétique. Elle est
donnée par la relation :

e?

(1)

-- ATeohc

Une valeur approchée de & est 1/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :
1/a = 137,035999206 + 11 x 107" (2)

soit une incertitude relative de l'ordre de 8 x 107!!, Ce sujet a pour but 
d'expliquer comment la
constante de structure fine & a pu être mesurée avec une telle précision.

Question préliminaire

Une autre détermination précise de « a pu être effectuée de manière 
indépendante. Cette autre
détermination fait en particulier intervenir des calculs issus du "Modèle 
standard", qui est le cadre
théorique de notre compréhension actuelle des forces forte, faible et 
électromagnétique. La valeur

obtenue est :
1/a = 137,03599915 + 3 x 10° (3)

1. Comparer les deux valeurs de 1/a& données par les Éq. (2) et Éq. (3) en 
calculant leur écart
normalisé (que l'on comparera à 2). La théorie du Modèle Standard semble-t-elle 
valide au regard de
ces deux valeurs ?

Dans la partie [.1, nous nous intéresserons au lien entre @ et une autre 
constante fondamentale
connue avec précision : la constante de Rydberg R+. Nous étudierons dans toute 
la suite du sujet
le principe de la mesure de la masse m de l'atome de Rubidium 87, qui permet de 
remonter à à.
La partie I.2 présentera le principe de cette mesure, réalisée par 
interférométrie atomique. La partie
IT traitera la source d'erreur principale de la mesure qui doit être prise en 
compte pour obtenir une
valeur correcte de @.

Les parties I et IT sont dans une large mesure indépendantes.

I Principe de la mesure de la constante de structure fine a

1.1 Lien entre la constante de structure fine à et la constante de Rydberg À,

En 1888, Johannes Rydberg trouve une formule empirique qui permet d'exprimer 
les longueurs
d'onde des raies d'émission de l'hydrogène :

il il il
ER (== 4
\ (= ) (4)

avec n1 et n2 deux entiers (n1 < nm), et R& une constante alors appelée constante de Rydberg. Cette observation marque les débuts de l'avènement de la physique quantique. Niels Bohr propose en 1913 un modèle "semi-classique" permettant d'expliquer ces observations. Il développe un "modèle planétaire" de l'atome d'hydrogène, alors modélisé par un proton de charge +e supposé fixe, et un électron de charge --e et de masse m., non relativiste, soumis à la force électrostatique du proton et en orbite circulaire autour de lui. Niels Bohr fait également l'hypothèse de la quantification du moment cinétique orbital L de l'électron en écrivant L = nh où n est un entier naturel non nul. À chaque valeur de n correspond une orbite différente. 2.a Pourquoi un tel modèle est-il qualifié de semi-classique ? 2.b Exprimer les vitesses v, associées à chaque orbite. Sur quelle orbite la vitesse maximale est- elle atteinte ? Exprimer sa valeur en fonction de c et de à. Est-il alors légitime de considérer que l'électron est non relativiste dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène ? 2.c Calculer l'énergie mécanique Æ, de l'électron en fonction de n. Retrouver la formule de Rydberg (Eq. (4)) et en déduire l'expression de R+ en fonction de me, e, h, c et EURo. Si un tel modèle a ses limites, la constante de Rydberg continue d'intervenir dans les modèles théoriques les plus perfectionnés pour décrire les raies d'émission de l'atome d'hydrogène. La mesure précise de ces raies a permis de déterminer Ry avec une précision relative de 2 x 10712. 2R5 a = mo h (5) TTL C Me 3.a Montrer avec m la masse d'un atome de Rubidium. On fait ici intervenir le rapport m./m car il est expérimentalement plus aisé de mesurer indépendamment la masse m de l'atome de Rubidium 87 (beaucoup plus grande que celle d'un électron) et la masse relative de l'électron par rapport à cet atome. Le rapport m/me a pu être mesuré avec une précision relative de 7 x 10711. 3.b On note u(a) l'incertitude-type sur &. Donner la formule reliant l'incertitude relative u(a)/a sur la mesure de « à celle des autres grandeurs Rx, m/m. et m qui interviennent dans son expression d'après l'Eq. (5). Pourquoi aucune incertitude ne doit être associée à la valeur de cet de h? Vérifier que l'on a : u(m) _ = 1,5 x 10710 (6) m Mesurer précisément a revient donc à mesurer précisément m. Dans la suite, nous nous intéressons à la mesure de m par interférométrie atomique. 1.2 Mesure de la masse de l'atome de Rubidium 87 En mécanique quantique, un atome peut être décrit par une fonction d'onde dont l'évolution est donnée par l'équation de Schrôdinger. De même qu'en interférométrie optique un faisceau lumineux est séparé en plusieurs sous-faisceaux, qui sont ensuite recombinés en sortie de l'interféromètre, l'in- terférométrie atomique consiste à "séparer spatialement" et à recombiner la fonction d'onde associée à un atome. Cette séparation de la fonction d'onde peut être effectuée à l'aide de séparatrices atomiques. qui sont des impulsions laser qui tirent profit de l'effet de recul associé à l'absorption ou l'émission d'un photon. 1.2.1 Transitions à un ou à deux photons et effet de recul On considère un atome de Rubidium 87, de masse m. L'énergie mécanique totale de l'atome, notée FE, peut être décomposée en trois parties : l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de l'atome, et l'énergie mécanique des électrons (ou énergie électronique). L'énergie mécanique des électrons peut valoir £,, E4 ou E, : on représente les états électroniques de l'atome sur la Fig. 1a. On prendra l'énergie potentielle Æ£,, constante dans ce qui suit, excepté dans la partie 1.2.5. L'état a est l'état fondamental, de durée de vie infinie. La durée de vie de l'état b étant très grande devant celle de l'état c, on la considère également comme infinie. 2 eV E --6 E} [2 x 10% eV E, ; E. (a) (b) FIGURE 1 -- (a) : Niveaux d'énergie de l'atome de Rubidium 87; (b) : Principe de la transition à deux photons Un atome, initialement au repos dans le référentiel d'étude et dans l'état a, absorbe un photon de quantité de mouvement hAk et d'énergie Aw (avec w = kc où k = [[k||), et effectue une transition vers l'état d'énergie E; (à = b ou à = c). 4.a Usuellement, on néglige la variation de quantité de mouvement et la variation d'énergie cinétique lors de la transition (aussi appelée "énergie de recul"). Quelle est alors l'énergie du photon nécessaire pour effectuer la transition ? 4.b On prend en compte l'"effet de recul". Donner les relations de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement lors du processus d'absorption du photon, en notant v, la variation de vitesse de l'atome (appelée "vitesse de recul"). 4.c À l'aide des deux relations précédentes, se ramener à une équation sur k = LE et montrer que k © (FE; --E,)/(hc). En déduire la variation de vitesse v, -- |v,| subie par l'atome lors de la transition. Effectuer l'application numérique pour v,. pour chacune des transitions a -- b et a --c. 4.4 Comme nous le verrons plus loin, on tire profit de l'effet de recul en interférométrie atomique pour séparer la fonction d'onde : plus cet effet est important, mieux on sépare la fonction d'onde et meilleure est la sensibilité sur la mesure. Quels sont l'avantage et l'inconvénient associés à chaque transition (a -- b ou a -- c) pour transférer de la quantité de mouvement à un atome ? Le 'meilleur des deux mondes" peut être obtenu en effectuant des transitions à deux photons (ou transitions "Raman"). Le principe de telles transitions est présenté sur la Figure 1b : l'atome, initialement dans l'état a, est plongé deux faisceaux lasers se propageant en sens opposés. L'atome absorbe un photon du premier laser, et émet un photon par émission stimulée par le deuxième laser. On note k et ko les vecteurs d'ondes respectifs des deux lasers. 5. On fait l'approximation # + [k1| & |kol et on note alors #1 = k et ka = --Æ avec k = ke. Justifier que la variation de vitesse de l'atome est alors 2v,, où l'on précisera à quelle transition est associée la vitesse de recul v,.. Donner la valeur numérique de k, valeur que l'on retiendra pour la suite du problème. 1.2.2 Séparatrices atomiques On s'intéresse dans cette partie à un élément clé des interféromètres atomiques, les séparatrices atomiques. Elles permettent de séparer spatialement la fonction d'onde d'un atome en le plaçant dans une superposition de deux états d'énergie distincts. Soit VY(r,t) la fonction d'onde associée à un atome. Dans l'état électronique a, l'atome a une impulsion mt et une énergie F1 = E,+E, a + Eca ; dans l'état électronique b, l'atome à une impulsion m(vo + 2v,) et une énergie E2 = E3 + E,1 + Ecp, avec Etc; et E,: les énergies cinétique et potentielle associées à chaque état ? = a ou à = b. Un état stationnaire est associé à chaque état d'énergie. On note ai(t) et a2(t) les parties tem- porelles associées à ces états stationnaires. On note w1(r) et wo(r) les fonctions d'ondes spatiales ./ x / . _ I, associées à ces états stationnaires, dont on donne la forme explicite : w1(r) -- exp (5 Tor) et m wa(r) = exp (CG + 2Ù,) F), avec ÿ? = --1. On peut ainsi écrire : D(F,t) = ait) exp (5-0 | F) + ao(t) exp (CG 42%) F) (7) 6.a Donner les équations différentielles vérifiées par les coefficients a;(t) (i = 1,2). 6.b Résoudre ces équations, et mettre les solutions sous la forme : ä(t) -- A(t)à(0) (8) avec à(t) = (ai(t),a2(t)) et A(t) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux (que l'on explicitera) dépendent du temps. 6.c Initialement on a à(t = 0) = (1,0), autrement dit l'atome est dans l'état stationnaire d'énergie FE. Justifier que l'atome demeure dans cet état d'énergie FE à tous les instants ultérieurs. Le principe des séparatrices atomiques consiste à placer un atome, initialement dans l'état 1, dans une superposition des états 1 et 2. Cela peut être effectué en utilisant les transitions à deux photons vues précédemment, qui peuvent être effectuées en utilisant deux faisceaux laser. L'atome est plongé dans le champ des deux faisceaux laser pendant une durée finie : on note 7 la durée des impulsions laser. Si un atome est soumis à ces impulsions laser à l'instant { = 0, et pendant une durée 7, la valeur de à(t) à l'instant { = 7 est donnée par : ä(r) = A(r)R(Qr)A "(0)a(0) (9) où À71(0) est la matrice inverse de la matrice A(0), et où la matrice R((Q7) est donnée par : cos(Qt/2) --jsin(Qt/ mn) (10) R(Qt) -- e sin({t/2)e JPtaser cos((t/2) aveC laser Une Constante associée aux déphasages entre les deux faisceaux laser, et (} une grandeur homogène à une pulsation qui dépend de l'intensité des faisceaux laser et du type d'atome étudié. 7. Exprimer R(QT) pour une "impulsion r/2", c'est-à-dire à une impulsion laser de durée 7 avec Q7r = x/2. Donner également l'expression de cette matrice pour une "impulsion 7" (qui correspond à Q7 = 7). x/2 Z À 1 E % b l'a Ea [NT vo La EL de. E Fe 0 [A FIGURE 2 -- Trajectoire d'un atome, de vitesse initiale vo, soumis à t = 0 à une impulsion r/2, qui sert de "séparatrice atomique". Les coefficients 7, et t, sont les coefficients de réflexion et de transmission de l'amplitude de probabilité associée à l'atome. 8.a Initialement on a d(t = 0) = (1,0). À & -- 0 on soumet l'atome à une "impulsion r/2" de durée T. Exprimer la fonction d'onde Y(r,t) à l'instant t = 7, et donner l'évolution de la fonction d'onde pour t > Tr. Montrer ainsi qu'une telle impulsion présente une analogie 
optique avec
une lame séparatrice de coefficient de réflexion en amplitude r, -- 
--(j/V2)exp(--j@raser)
et de coefficient de transmission en amplitude t, -- 1/V2, comme suggéré sur la 
Fig. 2
où la trajectoire d'un atome est représentée. C'est pourquoi une impulsion r/2 
est appelée
"séparatrice atomique".

8.b Toujours dans le cas d'une "impulsion 7/2", exprimer les coefficients de 
réflexion et de trans-
mission en amplitude dans le cas où on a initialement a(t = 0) = (0,1).

8.c Quel est l'élément optique analogue à une "impulsion Tr" ?

L'interférométrie atomique consiste à utiliser des impulsions r/2 et x pour 
séparer et recombiner
la fonction d'onde.

1.2.3 À parte : étude d'un interféromètre optique

Nous effectuons un bref a parte, en étudiant un interféromètre optique. Un 
faisceau lumineux
monochromatique (longueur d'onde À,, intensité /0) est séparé en plusieurs 
sous-faisceaux, puis re-
combiné à l'aide de plusieurs lames séparatrices, comme représenté sur la Fig. 
3. L'intensité lumineuse
est mesurée en sortie de l'interféromètre. On notera r,, respectivement t,, le 
coefficient de réflexion en
amplitude, respectivement le coefficient de transmission en amplitude, des 
lames séparatrices. Pour les
lames séparatrices B, C et D, il existe deux trajectoires de sortie. On ne 
s'intéresse qu'aux trajectoires
représentées en trait plein (on ne s'intéressera pas aux trajectoires en trait 
pointillé).

L'indice de l'air est considéré comme égal à 1. Un des deux sous-faisceaux 
traverse un milieu
d'indice n sur une distance /. Les longueurs AB et CD d'une part, et AC et BD 
d'autre part, sont
identiques.

9. Exprimer l'intensité lumineuse en sortie de l'interféromètre en fonction de 
Lo, ro, to, L, n et À.
Qu'observe-t-on en sortie de l'interféromètre si on change l'épaisseur ! du 
milieu d'indice n ?
Détecteur

+

FIGURE 3 -- Schéma d'un interféromètre optique réalisé à partir de plusieurs 
lames séparatrices, de
mêmes coefficients de réflexion et de transmission en amplitude, notés 
respectivement r, et t,. Un des
sous-faisceaux traverse un milieu d'indice n sur une distance l[.

1.2.4 Principe de la mesure de m

L'interféromètre atomique de Ramsey-Bordé consiste en une série de quatre 
impulsions x/2 ef-
fectuées à des intervalles de temps réguliers T. Pour les deux premières 
impulsions, l'effet de recul
est vers le haut (on transfère +2ÿ, à une fraction de la fonction d'onde), pour 
les deux dernières
l'effet de recul est vers le bas (on transfère --2v, à une fraction de la 
fonction d'onde). Chacune de
ces impulsions joue le rôle de séparatrice atomique, comme vu précédemment. On 
représente sur la
Fig. 4 la trajectoire d'un atome de Rubidium, de vitesse initiale vo et d'état 
d'énergie électronique
initial a, lors de leur traversée de l'interféromètre. On note W(r,t) = 
Woexp(j(müo Tr -- Eit)/h) la
fonction d'onde initialement associée à l'atome (4 < 0), avec FE est l'énergie totale de l'atome et Vo est une constante complexe. Les trajectoires que nous considérons sont représentées en trait plein sur la figure, on ne s'intéressera pas aux trajectoires représentées en trait pointillé. Une cinquième impulsion (pour t compris entre T' et 27), appelée "impulsion Bloch", a lieu à l'instant {' (avec T < t' < 2T') et permet d'effectuer N transitions à deux photons au cours desquelles l'état final reste le même que l'état initial (état b pour les trajectoires considérées ici). On retiendra que cette impulsion permet ainsi d'accroître la vitesse de l'atome de AU = 2Nv,, où N est un nombre entier. Comme indiqué sur la Fig. 4, on s'intéresse aux faisceaux suivant les deux trajets ABCD et AB'C'D, et recombinés en sortie de l'interféromètre. On note ®7, respectivement 77, la phase cumulée par la fonction d'onde lors du trajet ABCD), respectivement AB'C'D. On mesure en sortie de l'interféromètre la probabilité de détection d'un atome. On note Oaser(t) la phase des impulsions lasers 7/2. 10. Exprimer l'amplitude de probabilité de présence d'un atome de Rubidium en sortie de l'in- terféromètre en fonction de Vo, Pr, Prr et des phases lasers Oiaser(t) à t = 0,T°,2T ou 3T°. En déduire la probabilité P de détection, et montrer qu'elle est donnée par : 1 P -- LE (1 + cos(AD + Araser)) (11) AVEC 7 -- 1, AB -- Dr] -- ®7 et AGiaser -- -- Diaser (0) + Olaser (T) + Plaser (27) -- Plaser (37°). Il est possible de faire varier AQijaser en changeant la fréquence des lasers. On note Aiaser = 27 Üjaser L' AVEC Ôlaser UN paramètre pouvant être modifié expérimentalement. On présente en Fig. 5 un interférogramme expérimental typiquement obtenu en faisant varier laser. L'Éq. (11) est valable pour décrire cet interférogramme expérimental, en prenant cependant y < 1. La position de la frange centrale (qui correspond à A® + AGiaser -- 0) est repérée par le trait en pointillé gris. La valeur de Ôlaser associée est 0%... -- --15907410, 770 + 0,047 Hz. laser [_ FF 0 T 2T 3T FIGURE 4 -- Interféromètre atomique de Ramsey-Bordé. Les quatre impulsions lasers Raman (à t -- 0,T,2T et 3T') servent de séparatrice atomique. Une cinquième impulsion (T1 < t < 2T), en orange, peut être utilisée pour communiquer une vitesse AU = Ave, à l'atome entre t = T'et t = 2T (sur le schéma on a Av > O).

11. À partir de l'interférogramme expérimental présenté en Fig. 5, donner la 
valeur de T choisie
dans l'expérience.

On cherche à relier la position de la frange centrale à la variation de vitesse 
AU acquise par un
atome.

0,50 + L/ | Ve r]

|
4,
0,45 + # k | /
/ [ /
e 0
A. 0,40 - | o 1 | À J

}
È

0.35 À à

0.30 -

--460 --440 --420 --400 --380 --360
ôtaser + 15907000 (Hz)

FIGURE 5 -- Interférogramme expérimental.

La phase cumulée par la fonction d'onde le long de la trajectoire EUR d'un 
atome est :
1 . 1 ,
Pe = -- mü-dr-- | Edt | = -- | (mv° -- E)jdt (12)
h \Je C h Je

12.a Justifier que la phase cumulée due aux énergies potentielle E, et 
électronique Æ; (i = a,b)
est la même sur chacun des trajets ABCD et AB'C'D.

avec u = |0|.
12.b

12.c

13.a

13.b

13.c

13.d

En déduire que :

m ff? Ù v
A8 | (ut = Gb) ( mo £ Lo dé (13)

où ÜUr(t) et Urr(t) sont les vitesses instantanées respectives des atomes sur 
les trajets ABCD
et AB'C'D.

En exprimant dans un premier temps Urr(t) -- ür(t) et [ür(t) + vrr(t)]/2 sur 
les intervalles
0, T], ÎT,2T1, [2T,3T |, montrer que :

AB = 2Tk.Aÿ (14)

On se souviendra à cet effet de la relation entre vw, et k (question 4), et on 
rappelle que
k -- ke,. L'interféromètre est donc sensible à la variation de vitesse selon la 
direction de
propagation des lasers (axe (Oz) sur le schéma).

En déduire 0... la valeur de Oaser associée la frange centrale. L'exprimer en 
fonction de k,
m et N,et d'autres constantes fondamentales éventuelles.

%k

laser associée à l'interférogramme de la Fig. 5, la valeur de

Déduire, à partir de la valeur de Ô
N choisie lors de la mesure.

La fréquence w/27r -- kc/27r est mesurée avec une incertitude de 1 kHz. 
Justifier que la
mesure de 0. permet de mesurer m, et que l'incertitude relative sur m est 
environ égale à

l'incertitude relative sur 0..., soit u(m)/m = u(df..)/0f er.

Un interférogramme expérimental comme celui de la Fig. 5 est typiquement obtenu 
en une
minute. Il est possible de faire des mesures les unes à la suite des autres. 
Pendant combien
de temps doit-on répéter l'expérience pour atteindre la sensibilité requise sur 
la mesure de m
(donnée en Éq. (6)) ?

1.2.5 Effet systématique dû à la gravité

Dans cette section, l'énergie potentielle d'un atome n'est plus considérée 
comme constante au cours
de la trajectoire. On cherche à estimer l'effet de la gravité sur la mesure.

Il est essentiel, dans une mesure d'une telle exactitude, d'écarter toute 
source d'erreur possible.
L'Éq. (14) montre que l'interféromètre est sensible à la variation de vitesse 
des atomes. L'accélération
de la pesanteur induit une variation de vitesse au cours de la propagation des 
atomes, qui résulte en
un décalage supplémentaire des franges. Nous allons estimer cet effet. 
L'accélération de la pesanteur
g est portée par l'axe (Oz) et est dirigée dans le sens des z décroissants.

14.a

14.b

14.c

L'énergie potentielle d'un atome n'est pas constante au cours de la 
trajectoire. Montrer
néanmoins que l'Eq. (14) reste valable lorsque le champ de pesanteur est 
uniforme.

Exprimer les vitesses U7(t) et ürr(t) le long des trajets ABCD et AB'C'D en 
prenant cette fois
en compte l'effet de la pesanteur. En déduire le déphasage A", et l'exprimer 
sous la forme

A' = AP + A, (15)

où AP = 27k.Aÿ et où A, est un terme à expliciter. On prend Av -- 600v,. 
Calculer
A#,/A%, l'effet relatif du décalage des franges dû uniquement à la pesanteur et 
dû uni-
quement à la variation de vitesse Av. L'effet de la pesanteur est-il 
négligeable au vu de la
sensibilité requise sur la mesure ?

On effectue une mesure en accélérant les atomes vers le haut (+AT = Ave,), puis 
une autre
en les accélérant vers le bas (AU -- --Aveë,). Expliquer comment ces deux 
mesures permettent
de compenser le décalage des franges dû à la gravité.

On constate qu'il est important de compenser les erreurs associées à une mesure 
aussi précise.

Dans la partie suivante, nous nous intéressons à la source principale d'erreur 
de la mesure de m par

interférométrie atomique, qui vient de la courbure du front d'onde des lasers 
utilisés pour modifier la
vitesse des atomes.
IT Effet systématique sur la mesure de la masse m d'un atome de
Rubidium 87 lié à la courbure du front d'onde des lasers

On résume le principe de la mesure de la masse m d'un atome de Rubidium, 
détaillée dans la
partie précédente. On transfère une impulsion p à un atome de Rubidium, par 
absorption du photon
d'un laser par exemple, et on mesure avec une grande précision Av,, sa 
variation de vitesse selon la
direction (Oz) de vecteur directeur EUR,. La masse m d'un atome de Rubidium est 
reliée à Aw, et p par
la relation m = p,/Av, avec p, = p-e,. L'interférométrie atomique, étudiée dans 
la partie précédente,
permet de mesurer de manière très précise Av,. La connaissance de p, permet 
alors de déterminer m.

Précédemment on a considéré le cas idéal où le laser est une onde plane, de 
longueur d'onde
À, se propageant selon la direction (Oz). L'impulsion Digea1 du photon dans ce 
cas est donnée par
Pideal = ÀkE,, et Psidea = Ak, avec k = 27/À. Aïnsi la masse, dans ce cas 
idéal, est simplement donnée
Par Mideal = Ak/AV,.

Dans le cas général p, = hk(1 +0ôk,a) avec 0k.a Z 0. L'erreur relative commise 
sur l'estimation de
la masse par rapport au cas idéal est m : (m--mMideal)/Mideal = Ôkra. Il est 
donc nécessaire de connaitre
avec exactitude Ôk,a afin de corriger cette erreur. Dans cette partie on 
s'intéresse à la valeur de ôk,4
en considérant plusieurs cas où le faisceau laser s'écarte du cas idéal d'une 
onde plane se propageant

selon (O2)

II.1 Désalignement du faisceau laser

15. On considère une onde plane de vecteur d'onde # formant un angle 8 avec 
l'axe (Oz). Exprimer
ôk-a en fonction de 0. Donner un ordre de grandeur de la limite supérieure de 
[0] pour que |ôk.al soit
inférieur à 1072.

Ainsi, un désalignement du faisceau laser par rapport à l'axe (Oz) peut induire 
une erreur sur la
mesure. Mais le modèle de l'onde plane reste un modèle irréaliste pour décrire 
le faisceau laser. On
s'intéresse dans les partie suivante à la valeur de »p, associée à d'autres 
types de fronts d'onde.

II2 Courbure de front d'onde et impulsion d'un photon

16.a Justifier que, dans le cas d'une onde électromagnétique plane dans le vide 
de vecteur d'onde
k, les plans équiphases (ou "fronts d'onde") sont des plans perpendiculaires à 
k.

16.b On considère alors le cas général d'une onde électromagnétique de 
pulsation w et de phase
(Tr) -- wt. Justifier que gradp(r) est localement orthogonal aux surfaces 
d'ondes.
On en déduit que pour une onde électromagnétique de front d'onde quelconque, 
l'impulsion d'un

--
e

photon est donnée localement par p = À grad@(r)

16.c Déduire l'expression p, en fonction de @(r).

II3 Effet systématique dans le cas d'un laser de profil gaussien

Dans cette partie, on cherche à déterminer 0k.. pour un faisceau laser de 
profil gaussien. Le faisceau
se propage selon la direction (Oz). Le foyer du laser est situé en z = 0.

Un faisceau gaussien est une superposition d'ondes planes selon une 
distribution gaussienne de
la forme f(kx,ky) = exp(--(k£ + k5)w6/4) dans l'espace des composantes (k,k,) 
du vecteur d'onde,
d'extension typique + 1/w0 dans les directions k; et k,, avec wo une constante 
réelle positive. Aïnsi
le champ électrique du faisceau (de polarisation linéaire orientée par le 
vecteur ü) s'écrit :

. +00 _ k? + k2
E(r) = E(rjü = Eoa || exp(jk -T) exp y dkrdky (16)

OO

17.a On fait l'approximation wo > À, avec À la longueur d'onde du laser. 
Montrer que k, =

k£ + k£
k -- TE (On rappelle & = 2r/À).
17.b On donne le résultat général :

exp [--=a(ki +k,) + j(akx + Bky) | dk:dky = -- exp | --=-- (af + 5°) (17)
_ 2 a 2a
où «a et 5 sont deux nombres réels, et a un nombre imaginaire de partie réelle 
positive.
Montrer que :

. | 1 + y
E(r) xp(k2) exp (-EtE (18)
D + WT
18.a En déduire que :
2
(x, y, 2) = kz + OL -- arctan(z/2r) (19)

avec r? = 2° +y°, 2r = wôék/2 et w(z) = woy/1 + (2/2R)2.

18.b En déduire p, l'impulsion du photon projeté sur l'axe (Oz). Montrer que, 
en z = 0 (foyer
optique du laser, où l'intensité est maximale), on a la correction :

Ôkra(z = 0) = pee =0) RE | 2 (E _ 2) (20)

hk | k2 2

4
CU
Cette correction est appelée "correction de Gouvy".
PP Y

18.c On considère un nuage d'atomes d'extension spatiale typique 7 © 0,5 mm 
placé en z = 0
dans le champ du laser, et on s'intéresse à l'impulsion effective transférée 
aux atomes. On
a W(z) © wo © 5 mm et À & 800 nm. Quel est le terme dominant dans la correction 
de
Gouy ? Quel est donc le signe de Ôk,4(z = 0) au niveau du maximum d'intensité 
du faisceau
laser ? Donner la valeur numérique de 0k,:a(z = 0). Cette erreur relative 
est-elle importante
compte-tenu de l'incertitude relative obtenue sur la mesure de m (donnée par 
l'Éq. (6)) ?

II.4 Effet dû aux variations locales d'intensité du laser

Les lasers utilisés dans l'expérience traversent des milieux d'indices 
différents et sont réfléchis par
de nombreux éléments optiques, qui peuvent avoir une surface irrégulière 
(poussières, défauts,.....). Il
en résulte des fluctuations spatiales de l'intensité du faisceau laser.

Dans cette partie, on s'intéresse à un faisceau laser se propageant selon la 
direction (Oz). L'intensité
I(x,y,z) du laser n'est pas uniforme et fluctue autour de la valeur moyenne /9. 
On note @(r) --
kz + D'(r) la phase du faisceau, avec k -- 27/X et d'(r) un terme qui 
représente l'écart par rapport au
cas idéal d'une onde plane de vecteur d'onde k = ke, .

Pour simplifier, on suppose dans la suite que le faisceau ne fluctue que selon 
les directions (Ox) et
(Oz) (le faisceau est uniforme selon la direction (Oy)).

On donne en Fig. 6 une simulation de la propagation d'un faisceau présentant 
des fluctuations
spatiales d'intensité selon (Ox) sur des échelles spatiales de l'ordre de 100 
pm. À gauche est montré
le profil d'intensité Z(x,2)/10. La figure de droite montre l'évolution de 
@'(x, z).

19. Comment évolue la phase spatiale d selon (Oz) dans les régions associées 
aux maxima d'in-
tensité (repérées par un contour en trait plein) ? Comment évolue-t-elle dans 
les régions associées aux
minima d'intensité (repérées par un trait pointillé) ? En déduire le signe de 
Ôk,4 dans chacun de ces
deux cas.

La corrélation Ôk,4 est ainsi directement reliée au profil d'intensité. On 
admet qu'en bonne ap-
proximation, pour un faisceau se propageant selon (O2), cette correction est 
donnée par l'équation :

1 A7

ka ©
l 4k2 D

(21)

OI OI

avec À ,1 -- Dr? + D

10
20.a Tracer l'allure du profil d'intensité Z(x,z) en fonction de + pour z -- 52 
cm. Repérer les
2T 2
régions Où -- > 0 et où -- < 0. Ox? Ox? 20.b En utilisant l'Éq. 21, en déduire le signe 0k,4 dans les régions associées aux maxima et aux minima d'intensité, et vérifier que l'on retrouve bien les résultats donnés à la question 19. Commenter ce résultat au regard du signe de la correction de Gouy trouvée précédemment (question 18.c), qui est la correction obtenue au foyer optique d'un faisceau gaussien, où l'intensité est maximale. Le signe de la correction Ôk,4 dépend des fluctuations de l'intensité. On note (0k,a) la correction moyenne, où la moyenne est effectuée selon x sur une échelle spatiale de l'ordre de la taille du nuage atomique étudié (+ 1 mm). On pourrait a priori s'attendre à ce que (0k,4) soit nul, c'est-à-dire que l'effet dû aux régions où (0kre) est positif soit en moyenne compensé par celui où (ôk,4) est négatif. Ce n'est en réalité pas le cas. En effet, dans l'expérience de mesure de m, la probabilité d'absorption d'un photon par un atome dépend de l'intensité : il est d'autant plus probable pour un atome d'absorber un photon (et donc de subir une variation de quantité de mouvement p, selon (Oz)) que l'intensité est élevée. 21. En déduire le signe de la correction moyenne (ôk,4) associée aux fluctuations d'intensité. Un tel effet doit être estimé afin de corriger la valeur de m mesurée. Ceci est permis par des mesures précises du profil d'intensité des faisceaux lasers utilisés. 22. Si expérimentalement on chassait tous les atomes situés dans les maxima d'intensité du faisceau, l'impulsion des photons p ne serait alors transférée qu'aux atomes situés dans les minima d'intensité. Comparer (p,), la variation moyenne de quantité de mouvement d'un atome selon l'axe (Oz) due à l'absorption d'un photon, à la valeur attendue dans le cas où le faisceau laser serait une onde plane de vecteur d'onde k# = kë,. Est-ce surprenant ? sé Phase 1.26 9 0,045 _ 1.20 oe 51 0.030 1.14 © - 10.015 1.08} f_ 52 1.02t 6 10.000 N 0.96 " --0,015 0.90 0.84 54} --0.030 0.78 D --0.045 -300 -200 -100 O 100 200 -300 -200 -100 © 100 200 x (um) x (um) FIGURE 6 -- Simulation de la propagation d'un faisceau laser présentant initialement un profil d'in- tensité hétérogène selon l'axe (Ox) sur des échelles spatiales de l'ordre de 100 pm. Le faisceau se propage selon l'axe (Oz) dans le sens des z croissants. À gauche : profil d'intensité Z(x,z)/10 (où Lo est l'intensité moyenne du faisceau). L'échelle de couleurs située à gauche de l'image indique la valeur de I(x,z)/10 (valeur sans unité). À droite : évolution de la phase d' du champ électrique associé. L'échelle de couleurs située à droite de l'image indique la valeur de &' en rad. - Fin des questions - 11 Pour aller plus loin : Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l'univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n'inclut pas l'interaction gravitationnelle et ne permet ni de com- prendre la "matière noire", ni l'"énergie sombre", ni les différences de proportion observées dans l'Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d'écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure. Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de a a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l'atome de Rubidium 87. La valeur de 1/a reportée en Égq. (3) est déterminée à partir d'une autre mesure : la valeur du "moment magnétique anomal" de l'électron |, grandeur sans dimension notée a.. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à « par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard : Ge = > Cia + e.0 (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ao, ont pu être calculés 
numériquement avec
précision. La mesure de a. et l'inversion de l'équation précédente a pu 
conduire à la valeur de a
donnée par l'Éq. (3).

L'accord entre ces deux mesures de « est à l'heure actuelle l'un des tests les 
plus robustes du
Modèle Standard.

1. Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d'un électron est 
appelé "facteur de Landé", noté q.
L'équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit 
que le facteur de Landé est égal à 2 pour
l'électron. Expérimentalement, le facteur de Landé giexp mesuré est légèrement 
différent de 2 (sa valeur expérimentale
est très proche de 2,0023). Le moment magnétique anomal de l'électron est 
défini comme : ae = (gi,exp -- 2)/2.

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