X/ENS Physique B PC 2024

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

MERCREDI 17 AVRIL 2024
08h00 -- 12h00

FILIÈRE PC -- Épreuve n°5

PHYSIQUE B (XEULS)

Durée : 4 heures

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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Propagation d'une onde acoustique dans un milieu non homogène

Nous nous proposons d'étudier la propagation d'une onde acoustique dans un 
milieu non homogène en
adoptant une approche directement inspirée de l'optique géométrique.

Cette étude comprend deux parties. La première est consacrée à l'analyse des 
hypothèses sur lesquelles
repose l'acoustique linéaire. La seconde s'attache à caractériser la 
trajectoire suivie par un rayon acoustique
dans un milieu inhomogène. Ces deux parties sont, dans une large mesure, 
indépendantes.

--+ Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un 
calcul à la main permet aisément, et
sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés 
avec un seul chiffre significatif.

--+ Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront 
être argumentées.

--+ Les références des questions abordées devront être indiquées de façon 
claire.

1 Les hypothèses de l'acoustique linéaire.

Nous considérons une onde acoustique se propageant dans un milieu fluide soumis 
au champ de pesanteur
ÿ uniforme (seulement à ce champ de force volumique). En l'absence d'onde 
acoustique le traversant, ce fluide
est au repos dans le référentiel d'étude R(O, x, y, z) supposé galiléen. Nous 
notons Y = U(M,t), p = p(M,t),
p = p(M,t) et T = T(M,t) les champs spatio-temporels de vitesse, de pression, 
de masse volumique et de
température décrivant la réponse du milieu à l'onde acoustique. M désigne un 
point de l'espace et { le temps.

Nous supposons que les conditions sont telles que l'écoulement, induit par 
l'onde acoustique au sein du
fluide, peut être considéré comme étant "parfait" (la discussion de cette 
hypothèse fera l'objet de la question
(11)). Les équations fondamentales de l'acoustique sur lesquelles repose 
l'étude sont alors les suivantes :

Ov NN.  , ----=>
pe +p(-grad) 5 = pÿ -- gradp
Ot NV T
Fr ne

4 (a) (b) (1)

Op

+ div (pv) = 0

1. L'échelle spatiale de description choisie en mécanique des fluides est 
l'échelle mésoscopique à laquelle
est définie la particule fluide. Indiquer quel critère (objectif) guide le 
choix de la taille d'une telle
particule, dans un milieu et pour des conditions thermodynamiques donnés (aucun 
calcul d'application
n'est demandé).

2. Justifier que le système d'équations (1) ne permet pas, à lui seul, 
d'accéder aux différents champs qu'il
fait intervenir. Par ailleurs, indiquer quelle difficulté mathématique 
particulière soulève la résolution
d'un tel système.

e Le milieu fluide est excité harmoniquement à la pulsation w (w = Cste > 0). 
Nous souhaitons définir à
quelle condition l'onde acoustique générée dans ce milieu peut être assimilée à 
une onde plane harmonique.

Nous écrivons chacun des champs comme la somme d'un champ statique 50 = so(M) 
(en l'absence d'onde
acoustique) et d'un champ dynamique Ôs -- ôs(M,t) associé à la propagation de 
l'onde acoustique. Aïnsi :
0 = Vo + OÙ (Vo -- Ü). p = po + 0p, p = po + dp et T = Ti + ÔT. Nous notons À, 
(4, > 0) l'amplitude de la
variable dynamique 65.

Nous notons k = k(w})& (|ü|| = 1) le vecteur d'onde associé à la propagation 
des champs dynamiques.
Dans cette partie où il s'agira de raisonner sur des grandeurs 
caractéristiques, nous considérerons qu'il
vérifie la relation de dispersion w? = c°k°. La grandeur c, positive, désigne 
la célérité de l'onde dans le
milieu considéré.

Dans la suite de cette partie (1), la grandeur po sera considérée comme étant 
uniforme dans le milieu
(indépendance vis-à-vis du point M).

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3. Indiquer à quelle condition le terme (a) de la première équation du système 
(1) peut être "linéarisé".

. Établir à quelle condition le terme (b) de la première équation du système 
(1) peut être négligé devant

le terme (a).

5. Définir à quelle condition la seconde équation du système (1) tend vers une 
équation linéaire.

10.

11.

12.

. Nous supposons que l'évolution du milieu associée à la propagation de l'onde 
est isentropique. Com-

plétons alors le système d'équations (1) en introduisant le coefficient de 
compressibilité isentropique
xs du fluide défini par la relation suivante :

XS(P, T1) -- Aa. (2)

Définir à quelle condition cette relation permet de relier dp à Ôp dans la 
limite linéaire. Sous cette
condition, donner l'expression de la célérité c (isentropique donc) des ondes 
acoustiques dans le milieu
en fonction de po et X50 (XS0 = XS(p0, 10)). Exprimer enfin, en faisant 
apparaître c, la relation liant
Ôp à 0p.

. Sous les conditions que nous venons d'établir, le système (1), auquel est 
adjointe l'équation décrivant

la réponse en compressibilité du fluide (équation (2)), permet de relier 
linéairement les composantes
dynamiques des champs. Nous supposons ici que la célérité c peut être 
considérée comme étant uniforme
dans le milieu.

Établir alors à quelle condition, portant sur la pulsation w, la célérité c et 
l'accélération de la pesanteur
g, cette dernière peut être négligée dans ces relations.

. Nous adoptons les valeurs suivantes : 9 = 10 m:s *, ci = 300 m:s ! et Ceau = 
1500 m:s"!. Traduire

numériquement, sur la fréquence f = w/(27), la condition établie en réponse à 
la question (7), dans
le cas où le milieu propagatif est de l'air, puis de l'eau. Commenter ces 
résultats.

. Nous notons D ([D] -- L?T !) le coefficient de diffusion thermique du fluide. 
Par ailleurs, nous

supposons que l'onde harmonique plane (w,k = w/c) se propage dans un milieu 
"infini".

Établir à quelle condition, portant sur la pulsation w, la célérité c et le 
coefficient D, l'évolution du
fluide induite par l'onde acoustique peut être considérée comme étant 
adiabatique. On accompagnera
le raisonnement tenu d'une argumentation claire, appuyée sur un schéma 
précisant de quelle manière
les échanges thermiques interviennent au sein du fluide.

Les coefficients de diffusion thermique de l'air et de l'eau ont pour valeurs 
respectives D, = 20 x
10-6m?.s 1 et Don © 0,15 x 1076m°?.s1 (autour de po -- 10° Pa et Th --= 300 K). 
Traduire
numériquement, sur la fréquence f = w/(27), la condition établie en réponse à 
la question (9), dans
le cas de l'air puis celui de l'eau. Commenter ces résultats.

Dans le cas d'un écoulement compressible, lorsque les effets visqueux sont pris 
en compte, le second
membre de la première équation du système (1) comprend deux termes 
supplémentaires, linéaires
par rapport à la vitesse (dans le cas d'un fluide newtonien). Nous leur 
associons, collectivement, la
grandeur caractéristique fy se présentant comme le produit d'un coefficient de 
viscosité dynamique,
que nous noterons 7, par une grandeur caractéristique construite sur une 
dérivée spatiale d'ordre deux
de la vitesse.

En comparant fy au terme (a) de la première équation différentielle du système 
(1), définir à quelle
condition il devient acceptable de considérer l'écoulement induit par l'onde 
acoustique (onde plane
(w,k = w/c)) comme étant parfait, comme nous l'avons supposé a priori dans le 
texte introduisant le
système d'équations différentielles (1). On fera porter cette condition sur la 
pulsation w, la célérité c
et la viscosité cinématique v = 7/p0 du milieu.

Écrire numériquement l'inégalité que doit alors vérifier la fréquence f = 
w/(2x), dans le cas de l'air

(Lair  107° m?:871) puis celui de l'eau (Zeau 1076 m?-871). Commenter ces 
résultats.

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13. Nous nous plaçons dans l'approximation linéaire et ne prenons pas en compte 
l'accélération de la
pesanteur dans les équations mettant en relation les champs dynamiques.

Nous supposons que la célérité c des ondes acoustiques est une fonction de 
l'altitude z et qu'elle varie
sur une longueur caractéristique £. Par ailleurs, chacun des champs dynamiques 
Ôs (s = v,p,p ou T)
varie sur une longueur caractéristique À.

Établir à quelle condition, portant sur les longueurs £ et À, la composante 6s 
est solution d'une équation
de D'ALEMBERT dans laquelle on a simplement remplacé la célérité c 
(habituellement constante) par
la fonction EUR = cz).

[1 On ne cherchera pas à établir l'équation différentielle générale vérifiée 
par ds, on raisonnera d'emblée
sur des grandeurs caractéristiques.

2 Acoustique géométrique.

Dans cette partie nous nous plaçons dans la limite linéaire et supposons que 
l'évolution du milieu propagatif
induite par l'onde acoustique est réversible et adiabatique. Par ailleurs, nous 
ne prenons pas en compte
l'accélération de la pesanteur dans les équations mettant en relation les 
champs dynamiques (introduits dans
le texte précédant la question (3)). La célérité des ondes acoustiques dans le 
milieu considéré est notée c.

Nous supposons disposer d'un émetteur permettant de générer une onde acoustique 
collimatée (c'est-à-dire
qu'elle n'est pas divergente, ni convergente) et d'extension transverse 
limitée. Par analogie avec l'optique
géométrique, cette onde sera appelée faisceau acoustique. Dans un milieu 
homogène, un tel faisceau est un
ensemble de rayons acoustiques parallèles. Nous considérons qu'il peut être 
représenté par une onde plane
monochromatique d'extension transverse limitée. Les surfaces isophases, ou 
plans d'onde, sont alors des
plans perpendiculaires à la direction de propagation (définie par le vecteur 
d'onde).

o Définition du cadre de l'acoustique géométrique.

Dans le cas d'une propagation dans un milieu non homogène, dans la mesure où la 
longueur caractéristique de
variation des propriétés du milieu reste très grande comparativement à la 
longueur d'onde, nous admettons
que la structure de l'onde reste plane, localement. Son vecteur d'onde &(M) = 
&(M) & (M) (|&|| = 1)
dépend alors du point M de l'espace et vérifie une relation de dispersion 
locale prenant la forme suivante :

w° = c(M)"k(M) (3)

La pulsation w est une constante positive fixée. c(M) désigne la célérité du 
son, fonction des caractéristiques
du milieu au point M.

Dans ces conditions, accéder à l'expression des grandeurs associées à la 
propagation d'une onde acoustique
devient difficile. L'approche géométrique !, dont nous allons établir le 
principe, offre un accès plus immédiat
à la trajectoire d'un rayon acoustique.

14. Dans le cas où le milieu est de l'air, établir que le carré c° est 
proportionnel à la température T de ce
milieu. On exprimera la constante de proportionnalité en fonction de la 
constante des gaz parfaits À,
de la masse molaire M du gaz et de son indice adiabatique (ou coefficient de 
LAPLACE) 7.

Indiquer quels sont les éléments à considérer pour accéder à la valeur de 7, 
dans le cas d'un gaz. Déter-
miner alors cette valeur dans le cas de l'air dans le voisinage des conditions 
normales de température
et de pression.

1. Il faut toutefois retenir que cette approche est développée dans un cadre 
qui restreint sa portée (comparativement à celle
de l'acoustique ondulatoire).

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e Traversée, par une onde sonore harmonique, d'une interface entre deux milieux.

Nous considérons deux milieux (1) et (2), supposés homogènes, en contact par 
l'intermédiaire d'une
interface plane (immatérielle). Nous notons EUR1 (c1 > 0) et c2(c2 > 0) les 
célérités du son dans les milieux
respectifs (1) et (2). Un faisceau acoustique (w, #1) se propage dans le milieu 
(1) en direction du milieu (2).
Il est réfracté par l'interface qui en donne le faisceau (w, &>) dans le milieu 
(2). La figure (1) illustre cette

situation.

Z Milieu (2) TC
| 2
| -
_ 6 :
C2 TX \ UT
Interface O1. P2

Y

Ci

Milieu (1)

FIGURE 1 -- Faisceau acoustique réfracté au passage de l'interface séparant 
deux milieux où les célérités
C1 et © du son y sont différentes. Les plans w1 et &2 représentent deux plans 
de phase de ce faisceau.

Les rayons passant par les points O et À de l'interface (O,x,y) délimitent 
l'extension transversale du
faisceau. Celui passant par le point I de l'interface est un rayon quelconque 
de ce faisceau. Nous admettons
que les vecteurs d'onde k1 et k2 se situent dans le plan (O, z, x) (tous les 
rayons représentés se situent donc
dans le plan de la figure).

15. En traduisant l'hypothèse que l'onde dans le milieu (2) reste une onde 
plane, établir que les angles 6;
et 0 sont liés par la relation suivante :

sin@  sinb:

-- (4)

C2 C1

16. Commenter la relation (4).

e Propagation en milieu stratifié.

Nous considérons que le milieu propagatif est de l'air et que sa température 
varie (de façon monotone)
avec l'altitude, soit T5 = To(z). Nous souhaitons déterminer la trajectoire 
d'un faisceau acoustique qui s'y
propage. Ce faisceau sera représenté par l'un de ses rayons. Ce rayon est 
choisi passant par l'origine du
repère R(O, z,x) et caractérisé par son vecteur d'onde Æ(O), appartenant au 
plan (O, z,x) et associé à la
pulsation w.

e Dans une première étape, nous supposons que ce milieu se présente comme une 
superposition de N
couches horizontales, de même épaisseur e, la température étant uniforme dans 
chacune d'elles. Nous notons
Cn = (Th) (n EUR {1, N}) la célérité du son dans la couche n. Dans la couche 
(1), le rayon est orienté par le
vecteur d'onde k1 = &(O) (8 EUR]0,x/2[). La figure (2) illustre cette situation.

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À

Z
Ode
RE LS
CRE PR
OR B

(1) 7 T,

RE PO 7

FIGURE 2 -- Milieu stratifié formé d'un ensemble de N couches de même épaisseur 
e et de températures
(T5,.., TN) (illustration pour N = 6). k; = k(O) représente le vecteur d'onde, 
dans la couche (1), du rayon
acoustique passant par le point ©.

17. Indiquer à quelle condition, portant sur l'épaisseur e des couches, cette 
étude entre dans le cadre de
l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition 
satisfaite.
18. Représenter, sur la base d'une argumentation, l'allure de la trajectoire du 
rayon acoustique de vecteur
145 d'onde ki -- E(O). On envisagera le cas où 7,11 > 7, et celui où T,11 < T, (pour tout n). Le nombre de couches n'est pas limité. 19. Écrire la relation permettant de déterminer 0,. pour tout n accessible par le rayon considéré, connais- sant O1. e Nous supposons à présent que la température de l'air varie continûment avec l'altitude z (de façon 150 monotone). Nous notons c(z) la célérité du son à l'altitude z et définissons un indice acoustique par le rapport n(z) = 1/c(2) (cette grandeur possède une dimension). Nous nous intéressons au rayon acoustique ayant pour vecteur d'onde £o -- E(O) à l'origine du repère R(O, z,x) (00 Æ 0 [r]). Nous notons no = n(z = 0). Il s'agit de déterminer la trajectoire de ce rayon que nous caractériserons par son équation cartésienne Z = Z{(x). Cette situation est illustrée sur la figure (3) (£o joue le rôle que jouait ki dans la situation décrite par la figure (2)). À C=C() ZE x) / (@) X / FIGURE 3 -- Milieu continûment stratifié où la célérité du son dépend de l'altitude z (de façon monotone). La trajectoire du rayon acoustique de vecteur d'onde £o -- E(O) et passant le point O est décrite par son équation cartésienne Z = Z{(x). 155 20. Indiquer à quelle condition, portant sur la pulsation w et la fonction c = c(z), cette étude entre dans le cadre de l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition satisfaite. 21. Établir que l'équation différentielle vérifiée par la fonction Z = Z(x) prend la forme suivante : COR) 6 A2 où À est une constante que l'on exprimera en fonction des paramètres no et 60. -- Page 5/7 - 160 165 170 175 180 ai ©0 5 190 e Nous supposons que la dépendance spatiale de la température de l'air peut s'exprimer, sur le domaine d'étude considéré, par le développement suivant, restreint au premier ordre vis-à-vis du produit &z : 22. 23. 24. 25. 26. To(z) = To(0)(1+2az) où [az] K1 (a = Cste EUR R*) (6) Dans le cadre de cette approximation, déterminer la solution Z = Z(x) de l'équation différentielle (5). Établir que l'équation cartésienne de la trajectoire peut s'écrire sous la forme suivante : W(X) = B(80)X° +C(60)X où X=ar et W=aZ (7) On donnera l'expression de chacune des constantes B(40) (B < 0) et C(60). [1 Par la suite, nous supposerons que à > 0.

Étudier la famille de fonctions W = W(X) afin de caractériser le réseau de 
trajectoires, dans le cas
où 00 El0,r/2]. Représenter l'allure de quelques trajectoires.

Nous supposons qu'un émetteur acoustique très directionnel est placé à 
l'origine du repère R(O, z, x).
Sa direction d'émission est fixée par l'angle 45 (40 Æ 0 [x|). Les tracés 
effectués en réponse à la question
(24) font apparaître deux domaines : un (désigné par D) dont chacun des points 
peut être atteint par
l'onde sonore émise (pour une orientation #0 adaptée), un autre (désigné par 
Do) dont tous les points
restent hors d'atteinte (quelle que soit la valeur de 45). Déterminer 
l'équation cartésienne W£ = WF(X)
de la frontière délimitant ces deux domaines.

( Indication : On recherchera à quelle condition un point M du plan R(O, az, 
ax) peut se situer sur
la trajectoire W = W(X) d'un rayon acoustique. Par ailleurs, on adoptera, comme 
seul paramètre de
l'équation cartésienne W = W(X) de la trajectoire, uo = 1/ tan 6.

Représenter cette frontière sur le réseau de trajectoires tracé en réponse à la 
question (24).

Nous supposons que la source sonore placée à l'origine du repère R(O, z, x) 
émet des rayons acoustiques,
simultanément dans toutes les directions. Avec l'appui des tracés effectués en 
réponse à la question
(24), indiquer comment est perçue acoustiquement cette source depuis un point 
du domaine D1.

27. Indiquer quelle analogie peut suggérer l'équation (7) (ou les trajectoires 
qui la représentent).

e Les résultats généraux établis pour un gaz restent applicables à un liquide. 
Nous nous intéressons ici
à la propagation de rayons acoustiques en milieu océanique. La célérité des 
ondes sonores y varie selon la
profondeur 2° (2! -- --z), sous l'effet des variations de température, de 
pression et de salinité.

28.

Un sonar (sound navigation and ranging) est un dispositif acoustique permettant 
de localiser (distance
et situation) des objets réflecteurs. Un sonar dit actif émet (mode émission) 
des rayons acoustiques
dans un certain intervalle de directions puis détecte (mode réception ou 
d'écoute) l'écho renvoyé par
les obstacles rencontrés. Sur la base du réseau de trajectoires tracé en 
réponse à la question (24),
indiquer quels problèmes posent cette technique de localisation dans un milieu 
stratifié.

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e La célérité du son en milieu océanique ne varie pas de façon monotone avec la 
profondeur 2° (2

La figure (4) présente l'aspect de son profil c = c(z/) dans l'océan Atlantique 
nord.

1500 1510 1520 1530

1540 c(m.s'')
ot Chenal He surface oi d

S00 ti Chenal Sonore profond

RS

1000 FN EE de

1
Influences des eaux chaudes méditérranéennes
1

QS)
> -

1500 -

2000 -E-+---------5 "sr Lo 7

2500 -È---- Net te

3000 Æ-------- Net

3500 -L-----------25 Di 1

4000 -T------- #1

4500 -F---------- |...

z'(m)

FIGURE 4 -- Aspect du profil, selon la profondeur, de la célérité du son dans 
l'océan Atlantique nord.

29.
195

30.
200 1.

32.

Le sonar, situé sous un bateau de pêche, permet de localiser les bancs de 
poissons. Le profil de célérité
représenté sur la figure (4) permet-il aux rayons acoustiques émis de se 
propager au-delà du chenal
de surface ? On s'appuiera, en particulier, sur l'étude conduite en réponse à 
la question (24) afin
d'estimer la "portée" maximale en profondeur d'un rayon acoustique, 
correspondant à une valeur
donnée du coefficient à (introduit dans l'équation (6)).

Sans effectuer de calcul, représenter l'allure des rayons acoustiques émis par 
un sous-marin (bruit)
situé à une profondeur z/ -- 500 m. On supposera que le sous-marin émet dans 
toutes les directions.

Indiquer quel est l'analogue de cette situation en optique.

Préciser quel avantage procure à un sous-marin de se placer à la profondeur z/ 
= 500 m.

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